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2024-2025學年北京師大附中高二（上）期末數學模擬試卷
一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在空間直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為( )
A. B. C. D.
2.已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為( )
A. B. C. D.
3.拋物線的焦點為，點在此拋物線上，，則點的橫坐標為( )
A. B. C. D.
4.圓與圓的位置關系是( )
A. 相交 B. 內切 C. 外切 D. 內含
5.的展開式中，常數項為( )
A. B. C. D.
6.某學校名同學到個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只能去個小區，且每個小區至少安排名同學，則不同的安排方法種數為( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱錐的高為，棱的長為，點為側棱上一動點，那么面積的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
8.已知直線，圓：，若直線上存在兩點，，圓上存在點，使得，且，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“”是“”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
10.一個平面區域內，兩點間距離的最大值稱為此區域的直徑，那么曲線圍成的平面區域的直徑為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11.直線：過橢圓的左焦點和一個頂點，該橢圓的離心率為______．
12.圓的圓心到直線的距離為，則的值為 ．
13.若，則 ______．
14.雙曲線的漸近線方程為______；若與圓：交于，，，四點，且這四個點恰為正方形的四個頂點，則 ______．
15.已知正方體的棱長為，為的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足平面平面E.給出下列四個結論：
的面積的最大值為；
滿足使的面積為的點有且只有個；
點可以是的中點；
線段的最大值為．
其中所有正確結論的序號是______．
三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
某小組共有名學生，其中女生名，男生名．
Ⅰ將名學生排成一排，且女生不相鄰的排法有多少種？
Ⅱ從名中選出人參加某公益活動．
共有多少種不同的選擇方法？
如果至少有位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？
17.本小題分
已知，，為坐標原點，圓為的外接圓．
Ⅰ求圓的標準方程；
Ⅱ過原點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．
18.本小題分
如圖，在三棱柱中，平面，，，，點，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點．
Ⅰ求證：；
Ⅱ求二面角的余弦值．
19.本小題分
已知橢圓的右焦點為，離心率為，直線過點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．
Ⅰ求橢圓的方程；
Ⅱ延長線段與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率．
20.本小題分
如圖，正方體的棱長為，為的中點，點在上再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點唯一確定，并解答問題．
條件：；
條件：；
條件：平面．
Ⅰ求證：為的中點；
Ⅱ求直線與平面所成角的大小，及點到平面的距離．
注：如果選擇的條件不符合要求，第Ⅰ問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
21.本小題分
已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．
Ⅰ求橢圓的標準方程；
Ⅱ設為橢圓的右頂點，為橢圓的上頂點，直線與橢圓交于，兩點在第三象限，是橢圓上的動點不與原點重合，直線，分別交直線于點，，記；，求證：為定值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ將名學生排成一排，且女生不相鄰的排法：種．
Ⅱ從名中選出人參加某公益活動．
共有種不同的選擇方法．
如果至少有位女生入選，共有種不同的選擇方法．
17.解：Ⅰ設圓的方程為，
圓過點，，，
則，解得，
故圓的方程為，
所以圓的標準方程為；
Ⅱ當直線的斜率不存在時，顯然不符合題意，
當直線的斜率存在時，可設直線方程為，
過原點的直線被圓截得的弦長為，
，
則圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
故，解得或，
所求直線方程為或．
18.解：Ⅰ證明：由于，，，
故以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
所以，
因為，
所以，因此；
Ⅱ因為平面，所以平面的一個法向量為，
由知，，，
設平面的一個法向量為，則，，
所以，令，則，
設二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，
所以．
19.解：Ⅰ由題意可知，，，
因為，所以，，
則橢圓的方程為；
Ⅱ設直線的方程為，
，，
聯立，消去，得，
則，，
若四邊形為平行四邊形，則，設，
所以，，
因為點在橢圓上，
所以，
解得，即，
當四邊形為平行四邊形時，
直線的斜率為．
20.選條件：
如圖所示，連接，相交于點，連接，則為的中點，
若為的中點，則，但由得不出，
所以點不唯一確定，不符合題意．
選條件：
Ⅰ證明：如圖所示，連接，
由正方體的性質知，平面，平面，
所以，
因為，，所以，
所以，
又為的中點，所以為的中點．
Ⅱ解：以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設平面的法向量為，則，
令，則，，所以，
設直線與平面所成的角為，
則，，
所以直線與平面所成角的大小為，點到平面的距離為．
選條件：
Ⅰ證明：如圖所示，連接，
因為平面，平面，平面平面，
所以，
又為的中點，所以為的中點．
Ⅱ解：以下過程同選擇條件．
21.解：Ⅰ由橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為，
得，則，
由的離心率為，得，
則，解得，，
所以橢圓的標準方程為；
Ⅱ證明：由Ⅰ知，，，
由，解得或，
則，，
設，，有，
直線的方程為，
由，解得點的橫坐標，
直線的方程為，
由，解得點的橫坐標，
由，得，同理，
所以，
而，
所以為定值．
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