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中小學教育資源及組卷應用平臺
【決戰期末·50道綜合題專練】北師大版八年級上冊期末數學卷
1．如圖，點、分別是等邊邊、上的動點（端點除外），點、點以相同的速度，同時從點、點出發．
（1）如圖1，連接、．求證：；
（2）如圖1，當點、分別在、邊上運動時，、相交于點，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數；
（3）當點、在射線、上運動時，直線、相交于，的大小是否變化？請畫出圖形，并直接寫出的度數．
2．如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．
（1）求旗桿距地面多高處折斷（）；
（2）工人在修復的過程中，發現在折斷點C的下方1m的點D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復后，若下次大風將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內有被砸傷的風險？
3．如圖1，甲、乙兩車分別從相距480km的A、B兩地相向而行，乙車比甲車先出發1小時．并以各自的速度勻速行駛，甲車到達C地后因有事按原路原速返回A地，乙車從B地直達A地，兩車同時到達A地．甲、乙兩車距A地的路程y（千米）與甲車出發所用的時間x（小時）的關系如圖2，結合圖象信息解答下列問題：
（1）乙車的速度是　 　千米/時，乙車行駛的時間t＝　 　小時；
（2）求甲車從C地按原路原速返回A地的過程中，甲車距A地的路程y與它出發的時間x的函數關系式；
（3）直接寫出甲車出發多長時間兩車相距110千米　 ?。?br/>4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于點D，E.
（1）
求證：△BCD是等腰三角形；
（2）
若△BCD的周長是13，BC＝5，求AC的長.
5．某地計劃從甲、乙兩個蔬菜基地向A，B兩市運送蔬菜.甲、乙兩個基地分別可運出80噸和100噸蔬菜.A，B兩市分別需要蔬菜110噸和70噸.從甲，乙兩基地運往A，B兩市的運費單價如下表：
　 A市（元/噸） B市（元/噸）
甲基地 15 20
乙基地 10 25
設從甲基地運往A市x噸蔬菜時，總運費為y元.
（1）求y關于x的函數表達式及自變量的取值范圍；
（2）當甲基地運往A市多少噸蔬菜時，總運費最??？最省的總運費是多少元？
6．已知一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象過點(0，1).
（1）若函數圖象還經過點(－1，3)，
①求這個函數的表達式；
②若點P（a，a＋3）關于x軸的對稱點恰好落在該函數的圖象上，求a的值.
（2）若函數圖象與x軸的交點的橫坐標滿足2＜＜3，求k的取值范圍.
7．如果有兩點到一條直線的距離相等，那么稱這條直線為“兩點的等距線”.
（1）如圖1，直線CD經過線段AB的中點P，試說明直線CD是點A、B的一條等距線.
（2）如圖2，A、B、C是正方形網格中的三個格點，請在網格中作出所有的直線m，使直線m過點C且直線m是“A、B的等距線”.
（3）如圖3， ABC中，A（1，-2），B（4，-1），C（2，-0.5）.坐標軸上是否存在點P，使S APC＝S BPC，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
8．如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點C的坐標為，連接BC，過點О作于點D，點Q為線段BC上一個動點.
（1）求BC，OD的長；
（2）在線段BO上是否存在一點P，使得與全等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點C關于OQ的對稱點恰好落在的邊上，請直接寫出點Q的坐標.
9．已知函數y=（2m+1）x+m-3.
（1）若函數圖象經過原點，求m的值；
（2）若這個函數是一次函數，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍；
（3）若這個函數是一次函數，且圖象不經過第四象限，求m的取值范圍.
10．已知的三邊，，.
（1）求證：是直角三角形.
（2）利用第（1）題的結論，寫出兩個直角三角形的邊長，要求它們的邊長均為正整數.
11．在等式（k，b為常數）中，當時，；時，．
（1）求k，b值；
（2）當時，y的值等于多少？
12．下列表格是劉小明一學期數學成績的記錄，根據表格提供的信息回答下面的問題：（注：每次考試滿分都是100分）
考試類別 平時成績 期中考試 期末考試
第四章 第五章 第六章 第七章
成績 88 92 90 86 90 96
注：可能用到的公式.
（1）劉小明6次成績的眾數與中位數之差是　 ??；
（2）計算劉小明平時成績的平均分；
（3）計算劉小明平時成績的方差；
（4）按照學校規定，本學期的綜合成績的權重如扇形圖所示，請你求出劉小明本學期的綜合成績，要寫出解題過程.
13．已知，，直線與直線，分別交于點E，F.
（1）如圖1，若，求的度數.
（2）如圖2，與的角平分線交于點P，與交于點G，H是上一點，且.求證：.
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，K是上一點使，作平分，問的大小是否發生變化？若不變，請求出其值；若變化，說明理由.
14．觀察下列各式：；；.
（1）請根據以上規律，寫出第4個式子：　 　.
（2）請根據以上規律，寫出第n個式子（）：　 　.
（3）根據以上規律計算：的值.
15．為提高農民收入，村民自愿投資辦起了養雞場．辦場時買來1000只小雞，經過一段時間，飼養可以出售了。下表是這些雞出售時質量的統計數據：
質量/ kg 1.0 1.2 1.5 1.8 2
頻數 112 230 320 240 98
（1）出售時這些雞的平均質量是多少(結果保留小數點后一位) ？
（2）質量在哪個值的雞最多？
（3）中間的質量是多少？
16．如圖，已知AM∥BN，∠A＝64°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．
（1）∠ABN的度數是　 　，∠CBD的度數是　 ??；
（2）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由：若變化，請寫出變化規律；
（3）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，∠ABC的度數是多少？
17．如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，它在y軸上的截距是-2．
（1）求點A的坐標；
（2）若直線AB上有一點C，且，求點C的坐標．
18．某汽車在加油后開始勻速行駛．已知汽車行駛到20km時，油箱中剩油53L，行駛到50km時，油箱中剩油50L，如果油箱中剩余油量與汽車行駛路程之間是一次函數關系．
（1）求一次函數表達式；
（2）寫出自變量的取值范圍．
19．如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，
（1）用直尺和圓規按下列要求作圖(保留作圖痕跡，不寫作法)
①作∠BAC的平分線交BC于點D；②過點A作△ABC中BC邊上的高AE，垂足為點E；
（2）在（1）的基礎上，求∠DAE的度數．
20．如圖，，是某個軸對稱圖形上的兩點，且互為對稱點，已知此圖形上有點.
（1）求點C關于該圖形對稱軸對稱的點的坐標；
（2）求的面積
21．已知直線l1：y＝kx過點（1，2），與直線l2：y＝﹣3x+b相交于點A，若l2與x軸交于點B（2，0），與y軸交于點C.
（1）分別求出直線11，l2的解析式；
（2）求△OAC的面積.
22．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D是AB邊上任意一點，∠CDE=60°，DE與∠ABC外角平分線相交于點E.
（1）求證：CD=DE；
（2）若D是AB延長線上任意一點，∠CDE=60°，DE與∠ABC外角平分線相交于點E.請畫出圖形，判斷CD=DE是否還成立 若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.
23．已知:
（1）求 的值；
（2）若 求 的值；
（3）若 分別求出 和 的值.
24．如圖，在 中， 于點E， ，AB的垂直平分線DN交BC于點D，交AB于點N， 于點F，交AE于點 求證：
（1） ；
（2） .
25．用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制作24個盒身，或制作32個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒，現有40張白鐵皮請用二元一次方程組的知識解答下列問題.
（1）問用多少張制作盒身，多少張制作盒底可以使盒身與盒底正好配套？
（2）已知一張白鐵皮的成本為120元，每張制作盒底的加工費為30元/張，而制作盒身的加工方式有橫切和縱切兩種，橫切的加工費為20元/張，縱切的加工費為25元/張，問在（1）的結論下，若想要總費用控制在5900元，應安排多少張橫切，多少張縱切？
26．某學生本學期6次數學考試成績如下表所示：
成績類別 第一次月考 第二次月考 期中 第三次月考 第四次月考 期末
成績/分 105 110 108 113 108 112
（1）6次考試成績的中位數為　 　 ，眾數為　 　.
（2）求該生本學期四次月考的平均成績.
（3）如果本學期的總評成績按照月考平均成績占20%、期中成績占30%、期末成績占50%計算，那么該生本學期的數學總評成績是多少？
27．一輛貨車從甲地開往乙地，一輛客車從乙地開往甲地，兩車同時出發，設貨車離甲地的距離為 ，客車離甲地的距離為 ，兩車行駛的時間為 ， 與x之間的關系如圖所示.
（1）分別求出 、 與x之間的關系式；
（2）甲、乙兩地間有A，B兩個加油站，且兩個加油站相距 ，當貨車進人入A加油站時，客車恰好進入B加油站，求A加油站離甲地的距離.
28．解答下列各題
（1）計算：
（2）解方程：
（3）某隧道與中山路及人民路大致成直角三角形，如果AB=3km，BC=5km，那么從A到C，走隧道AC比繞道AB和BC少走多少路程？（結果保留根號）
29．已知：一次函數y=kx+b的圖象經過M（0，2），N（1，3）兩點．
（1）求k、b的值；
（2）若一次函數y=kx+b的圖象與x軸交點為A（a，0），求a的值．
30．問題情境：如圖1，點D是△ABC外的一點，點E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數量關系．
（1）特例探究：
如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝　 ?。?br/>如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝　 ?。贿@兩個圖中，∠D與∠A度數的比是　 ??；
（2）猜想證明：
如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結論；若不成立，說明理由．
31．已知點 ，解答下列問題：
（1）若點A到x軸和y軸的距離相等，求點A的坐標；
（2）若點A向右平移若干個單位后，與點 關于x軸對稱，求點A的坐標．
32．小明同學看到一則材料：甲開汽車，乙騎自行車從P地出發沿同一條公路勻速前往Q地、設乙行駛的時間為t（h）．甲乙兩人之間的距離為y（km），y與t的函數關系如圖所示．小明思考后發現了圖中的部分信息：乙先出發1h；甲出發0.5小時與乙相遇．
請你幫助小明同學解決以下問題：
（1）分別求出線段BC，CD所在直線的函數表達式（不需要寫出自變量的取值范圍）；
（2）直接寫出乙行駛的路程S乙（km）與時間t（h）的函數表達式是　 ?。ú恍枰獙懗鲎宰兞康娜≈捣秶?；
（3）丙騎摩托車從Q地沿同一條公路勻速前往P地，若丙與乙同時出發，丙經過1.4h與甲相遇．
①直接寫出丙行駛的路程 （km）與時間t（h）的函數表達式是　 ?。ú恍枰獙懗鲎宰兞康娜≈捣秶?br/>②直接寫出甲出發　 　h后與丙相距10km．
33．已知，直線AB∥CD．
（1）如圖1，求證∠AEC=∠BAE+∠DCE；
（2）如圖2，請直接寫出∠AEC，∠BAE，∠DCE之間的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，且∠E+∠F=60°．
①請直接寫出∠AEC，∠BAE，∠DCE之間的數量關系是　 ??；
②請直接寫出∠E的度數是　 ?。?br/>34．如圖，在中，，AB的垂直平分線DE分別交AC，AB于點D，E.
（1）若，求的度數：
（2）若且周長為12，求BC的長.
35．已知y是x的一次函數，且當時，；當時，.
（1）求這個一次函數的表達式；
（2）當時，求出對應y的值.
36．如圖，小趙和小李相約去農莊游玩．小李從小區甲騎電動車出發．同時，小趙從小區乙開車出發，途中，他去超市買了一些東西后，按原來的速度繼續去農莊，小區甲、乙、超市和農莊之間的路程圖所示，設他們離小區甲的路程為s（km），出發的時間為t（分）．根據下圖回答問題：
（1）點A的坐標為　 　，小趙的開車速度為　 　km/分；
（2）求線段CB的函數表達式，并寫出自變量t的取值范圍
（3）求小趙離開超市后追上小李時，距離農莊多少km？
37．一個角的余角的兩倍稱為這個角的倍余角.
（1）若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數為　 　；若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數為　 ??；（用的代數式表示）
（2）如圖1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取.求證：∠ABC是∠EDB的倍余角；
（3）如圖2，在（2）的情況下，作交AC于點F，將△BFC沿BF折疊得到，交AC于點P，若，設，求∠CPB的度數.
38．在“新冠病毒”防控期間，某醫療器械公司分兩次購進酒精消毒液與額溫槍兩種商品進行銷售，兩次購進同一商品的進價相同，具體情況如表所示：
項目 購進數量（件） 購進所需費用（元）
酒精消毒液 額溫槍
第一次 20 30 6200
第二次 30 20 4300
（1）求酒精消毒液和額溫槍兩種商品每件的進價分別是多少元？
（2）公司決定酒精消毒液以每件15元出售，額溫槍以每件220元出售．為滿足市場需求，需購進這兩種商品共1000件，且酒精消毒液的數量不少于額溫槍數量的9倍，求該公司銷售完上述1000件商品獲得的最大利潤．
39．某地氣象資料表明此地雷雨持續的時間t(h)可以用公式t2＝ 來估計，其中d(km)是雷雨區域的直徑.
（1）如果雷雨區域的直徑為8 km，那么這場雷雨大約能持續多長時間？
（2）如果一場雷雨持續了2 h，那么這場雷雨區域的直徑大約是多少？
40．在中，，是射線上一點，點在的右側，線段，且，連結.
（1）如圖1，點在線段上，求證：.
（2）如圖2，點在線段延長線上，判斷與的數量關系并說明理由.
41． 如圖，直線經過點和點，與x軸交于點C
（1）求k，m的值；
（2）求的面積；
（3）若點P在x軸上，當為等腰三角形時，直接寫出此時點P的坐標
42．請你用學習“一次函數”中積累的經驗和方法研究函數 的圖象和性質，并解決問題.
（1）①當 時，
②當 時， 　 ??；
③當 時， 　 　；
顯然，②和③均為某個一次函數的一部分
（2）在平面直角坐標系中，作出函數 的圖象.
（3）一次函數 （ 為常數， ）的圖象過點 ， 無解，結合函數的圖象，直接寫出 的取值范圍.
43．在平面直角坐標系中，一次函數 的圖象交x軸、y軸分別于A、B兩點，與直線 相交于第二象限，交點為點C，且C點縱坐標為1
（1）求點A、點B的坐標；
（2）若點D為直線 上一點，且點D在第一象限，若 的面積與 的面積相等，求直線 與直線 的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，點P為線段 上一點，過點P作y軸的平行線，與直線 、直線 分別相交于點E、點F，若 ，求點P的坐標.
44．如圖表示甲、乙兩車沿相同路線從A地出發到B地行駛過程中，路程y（千米）隨時間x（時）變化的圖象.
（1）乙車比甲車晚出發　 　小時，甲車的速度是　 　千米/時；
（2）當 時，求乙車行駛路程隨時間變化的函數表達式；
（3）從乙車出發到停止期間，乙車出發多長時間，兩車相距20千米？
45．如圖， 中， ， ， ，點P從點A出發，在 的邊上以 秒的速度沿 運動一周，設運動時間為 秒.
（1）如圖1，點P運動到 邊上，且 恰好平分 ，求t的值；
（2）在點P運動過程中，當 是以 為腰的等腰三角形時，求t的值.
46．有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題∶
已知實數x、y滿足 ①， ②，求 和 的值.
本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大.其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由①②可得 ，由①＋② 可得 .這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.解決問題∶
（1）已知二元一次方程組 則 　 　， 　 　.
（2）某班級組織活動購買小獎品，買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3本日記本共需55元，則購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？
（3）對于實數x、y，定義新運算∶ ，其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算.已知 ， ，那么 　 　.
47．如圖所示，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（4，8），過點B分別作BA⊥y軸，BC⊥x軸，得到一個長方形OABC，D為y軸上的一點，將長方形OABC沿著直線DM折疊，使得點A與點C重合，點B落在點F處，直線DM交BC于點E．
（1）直接寫出點D的坐標　 ??；
（2）若點P為x軸上一點，是否存在點P使△PDE的周長最小？若存在，請求出△PDE的最小周長；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，若Q點是線段DE上一點（不含端點），連接PQ．有一動點H從P點出發，沿線段PQ以每秒1個單位的速度運動到點Q，再沿著線段QE以每秒 個單位長度的速度運動到點E后停止．請直接寫出點H在整個運動過程中所用的最少時間t，以及此時點Q的坐標．
48． 年新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球疫情大考面前，中國始終同各國安危與共、風雨同舟，時至 月，中國已經向 多個國家和國際組織提供醫療物資援助．某次援助，我國組織 架飛機裝運口罩、消毒劑、防護服三種醫療物資共 噸，按計劃 架飛機都要裝運，每架飛機只能裝運同一種醫療物資，且必須裝滿．根據如下表提供的信息，解答以下問題：
防疫物資種類 口罩 消毒劑 防護服
每架飛機運載量（噸）
每噸物資運費（完）
（1）若有 架飛機裝運口罩，有 架飛機裝運消毒劑，求 與 之間的函數關系式；
（2）若此次物資運費為 元，求 與 之間的函數關系式；
（3）如果裝運每種醫療物資的飛機都不少于 架，那么怎樣安排運送物資，方能使此次物資運費最少，最少運費為多少元
49．如圖，中，，點D在BC所在的直線上，點E在射線AC上，且，連接DE.
（1）如圖①，若，，求的度數；
（2）如圖②，若，，求的度數；
（3）由（1）和（2）的結果知道和的數量關系是：　 ?。划旤cD在線段BC的延長線上時，上述關系式是否還成立？請直接寫出結論.
50．在△ABC中，DE垂直平分AB ，分別交AB、BC于點D 、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN.
（1）如圖1，若∠BAC= 100°，求∠EAN的度數；
（2）如圖2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度數；
（3）若∠BAC=a(a≠90°)，請直接寫出∠EAN的度數. (用含a的代數式表示)
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【決戰期末·50道綜合題專練】北師大版八年級上冊期末數學卷
1．如圖，點、分別是等邊邊、上的動點（端點除外），點、點以相同的速度，同時從點、點出發．
（1）如圖1，連接、．求證：；
（2）如圖1，當點、分別在、邊上運動時，、相交于點，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數；
（3）當點、在射線、上運動時，直線、相交于，的大小是否變化？請畫出圖形，并直接寫出的度數．
【答案】（1）證明：三角形為等邊三角形，
，，
點、點以相同的速度，同時從點、點出發，
，
在與中，
．
（2）解：角度不變，，理由如下：
∴，
由三角形外角的性質可得：，
故的度數不變，度數為．

（3）解：角度不變，，理由如下：當點、在、的延長線上運動時，
由題意可得：，
又∵
，
，
，
由題意可得：
由三角形外角的性質可得：
由三角形內角和定理可得：
故的度數不變，度數為．
【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質可得，，，再根據點、點以相同的速度，同時從點、點出發，可得，根據全等三角形的判定方法即可求證；
（2）由（1）中可得，再由三角形外角的性質可得，即可求解；
（3）先證出，可得，由三角形外角的性質可得，再由三角形內角和定理即可求解．
（1）解：證明：三角形為等邊三角形，
，，
點、點以相同的速度，同時從點、點出發，
，
在與中，
．
（2）角度不變，，理由如下：
，
在中，
，
，
故的度數不變，度數為．
（3）角度不變，，理由如下：
當點、在、的延長線上運動時，
∵，
，
，
，
，
，
故的度數不變，度數為．
2．如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．
（1）求旗桿距地面多高處折斷（）；
（2）工人在修復的過程中，發現在折斷點C的下方1m的點D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復后，若下次大風將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內有被砸傷的風險？
【答案】（1）解：由題意，知．
∵，
設長為，則長，
則，
解得．
故旗桿距地面3米處折斷
（2）解：如圖．
∵點D距地面，
∴，
∴，
∴距離旗桿底部周圍米的范圍內有被砸傷的風險．
【解析】【分析】（1）利用一根直立的旗桿高8m，因刮大風旗桿從點C處折斷，可知AC+BC等于旗桿的高度，同時根據題意可得到AB的長，然后設AC=x，可表示出BC的長，利用勾股定理建立關于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用已知條件可得到AD的長及B′D的長，然后利用勾股定理求出AB′的長.
3．如圖1，甲、乙兩車分別從相距480km的A、B兩地相向而行，乙車比甲車先出發1小時．并以各自的速度勻速行駛，甲車到達C地后因有事按原路原速返回A地，乙車從B地直達A地，兩車同時到達A地．甲、乙兩車距A地的路程y（千米）與甲車出發所用的時間x（小時）的關系如圖2，結合圖象信息解答下列問題：
（1）乙車的速度是　 　千米/時，乙車行駛的時間t＝　 　小時；
（2）求甲車從C地按原路原速返回A地的過程中，甲車距A地的路程y與它出發的時間x的函數關系式；
（3）直接寫出甲車出發多長時間兩車相距110千米　 ?。?br/>【答案】（1）80；6
（2）解：根據題意可知甲從出發到返回A地需5小時，
∵甲車到達C地后因立即按原路原速返回A地，
∴結合函數圖象可知，當x＝2.5時，y＝300；當x＝5時，y＝0；
設甲車從C地按原路原速返回A地時，即2.5≤x≤5，甲車距它出發地的路程y與它出發的時間x的函數關系式為：y＝kx＋b，
將(2.5，300)，(5，0)代入得
，
解得 ，
故甲車從C地按原路原速返回A地時，甲車距它出發地的路程y與它出發的時間x的函數關系式為：y＝ 120x＋600；
（3）1.45小時
【解析】【解答】解：（1）∵乙車比甲車先出發1小時，由圖象可知乙行駛了80千米，
∴乙車速度為：80千米/時，
乙車行駛全程的時間t＝480÷80＝6（小時）；
故答案為：80，6．
（3）由題意可知甲車的速度為120千米/時，
①兩車相遇前，設甲車出發m小時兩車相距110千米，根據題意，得
120m＋80(m＋1)＋110＝480，
解得m＝1.45；
②兩車相遇之后，根據圖象可得：甲到達C地時，甲車與乙車的距離最大，
乙行駛的路程為：80×（2.5+1）＝280千米，
∴甲車與乙車的最大距離為：280+300－480＝100千米.
∴甲車出發1.45小時兩車相距110千米．
故答案為：1.45小時．
【分析】（1）直接利用圖象求出速度和時間即可；
（2）根據“乙車比甲車先出發1小時”算出甲車時間，找出函數圖象經過點（5，0），（2.5，300），設甲車距A地的路程y與它出發的時間x的函數關系式為y＝kx＋b，代入計算即可；
（3）先算出甲車的速度，分相遇前和相遇后兩種情況進行討論即可。
4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于點D，E.
（1）
求證：△BCD是等腰三角形；
（2）
若△BCD的周長是13，BC＝5，求AC的長.
【答案】（1） 證明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝ （180°-∠A）＝72°，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∴∠CDB＝∠B＝72°，
∴CD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2） 解：∵△BCD的周長是13，
∴BC+BD+CD＝13，
∵AD＝CD，
∴BC+BD+AD＝13，
∴BC+AB＝13，
∵BC＝5，
∴AB＝13-5＝8，
∴AC＝AB＝8，
【解析】【分析】（1）根據等邊對等角及三角形的內角和定理得∠B=72°，根據垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得DA=DC，根據等邊對等角及三角形的外角性質可得∠CDB=∠B=72°，再根據等角對等邊即可得出CD=CB，據此可得結論；
（2）根據三角形周長的計算方法及等量代換可得BC+AB＝13 ，結合已知可得AB的長，最后根據AC=AB即可得出答案.
5．某地計劃從甲、乙兩個蔬菜基地向A，B兩市運送蔬菜.甲、乙兩個基地分別可運出80噸和100噸蔬菜.A，B兩市分別需要蔬菜110噸和70噸.從甲，乙兩基地運往A，B兩市的運費單價如下表：
　 A市（元/噸） B市（元/噸）
甲基地 15 20
乙基地 10 25
設從甲基地運往A市x噸蔬菜時，總運費為y元.
（1）求y關于x的函數表達式及自變量的取值范圍；
（2）當甲基地運往A市多少噸蔬菜時，總運費最??？最省的總運費是多少元？
【答案】（1）解：設從甲基地運往A市x噸蔬菜時，總運費為y元，
從甲基地到A市的運費為15x，
從甲基地運往B市運費為：20(80-x)，
從乙基地運往A市運費為10(110-x)，
從乙基地運往B市運費為25(x-10)，
∴總運費為y=15x+20(80-x)+10(110-x)+25(x-10)=10x+2450，
∵ ，
∴10≤x≤80；
（2）解：∵10≤x≤80，
y=10x+2450，
而k=10>0，
∴y隨x的增大而增大，
∴當x=10時，y最小 ，
答：當甲基地運往A市10噸蔬菜時，最省的總運費，2550元.
【解析】【分析】（1） 設從甲基地運往A市x噸蔬菜時，總運費為y元，根據單價乘以數量=總價，分別表示出： 從甲基地到A市的運費， 從甲基地到B市的運費， 從乙基地到A市的運費， 從乙基地到B市的運費
，再求和即可得出y關于x的函數解析式，進而根據供需關系，運往各地的蔬菜數量不能為負數，建立不等式組，求解可得x的取值范圍；
（2）根據（1）所得函數解析式的性質即可解決.
6．已知一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象過點(0，1).
（1）若函數圖象還經過點(－1，3)，
①求這個函數的表達式；
②若點P（a，a＋3）關于x軸的對稱點恰好落在該函數的圖象上，求a的值.
（2）若函數圖象與x軸的交點的橫坐標滿足2＜＜3，求k的取值范圍.
【答案】（1）解：①把點（0，1），（－1，3）代入y=kx+b，得，
解得：
∴一次函數的表達式為y=－2x+1.
②P(a，a＋3)關于x軸對稱的對稱點是（a，－a－3），
∵該對稱點在函數的圖象上，
∴－a－3＝－2a＋1，
∴a＝4.
（2）解：由已知，得y=kx+1，
把x=2，y=0代入，得0=2k+1，解得k=－ ，
把x=3，y=0代入，得0=3k+1，解得k=－ ，
∴k的取值范圍是－ ＜k＜－ .
【解析】【分析】（1）①將點（0，1）與 (－1，3)分別代入y=kx+b可得關于k、b的方程組，求解得出k、b的值，即可得出所求的函數解析式；②根據關于x軸對稱的點橫坐標不變，縱坐標互為相反數可得點P關于x軸的對稱點為（a，－a－3） ，進而將該點代入①所求函數解析式，即可求出a的值；
（2） 由已知，得y=kx+1 ，進而將x=2，y=0代入與x=3，y=0分別代入算出對應的k的值，從而即可得出k的取值范圍.
7．如果有兩點到一條直線的距離相等，那么稱這條直線為“兩點的等距線”.
（1）如圖1，直線CD經過線段AB的中點P，試說明直線CD是點A、B的一條等距線.
（2）如圖2，A、B、C是正方形網格中的三個格點，請在網格中作出所有的直線m，使直線m過點C且直線m是“A、B的等距線”.
（3）如圖3， ABC中，A（1，-2），B（4，-1），C（2，-0.5）.坐標軸上是否存在點P，使S APC＝S BPC，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明：分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足為E，F，如圖1，
∴∠AEP＝∠BFP＝90°，
∵P是AB中點，
∴AP＝BP，
在△AEP和△AFP，
，
∴△AEP≌△BFP（AAS），
∴AE＝BF，
即直線CD是點A、B的一條等距線.
（2）解：如圖2，直線m1、m2就是所作的直線；
（3）解：設直線AB的解析式為y＝kx+b，
∵A（1，-2），B（4，-1），
∴，
解得，
∴直線AB的解析式為y＝x-，
∵S△APC＝S△BPC，
∴A、B兩點到直線PC的距離相等，
①如圖3，當PC∥AB時，
設直線PC的表達式是，
∵PC∥AB，
∴，
把點C（2，-0.5）代入得-0.5＝，
解得，
∴此時直線PC的解析式為y＝x，
當x＝0時，y＝，
當 y＝0時，0＝x，解得x＝，
∴直線PC與坐標軸的交點為P（，0），Q（0，），
此時P，Q都滿足條件.
②當直線CP過AB中點E時，如圖4，
∵A（1，-2），B（4，-1），
∴由中點坐標公式可得AB中點E（，-），
設直線CP的表達式為，把點C（2，-0.5），E（，-）代入得，
，
解得，
∴直線CP的解析式為y＝-2x+，
當x＝0時，y＝，
當y＝0時，x＝，
∴點R的坐標是（0，），點S的坐標是（，0），
此時R，S都滿足條件.
綜上所述，點P的坐標為（，0）或（0，）或（0，）或（，0）.
【解析】【分析】（1）分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足為E，F，根據中點的概念可得AP＝BP，證明△AEP≌△BFP，得到AE＝BF，據此解答；
（2）過點C作AB的平行線即可；或找出AB的中點，然后連接該點與點C并延長即可；
（3）利用待定系數法求出直線AB的解析式，根據S△APC＝S△BPC可得A、B兩點到直線PC的距離相等，①當PC∥AB時，求出直線PC的解析式，分別令x=0、y=0，求出y、x的值，可得直線PC與坐標軸的交點坐標；②當直線CP過AB中點E時，由中點坐標公式求出AB的中點E的坐標，求出直線CP的解析式，分別令x=0、y=0，求出y、x的值，可得直線PC與坐標軸的交點坐標，據此解答.
8．如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點C的坐標為，連接BC，過點О作于點D，點Q為線段BC上一個動點.
（1）求BC，OD的長；
（2）在線段BO上是否存在一點P，使得與全等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點C關于OQ的對稱點恰好落在的邊上，請直接寫出點Q的坐標.
【答案】（1）解：∵令，，得：，
∴，
又∵，
∴，
∴.
令，，得，
∴，
∵，
∴.
（2）解：存在，理由如下：
由（1）可知，
，
，
，
，
，，
，
即，
所以與全等分兩種情況：
①當時，，
因為，
所以，即；
②當時，，
（3）點Q坐標為或
【解析】【解答】解：（3）設C點關于OQ的對稱點為，
①當落在上時，作QE⊥CO于點E，QF⊥BO于點F，
∴∠COQ＝∠OQ＝45°，
又∵QE⊥CO，QF⊥BO，
∴QE＝QF，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×OC×QE＋×OB×QF，
∴6×8＝（6＋8）×QE，
∴QE＝QF＝，
∴點Q的坐標為.
②點C關于OQ的對稱點落在AB上時，
∴OC＝O＝OA，CQ＝Q，∠OCQ＝∠OQ，
∴∠AO＝∠OA，
∴∠OCQ＝∠OQ＝∠AO＝∠OA，
∴∠CBA＝∠QB，
∴BQ＝Q，
∴CQ＝BQ＝Q，
∴點Q是BC的中點，
∴點Q（ 3，4），
綜上所述：點Q坐標為或
【分析】（1）令x=0，求出y的值，可得點B的坐標，得到OB的值，由點C的坐標可得OC的值，根據勾股定理求出BC，令y=0，求出x的值，得到點A的坐標，根據勾股定理求出AB，然后根據等面積法就可求出OD；
（2）由（1）可知OA=OC=6，BO=8，AB=BC=10，證明△BOC≌△BOA，得到∠CBO=∠ABO，推出∠QBP′=∠DOA，①當△BPQ≌△ODA時，利用勾股定理可得PQ、DA，由OP=BO-BP求出OP，據此可得點P的坐標；②當△BPQ≌△OAD時，BP=OA=6，由OP=BO-BP求出OP，據此可得點P的坐標；
（3）設C點關于OQ的對稱點為C′，①當C′落在OB上時，作QE⊥CO于點E，QF⊥BO于點F，則∠COQ＝∠C′OQ＝45°，易得QE＝QF，根據三角形的面積公式求出QE，進而可得點Q的坐標；②點C關于OQ的對稱點C′落在AB上時，有OC＝OC′＝OA，CQ＝C′Q，∠OCQ＝∠OC′Q，進而推出CQ＝BQ＝C′Q，然后根據點Q是BC的中點就可求出點Q的坐標.
9．已知函數y=（2m+1）x+m-3.
（1）若函數圖象經過原點，求m的值；
（2）若這個函數是一次函數，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍；
（3）若這個函數是一次函數，且圖象不經過第四象限，求m的取值范圍.
【答案】（1）解：把（0，0）代入，得m-3=0，m=3；
（2）解：根據y隨x的增大而減小說明k＜0，即2m+1＜0，m＜-；
（3）解：若圖象經過第一、三象限，得m=3.
若圖象經過第一、二、三象限，則2m+1＞0，m-3＞0，解得m＞3，
綜上所述：m≥3.
【解析】【分析】（1）把原點坐標（0，0）代入函數y=（2m+1）x+m-3即可求出m的值；
（2）一次函數y=kx+b（a≠0）中，當k＜0時， y隨著x的增大而減小 ，據此列出不等式，求解即可；
（3）y=ax+b（a≠0），當a>0，b>0時，圖象過一、二、三象限；當a>0，b<0時，圖象過一、三、四象限；當a<0，b>0時，圖象過一、二、四象限；當a<0，b<0時，圖象過二、三、四象限，當a＞0，b=0時，圖象經過一、三象限；當a＜0，b=0時，圖象經過二、四象限，據此列出不等式，求解即可.
10．已知的三邊，，.
（1）求證：是直角三角形.
（2）利用第（1）題的結論，寫出兩個直角三角形的邊長，要求它們的邊長均為正整數.
【答案】（1）證明：∵△ABC的三邊a=m2-1（m＞1），b=2m，c=m2+1，
而當m＞1時，m2-1＜m2+1，2m＜m2+1，
∴（m2-1）2+（2m）2=m4+1-2m2+4m2=（m2+1）2，
即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：當m=2時，直角三角形的邊長為3，4，5；
當m=3時，直角三角形的邊長為8，6，10（答案不唯一）.
【解析】【分析】（1）一個三角形的三邊只要滿足較小兩邊的平方和等于最大邊長的平方，該三角形就是直角三角形，據此證明即可；
（2）給定m的值代入表示三邊的代數式，計算即可.
11．在等式（k，b為常數）中，當時，；時，．
（1）求k，b值；
（2）當時，y的值等于多少？
【答案】（1）解：將，；，分別代入等式，可得：
，
解得
（2）解：把代入，可得
【解析】【分析】（1）將，；，分別代入可得，再求出k、b的值即可；
（2）將x=4代入解析式求出y的值即可。
12．下列表格是劉小明一學期數學成績的記錄，根據表格提供的信息回答下面的問題：（注：每次考試滿分都是100分）
考試類別 平時成績 期中考試 期末考試
第四章 第五章 第六章 第七章
成績 88 92 90 86 90 96
注：可能用到的公式.
（1）劉小明6次成績的眾數與中位數之差是　 ?。?br/>（2）計算劉小明平時成績的平均分；
（3）計算劉小明平時成績的方差；
（4）按照學校規定，本學期的綜合成績的權重如扇形圖所示，請你求出劉小明本學期的綜合成績，要寫出解題過程.
【答案】（1）0
（2）解：平時成績的平均分，
∴小明平時成績的平均分為89分
（3）解：小明平時成績的方差：，
∴小明平時成績的方差為5；
（4）解：（分）.
∴小明本學期的綜合成績是93.5分.
【解析】【解答】（1）由表格分析可知，出現次數最多的數是90，小明6次成績的眾數是90分，中位數也是90，故眾數與中位數之差是0；
【分析】（1）找出出現次數最多的數據即為眾數，將成績按照由低到高的順序進行排列，求出中間兩個數據的平均數即為中位數，然后作差即可；
（2）首先求出平時總成績，然后除以總次數即可求出平均成績；
（3）根據方差的計算公式可求出方差；
（4）根據平時成績×所占的比例+期中成績×所占的比例+期末成績×所占的比例可得綜合成績.
13．已知，，直線與直線，分別交于點E，F.
（1）如圖1，若，求的度數.
（2）如圖2，與的角平分線交于點P，與交于點G，H是上一點，且.求證：.
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，K是上一點使，作平分，問的大小是否發生變化？若不變，請求出其值；若變化，說明理由.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠EFD，
∵∠EFD+∠2=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=58°，
∴∠2=122°
（2）證明：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，
∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF.
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∵∠PHK=∠HPK，
∴∠PKG=2∠HPK.
又∵GH⊥EG，
∴∠KPG=90°-∠PKG=90°-2∠HPK.
∴∠EPK=180°-∠KPG=90°+2∠HPK.
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK.
∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK=45°.
【解析】【分析】（1）由平行線的性質可得∠1=∠EFD，根據鄰補角的性質可得∠EFD+∠2=180°，則∠1+∠2=180°，據此計算；
（2）由（1）知：AB∥CD，由平行線的性質可得∠BEF+∠EFD=180°，結合角平分線的概念可得∠FEP+∠EFP=(∠BEF+∠EFD)=90°，則EG⊥PF，然后根據垂直于同一直線的兩直線互相平行進行證明；
（3）由已知條件可知∠PHK=∠HPK，則∠PKG=2∠HPK，由余角的性質可得∠KPG=90°-2∠HPK，根據鄰補角的性質可得∠EPK=90°+2∠HPK，由角平分線的概念可得∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK，然后根據∠HPQ=∠QPK-∠HPK進行計算.
14．觀察下列各式：；；.
（1）請根據以上規律，寫出第4個式子：　 　.
（2）請根據以上規律，寫出第n個式子（）：　 　.
（3）根據以上規律計算：的值.
【答案】（1）
（2）
（3）解：===9
【解析】【解答】解：（1）根據以上規律，第4個式子為：；
（2）第n個式子（n≥1）為：；
【分析】（1）觀察發現：等號右邊的式子為左邊分式的分母之差，據此解答；
（2）根據發現的規律可得第n個式子；
（3）根據規律可將原式變形為 ，據此計算.
15．為提高農民收入，村民自愿投資辦起了養雞場．辦場時買來1000只小雞，經過一段時間，飼養可以出售了。下表是這些雞出售時質量的統計數據：
質量/ kg 1.0 1.2 1.5 1.8 2
頻數 112 230 320 240 98
（1）出售時這些雞的平均質量是多少(結果保留小數點后一位) ？
（2）質量在哪個值的雞最多？
（3）中間的質量是多少？
【答案】（1）解：這些雞的平均質量為：
=1.496≈1.5 (kg)
（2）解：質量在1.5kg的雞最多
（3）解：中間的質量是1.5 kg
【解析】【分析】（1）根據加權平均數的公式列出算式進行計算，即可求解；
（2）根據眾數的定義即可得出答案；
（3）根據中位數的定義解答即可.
16．如圖，已知AM∥BN，∠A＝64°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．
（1）∠ABN的度數是　 　，∠CBD的度數是　 ??；
（2）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由：若變化，請寫出變化規律；
（3）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，∠ABC的度數是多少？
【答案】（1）116°；58°
（2）解：不變，
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1
（3）解：當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，∠ABC的度數是29°
∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
當∠ACB＝∠ABD時，
則有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°，
【解析】【解答】解：（1） ∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°
【分析】（1）根據平行線的性質，即可得到∠ABN的度數；利用角平分線的性質即可得到∠CBD=∠ABN，得到答案即可；
（2）根據題意證明得到∠APB=∠PBN，∠PBN=2∠DBN，即可得到答案；
（3）先證明∠ABC=∠DBN，繼而推出∠CBD=58°，即可得到∠ABC的度數。
17．如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，它在y軸上的截距是-2．
（1）求點A的坐標；
（2）若直線AB上有一點C，且，求點C的坐標．
【答案】（1）解：直線在y軸上的截距是，
，
將代入上式，解得，
點A的坐標是．
（2）解：設中邊上的高等于h，
；
將代入，得；
將代入，得，
點的坐標為或
【解析】【分析】（1）先求一次函數解析式，再將y=0代入求出x的值即可；
（2）設中邊上的高等于h，利用三角形的面積公式可得，求出h=2，再將x=2和-2的值分別代入求出y的值即可得到點C的坐標。
18．某汽車在加油后開始勻速行駛．已知汽車行駛到20km時，油箱中剩油53L，行駛到50km時，油箱中剩油50L，如果油箱中剩余油量與汽車行駛路程之間是一次函數關系．
（1）求一次函數表達式；
（2）寫出自變量的取值范圍．
【答案】（1）解：根據題意，則
每千米的耗油量為：，
所以一次函數解析式為：y=53+20×0.1 0.1x，
∴y= 0.1x+55
（2）解：∵，
∴自變量的取值范圍為：0≤x≤550．
【解析】【分析】（1）先求出每千米的耗油量，再根據題意直接列出解析式y= 0.1x+55即可；
（2）根據實際問題直接求出自變量的取值范圍即可。
19．如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，
（1）用直尺和圓規按下列要求作圖(保留作圖痕跡，不寫作法)
①作∠BAC的平分線交BC于點D；②過點A作△ABC中BC邊上的高AE，垂足為點E；
（2）在（1）的基礎上，求∠DAE的度數．
【答案】（1）解：①線段AD即為所求；②如圖，線段AE即為所求．
（2）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°，
∴∠CAD=55°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°-∠C=20°，
∴∠DAE=35°-20°=15°．
【解析】【分析】（1）根據要求作出圖象即可；
（2）根據角平分線和三角形的內角和求出∠CAD=55°，再根據∠CAE=90°-∠C=20°，最后利用角的運算求出∠DAE=35°-20°=15°即可。
20．如圖，，是某個軸對稱圖形上的兩點，且互為對稱點，已知此圖形上有點.
（1）求點C關于該圖形對稱軸對稱的點的坐標；
（2）求的面積
【答案】（1）解：，是某個軸對稱圖形上的兩點，且互為對稱點，
這個軸對稱圖形的對稱軸平行于軸，且對稱軸上的點的縱坐標都為，
，
點關于該圖形對稱軸對稱的點的坐標，即為．
（2）解：如圖，
，，
，
又，
邊上的高為，
則的面積為．
【解析】【分析】（1）根據軸對稱的性質求出點坐標即可；
（2）利用三角形的面積公式求解即可。
21．已知直線l1：y＝kx過點（1，2），與直線l2：y＝﹣3x+b相交于點A，若l2與x軸交于點B（2，0），與y軸交于點C.
（1）分別求出直線11，l2的解析式；
（2）求△OAC的面積.
【答案】（1）解：∵直線l1：y＝kx過點（1，2），
∴k＝2，
∴直線l1的解析式為y1＝2x；
∵直線l2：y＝﹣3x+b與x軸交于點B（2，0），
∴﹣3×2+b＝0，
∴b＝6，
∴直線l2的解析式為y2＝﹣3x+6
（2）解：由 ，解得 ，
∴點A的坐標為（ ， ）.
∵直線l2：y＝﹣3x+6與y軸交于點C，
∴C（0，6）.
∴S△OAC＝ ×6× ＝ .
故答案為：（1）y1＝2x；y2＝﹣3x+6；（2） .
【解析】【分析】（1）將點 （1，2） 代入 y＝kx 即可求出k的值，從而得出 直線l1的解析式 ；將點 B（2，0） 代入 y＝﹣3x+b 算出b的值，從而即可求出直線l2的解析式；
（2）將兩函數的解析式組成的方程組，求出點A的坐標，根據直線與y軸交點的坐標特點求出點C的坐標，進而即可根據三角形的面積計算方法算出△OAC的面積。
22．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D是AB邊上任意一點，∠CDE=60°，DE與∠ABC外角平分線相交于點E.
（1）求證：CD=DE；
（2）若D是AB延長線上任意一點，∠CDE=60°，DE與∠ABC外角平分線相交于點E.請畫出圖形，判斷CD=DE是否還成立 若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.
【答案】（1）解：如圖，過點D作DF//BC，交AC于F，
∵△ABC是等邊三角形，DF//BC，
∴CF=BD，∠AFD=60°，
∴∠CFD=180°-60°=120°，
∵DE是外角平分線，
∴∠CBE=60°，
∴∠DBE=120°，
∴∠CFD=∠DBE，
∵∠FCD+∠CDF=∠AFD=60°，∠BDE+∠CDF=180°-∠ADF-∠CDE=180°-60°-60°=60°，
∴∠FCD=∠BDE，
∴△CFD≌△DEB，
∴CD=DE.
（2）解：過點D作DP//BC，交AC延長線于點P，
∵△ABC是等邊三角形，DP//BC，
∴PC=BD，∠P=60°，
∵BE是外角平分線，
∴∠DBE=60°，
∴∠DBE=∠P，
∵∠PCD=∠A+∠ADC=60°+∠ADC，∠BDE=∠ADC+∠CDE=60°+∠ADC，
∴∠PCD=∠BDE，
∴△PCD≌△BDE，
∴CD=DE
【解析】【分析】（1）過點D作DF//BC，交AC于F，由等邊三角形的性質可得AF=AD，進而可得CF=BD，根據外角性質可知∠FCD+∠CDF=60°，由∠CDE=60°，∠ADF=60°可得∠CDF+∠EDB=60°，進而可得∠FCD=∠EDB，由BE是外角平分線可得∠CBE=60°，即可證明∠DBE=∠CFD=120°，即可證明△CFD≌△DEB，進而可得CD=DE；（2）過點D作DP//BC，交AC延長線于點P，由等邊三角形及平行線性質可得CP=BD，根據外角性質可得∠PCD=∠A+∠ADC=60°+∠ADC，由∠BDE=∠CDE+∠ADC=60°+∠ADC可證明∠PCD=∠BDE，根據BE是外角平分線可得∠EBD=∠P=60°，即可證明△PCD≌△BDE，進而可得CD=DE.
23．已知:
（1）求 的值；
（2）若 求 的值；
（3）若 分別求出 和 的值.
【答案】（1）解：∵a+b=5，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=25，
∵ab=4，
∴a2+b2=25-2×4=17.
（2）解：∵(a-b)2= a2-2ab+b2=17-2×4=9，
∴a-b= 3，
∵a>b，
∴a-b=3.
（3）解：由已知和（2）得 ，
解得 .
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式解答即可；（2）根據（1）所得結果，利用完全平方公式及a>b的條件即可得出答案；（3）根據（2）所得結果及a+b=5，解方程組即可.
24．如圖，在 中， 于點E， ，AB的垂直平分線DN交BC于點D，交AB于點N， 于點F，交AE于點 求證：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）證明： 是AB的垂直平分線，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明： ， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
.
【解析】【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到 ，得到 ，根據三角形的外角性質得到 ，進而得到 ，利用等角對等邊得到結論；（2）證明 ≌ ，根據全等三角形的性質證明結論.
25．用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制作24個盒身，或制作32個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒，現有40張白鐵皮請用二元一次方程組的知識解答下列問題.
（1）問用多少張制作盒身，多少張制作盒底可以使盒身與盒底正好配套？
（2）已知一張白鐵皮的成本為120元，每張制作盒底的加工費為30元/張，而制作盒身的加工方式有橫切和縱切兩種，橫切的加工費為20元/張，縱切的加工費為25元/張，問在（1）的結論下，若想要總費用控制在5900元，應安排多少張橫切，多少張縱切？
【答案】（1）解：設用x張制盒身，y張制盒底可以使盒身與盒底正好配套，
依題意，得：
，解得： ，
答：用16張制盒身，24張制盒底可以使盒身與盒底正好配套；
（2）解：設安排m張橫切，則安排（16 m）張縱切，
120×40＋30×24＋20m＋25（16 m）=5900
解得：m=4，
答：在（1）的結論下，應安排4張橫切，12張縱切才能使總費用控制在5900元.
【解析】【分析】（1）設用x張制盒身，y張制盒底可以使盒身與盒底正好配套，根據共有40張白鐵皮且制作的盒底總數是制作的盒身的2倍，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設安排m張橫切，則安排（16 m）張縱切，根據總費用＝40張白鐵皮的成本＋總加工費，列出關于m的方程，即可解決問題.
26．某學生本學期6次數學考試成績如下表所示：
成績類別 第一次月考 第二次月考 期中 第三次月考 第四次月考 期末
成績/分 105 110 108 113 108 112
（1）6次考試成績的中位數為　 　 ，眾數為　 　.
（2）求該生本學期四次月考的平均成績.
（3）如果本學期的總評成績按照月考平均成績占20%、期中成績占30%、期末成績占50%計算，那么該生本學期的數學總評成績是多少？
【答案】（1）109；108
（2）解：平時測試的數學平均成績= （分）；
（3）解：總評成績= （分）
答：該生本學期的數學總評成績為110.2分.
【解析】【解答】解：（1）這6個數從小到大排列為：105，108，108，110，112，113，中位數是 =109，眾數是108.
故答案為：109，108；
【分析】（1）把6個數從小到大排列，第3與4兩個數據的平均數就是這組數據的中位數，這組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數；
（2）把平時測試4次的成績相加，其和再除以4即可算出答案；
（3）取4次月考成績平均分的20％加上期中成績的30%加上期末成績的50%計算即可.
27．一輛貨車從甲地開往乙地，一輛客車從乙地開往甲地，兩車同時出發，設貨車離甲地的距離為 ，客車離甲地的距離為 ，兩車行駛的時間為 ， 與x之間的關系如圖所示.
（1）分別求出 、 與x之間的關系式；
（2）甲、乙兩地間有A，B兩個加油站，且兩個加油站相距 ，當貨車進人入A加油站時，客車恰好進入B加油站，求A加油站離甲地的距離.
【答案】（1）解：設 ＝ x，
由圖可知，函數圖象經過點（15，900），
∴15 ＝900，
解得： ＝60，
∴ ＝60x（0≤x≤15），
設 ＝ x+b，由圖可知，
函數圖象經過點（0，900），（10，0），
則 ，
解得： ，
∴ ＝﹣90x+900（0≤x≤10）；
（2）解：由題意，得
①當A加油站在甲地與B加油站之間時，
（﹣90x+900）﹣60x＝150，
解得x＝5，
此時，A加油站距離甲地：60×5＝300km，
②當B加油站在甲地與A加油站之間時，
60x﹣（﹣90x+900）＝150，
解得x＝7，
此時，A加油站距離甲地：60×7＝420km，
綜上所述，A加油站到甲地距離為300km或420km.
【解析】【分析】（1）直接運用待定系數法就可以求出 、 關于x的函數圖關系式；
（2）分A加油站在甲地與B加油站之間，B加油站在甲地與A加油站之間兩種情況列出方程求解即可.
28．解答下列各題
（1）計算：
（2）解方程：
（3）某隧道與中山路及人民路大致成直角三角形，如果AB=3km，BC=5km，那么從A到C，走隧道AC比繞道AB和BC少走多少路程？（結果保留根號）
【答案】（1）解：
（2）解：
或
（3）解：如圖，
，
所以走隧道AC比繞道AB和BC少走
【解析】【分析】（1）先計算開方運算，再利用有理數的加減法即可算出答案；
（2）把（x-1）看成一個整體，首先將含未知數項的系數化為1， ，再利用直接開平方法解方程即可得到答案；
（3）先利用勾股定理求解 AC， 再計算 AB+BC-AC可可得出答案.
29．已知：一次函數y=kx+b的圖象經過M（0，2），N（1，3）兩點．
（1）求k、b的值；
（2）若一次函數y=kx+b的圖象與x軸交點為A（a，0），求a的值．
【答案】（1）解：由題意得 ，
解得 ．
∴k，b的值分別是1和2
（2）解：將k=1，b=2代入y=kx+b中得y=x+2．
∵點A（a，0）在 y=x+2的圖象上，
∴0=a+2，
即a=﹣2
【解析】【分析】（1）根據待定系數法求出一次函數解析式即可；（2）根據圖象與函數坐標軸交點坐標求法得出a的值．
30．問題情境：如圖1，點D是△ABC外的一點，點E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數量關系．
（1）特例探究：
如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝　 　；
如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝　 ??；這兩個圖中，∠D與∠A度數的比是　 　；
（2）猜想證明：
如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結論；若不成立，說明理由．
【答案】（1）30°；50°；1：2
（2）解：成立.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，
∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠DCE＝∠DBC＋∠D，∵2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），
∴∠D＝ ∠A，即∠D：∠A＝1：2
【解析】【解答】解：(1)、30；50；1：2；
【分析】 （1）①根據角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC=30°，∠ACD=∠DCE=60°，根據三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ，從而得出∠D=30° ；②根據等腰三角形的性質得出∠ABC=40° ，根據角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC=20°，根據三角形的外角定理得出∠ACE=∠A＋∠ABC＝140° ，∠ACD=∠DCE=70° ，根據三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ，從而得出∠D=50° ；
（2）根據角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCE，根據三角形的外角定理得出∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，∠DCE＝∠DBC＋∠D，從而得出2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），即∠D：∠A＝1：2 。
31．已知點 ，解答下列問題：
（1）若點A到x軸和y軸的距離相等，求點A的坐標；
（2）若點A向右平移若干個單位后，與點 關于x軸對稱，求點A的坐標．
【答案】（1）解：若點A在第一象限或第三象限，
，解得 ，
．
∴點A的坐標為 ，
若點A在第二象限或第四象限，
，解得 ，
， ，
∴點A的坐標為 ．
綜上所述，點A的坐標為 或 ．
（2）解：∵若點A向右平移若干個單位，其縱坐標不變，為 ，
又∵點A向右平移若干個單位后與點 關于x軸對稱，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
即點A的坐標為 ．
【解析】【分析】（1）直接利用點A在第一象限或第三象限或點A在第二象限或第四象限，分別得出答案；
（2）直接利用平移的性質結合關于x軸對稱點的性質得出答案。
32．小明同學看到一則材料：甲開汽車，乙騎自行車從P地出發沿同一條公路勻速前往Q地、設乙行駛的時間為t（h）．甲乙兩人之間的距離為y（km），y與t的函數關系如圖所示．小明思考后發現了圖中的部分信息：乙先出發1h；甲出發0.5小時與乙相遇．
請你幫助小明同學解決以下問題：
（1）分別求出線段BC，CD所在直線的函數表達式（不需要寫出自變量的取值范圍）；
（2）直接寫出乙行駛的路程S乙（km）與時間t（h）的函數表達式是　 ?。ú恍枰獙懗鲎宰兞康娜≈捣秶?br/>（3）丙騎摩托車從Q地沿同一條公路勻速前往P地，若丙與乙同時出發，丙經過1.4h與甲相遇．
①直接寫出丙行駛的路程 （km）與時間t（h）的函數表達式是　 ?。ú恍枰獙懗鲎宰兞康娜≈捣秶?；
②直接寫出甲出發　 　h后與丙相距10km．
【答案】（1）解：由圖象可知：B（ ，0），C（ ， ），D（4，0）
設線段BC所在直線的函數表達式為y=ax＋b
將點B和點C的坐標分別代入，得
解得：
∴線段BC所在直線的函數表達式為y=40x－60；
設線段CD所在直線的函數表達式為y=cx＋d
將點D和點C的坐標分別代入，得
解得：
∴線段CD所在直線的函數表達式為y=-20x＋80；
（2）S乙=20t
（3） =40t； 或
【解析】【解答】解：（2）結合圖象可知：點C表示甲到達終點，由CD段可知：乙用（4－
）小時，行駛了
千米
∴乙的速度為
÷（4－
）=20（千米/小時）
∴S乙=20t；
（3）①由圖象可得：P、Q兩地之間的距離為20×4=80（千米）
∴甲的速度為80÷（
－1）=60（千米/小時）
設丙的速度為v
由題意可得
解得：v=40
∴ =40t
故答案為：
=40t；
②設甲出發mh后與丙相距10km
若甲與丙在相遇之前相距10km
由題意可得60 m＋40（m＋1）＋10=80
解得：m =
；
若甲與丙在相遇之后相距10km
由題意可得60 m＋40（m＋1）－10=80
解得：m =
；
綜上：甲出發 或 h后與丙相距10km．
故答案為：
或
．
【分析】（1）利用待定系數法求函數解析式，即可解答；
（2）先求出甲、乙的速度，可得出 S乙（km）與時間t（h）的函數表達式 ；
（3） ①顯得出P、Q地之間的距離，進而求出丙的速度；②分兩種情況：相遇前相距10km和相遇后10km，利用一元一次方程可得出答案。
33．已知，直線AB∥CD．
（1）如圖1，求證∠AEC=∠BAE+∠DCE；
（2）如圖2，請直接寫出∠AEC，∠BAE，∠DCE之間的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，且∠E+∠F=60°．
①請直接寫出∠AEC，∠BAE，∠DCE之間的數量關系是　 ?。?br/>②請直接寫出∠E的度數是　 　．
【答案】（1）證明：過點E作EF∥AB，如圖所示
∵AB∥CD
∴EF∥AB∥CD
∴∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF
∴∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠BAE＋∠DCE；
（2）解：∠DCE=∠AEC＋∠BAE，理由如下
過點E作EF∥AB，如圖所示
∵AB∥CD
∴EF∥AB∥CD
∴∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF
∴∠CEF=∠AEC＋∠AEF
∴∠DCE=∠AEC＋∠BAE；
（3）①∠AEC=∠BAE－∠DCE；40° ②∠AEC=40°
【解析】【解答】解：（3）①∠AEC=∠BAE－∠DCE
過點E作EG∥AB，如圖所示
∵AB∥CD
∴EG∥AB∥CD
∴∠BAE=∠AEG，∠DCE=∠CEG
∴∠AEC=∠AEG－∠CEG=∠BAE－∠DCE
故答案為：∠AEC=∠BAE－∠DCE；
②過點F作FH∥AB
∵AB∥CD
∴FH∥AB∥CD
∴∠BAF=∠AFH，∠DCF=∠CFH
∴∠AFC=∠AFH－∠CFH=∠BAF－∠DCF
∵CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，
∴∠BAF= ∠BAE，∠DCF= ∠DCE
∴
= ∠BAE－ ∠DCE
= （∠BAE－∠DCE）
= ∠AEC
∵∠AEC＋∠AFC=60°
∴∠AEC＋ ∠AEC=60°
解得：∠AEC=40°
故答案為：40°．
【分析】（1） 過點E作EF∥AB，由AB∥CD，得出EF∥AB∥CD ， 推出∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF ，由此得出 ∠AEC=∠BAE+∠DCE；
（2） 過點E作EF∥AB，由AB∥CD，得出EF∥AB∥CD ， 推出∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF ，由此得出 ∠DCE=∠AEC＋∠BAE；
(3) ①過點E作EG∥AB，由AB∥CD，得出EG∥AB∥CD ， 推出∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEG，由此得出∠AEC=∠AEG－∠CEG=∠BAE－∠DCE； ②過點F作FH∥AB，由AB∥CD，得出FH∥AB∥CD ， 推出∠BAF=∠AFH，∠DCF=∠CFH，得出∠AFC=∠AFH－∠CFH=∠BAF－∠DCF，由CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，推出∠BAF= ∠BAE，∠DCF= ∠DCE，得出∠BAF= ∠BAE，∠DCF= ∠DCE，因為∠AEC＋∠AFC=60°，得出∠AEC＋ ∠AEC=60°。
34．如圖，在中，，AB的垂直平分線DE分別交AC，AB于點D，E.
（1）若，求的度數：
（2）若且周長為12，求BC的長.
【答案】（1）解：，
（2）解：是的垂直平分線
又
周長為
，
【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得∠C=∠ABC，然后利用內角和定理進行計算；
（2）根據垂直平分線的性質可得DA=DB，結合AB=AC可得△CBD的周長為AB+BC=12，據此求解.
35．已知y是x的一次函數，且當時，；當時，.
（1）求這個一次函數的表達式；
（2）當時，求出對應y的值.
【答案】（1）解：設一次函數解析式為，把，；，代入得：
，
解得：，
∴一次函數的表達式為
（2）解：把代入得：
.
【解析】【分析】（1）設一次函數的解析式為y=kx+b，將x=0、y=3；x=-2、y=6代入求出k、b的值，據此可得對應的函數表達式；
（2）令x=3，求出y的值即可.
36．如圖，小趙和小李相約去農莊游玩．小李從小區甲騎電動車出發．同時，小趙從小區乙開車出發，途中，他去超市買了一些東西后，按原來的速度繼續去農莊，小區甲、乙、超市和農莊之間的路程圖所示，設他們離小區甲的路程為s（km），出發的時間為t（分）．根據下圖回答問題：
（1）點A的坐標為　 　，小趙的開車速度為　 　km/分；
（2）求線段CB的函數表達式，并寫出自變量t的取值范圍
（3）求小趙離開超市后追上小李時，距離農莊多少km？
【答案】（1）（0，4）；1
（2）解：（6+10）÷1+（26-6）=16+20=36（分），
∴點C的坐標為（36，20），
∵超市與小區甲的距離為：6+4=10（千米），
∴點B的坐標為（26，10），
設線段CB的表達式為s=kt+b，
將點B（26，10）與點C（36，20）代入得，
解得，
∴線段CB的解析式為s=t-16（26≤t≤36）；
（3）解：∵點D（40，20），
∴線段OD的解析式為：，
當小趙離開超市后追上小李時，
解得t=32，
∴（千米），
∴ 小趙離開超市后追上小李時，距離農莊 的距離為：20-16=4（千米）.
【解析】【解答】解：（1）∵小區乙與小區甲的距離為4km，
∴點A的坐標為（0，4），
∵6÷6=1（千米/分 ）
∴小趙的開車速度為1千米/分 ；
故答案為：（0，4），1；
【分析】（1）根據小區乙與小區甲的距離為4km即可求出點A的坐標，由于小區乙距離超市6千米，小趙行駛了6分鐘，根據速度=路程÷時間即可求出小趙開車的速度；
（2）小區乙距離農莊（6+10）千米，根據時間=路程÷速度計算出小趙行駛完全程所用的時間，再加上小趙超市購物的時間可得點C的橫坐標，由小區甲距離超市（4+6）千米可得點B的縱坐標，結合圖象可得點C、B的坐標，從而利用待定系數法可求出線段BC的解析式，結合B、C兩點的縱坐標即可求出t的取值范圍；
（3）利用待定系數法求出線段OD的解析式，根據小趙離開超市后追上小李時兩人距離小區甲的距離相等建立方程，求解得出t的值，代入算出s的值，最后用小區甲距離農莊的距離減去S的值即可得出答案.
37．一個角的余角的兩倍稱為這個角的倍余角.
（1）若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數為　 　；若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數為　 　；（用的代數式表示）
（2）如圖1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取.求證：∠ABC是∠EDB的倍余角；
（3）如圖2，在（2）的情況下，作交AC于點F，將△BFC沿BF折疊得到，交AC于點P，若，設，求∠CPB的度數.
【答案】（1）120°；
（2）解：設，
∵CD＝CB，AE＝AD
∴，
∴，
，
∴即∠ABC是∠EDB的倍余角.
（3）解：由（2）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，.
【解析】【解答】解：（1）∵∠1＝30°，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90° 30°）＝120°；
∵∠1＝α，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90° α）＝180° 2α.
故答案為：120°；180° 2α.
【分析】（1）根據∠2是∠1的倍余角可得∠2=2×(90°-∠1)，據此解答；
（2）設∠AED=a，∠CBD=b，由等腰三角形的性質可得∠AED=∠ADE=a，∠DBC=∠BDC=b，由內角和定理可得∠EDB=180°-a-b，∠ABC=180°-(180°-2a)-(180°-2b)=2a+2b+180°，甲車證明；
（3）由（2）得∠EDB=45°，根據平行線的性質可得∠EDB=∠DBF=45°，根據等腰三角形的性質可得∠DBC=45°+a=∠BDC，則∠DBP=45°-a，∠DBP+∠DBC=90°，甲車解答.
38．在“新冠病毒”防控期間，某醫療器械公司分兩次購進酒精消毒液與額溫槍兩種商品進行銷售，兩次購進同一商品的進價相同，具體情況如表所示：
項目 購進數量（件） 購進所需費用（元）
酒精消毒液 額溫槍
第一次 20 30 6200
第二次 30 20 4300
（1）求酒精消毒液和額溫槍兩種商品每件的進價分別是多少元？
（2）公司決定酒精消毒液以每件15元出售，額溫槍以每件220元出售．為滿足市場需求，需購進這兩種商品共1000件，且酒精消毒液的數量不少于額溫槍數量的9倍，求該公司銷售完上述1000件商品獲得的最大利潤．
【答案】（1）解：設酒精消毒液每件的進價為x元，額溫槍每件的進價為y元，
根據題意得： ，
解得： ．
∴酒精消毒液每件的進價為10元，額溫槍每件的進價為200元
（2）解：設購進酒精消毒液m件，獲得的利潤為W元，則購進額溫槍（1000﹣m）件，
根據題意得：
W＝（15﹣10）m+（220﹣200）（1000﹣m）＝-15m+2200，
∵酒精消毒液的數量不少于額溫槍數量的9倍，
∴m≥9（1000 m），
解得：m≥900．
又∵在W＝-15m+2200中，k＝-15<0，
∴W的值隨m的增大而減小，
∴當m＝900時，W取最大值，最大值為4500+20×100＝6500，
∴當購進購進酒精消毒液900件、額溫槍100件時，銷售利潤最大，最大利潤為6500元．
【解析】【分析】（1）設酒精消毒液和測溫槍每件的進價分別是x，y，根據第一次購買20件酒精消毒液和30件測溫槍的總費用為6200可以列出20x+30y=6200，根據第二次購買30件酒精消毒液和20件測溫槍的總費用為4300可以列出30x+20y=4300，聯立這兩個方程即可求解；（2）設購進酒精消毒液m件，則購進測溫槍1000 m件，銷售完這1000件商品獲得的利潤為W，根據酒精消毒液以每件15元出售，測溫槍以每件220元出售，可以得到酒精消毒液每件的利潤為5元，測溫槍每件的利潤為20元，由此可以求出利潤的表達式；同時結合酒精消毒液的數量不少于測溫槍數量的9倍列出不等式m≥9（1000 m），即可求出m的取值范圍，從而求出最大利潤．
39．某地氣象資料表明此地雷雨持續的時間t(h)可以用公式t2＝ 來估計，其中d(km)是雷雨區域的直徑.
（1）如果雷雨區域的直徑為8 km，那么這場雷雨大約能持續多長時間？
（2）如果一場雷雨持續了2 h，那么這場雷雨區域的直徑大約是多少？
【答案】（1） ，
，
將d＝8代入得： .
答：這場雷雨大約能持續 .
（2） ，
，
，
將t＝2代入可得 .
答：這場雷雨區域的直徑大約是60 km.
【解析】【分析】（1）根據 ，其中 是雷雨區域的直徑，開平方的意義，可得答案；（2）根據 ，其中 是雷雨區域的直徑，開平方的意義，可得答案.
40．在中，，是射線上一點，點在的右側，線段，且，連結.
（1）如圖1，點在線段上，求證：.
（2）如圖2，點在線段延長線上，判斷與的數量關系并說明理由.
【答案】（1）證明： ，
，
在與中，
，
，
，
，
，
即：.
（2），理由：
，
，
在與中，
，
，
.
，
，
.
【解析】【分析】（1）根據∠DAE=∠BAC結合角的和差關系可得∠BAD=∠CAE，證明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠ABD，然后在△ABC中，應用內角和定理求解即可；
（2）同理證明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠ABD，由內角和定理可得∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°，根據平角的概念可得∠ACE+∠ACB+∠DCE=180°，據此解答.
41． 如圖，直線經過點和點，與x軸交于點C
（1）求k，m的值；
（2）求的面積；
（3）若點P在x軸上，當為等腰三角形時，直接寫出此時點P的坐標
【答案】（1）解：∵直線經過點，
∴，
∴，
∵直線經過點，
∴，
即；
（2）解：在函數中，令，則，
解得，
∴點C的坐標為，
∴．
過點作軸于點M，過點作軸于點N，
∴，，
∴
；
（3）解：點P的坐標為或，，．
【解析】【解答】解：（3）∵，，軸，
∴，，
∴在中，．
①如圖，當，為等腰三角形，
∵軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點P的坐標為；
②如圖，當，為等腰三角形，
此時點P是線段的垂直平分線與x軸的交點，
∵，
∴點N在線段線段的垂直平分線上，
又點N在x軸上，
∴點P與點N重合，
∵，，
∴點P的坐標為；
③如圖，當，為等腰三角形，若點P在x軸的負半軸，
則，
∴點P的坐標為；
④如圖，當，為等腰三角形，若點P在x軸的正半軸，
則，
∴點P的坐標為；
綜上所述，點P的坐標為或，，．
【分析】（1）將點B的坐標代入求出k的值，再將點代入解析式求出m的值即可；
（2）過點作軸于點M，過點作軸于點N，先求出，， 再利用三角形的面積公式及割補法求出△AOB的面積即可；
（3）分類討論：①當，為等腰三角形，②當，為等腰三角形，③當，為等腰三角形，若點P在x軸的負半軸，④當，為等腰三角形，若點P在x軸的正半軸，再分別畫出圖形并求解即可.
42．請你用學習“一次函數”中積累的經驗和方法研究函數 的圖象和性質，并解決問題.
（1）①當 時，
②當 時， 　 ??；
③當 時， 　 ??；
顯然，②和③均為某個一次函數的一部分
（2）在平面直角坐標系中，作出函數 的圖象.
（3）一次函數 （ 為常數， ）的圖象過點 ， 無解，結合函數的圖象，直接寫出 的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）如圖所示
（3）如圖所示：
方程組 無解，表示 與 的函數圖象沒有交點：
①當 時，一次函數呈上升狀態，要保證 與 的圖象沒有交點，臨界位置如圖 所示，此時一次函數過點 和 ， ，在此基礎上將 順時針旋轉即符合題意，則 的取值范圍為 ；
②當 時，一次函數呈下降狀態，要保證 與 的圖象沒有交點，臨界位置如圖 所示，此時一次函數與 平行， ，在此基礎上將 逆時針旋轉符合題意且 時也符合題意，則 的取值范圍為 ；綜上， 的取值范圍為 且 .
【解析】【解答】解：（1）②當 時， ，
故答案為： ；
③當 時， ，
故答案為： ；
【分析】（1）直接利用絕對值的性質化簡可求解；
（2）直接利用（1）中所求可畫出函數圖象；
（3）直接利用函數圖象可求解．
43．在平面直角坐標系中，一次函數 的圖象交x軸、y軸分別于A、B兩點，與直線 相交于第二象限，交點為點C，且C點縱坐標為1
（1）求點A、點B的坐標；
（2）若點D為直線 上一點，且點D在第一象限，若 的面積與 的面積相等，求直線 與直線 的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，點P為線段 上一點，過點P作y軸的平行線，與直線 、直線 分別相交于點E、點F，若 ，求點P的坐標.
【答案】（1）解：∵一次函數y＝ x＋2的圖象交x軸、y軸分別于點A、B兩點，
∴令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝-4，
∴A（-4，0），B（0，2）；
（2）解：∵C點縱坐標為1，
∴把y＝1代入y＝ x＋2，得x＝-2，
∴C（-2，1），
設直線OC的解析式為y＝kx，
∴-2k＝1，
∴k＝ ，
∴直線OC的解析式為y＝ x；
設點D(m， )，
∵△OCD的面積與△ABO的面積相等，
∴ ，
解得：m=2，
∴D(2，3)，
設直線OD的函數關系式為： ，
代入D(2，3)可得 ，
解得： ，
∴直線OD的函數關系式為： ；
（3）解：設P(n， )，
∴E(n， )，F(n， )，
①當點P在線段BD上時，
∵PE=2EF，
∴ ，
∴n= ，
∴ ，
∴點P的坐標為( ， )；
②當點P在線段BC上時，
∵PE=2EF，
∴ ，
∴n= ，
∴ ，
∴點P的坐標為( ， )；
綜上可知，P點坐標為( ， )或( ， ).
【解析】【分析】（1）將x=0與y=0分別代入函數 算出對應的y及x的值可求出點A、B的坐標；
（2）由點C的縱坐標為1代入解析式得到點C的坐標，即可求出OC的解析式， 設點D(m， )， 根據 △OCD的面積與△ABO的面積相等， 即可建立方程求得m，即可求出OD的解析式；
（3）分①當點P在線段BD上和②當點P在線段BC上兩種情況，根據 即可得出點P的坐標.
44．如圖表示甲、乙兩車沿相同路線從A地出發到B地行駛過程中，路程y（千米）隨時間x（時）變化的圖象.
（1）乙車比甲車晚出發　 　小時，甲車的速度是　 　千米/時；
（2）當 時，求乙車行駛路程隨時間變化的函數表達式；
（3）從乙車出發到停止期間，乙車出發多長時間，兩車相距20千米？
【答案】（1）2；20
（2）解：當 時，設乙車行駛路程隨時間變化的函數表達式為 ，
將點 ， 代入 ，得 ，解得 ，
∴乙車行駛路程隨時間變化的函數表達式是 ；
（3）解：設甲車行駛路程隨時間變化的函數表達式是 ，
把點 代入，得 ，解得 ，
∴ ，
令 ，解得， ， ，
∴ 或3，
答：乙車出發1小時、3小時，兩車相距20千米.
【解析】【解答】解：（1）根據圖象的x軸，可以看出乙車比甲車晚出發2小時，
，故甲車的速度是
故答案為：2，20；
【分析】（1）根據圖象可知：乙車比甲車晚出發2小時，然后找出總距離以及甲車所用的時間，根據距離÷時間就可求得速度；
（2） 當2≤x≤6時，設乙車行駛路程隨時間變化的函數表達式為y=kx+b ， 然后將（2，0）、（6，160）代入求解即可；
（3） 設甲車行駛路程隨時間變化的函數表達式是y=kx ，將（8，160）代入可得k=20，則y=20x，然后令|20x-(40x-80)|=20，求解即可.
45．如圖， 中， ， ， ，點P從點A出發，在 的邊上以 秒的速度沿 運動一周，設運動時間為 秒.
（1）如圖1，點P運動到 邊上，且 恰好平分 ，求t的值；
（2）在點P運動過程中，當 是以 為腰的等腰三角形時，求t的值.
【答案】（1）解：點P在BC上時，如圖所示：過點P作PE⊥AB交AB于E，
PA=PB，
在Rt△ACB中，AC＝
則PC=2t-8，PB=8+6-2t=14-2，
∵AP平分∠BAC，且PC⊥AC
∴PE=PC
在△ACP與△AEP中，
，
∴△ACP≌△AEP（AAS），
∴AE=AC=8，
∴BE=2，
在Rt△PEB中，依勾股定理得：PE2+EB2=PB2
即：（2t-8）2+22=（14-2t）2
解得：t＝ ；
∴點P在∠BAC的平分線上時，t的值為 秒.
（2）解： 是以 為腰的等腰三角形，
①當點P在AC上時，
CB=CP=6，
∴AP=AC-PC=8-6=2，而AP=2t，即2t=2，
∴t=1；
②點P在AB邊上，CP=CB，作CE⊥AB交AB于點E，
在Rt△CEP和Rt△CEB中，
，
∴Rt△CEP≌Rt△CEB，
∴PE=BE，AC+BC+BP=2t，
∴BP=2t-14，
∴BE=t-7，AE=10-(t-7)=17-t，CE =AC -AE =64-(17-t) ，CE =BC -BE =36-(t-7) ，
∴64-(17-t) =36-(t-7) ，
解得：t= 秒，
③點P在AB上，
PB=BC，
∴PB=6，PB=2t-14，
∴2t-14=6，
∴t=10，
綜上所述：t=1秒或10秒或 秒.
【解析】【分析】（1） 過點P作PE⊥AB交AB于E，根據勾股定理求得AC的值，然后表示出PC，PB，由角平分線的性質可得PE=PC，進而證明△ACP≌△AEP，得到BE的值，接下來在Rt△PBE中根據勾股定理計算即可；
（2）①當點P在AC上時，求出CB、AP的值，據此可得t的值；②點P在AB邊上，CP=CB，作CE⊥AB交AB于點E，證明Rt△CEP≌Rt△CEB，然后表示出BP，BE，AE，CE2，據此可得t的值；③點P在AB上時， PB=BC ，表示出PB，進而求得t的值.
46．有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題∶
已知實數x、y滿足 ①， ②，求 和 的值.
本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大.其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由①②可得 ，由①＋② 可得 .這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.解決問題∶
（1）已知二元一次方程組 則 　 　， 　 　.
（2）某班級組織活動購買小獎品，買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3本日記本共需55元，則購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？
（3）對于實數x、y，定義新運算∶ ，其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算.已知 ， ，那么 　 　.
【答案】（1）4；2
（2）解：設購買1支鉛筆x元、1塊橡皮y元、1本日記本z元，
根據題意得
①②得： ，
∴ ，
答：購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需21元.
（3）24
【解析】【解答】解：（1）
①-②得 ，
①+②得 ，
∴ ；
故答案為：4，2；
（3） ， ，
①-②得 ，
②×3-①×2得 ，
，
.
【分析】（1）方程組中2個方程分別相加、相減即可得出答案；
（2）設購買1支鉛筆x元、1塊橡皮y元、1本日記本z元 ，利用共需31元和55元列方程組，求得即可得出答案；
（3） 利用新定義運算 ，得方程組,求得,進而結合新定義運算即可的值.
47．如圖所示，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（4，8），過點B分別作BA⊥y軸，BC⊥x軸，得到一個長方形OABC，D為y軸上的一點，將長方形OABC沿著直線DM折疊，使得點A與點C重合，點B落在點F處，直線DM交BC于點E．
（1）直接寫出點D的坐標　 ??；
（2）若點P為x軸上一點，是否存在點P使△PDE的周長最??？若存在，請求出△PDE的最小周長；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，若Q點是線段DE上一點（不含端點），連接PQ．有一動點H從P點出發，沿線段PQ以每秒1個單位的速度運動到點Q，再沿著線段QE以每秒 個單位長度的速度運動到點E后停止．請直接寫出點H在整個運動過程中所用的最少時間t，以及此時點Q的坐標．
【答案】（1）（0，3）
（2）解：存在．
如圖1，作點D關于x軸的對稱點D′，連接D′E，交x軸于點P，則點P即為所求，
此時△PDE的周長最小，
在Rt△CEF中，BE＝EF＝BC﹣CE，EF2+CF2＝CE2，BC＝8，CF＝4，
∴CE＝5，BE＝3，
作EG⊥OA，
∵OD＝AG＝BE＝3，OA＝8，
∴DG＝2，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，EG＝4，
∴DE＝
在Rt△D′EG中，EG2+D′G2＝D′E2，EG＝4，D′G＝8，
∴D′E＝ ，
∴△PDE周長的最小值為DE+D′E＝；
（3）解：由（2）得，E（4，5），D′（0，﹣3），
設直線D′E的解析式為y＝kx+b，
則 ，
解得： ，
∴直線D′E的解析式為y＝2x﹣3，
令y＝0，得2x﹣3＝0，
解得：x＝ ，
∴P（，0），
過點E作EG⊥y軸于點G，過點Q、P分別作y軸的平行線，分別交EG于點H、H′，H′P交DE于點Q′，
設直線DE的解析式為y＝k′x+b′，
則 ，
解得： ，
∴直線DE的解析式為y＝ x+3，
設Q（t，t+3），則H（t，5），
∴QH＝5﹣（t+3）＝2﹣t，EH＝4﹣t，
由勾股定理得：DE＝ ＝（2﹣ t）＝ QH，
∴點H在整個運動過程中所用時間＝ ＝PQ+QH，
當P、Q、H在一條直線上時，PQ+QH最小，即為PH′＝5，點Q坐標（ ， ），
故：點H在整個運動過程中所用最少時間為5秒，
【解析】【解答】解：（1）設D（0，m），且m＞0，
∴OD＝m，
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∵將長方形OABC沿著直線DM折疊，使得點A與點C重合，
∴CD＝AD＝OA﹣OD＝8﹣m，
在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+42＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴點D的坐標為（0，3）；
【分析】（1）先求出OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，再利用勾股定理計算求解即可；
（2）分類討論，結合圖形，利用勾股定理計算求解即可；
（3）利用待定系數法求出 直線D′E的解析式為y＝2x﹣3， 再求出 2x﹣3＝0， 最后利用勾股定理計算求解即可。
48． 年新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球疫情大考面前，中國始終同各國安危與共、風雨同舟，時至 月，中國已經向 多個國家和國際組織提供醫療物資援助．某次援助，我國組織 架飛機裝運口罩、消毒劑、防護服三種醫療物資共 噸，按計劃 架飛機都要裝運，每架飛機只能裝運同一種醫療物資，且必須裝滿．根據如下表提供的信息，解答以下問題：
防疫物資種類 口罩 消毒劑 防護服
每架飛機運載量（噸）
每噸物資運費（完）
（1）若有 架飛機裝運口罩，有 架飛機裝運消毒劑，求 與 之間的函數關系式；
（2）若此次物資運費為 元，求 與 之間的函數關系式；
（3）如果裝運每種醫療物資的飛機都不少于 架，那么怎樣安排運送物資，方能使此次物資運費最少，最少運費為多少元
【答案】（1）解：根據題意得，
設有 架飛機裝運口罩，有 架飛機裝運消毒劑，則有 架飛機裝運防護服，
解得： ；
與 之間的函數關系式： 且x為正整數；
（2）解：
且x為正整數；
（3）解：由題意得：
解得： 且x為正整數，
或 ，
隨 的增大而減小，
當 時，
最小， （元）
答：9架飛機裝運口罩，4架飛機裝運消毒劑，7架飛機裝運防護服，方能使此次物資運費最少，最少運費為24200元．
【解析】【分析】（1）分別計算每種飛機所運載的重量，根據總重量120噸，列出函數關系式，注意x的實際意義；
（2）根據表格信息，分別計算每種飛機所承擔的運費，再相加可得總運費，注意x的實際意義；
（3）由每種醫療物資的飛機都不少于4架，列出一元一次不等式組，解得x的取值范圍，即可解得最少運費。
49．如圖，中，，點D在BC所在的直線上，點E在射線AC上，且，連接DE.
（1）如圖①，若，，求的度數；
（2）如圖②，若，，求的度數；
（3）由（1）和（2）的結果知道和的數量關系是：　 ?。划旤cD在線段BC的延長線上時，上述關系式是否還成立？請直接寫出結論.
【答案】（1）解：∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝50°，
∴∠ADE＝∠AED＝65°，
∴∠CDE＝180° 50° 30° 65°＝35°；
（2）解：∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，
∴∠E＝70° 15°＝55°，
∴∠ADE＝∠AED＝55°，
∴∠ADC＝40°，
∵∠ABC＝∠ADC＋∠DAB＝70°，
∴∠BAD＝30°；
（3）2∠CDE＝∠BAD
【解析】【解答】解：（3）由（1）和（2）的結果知道∠CDE和∠BAD的數量關系是：2∠CDE＝∠BAD，
當點D在線段BC的延長線上時，上述關系式還成立，理由如下：
設∠ABC＝∠ACB＝y，∠ADE＝∠AED＝x，∠CDE＝α，∠BAD＝β，
如圖
當點D在線段BC的延長線上時，∠ADC＝x α
∴，
②-①得，2α β＝0，
∴2α＝β，即：2∠CDE＝∠BAD.
故答案為：2∠CDE＝∠BAD.
【分析】（1）由三角形內角和定理求出∠BAC＝120°，從而可得∠DAE=∠BAC-∠BAD＝50°，利用三角形內角和定理先求出∠ADE＝∠AED＝65°，再求出∠CDE即可；
（2）利用三角形外角的性質可得∠E=∠ACB-∠CDE＝55°， 即得 ∠ADE＝∠AED＝55°， 利用角的和差求出∠ADC＝40°，利用三角形外角的性質可得∠ABC＝∠ADC＋∠DAB ，據此即可求解；
（3）2∠CDE＝∠BAD；當點D在線段BC的延長線上時，上述關系式還成立，理由：設∠ABC＝∠ACB＝y，∠ADE＝∠AED＝x，∠CDE＝α，∠BAD＝β，可得∠ADC＝x α，利用三角形的內角和定理可得
據此求出2α＝β，即得結論.
50．在△ABC中，DE垂直平分AB ，分別交AB、BC于點D 、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN.
（1）如圖1，若∠BAC= 100°，求∠EAN的度數；
（2）如圖2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度數；
（3）若∠BAC=a(a≠90°)，請直接寫出∠EAN的度數. (用含a的代數式表示)
【答案】（1）解：因為DE垂直平分AB，
所以AE=BE，∠BAE=∠B，
同理可得∠CAN= ∠C，
所以∠EAN=∠BAC -∠BAE-∠CAN=∠BAC -(∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C=180°- ∠BAC=80°，
所以∠EAN=
100-80=20°
（2）解：因為 DE垂直平分AB，
所以AE= BE，∠BAE=∠B，
同理可得∠CAN= ∠C，
所以∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 110°，
所以∠EAN=110°-
70°=40°
（3）解：當0當180°>a>90°時，∠EAN=2a
-180°
【解析】【分析】（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據等邊對等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的內角和定理求出∠B+∠C，再根據∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入數據進行計算即可得解；（2）同（1）的思路，最后根據∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入數據進行計算即可得解；（3）根據前兩問的求解，分α＜90°與α＞90°兩種情況解答．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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