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第五章　一元一次方程
考點1　等式的基本性質
1. 下列說法錯誤的是（　　）
A.若－2x＝－2y，則x＝y B.若x2＝5x，則x＝5
C.若a＝b，則a－6＝b－6 D.若＝，則a＝b
2. 下列等式是由5x－1＝4x根據等式性質變形得到的，其中正確的有（　　）
①5x－4x＝1；　　②4x－5x＝1；　　③x－＝2x；　　④6x－1＝3x.
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
考點2　一元一次方程與方程的解
3. 下列各式：①2x－3y＝6；②x2－4x－3＝0；③2（x＋3）＝5－3x；④＋1＝0；⑤3x－4（2－5x）.其中，一元一次方程有（　　）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4. 已知方程（k－1）x｜k｜＋1＝0是關于x的一元一次方程，則方程的解是（　　）
A.x＝1 B.x＝0 C.x＝－1 D.x＝
5.關于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一個解是x＝1，則2 024－a－b＝（　　）
A.2 025 B.2 024 C.2 023 D.2 022
6. 關于x的方程（m＋1）x＝m－1有解，則m的取值范圍是（　　）
A.m≠0 B.m≠1 C.m≠－1 D.m≠±1
7. 已知a，b為定值，關于x的方程＝a－，無論k為何值，它的解總是1，則a＋b＝　　　　　.
考點3　解一元一次方程
8. 把方程－1＝的分母化為整數的方程正確的是（　　）
A.＝ B.－10＝
C.－1＝ D.－1＝
9. 解方程：（1）5（y＋6）＝9－3（1－3y）；
（2）4（2x＋3）＝8（1－x）－5（x－2）；
（3）－＝1－；
（4）（4）＝.
考點4　一元一次方程的應用
10. 某同學出生時父親26歲，現在父親的年齡是該同學年齡的3倍，則現在父親的年齡是（　　）
A.30歲 B.36歲 C.39歲 D.48歲
11. 某個體商販在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，售價都是135元，若按成本計，其中一件盈利25％，另一件虧本25％，在這次買賣中他（　　）
A.不賺不賠 B.無法比較 C.賠18元 D.賺18元
12. 某車間有26名工人，每人每天可以生產800個螺栓或1 000個螺母，1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套，設安排x名工人生產螺栓，則下面所列方程正確的是（　　）
A.2×1 000（26－x）＝800x B.2×1 000（13－x）＝800x
C.1 000（26－x）＝800x D. 1 000（26－x）＝2×800x
13. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，點E是BC的中點，動點P從A點出發，以每秒2個單位的速度沿A C E運動.若設點P運動的時間是t s，若△APE的面積等于8，那么t的值是（　　）
A.2 B. C.2或 D.不存在
14. 當今社會，隨著生活水平的提高，人們越來越重視自己的身心健康，開始注重鍛煉身體.某公司計劃購買50個羽毛球拍和x個羽毛球，某體育用品商店每個羽毛球拍定價80元，每個羽毛球定價5元，經協商擬定了如下兩種優惠方案（兩種優惠方案不可混用）：
方案一：每買一個羽毛球拍就贈送2個羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定價的90％付款.
（1）若x＝100，請計算哪種方案劃算；
（2）若x＞100，請用含x的代數式分別把兩種方案的費用表示出來；
（3）請你幫助公司寫出x取值不同時的所有劃算的購買方案.
【課后作業】
一、選擇題
1. 下列運用等式的性質對等式進行的變形中，不正確的是（　　）
A.若a＝b，則a±c＝b±c B.若am＝bm，則a＝b
C.若＝，則a＝b D.若a＝b，且m≠0，則＝
2. 已知3x＋6＝21，那么2x＋3的值是（　　）
A.11 B.13 C.17 D.20
3. 關于x的方程ax＋3＝2x－b有無窮多個解，則a＋b＝（　　）
A.－5 B.5 C.－1 D.1
4. 某市中學生足球聯賽規定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場不得分.某校中學足球代表隊共比賽了8場，其中平場數是負場數的2倍，共得17分，該隊勝了（　　）
A.1場 B.2場 C.3場 D.5場
5. 某工程要求按期完成，甲隊單獨完成需40天，乙隊單獨完成需50天，現甲隊單獨做4天，后兩隊合做，正好按期完工.問該工程的工期是幾天？設該工程的工期為x天，列方程為（　　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＋＝1 D.＋＋＝1
6. 已知關于x的一元一次方程2 022x－5＝3x－a的解為x＝2，那么關于y的一元一次方程2 022（y＋1）－3（y＋1）＝5－a的解為（　　）
A.y＝－1 B.y＝－3 C.y＝1 D.y＝3
二、填空題
7. 方程（a－3）x｜a｜－2＋2＝a＋3是關于x的一元一次方程，則a＝　　　　　.
8. 在方程7x－2y＝8中用含x的代數式表示y＝ 　　　　　.
9. 設某數為x，如果某數的2倍比它的相反數大1，那么列方程是　　　　　 .
10. 若3x2－4x－5＝7，則x2－x＝　　　　　.
11. 已知關于x的一元一次方程3x＝ax＋12無解，則a的值是　　　　　.
三、解答題
12. 我們規定：若關于x的一元一次方程ax＝b的解為b＋a，則稱該方程為“和解方程”.例如：方程2x＝－4的解為x＝－2，而－2＝－4＋2，則方程2x＝－4為“和解方程”.請根據上述規定解答下列問題.
（1）判斷：方程3x＝－　　　　　（“是”或“不是”）“和解方程”；
（2）關于x的一元一次方程5x＝t是“和解方程”，求t的值；
（3）關于x的一元一次方程－3x＝mn＋n是“和解方程”，并且它的解是x＝m，求m，n的值.
13.小方家的住房戶型呈長方形，平面圖如圖（單位：米），現準備鋪設地面.三間臥室鋪設木地板，其他區域鋪設地磚.
（1）求a的值；
（2）鋪設地面需要木地板和地磚各多少平方米（用含x的代數式表示）？
（3）已知臥室1的面積為16平方米，按市場價格，木地板的單價為500元/平方米，地磚的單價為20元/平方米，求鋪設地面的總費用.
14. 閱讀理解，并完成下列各題：
對于數軸上任一點P，把與點P相距a個單位長度（a＞0）的兩點所表示的數分別記作x和y（其中x＜y），并把x，y這兩個數叫做“點P關于a的對稱數組”，記作M（P，a）＝（x，y）.例如：原點O表示數0，原點O關于1的對稱數組是M（O，1）＝（－1，1）.
（1）點A表示的數為－2，則M（A，7）＝　　　　　；
（2）如果M（P，a）＝（4，2 024），那么P表示的數是　　　　　，a的值是　　　　　；
（3）如果點P，Q是數軸上的兩個動點，M（P，3）＝（x，y），M（Q，5）＝（m，n）（其中x＜y，m＜n）.兩點同時從原點出發反向運動，當｜n－x｜＝4｜y－m｜時，求點P，Q之間的距離.
第五章　一元一次方程
考點1　等式的基本性質
1. 下列說法錯誤的是（　B　）
A.若－2x＝－2y，則x＝y B.若x2＝5x，則x＝5
C.若a＝b，則a－6＝b－6 D.若＝，則a＝b
2. 下列等式是由5x－1＝4x根據等式性質變形得到的，其中正確的有（　C　）
①5x－4x＝1；　　②4x－5x＝1；　　
③x－＝2x；　　④6x－1＝3x.
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
考點2　一元一次方程與方程的解
3. 下列各式：①2x－3y＝6；②x2－4x－3＝0；③2（x＋3）＝5－3x；④＋1＝0；⑤3x－4（2－5x）.其中，一元一次方程有（　A　）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4. 已知方程（k－1）x｜k｜＋1＝0是關于x的一元一次方程，則方程的解是（　D　）
A.x＝1 B.x＝0 C.x＝－1 D.x＝
5.關于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一個解是x＝1，則2 024－a－b＝（　A　）
A.2 025 B.2 024 C.2 023 D.2 022
6. 關于x的方程（m＋1）x＝m－1有解，則m的取值范圍是（　C　）
A.m≠0 B.m≠1 C.m≠－1 D.m≠±1
7. 已知a，b為定值，關于x的方程＝a－，無論k為何值，它的解總是1，則a＋b＝　－　.
考點3　解一元一次方程
8. 把方程－1＝的分母化為整數的方程正確的是（　D　）
A.＝ B.－10＝
C.－1＝ D.－1＝
9. 解方程：（1）5（y＋6）＝9－3（1－3y）；
解：（1）5（y＋6）＝9－3（1－3y），
5y＋30＝9－3＋9y，
5y－9y＝9－3－30，
－4y＝－24，
解得y＝6；
（2）4（2x＋3）＝8（1－x）－5（x－2）；
解：（2）4（2x＋3）＝8（1－x）－5（x－2），
去括號，得8x＋12＝8－8x－5x＋10，
移項，得8x＋8x＋5x＝8＋10－12，
合并同類項，得21x＝6，
系數化為1，得x＝；
（3）－＝1－；
解：（3）－＝1－，
4（x＋1）－6x＝12－3（2x＋1），
4x＋4－6x＝12－6x－3，
4x＋6x－6x＝12－4－3，
4x＝5，
解得x＝；
（4）＝.
解：（4）＝，
去分母，得3（x＋2）＝x，
去括號，得3x＋6＝x，
移項，得3x－x＝－6，
合并同類項，得2x＝－6，
系數化為1，得x＝－3.
考點4　一元一次方程的應用
10. 某同學出生時父親26歲，現在父親的年齡是該同學年齡的3倍，則現在父親的年齡是（　C　）
A.30歲 B.36歲 C.39歲 D.48歲
11. 某個體商販在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，售價都是135元，若按成本計，其中一件盈利25％，另一件虧本25％，在這次買賣中他（　C　）
A.不賺不賠 B.無法比較 C.賠18元 D.賺18元
12. 某車間有26名工人，每人每天可以生產800個螺栓或1 000個螺母，1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套，設安排x名工人生產螺栓，則下面所列方程正確的是（　D 　）
A.2×1 000（26－x）＝800x
B.2×1 000（13－x）＝800x
C.1 000（26－x）＝800x
D. 1 000（26－x）＝2×800x
13. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，點E是BC的中點，動點P從A點出發，以每秒2個單位的速度沿A C E運動.若設點P運動的時間是t s，若△APE的面積等于8，那么t的值是（　C 　）
A.2 B. C.2或 D.不存在
解析：∵BC＝8，點E是BC的中點，∴CE＝4.
①如圖1，當點P在AC上時，AP＝2t，
∵∠C＝90°，△APE的面積等于8，
∴S△APE＝CE·AP＝×4×2t＝8，
解得t＝2；
　　　
②如圖2，當點P在CE上時，CP＝2t－6，
∴PE＝CE－CP＝4－（2t－6）＝10－2t，
∴S△APE＝AC·PE＝×6×（10－2t）＝8，
解得t＝.
綜上所述，t的值是2或.故選C.
14. 當今社會，隨著生活水平的提高，人們越來越重視自己的身心健康，開始注重鍛煉身體.某公司計劃購買50個羽毛球拍和x個羽毛球，某體育用品商店每個羽毛球拍定價80元，每個羽毛球定價5元，經協商擬定了如下兩種優惠方案（兩種優惠方案不可混用）：
方案一：每買一個羽毛球拍就贈送2個羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定價的90％付款.
（1）若x＝100，請計算哪種方案劃算；
解：（1）當x＝100時，
方案一：80×50＝4 000（元）.
方案二：80×50×90％＋5×100×90％＝4 050（元）.
因為4 000＜4 050，
所以當x＝100時，方案一劃算.
答：若x＝100，方案一劃算.
（2）若x＞100，請用含x的代數式分別把兩種方案的費用表示出來；
解：（2）當x＞100時，
方案一：80×50＋（x－100）×5＝（5x＋3 500）元.
方案二：80×50×90％＋5x×90％＝（4.5x＋3 600）元.
答：方案一、方案二的費用用代數式分別表示為（5x＋3 500）元，（4.5x＋3 600）元.
（3）請你幫助公司寫出x取值不同時的所有劃算的購買方案.
解：（3）若方案一和方案二的費用相等，
當x≤100時，方案一不需要單獨再購買羽毛球，可得50×80＝（50×80＋5x）×90％，
解得x＝.因為88＜＜89，
所以，當0＜x≤88時，方案二劃算；當89≤x≤100時，方案一劃算；
當x＞100時，方案一和方案二都需要單獨購買羽毛球，可得50×80＋5（x－100）＝（50×80＋5x）×90％，
解得x＝200.
所以，當100＜x＜200時，方案一劃算；當x＝200時，方案一和方案二一樣劃算；當x＞200時，方案二劃算.
綜上可知，當0＜x≤88時，方案二劃算；當89≤x＜200時，方案一劃算；當x＝200時，方案一和方案二一樣劃算；當x＞200時，方案二劃算.
【課后作業】
一、選擇題
1. 下列運用等式的性質對等式進行的變形中，不正確的是（　B　）
A.若a＝b，則a±c＝b±c B.若am＝bm，則a＝b
C.若＝，則a＝b D.若a＝b，且m≠0，則＝
2. 已知3x＋6＝21，那么2x＋3的值是（　B　）
A.11 B.13 C.17 D.20
3. 關于x的方程ax＋3＝2x－b有無窮多個解，則a＋b＝（　C　）
A.－5 B.5 C.－1 D.1
4. 某市中學生足球聯賽規定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場不得分.某校中學足球代表隊共比賽了8場，其中平場數是負場數的2倍，共得17分，該隊勝了（　D　）
A.1場 B.2場 C.3場 D.5場
5. 某工程要求按期完成，甲隊單獨完成需40天，乙隊單獨完成需50天，現甲隊單獨做4天，后兩隊合做，正好按期完工.問該工程的工期是幾天？設該工程的工期為x天，列方程為（　D 　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＋＝1 D.＋＋＝1
6. 已知關于x的一元一次方程2 022x－5＝3x－a的解為x＝2，那么關于y的一元一次方程2 022（y＋1）－3（y＋1）＝5－a的解為（　C　）
A.y＝－1 B.y＝－3 C.y＝1 D.y＝3
解析：關于y的一元一次方程2 022（y＋1）－3（y＋1）＝5－a可變形為2 022（y＋1）－5＝3（y＋1）－a，
∵關于x的一元一次方程2 022x－5＝3x－a的解為x＝2，
∴關于（y＋1）的一元一次方程2 022（y＋1）－5＝3（y＋1）－a的解為y＋1＝2，解得y＝1，
∴關于y的一元一次方程2 022（y＋1）－3（y＋1）＝5－a的解為y＝1.故選C.
二、填空題
7. 方程（a－3）x｜a｜－2＋2＝a＋3是關于x的一元一次方程，則a＝　－3　.
8. 在方程7x－2y＝8中用含x的代數式表示y＝ 　y＝x－4　.
9. 設某數為x，如果某數的2倍比它的相反數大1，那么列方程是　2x＝－x＋1　 .
10. 若3x2－4x－5＝7，則x2－x＝　4　.
11. 已知關于x的一元一次方程3x＝ax＋12無解，則a的值是　3　.
解析：3x＝ax＋12，3x－ax＝12，（3－a）x＝12，
∵一元一次方程3x＝ax＋12無解，∴3－a＝0，∴a＝3.
三、解答題
12. 我們規定：若關于x的一元一次方程ax＝b的解為b＋a，則稱該方程為“和解方程”.例如：方程2x＝－4的解為x＝－2，而－2＝－4＋2，則方程2x＝－4為“和解方程”.請根據上述規定解答下列問題.
（1）判斷：方程3x＝－　是　（“是”或“不是”）“和解方程”；
解：（1）方程3x＝－的解為x＝－，而－＝3＋（－），
∴方程3x＝－是“和解方程”，故答案為是.
（2）關于x的一元一次方程5x＝t是“和解方程”，求t的值；
解：（2）∵方程5x＝t的解為x＝，
且方程5x＝t是“和解方程”，∴＝5＋t，解得t＝－.
（3）關于x的一元一次方程－3x＝mn＋n是“和解方程”，并且它的解是x＝m，求m，n的值.
解：（3）∵方程－3x＝mn＋n是“和解方程”，
∴方程－3x＝mn＋n的解為x＝－3＋mn＋n.
又∵它的解是x＝m，
∴－3＋mn＋n＝m，
∴mn＝m－n＋3，
將mn＝m－n＋3代入方程－3x＝mn＋n，可得－3x＝m＋3，
將x＝m代入方程－3x＝m＋3，可得m＝－，
將m＝－代入mn＝m－n＋3，可得－n＝－－n＋3，
解得n＝9.
13.小方家的住房戶型呈長方形，平面圖如圖（單位：米），現準備鋪設地面.三間臥室鋪設木地板，其他區域鋪設地磚.
（1）求a的值；
解：（1）根據題意得a＋5＝4＋4，解得a＝3.
（2）鋪設地面需要木地板和地磚各多少平方米（用含x的代數式表示）？
解：（2）三間臥室的面積：
4×2x＋3×[10＋6－2x－x－（2x－1）]＋4×6
＝8x＋3×（17－5x）＋24
＝8x＋51－15x＋24
＝（75－7x）平方米，
其他區域的面積：
（10＋6）×（4＋4）－（75－7x）
＝16×8－75＋7x
＝128－75＋7x
＝（53＋7x）平方米，
即鋪設地面需要木地板和地磚分別是（75－7x）平方米和（53＋7x）平方米.
（3）已知臥室1的面積為16平方米，按市場價格，木地板的單價為500元/平方米，地磚的單價為20元/平方米，求鋪設地面的總費用.
解：（3）∵臥室1的面積為16平方米，∴8x＝16，解得x＝2，
∴三間臥室的面積為75－7x＝75－7×2＝61（平方米），
其他區域的面積為53＋7x＝53＋7×2＝67（平方米），
∴鋪設地面的總費用為61×500＋67×20＝30 500＋1 340＝31 840（元）.
答：鋪設地面的總費用是31 840元.
14. 閱讀理解，并完成下列各題：
對于數軸上任一點P，把與點P相距a個單位長度（a＞0）的兩點所表示的數分別記作x和y（其中x＜y），并把x，y這兩個數叫做“點P關于a的對稱數組”，記作M（P，a）＝（x，y）.例如：原點O表示數0，原點O關于1的對稱數組是M（O，1）＝（－1，1）.
（1）點A表示的數為－2，則M（A，7）＝　（－9，5）　；
解：（1）∵M（A，7）表示的是“點A關于7的對稱數組”，而數軸上與點A相距7個單位長度的數為－2＋7＝5或－2－7＝－9，
∴M（A，7）＝（－9，5），
故答案為（－9，5）.
（2）如果M（P，a）＝（4，2 024），那么P表示的數是　1 014　，a的值是　1 010　；
解：（2）∵M（P，a）＝（4，2 024）表示的是點P到數軸上數4和數2 024的兩個點的距離都為a，
∴點P表示的數為＝1 014，a＝＝1 010，
故答案為1 014；1 010.
（3）如果點P，Q是數軸上的兩個動點，M（P，3）＝（x，y），M（Q，5）＝（m，n）（其中x＜y，m＜n）.兩點同時從原點出發反向運動，當｜n－x｜＝4｜y－m｜時，求點P，Q之間的距離.
解：（3）設點P和點Q表示的數分別為p，q，
∵M（P，3）＝（x，y），M（Q，5）＝（m，n），
∴x＝p－3，y＝p＋3，m＝q－5，n＝q＋5.
∵｜n－x｜＝4｜y－m｜，
∴｜q＋5－（p－3）｜＝4｜p＋3－（q－5）｜，
∴｜q－p＋8｜＝4｜p－q＋8｜，
當q－p＋8＝4（p－q＋8）時，
∴（q－p）＋4（q－p）＝32－8，∴q－p＝，
∴點P，Q之間的距離為；
當q－p＋8＝－4（p－q＋8）時，
∴（q－p）－4（q－p）＝－32－8，∴q－p＝，
∴點P，Q之間的距離為.
綜上所述，點P，Q之間的距離為或.

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