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高三數學期末試題
一、選擇題（每題5分，共計40分）
1、已知集合，集合，則( )
A. B. C. D.
2、中國古代數學名著《算法統宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行數里,請公仔細算相還”.其意思為:“有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地”,則走的路程少于30里開始于( )
A.第三天 B.第四天 C.第五天 D.第六天
3、已知關于x的不等式的解集為，則的最大值是( )
A. B. C. D.
4、已知三棱錐的外接球半徑為R，且外接圓的面積為，若三棱錐體積的最大值為，則該球的體積為( )
A. B. C. D.
5、已知函數若方程恰有三個不同的實數解a，b，c()，則的取值范圍是( ).
A. B. C. D.
7．若直線與曲線恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．定義在上的函數滿足，（若，則，c為常數），則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．在取得極小值，極小值為
C．只有一個零點 D．若在上恒成立，則
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知，為實數，則下列不等式正確的是
A． B． C． D．
10．設函數的最小正零點為，則（ ）
A．的圖象過定點
B．的最小正周期為
C．是等比數列
D．的前10項和為
11．在年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉、、后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區域），、為與其中兩條曲線的交點，若，則（ ）
A．開口向上的拋物線的方程為
B．
C．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為
D．陰影區域的面積不大于
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12．已知命題：“，”為真命題，則的取值為 .
13．已知是定義在上的可導函數，若，則 .
14．二項式的展開式中，x的系數為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知，其中．
(1)若函數在處的切線與軸平行，求的值；
(2)求的極值點；
16．（15分）已知向量，，函數.
(1)求的單調遞減區間；
(2)將的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.若函數，的圖象與的圖象有三個交點且交點的橫坐標成等比數列，求的值.
17.（15分）《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年，在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵（qiandu）；陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑（bienao）指四個面均為直角三角形的四面體.如圖，三棱柱，平面，四棱錐為陽馬，且，分別是，的中點.
（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
18.（17分）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，.
19．在平面直角坐標系中，已知直線與橢圓交于點A，B（A在x軸上方），且．設點A在x軸上的射影為N，三角形ABN的面積為2（如圖1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設平行于AB的直線與橢圓相交，其弦的中點為Q．
①求證：直線OQ的斜率為定值；
②設直線OQ與橢圓相交于兩點C，D（D在x軸的上方），點P為橢圓上異于A，B，C，D一點，直線PA交CD于點E，PC交AB于點F，如圖2，求證：為定值．
答案
DBDDA BBB 9AC 10ACD 11BCD
12． 13．1 14．20
15．解析：（1）函數的定義域為，，
因為函數在處的切線與x軸平行，所以，解得．
（2）函數的定義域為，
．
令得或，
所以當，即時，
的解集為，的解集為，
所以函數在區間和上嚴格減，在區間上嚴格增，
是函數的極大值點，是函數的極小值點；
當，即時，在區間上恒成立，此時函數在區間上嚴格減，無極值點；
當，即時，的解集為，的解集為，所以函數在區間和上嚴格減，在區間上嚴格增，是函數的極小值點，是函數的極大值點；
綜上，當時，是函數的極大值點，是函數的極小值點；
當時，函數在區間上嚴格減，無極值點；
當時，是函數的極小值點，是函數的極大值點．
16.解析：（1），
，
令，，則，，
所以的單調遞減區間為，；
（2）將的圖象向左平移個單位后，得到，
再將得到的圖象的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）后，得到，
函數，的圖象與的圖象有三個交點坐標分別為，，且，則由已知結合圖象的對稱性，有，解得，∴.
17解析：（1）取中點，連接，，在中，因為，分別是，中點，所以，且，在平行四邊形中，因為是的中點，
所以，且，所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，所以平面.
（2）在線段上存在點，使得平面，取的中點，連，連，
因為平面，平面，平面，所以，，在中，因為，分別是，中點，所以，
又由（1）知，所以，，由得平面，
故當點是線段的中點時，平面.此時，.
18解析：（1），定義域為，
則，
①當時，在上單調遞增；
②當時，
當時，，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減.
綜上，①當時，在上單調遞增，
②當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）當時，要證，只需證，
由（1）得，，
即證恒成立.
令，則
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
的最大值為，即.
恒成立，原命題得證.
19．（1）由題意知，可設，可得，
即，所以，故，即，
又橢圓經過，即，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設平行于AB的直線方程為，且，
①聯立，設，，得到，
所以，，故直線OQ的斜率為（定值）.
②由題意可知，，，
聯立，得，，
設，直線斜率存在時，直線，
聯立，得，
直線，聯立，
得，則，
，
所以因為，所以，代入上式得：
.
當斜率不存在時結果仍然成立，故 為定值．

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