資源簡介

白城市實驗高級中學2024-2025學年度高三上學期期末考試
數學試卷
一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 已知正方體 的棱長為 為棱 的中點， 為側面 的中心，過點 的平面 垂直于 ，則平面 截正方體 所得的截面面積為（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角的終邊繞原點逆時針旋轉 后，得到角的終邊，角的終邊過點，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
3. 某校高一年級研究性學習小組利用激光多普勒測速儀實地測量復興號高鐵在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發出的光平均分成兩束射出，在披測物體表面匯聚，探測器接收反射光，當被測物體橫向速度為零時，反射光與探測光頻串相同，當橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發生頻移，其中為測速儀測得被測物體的橫向速度，為激光波長，為兩束探測光線夾角的一半，如圖若激光測速儀安裝在距離高鐵處，發出的激光波長為，測得某時刻頻移為，則該時刻高鐵的速度約等于（ ）
A. B. C. D.
4. 設與為兩個正四棱錐，正方形ABCD的邊長為且，點M在線段AC上，且，將異面直線PD，QM所成的角記為，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
5. 在側棱長為2的正三棱錐 中，點 為線段 上一點，且 ，則以 為球心， 為半徑的球面與該三棱錐三個側面交線長的和為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正三棱錐 P－ABC 的底面邊長為 ，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐 P－ABC 的體積為（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
7. 如圖，在直三棱柱 中， ， ， 為線段 的中點， 為線段 （包括端點）上一點，則 的面積的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數，，對，，使得成立，則正數a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）
9. 在平面直角坐標系中，已知拋物線，過點作斜率為的直線與軸相交于點，與交于兩點，且，則( )
A. B.
C. 以為直徑的圓與拋物線的準線有公共點 D. 以為直徑的圓與拋物線的準線沒有公共點
10. 已知 中，內角 ， ， 滿足 ，則下列不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知甲、乙兩名同學在高三的6次數學測試的成績統計如圖，則下列說法正確的是（ ）
A. 若甲、乙兩組數據的平均數分別為 ， ，則 >
B. 若甲、乙兩組數據的方差分別為 ， ，則 >
C. 甲成績的極差小于乙成績的極差
D. 甲成績比乙成績穩定
12. 將正四棱錐 和正四棱錐 的底面重合組成八面體 ，則（ ）
A. 平面
B.
C. 的體積為
D. 二面角 的余弦值為
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13.已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，則a＋2b＝________.
14. 若函數在x=2處取極值，則a=______， 的極大值為______.
15. 如圖，某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為 ，沿傾斜角為 的斜坡前進2千米后到達D處，又測得山頂B的仰角為 ，則山的高度BC為__________千米.
16. 在 中，內角 的對邊分別為 ，已知 是 和 的等比中項.則 的取值范圍為 .
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 已知函數 ， ．
(1)求曲線 在點 處的切線方程；
(2)證明： 在 上單調遞增．
18. 在 中， ，且 邊上的中線 長為1.
(1)若 ，求 的面積；
(2)若 ，求 的長.
19. 如圖，在三棱柱 中，四邊形 為菱形，D，E分別為BC，AC的中點，且 ， ， ．
(1)求證：平面 平面 ；
(2)求直線 與平面 所成角的正弦值．
20. 記 為數列 的前n項和，已知 ，且數列 是等差數列，證明： 是等差數列.
21. 經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元．根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品．以X（單位：t，100≤X≤150）表示下一個銷售季度內的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤．
（1）將T表示為X的函數；
（2）根據直方圖估計利潤T不少于49 000元的概率．
22. 如圖，在四棱錐 中，底面 為菱形， 平面 ， 為 的中點.
(1)設平面 與直線 相交于點 ，求證： ；
(2)若 ， ， ，求直線 與平面 所成角的大小.
參考答案
1. 【答案】D
【解析】如圖所示，
取 的中點 ，分別連接 ，
在正方形 中，因為 分別為 的中點，可得 ，
所以 ， ，
因為 ，所以 ，所以 ，即 ，
又因為 分別為 的中點，所以 ，
因為 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
又因為 且 平面 ，所以 平面 ，
因為 平面 ，所以 ，同理可證： ，
又因為 且 平面 ，所以 平面 ，
即平面 截正方體 的截面為 ，
由正方體 的棱長為 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
所以截面的面積為 .
故選：D.
2. 【答案】D
【解析】由，得，化簡可得，
解得，， ，
所以．
故選：D．
3. 【答案】C
【解析】由題意：，
故，即，
故340km/h.
故選：C.
4. 【答案】A
【解析】連接交于點，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為正方形邊長為，所以，
因為，所以為的中點，
設，在直角中，有，故，
所以，
則，
所以，
因為，
當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為，
因此的最小值為.
故選：A.
5. 【答案】C
【解析】取 中點 ，連接 、 ，則有 ， ，
又 ， 、 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ，又 ，
， 、 平面 ，故 平面 ，
又 、 平面 ，故 ， ，
由正三棱錐的性質可得 、 、 兩兩垂直，
故 ，即以 為球心， 為半徑的球面與側面 的交線長為：
，即與該三棱錐三個側面交線長的和為 .
故選：C.

6. 【答案】A
【解析】因為球與該正三棱錐的各棱均相切，
所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面 垂直的直線上，
又因為底面邊長為 ，
所以底面正三角形的內切圓的半徑為 ，
又因為球的半徑 ，即 ，
所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點O，
如圖，過球心O作PA的垂線交PA于H，則H為棱切球在PA上的垂足，

所以 ，
又因為 ，所以 ,
因為 ，所以 ，
又由題意可知， 平面 ，所以 ，
所以
所以 ，
所以 .
故選：A.
7. 【答案】B
【解析】如圖，連接 ，過 作 ，垂足為 ．
在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，異面直線間垂線段最短
故 ．
過 作 于點 ，連接 ，易得 平面 ，
則 ，又 ，所以 ．
因為 ， ， ， ，
所以 ，則 ．
當 與 重合時， ， ；
當 與 重合時，由 ， ， ,得 平面 ，
所以 ，所以 ， ．
所以 的面積的取值范圍為 ，
故選：B.
8. 【答案】C
【解析】，
當時， ，，
即值域為.
又，則為增函數，
當時， 值域為.
要使對，，使得 成立，
則，
，解得 ，所以實數的取值范圍是.
故選：C.
9. 【答案】AD
【解析】設直線方程為，即，則，
由，消去整理得，
則，,
由可得，，
則，整理得，
所以，解得，.
又因為直線過，所以，即，
驗證 ，與拋物線有兩個交點.故A正確，B錯誤；
可知：準線方程為，直線的方程：，
由弦長公式得，
則以為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為，
則圓心到準線的距離為，
所以以為直徑的圓與拋物線的準線沒有公共點，C錯誤，D正確．
故選：AD．
10. 【答案】ABC
【解析】對于選項A，不妨取 ，滿足 ，
但 不成立，故A錯誤；
對于選項B，由 ，得 ，
即 ，
構造函數 ，則 ，
故 在 上單調遞減 .
因為 ，所以 ，故 ，
可得 .
因為 在 上單調遞增，所以 ，即 .
因為 在 上單調遞減，所以 ，即 .
可得 ，故B錯誤；
對于選項C，因為 ， ，即 ，
可得 ，故C錯誤；
對于選項D，因為 ， 即 ，
由正弦定理 ，
可得 ，
即 ，故D正確 .
故選：ABC.
11. 【答案】ACD
【解析】由圖知，甲同學除第二次考試成績略低于乙同學，其他5次考試都高于乙同學，知 > ，A正確；甲同學的成績比乙同學穩定，故 > ，所以B錯誤，D正確；極差為數據樣本的最大值與最小值的差，甲成績的極差小于乙成績的極差，所以C正確.
12. 【答案】AC
【解析】令正方形 的中心為 ，連接 ，

對于A，由正四棱錐 ，得 平面 ，同理 平面 ，
則 共線，因此 平面 ，A正確；
對于B，連接 ，顯然 是 的中點， ， ，
， 不是 的中點，因此四邊形 不是平行四邊形， 不平行，B錯誤；
對于C， 的體積 ，C正確；
對于D，取 中點 ，連接 ，則 ， 是二面角 的平面角，
而 ，則 ，D錯誤.
故選：AC.
13. 【答案】8
【解析】由logab＋logba＝，且logab·logba＝1，
所以logab，logba是方程x2－x＋1＝0的兩根，
解得logba＝2或logba＝，
又a＞b＞1，所以logba＝2，
即a＝b2，又ab＝ba，
從而b2b＝ba，則a＝2b，且a＝b2，
則b＝2，a＝4，所以a＋2b＝8.
14. 【答案】-10
【解析】，由題可知，解得a=-10，
所以，
當 時，得2當 時，得0所以 在 ， 上單調遞減，在 上單調遞增，
故 的極大值為．
故答案為：-10，．
15. 【答案】2
【解析】由題意得，
所以，且，
在△ABD中，由正弦定理得，即，
，解得，
所以，
故答案為2.
16. 【答案】
【解析】因為 是 和 的等比中項，所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，故 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
即
，
又 ，所以 ，即 .
所以 ，解得 ， ，
由 ，
令 ，
令 ，得 ，得 ，即 在區間 上單調遞增；
令 ，得 ，得 ，即 在區間 上單調遞減.
因為 ， ， ，
故 ，即 的取值范圍為 .
故答案為： .
17. 【答案】(1)解 因為 ，
所以 ，
所以曲線 在點 處的切線方程為 ，
即 ．
(2)證明 由(1)知， ，
因為 ， ，
所以 ，
所以
設 ，則導函數 ，
所以 在 上單調遞增，
所以 ，
所以 ，
所以 在 上單調遞增.
18. 【答案】解　(1)由題可知 ，
由勾股定理得， ，所以 是直角三角形，
又 ，所以 ，
又 邊上中線 ，
所以 ， ， ，
所以 .
(2)由題可知 ，
設 ，則 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，則 ，①
在 和 中，由余弦定理得
所以 ，②
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，③
將 代入得 ，④
由①④得 ，即 ，即 ，
即 ，即 ，
因為 ，所以 ，則 ，所以 .
故 的長為2.
19. 【答案】(1)證明　由 ， 可得 ，
∴ ，
∵D，E分別為BC，AC的中點，∴ ，且 ，∴ ．
連接 ，則由條件可得 為等邊三角形，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ．又 ，且 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴平面 平面 .
(2)解　由(1)可得 平面 ， ， ，
又 ， 平面 ，故 平面ABC，
如圖，以B為坐標原點，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸，過點B且與 平行的直線為z軸建立空間直角坐標系B-xyz，
則 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ．
設平面 的法向量為 ，
由 可得 ，
令 ，可得 ．
設直線 與平面 所成的角為 ，
則 ，
即直線 與平面 所成角的正弦值為 .
20. 【答案】證明　∵數列 是等差數列，設公差為d= ,
∴ ( )，
∴ ( )，
∴當 時，
,
當n=1時， ，滿足 ，
∴ 的通項公式為 ( )，
∴
∴ 是等差數列.
21. 【答案】解 （1）當X∈[100,130)時，T=500X-300(130-X)=800X-39000.
當X∈[130,150]時，T=500×130=65000.
所以T
（2）由（1）知，當 時，T 65000>49000符合題意；
當 ，由 ，解得 ，
故利潤T不少于49000元時，下一個季度市場需求量在110≤X≤150.
由直方圖知需求量X∈[110,150]的頻率為：(0.020+0.030+0.025+0.015)×10=0.9，
所以下一個銷售季度內的利潤T不少于49 000元的概率的估計值為0.9.
22. 【答案】(1)證明　 平面 與直線 相交于點 ， 平面 平面 ，
四邊形 是菱形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
；
(2)解　連接 ，取 中點 ，連接 、 ，
菱形 中， ， ， 是等邊三角形，
是 中點， ，
平面 ， 平面 ， ，
、 平面 ， ， 平面 ．
是直線 與平面 的所成角，
是 中點， ， ．
平面 ， 平面 ， ，
為 中點， ， 中， ，
等邊 中，高 ，
中， ，
可得 ，即直線 與平面 的所成角等于 ．

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