資源簡介

廣西壯族自治區百色市平果市2023-2024學年八年級上學期期末數學試題
1．（2024八上·平果期末）數學老師在課堂上組織學生用小棍擺三角形，小棍的長度如下，其中能擺成三角形的是（　　）
A．2cm，2cm，4cm B．3cm，4cm，6cm
C．2cm，3cm，8cm D．2cm，4cm，6cm
2．（2024八上·平果期末）下列圖形中，不一定是軸對稱圖形的是（　　）
A．圓形 B．正方形 C．直角三角形 D．等腰三角形
3．（2024八上·平果期末）在平面直角坐標系中，，經過（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
4．（2024八上·平果期末）在和中，已知，，添加下列條件中的一個，不能使一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·平果期末）下列命題中，是真命題的是（　　）
A．三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和
B．不相交的兩條直線一定平行
C．三角形的一個外角大于這個三角形的任何一個內角
D．相等的角所對的邊一定相等
6．（2024八上·平果期末）直線向上平移7個單位后與y軸的交點坐標是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·平果期末）如圖，，若以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交腰AB于點D，則下列結論一定正確的是（　　）
A． B． C． D．CD平分
8．（2024八上·平果期末）如圖，一次函數與正比例函數（k，b是常數，且），在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·平果期末）如圖，已知，將沿CD折疊，使得點B落在邊AC上的點處，若'，則的度數為（　　）
A．84° B．80° C．78° D．75°
10．（2024八上·平果期末）如圖，一次函數與的圖象相交于點，則下列說法錯誤的是（　　）
A．
B．
C．關于x的方程的解是
D．關于x的不等式的解集是
11．（2024八上·平果期末）如圖，中，AD是角平分線，CE是的中線．若的面積是40，，，則的面積是（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
12．（2024八上·平果期末）如圖，兩個邊長相等的正方形ABCD和EFGH按如圖所示的位置擺放（CD與EF重合），點B，C，F，G共線，正方形ABCD沿BG方向勻速運動，直到B點與G點重合．設運動時間為t，運動過程中兩圖形重疊部分的面積為S，則下面能大致反映S與t之間關系的函數圖象是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2024八上·平果期末）函數，當時，函數值　 　．
14．（2024八上·平果期末）已知正比例函數的圖象經過點，則這個正比例函數的表達式是　 　．
15．（2024八上·平果期末）對于平面直角坐標系中任意兩點，定義一種新運算“※”；，根據這個規則計算：　 　．
16．（2024八上·平果期末）如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線DF交BC于點F，交AB于點E，交CA的延長線于點D，若，則　 　．
17．（2024八上·平果期末）如圖，，點E在AB上，DE與AC交于點F，，，則　 　．
18．（2024八上·平果期末）如圖，，于點A，于點B，且．點P從A向B運動，每分鐘走1m，點Q從A向D運動，每分鐘走2m，P，Q兩點同時出發，運動　 　分鐘后，與全等．
19．（2024八上·平果期末） 如圖，AC和BD相交于O點，且，．求證：∠A=∠D．
20．（2024八上·平果期末） 如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網格中建立平面直角坐標系．已知點A，B，C的坐標分別為，，上．
（1）作關于y軸的對稱（其中A點對應點為D，B點對應點為E，C點對應點為F）；
（2）寫出D，E，F三點的坐標；
（3）求的面積．
21．（2024八上·平果期末） 桿秤是我國的傳統計量工具，如圖，秤鉤上所掛物體的重量不同使得秤砣到秤紐的水平距離不同．稱重時，當秤鉤所掛重物為x（kg）時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為y（cm）．已知y是關于x的一次函數，下表是若干次稱重時所記錄的數據．
x（kg） 0.5 1.5 3 　
y 1 　 2.25 3
（1）求y關于x的函數表達式，并將表格補充完整；
（2）當秤鉤所掛的重物重量為11kg時，求秤桿上秤砣到秤紐的水平距離．
22．（2024八上·平果期末） 如圖，已知，于點D，于點B，．
（1）求證：；
（2）連接AC交BD于點O，試判斷OA與OC之間的數量關系，并說明理由．
23．（2024八上·平果期末） 如圖，在中，，E為AB邊上的點，且，D為線段AE的中點，過E點作，過C點作，且CF，EF相交于點F．
（1）求證：；
（2）求證：．
24．（2024八上·平果期末） 如圖，以等邊的邊AC為腰作等腰，連接BD，過點A作交BC于點E，交DC的延長線于點F．
（1）求證：AE平分；
（2）若，，，求AF的長．
下面是小穎同學求AF長的過程，請將解題過程補充完整；
解：如圖所示，在FA上截取，連接BF，CG，
∵，，∴是等邊三角形，∴　 　
∵是等邊三角形，∴，，
∴　 　，在和中　 　　 　
∴∴　 　
由（1）知AF為BD的垂直平分線，∴∴　 　
∴
25．（2024八上·平果期末） 某校計劃租用甲、乙兩種型號客車送200名師生去研學基地開展綜合實踐活動，需租用甲、乙兩種型號的客車共10輛．已知租用一輛甲型客車需800元，租用一輛乙型客車需1100元．甲型客車每輛可坐16名師生，乙型客車每輛可坐22名師生．
設租用甲型客車x輛，租車總費用為y元．
（1）請寫出y與x之間的函數表達式．（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）據資金預算，本次租車總費用不超過10800元，則甲型客車至少需租用幾輛
（3）在（2）的條件下，要保證全體師生都有座位，問有哪幾種租車方案 請選出最省錢的租車方案．
26．（2024八上·平果期末） 綜合與實踐
【問題情境】
數學課上老師組織同學們利用直角三角形紙片來進行拼圖探究活動．
（1）【實驗探究】陽光小組將一張含30°角的直角三角形紙片和一張等腰直角三角形紙片按圖①的方式擺放，則圖中　 　．
（2）無敵小組將兩張等腰直角三角形紙片和按圖②的方式擺放，點A與點D以重合，且點B，C，E在同一直線上，連接CF交AE于點G，小組同學測量發現，請你幫他們證明此結論．
（3）【拓展探究】課后小強自制了兩張三角形紙片和，其中，，，他把兩張三角形紙片按圖③的方式擺放（A與D重合，B與E重合）．點C，F在AB兩側，過點B作，交AC的延長線于點G，小強發現線段AC，AF，CG之間存在一定的數量關系，請你探究此關系并加以證明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：A、∵2＋2＝4，不符合三角形三邊關系，∴不符合題意；
B、∵3＋4＞6，符合三角形三邊關系，正確，∴符合題意；
C、∵2＋3＜8，不符合三角形三邊關系，∴不符合題意；
D、∵2＋4＝6，不符合三角形三邊關系，∴不符合題意，
故答案為：B．
【分析】利用三角形三邊的關系（ 三角形兩邊之和大于第三邊，計算兩個較小的邊的和，看看是否大于第三邊 ）逐項分析判斷即可.
2．【答案】C
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、∵圓一定是軸對稱圖形，∴A不合題意；
B、∵正方形一定是軸對稱圖形，∴B不合題意；
C、∵直角三角形不一定是軸對稱圖形，∴C符合題意；
D、∵等腰三角形一定是軸對稱圖形，∴D不合題意；
故答案為：C．
【分析】利用軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸）逐項分析判斷即可.
3．【答案】B
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：∵根據一次函數的解析式可得：k＝ 2＜0，b＝1＞0，
∴圖象經過第一、二、四象限，
故答案為：B．
【分析】利用一次函數的圖象與系數的關系（①當k>0時，一次函數的圖象呈上升趨勢；②當k<0時，一次函數的圖象呈下降趨勢；③當b>0時，函數圖象經過y軸的正半軸；④當b<0時，函數圖象經過y軸的負半軸）分析求解即可.
4．【答案】D
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如圖所示：
A、∵根據ASA能推出△ABC≌△A'B'C'，∴A錯誤；
B、∵根據AAS能推出△ABC≌△A'B'C'，∴B錯誤．
C、∵∠A＝∠A'，AB＝A'B'，AC＝A'C'，根據SAS能推出△ABC≌△A'B'C'，∴C錯誤；
D、∵∠A＝∠A'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，不能判斷△ABC≌△A'B'C'，∴D正確；
故答案為：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等）、SAS（兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等）、AAS（兩角及其一角對應的邊相等的兩個三角形全等）、SSS（三邊分別相等的兩個三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜邊和直角邊對應相等的兩個三角形全等）逐項分析判斷即可.
5．【答案】A
【知識點】三角形的外角性質；平行線的定義與現象；真命題與假命題
【解析】【解答】解：A、∵三角形的一個外角等于與之不相鄰的兩個內角之和，∴A正確，是真命題；
B、∵在同一平面，不相交的兩條直線一定平行，∴B錯誤，是假命題；
C、∵三角形的一個外角大于這個三角形的任何一個不相鄰的內角，∴C錯誤，是假命題；
D、∵相等的角所對的邊不一定相等，∴D原命題是假命題；
故答案為：A．
【分析】利用三角形外角的性質及真命題的定義逐項分析判斷即可.
6．【答案】D
【知識點】一次函數圖象上點的坐標特征；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：直線y＝2x 3向上平移7個單位得，y＝2x 3＋7＝2x＋4，
令x＝0，則y＝2x＋4＝2×0＋4＝4，
∴與y軸的交點坐標為（0，4），
故答案為：D．
【分析】先求出平移后的解析式為y＝2x 3＋7＝2x＋4，再將x=0代入解析式求出y的值即可得到答案.
7．【答案】A
【知識點】角的運算；三角形內角和定理；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：由題意，AB＝AC，BC＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝∠CBD＋∠CDB＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝∠A，
∠A＝36°、AD＝BD、CD平分∠ACB這三個結論不能得出故A項正確，B、C、D錯誤，
故答案為：A．
【分析】利用三角形的內角和，角的運算和等邊對等角的性質逐項分析判斷即可.
8．【答案】C
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：A、由一次函數y＝ kx＋b圖象可知k＞0，b＜0，即kb＜0；正比例函數y＝kbx的圖象可知kb＞0，矛盾，∴A錯誤；
B、由一次函數y＝ kx＋b圖象可知k＜0，b＞0，即kb＜0；正比例函數y＝kbx的圖象可知kb＞0，矛盾，∴B錯誤；
C、由一次函數y＝ kx＋b圖象可知k＜0，b＞0，即kb＜0；正比例函數y＝kbx的圖象可知kb＜0，一致，∴C正確；
D、由一次函數y＝ kx＋b圖象可知k＜0，b＜0，kb＞0；正比例函數y＝kbx的圖象可知kb＜0，矛盾，∴D錯誤；
故答案為：C．
【分析】利用一次函數的圖象與系數的關系（①當k>0時，一次函數的圖象呈上升趨勢；②當k<0時，一次函數的圖象呈下降趨勢；③當b>0時，函數圖象經過y軸的正半軸；④當b<0時，函數圖象經過y軸的負半軸）分析求解即可.
9．【答案】D
【知識點】角的運算；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
由折疊的性質可得∠CB'D＝∠B，∠BCD＝∠ACD=∠ACB＝45°，
∵∠A＝∠ADB'，∠CB'D＝∠A＋∠ADB'，
∴∠B＝∠CB'D＝∠A＋∠ADB'＝2∠A，
∴∠A＋2∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝75°，
故答案為：D．
【分析】先利用折疊的性質可得∠CB'D＝∠B，∠BCD＝∠ACD=∠ACB＝45°，再結合∠A＝∠ADB'，∠CB'D＝∠A＋∠ADB'，利用角的運算和等量代換可得∠A＝30°，再求出∠BDC＝∠A＋∠ACD＝75°即可.
10．【答案】D
【知識點】一次函數與一元一次方程的關系；一次函數與不等式（組）的關系；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：根據題意，把交點P（a，3）代入一次函數y＝ 2x＋1中得，
2a＋1＝3，解得，a＝ 1，
∴P（ 1，3），
把點P（ 1，3）代入一次函數圖象y＝kx＋b得， k＋b＝3，
根據一次函數y＝kx＋b的圖象可得，k＞0，b＞0，∴A，B正確，不符合題意；
當x＝ 1時，kx＋b＝3，∴C正確，不符合題意；
當kx＋b＜ 2x＋1時，x＜ 1，∴D錯誤，符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用一次函數的圖象與系數的關系（①當k>0時，一次函數的圖象呈上升趨勢；②當k<0時，一次函數的圖象呈下降趨勢；③當b>0時，函數圖象經過y軸的正半軸；④當b<0時，函數圖象經過y軸的負半軸）和一次函數與不等式的關系和一元一次方程的關系逐項分析求解即可.
11．【答案】C
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質；三角形的中線
【解析】【解答】解：過點D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分別為F，G，如圖所示：
∵AD是角平分線，
∴DF＝DG，
設DF＝DG＝h，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
∴40＝AB DF＋AC DG，
∴8h＋12h＝80，
解得：h＝4，
∴S△ADC＝×12×4＝24，
∵CE是△ADC的中線，
∴S△DCE＝S△ADC＝×24＝12，
故答案為：C．
【分析】過點D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分別為F，G，設DF＝DG＝h，根據S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，可得40＝AB DF＋AC DG，求出h的值，再利用三角形的面積公式求出S△ADC＝×12×4＝24，最后利用三角形的中線平分三角形的面積可得S△DCE＝S△ADC＝×24＝12.
12．【答案】B
【知識點】函數的圖象；動點問題的函數圖象
【解析】【解答】解：設AB＝a，正方形ABCD運動速度為v，
當C點未達到G點時，CF＝vt，
∴S＝avt，其中a，v為常量，
當C點超過G點時，如下圖所示，
∵FC＝vt，
∴GC＝FC FG＝vt a，
∴BG＝BC GC＝a （vt a）＝2a vt
∴S＝a（2a vt）＝ avt＋2a2，其中a，v為常量，
故答案為：B．
【分析】利用“速度、路程和時間”的關系，再分別求出重疊部分的面積，再根據解析式分析函數圖象即可.
13．【答案】-1
【知識點】函數值
【解析】【解答】解：將x=3代入，
可得：y=-2×3+5=-1，
故答案為：-1.
【分析】將x=3代入求出y的值即可.
14．【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；正比例函數的概念
【解析】【解答】解：設該正比例函數的解析式為y＝kx（k≠0），
∵正比例函數的圖象經過點（3， 6），
∴ 6＝3k，
解得：k＝ 2，
∴這個正比例函數的表達式是y＝ 2x.
故答案為：y＝ 2x.
【分析】設該正比例函數的解析式為y＝kx（k≠0），再將點（3，-6）代入解析式求出k的值即可.
15．【答案】
【知識點】有理數的乘法法則
【解析】【解答】解：根據題意可得，
（ 2，3）※（3，5）
＝（ 2×5，3×3）
＝（ 10，9），
故答案為：（ 10，9）．
【分析】參照題干中的定義及計算方法分析求解即可.
16．【答案】16
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質
【解析】【解答】解：如圖，連接AF，BD，
∵DF是AB的垂直平分線，
∴BF＝AF，BD＝AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C=(180° ∠BAC)＝30°，∠DAB＝180° ∠BAC＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD＝AB＝AC，
∵AE＝4，
∴AB＝2AE＝8，
∴CD＝AD＝AC＝2AB＝16，
故答案為：16．
【分析】連接AF，BD，先證出△ABD是等邊三角形，可得AD＝AB＝AC，再結合AE=4，求出AB＝2AE＝8，最后求出CD＝AD＝AC＝2AB＝16即可.
17．【答案】24°
【知識點】角的運算；三角形內角和定理；三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEB，∠D＝36°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝36°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180° ∠A ∠C＝84°，
∴∠CBD＝∠ABC ∠DBE＝84° 60°＝24°，
故答案為：24°．
【分析】先利用全等三角形的性質可得∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝36°，∠ABC＝∠DEB，再利用三角形的內角和求出∠ABC的度數，最后求出∠CBD＝∠ABC ∠DBE＝84° 60°＝24°即可.
18．【答案】6
【知識點】三角形全等及其性質；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：設P，Q運動t分鐘后，△CPB與△PQA全等，
∵DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，
∴∠A＝∠B＝90°，
①當AP＝BC，AQ＝PB時，△BPC≌△AQP，
∵P每分鐘走1m，Q每分鐘走2m，
∴t×1＝BC＝6m，2t＝AB AP＝18 t，
∴t＝6；
②當AP＝BP，AQ＝CB時，△BPC≌△APQ，
∵P每分鐘走1m，Q每分鐘走2m，
∴t＝18 t，2t＝6，
∴不存在t的值使△BPC≌△APQ，
∴P，Q運動6分鐘后，△CPB與△PQA全等．
故答案為：6．
【分析】分類討論：①當AP＝BC，AQ＝PB時，△BPC≌△AQP，②當AP＝BP，AQ＝CB時，△BPC≌△APQ，再分別列出方程求解即可.
19．【答案】解：如圖所示，連接BC，
在和中，
，
∴， （SSS）
∴.
【知識點】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】連接BC，先利用“SSS”證出，再利用全等三角形的性質可得.
20．【答案】（1）解：如圖所示：為所求作的三角形
（2）解：，，
（3）解：
【知識點】點的坐標；三角形的面積；作圖﹣軸對稱
【解析】【分析】（1）先利用關于y軸對稱的點坐標的特征（橫坐標變為相反數，縱坐標不變）找出點A、B、C的對應點，再連接即可；
（2）根據平面直角坐標系直接寫出點D、E、F的坐標即可；
（3）利用三角形的面積公式求解即可.
21．【答案】（1）解：設y與x之間的函數表達式為
把和分別代入上式得．
解得 ，
∴.
補全表格如下表
x（kg） 0.5 1.5 3 4.5
y 1 1.5 2.25 3
（2）解：把代入，
解得：.
答：當秤鉤所掛的重物重量為11kg時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為6.25cm．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）利用待定系數法求出函數解析式，再將x、y的值分別代入解析式并將表格補充完整即可；
（2）將x=11代入解析式求出y的值即可.
22．【答案】（1）證明：如圖所示，
∵， ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
（2）解：.
理由如下：在和中，
，
∴，
∴.
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“HL”證出，再利用全等三角形的性質可得AD=CB；
（2）先利用“AAS”證出，再利用全等三角形的性質可得OA=OC.
23．【答案】（1）證明：∵，D為線段AE的中點，
∴（三線合一），
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）證明：如圖所示：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
在和中，
，
∴，（ASA）
∴.
【知識點】三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性質-三線合一
【解析】【分析】（1）根據，，再利用等角的余角相等可得；
（2）先利用“AAS”證出，再利用全等三角形的性質可得.
24．【答案】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵△ACD是等腰三角形，
∴AC＝AD，
∴AB＝AD，即△ABD是等腰三角形，
∵AG⊥BD，
∴AG平分∠BAD，
∵點E是AG線段上的一點，即點A，G，E三點共線，
∴AE平分∠BAD.
（2）解：，；；；CF；；
【知識點】等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；三角形全等的判定-SAS；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（2）解：如圖所示，在FA上截取FG＝FC，連接BF，CG，
∵∠AFD＝∠BAC＝60°，FG＝FC，
∴△FCG是等邊三角形，
∴CG＝CF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠GCF＝60°，
∴∠ACG＝60° ∠BCG＝∠BCF，
在△ACG和△BCF中，
∴△ACG≌△BCF（SAS），
∴AG＝BF，
由（1）可知AF為BD的垂直平分線，
∴BF＝FD，
∴AG＝DF，
∴AF＝AG＋FG＝DF＋CF＝7＋2＝9．
故答案為：CG＝CF，∠ACG＝60° ∠BCG＝∠BCF，AG＝BF，AG＝DF．
【分析】（1）先證出△ABD是等腰三角形，再結合AG⊥BD，利用“三線合一”可得AG平分∠BAD，再結合點E是AG線段上的一點，即點A，G，E三點共線，即可得到AE平分∠BAD；
（2）在FA上截取FG＝FC，連接BF，CG，先利用“SAS”證出△ACG≌△BCF，可得AG＝BF，再結合BF＝FD，可得AG＝DF，最后利用線段的和差求出AF的長即可.
25．【答案】（1）解：
所以y與x之間的函數表達式為.
（2）解：根據題意，得 ，
解得：，
∵x應為正整數，
∴，
答：甲型客車至少需租用1輛．
（3）解：根據題意，得 ，
解得：，結合（2）的條件，得
∵x應為正整數，
∴x=1，2，3．
因此有3種租車方案：
方案一，甲型客車租1輛，乙型客車租9輛；
方案二，甲型客車租2輛，乙型客車租8輛；
方案三，甲型客車租3輛，乙型客車租7輛．
∵，，
∴y隨x的增大而減小，
∴當時，y取得最小值．
∴最省錢的租車方案是甲型客車租3輛，乙型客車租7輛．
【知識點】一元一次不等式的應用；列一次函數關系式；一元一次不等式組的實際應用-方案問題
【解析】【分析】（1）利用“租車總費用=甲型客車費用+乙型客車費用”列出函數解析式即可；
（2）根據“本次租車總費用不超過10800元”列出不等式，再求解即可；
（3）先求出，可得x=1，2，3，再求出三種方案，最后分別求解即可.
26．【答案】（1）
（2）證明：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，點A與點D以重合，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAF，
∴在△BAE和△CAF中，
　 　
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠BEA＝∠CFA，
∵∠EAF＝90°，
∴∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠EFC＋∠FEC＝∠EFC＋∠FEA＋∠AEB＝∠EFC＋∠FEA＋∠AFC＝∠AFE＋∠FEA＝90°，
∴∠ACE＝180° （∠EFC＋∠FEC）＝180° 90°＝90°，
∴CF⊥BE.
（3）解：AF＝AC＋2CG.
證明如下：過點B作BH⊥AF于點H，如圖所示：
∴∠BHA＝∠BHF＝90°，
∵BG⊥AC，
∴∠G＝90°，
∴∠BHA＝∠BHF＝∠G，
由題意可得∠BAF＝∠BAG，
∴在△ABH和△ABG中，
，
∴△ABH≌△ABG（AAS），
∴AH＝AG，BH＝BG，
∵∠F＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠BCG＝180°，
∴∠F＝∠BCG，
在△BHF和△BGC中
，
∴△BHF≌△BGC（AAS），
∴HF＝GC，
∴AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG．
【知識點】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（1）解：如圖所示，
由題意可得：∠D＝30°，∠DEF＝90°，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠ACB=×90°＝45°，
∴∠1＝∠ACE ∠D＝45° 30°＝15°；
故答案為：15°.
【分析】（1）先求出∠ACE=∠ACB=×90°＝45°，再利用角的運算求出∠1的度數即可；
（2）先利用“SAS”證出△BAE≌△CAF，可得∠BEA＝∠CFA，再利用角的運算和等量代換可得∠ACE＝180° （∠EFC＋∠FEC）＝180° 90°＝90°，即可得到CF⊥BE；
（3）過點B作BH⊥AF于點H，先利用“AAS”證出△ABH≌△ABG，可得AH＝AG，BH＝BG，再結合∠F＝∠BCG，利用“AAS”證出△BHF≌△BGC，可得HF＝GC，最后利用線段的和差及等量代換可得AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG．
1 / 1廣西壯族自治區百色市平果市2023-2024學年八年級上學期期末數學試題
1．（2024八上·平果期末）數學老師在課堂上組織學生用小棍擺三角形，小棍的長度如下，其中能擺成三角形的是（　　）
A．2cm，2cm，4cm B．3cm，4cm，6cm
C．2cm，3cm，8cm D．2cm，4cm，6cm
【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：A、∵2＋2＝4，不符合三角形三邊關系，∴不符合題意；
B、∵3＋4＞6，符合三角形三邊關系，正確，∴符合題意；
C、∵2＋3＜8，不符合三角形三邊關系，∴不符合題意；
D、∵2＋4＝6，不符合三角形三邊關系，∴不符合題意，
故答案為：B．
【分析】利用三角形三邊的關系（ 三角形兩邊之和大于第三邊，計算兩個較小的邊的和，看看是否大于第三邊 ）逐項分析判斷即可.
2．（2024八上·平果期末）下列圖形中，不一定是軸對稱圖形的是（　　）
A．圓形 B．正方形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、∵圓一定是軸對稱圖形，∴A不合題意；
B、∵正方形一定是軸對稱圖形，∴B不合題意；
C、∵直角三角形不一定是軸對稱圖形，∴C符合題意；
D、∵等腰三角形一定是軸對稱圖形，∴D不合題意；
故答案為：C．
【分析】利用軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸）逐項分析判斷即可.
3．（2024八上·平果期末）在平面直角坐標系中，，經過（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：∵根據一次函數的解析式可得：k＝ 2＜0，b＝1＞0，
∴圖象經過第一、二、四象限，
故答案為：B．
【分析】利用一次函數的圖象與系數的關系（①當k>0時，一次函數的圖象呈上升趨勢；②當k<0時，一次函數的圖象呈下降趨勢；③當b>0時，函數圖象經過y軸的正半軸；④當b<0時，函數圖象經過y軸的負半軸）分析求解即可.
4．（2024八上·平果期末）在和中，已知，，添加下列條件中的一個，不能使一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如圖所示：
A、∵根據ASA能推出△ABC≌△A'B'C'，∴A錯誤；
B、∵根據AAS能推出△ABC≌△A'B'C'，∴B錯誤．
C、∵∠A＝∠A'，AB＝A'B'，AC＝A'C'，根據SAS能推出△ABC≌△A'B'C'，∴C錯誤；
D、∵∠A＝∠A'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，不能判斷△ABC≌△A'B'C'，∴D正確；
故答案為：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等）、SAS（兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等）、AAS（兩角及其一角對應的邊相等的兩個三角形全等）、SSS（三邊分別相等的兩個三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜邊和直角邊對應相等的兩個三角形全等）逐項分析判斷即可.
5．（2024八上·平果期末）下列命題中，是真命題的是（　　）
A．三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和
B．不相交的兩條直線一定平行
C．三角形的一個外角大于這個三角形的任何一個內角
D．相等的角所對的邊一定相等
【答案】A
【知識點】三角形的外角性質；平行線的定義與現象；真命題與假命題
【解析】【解答】解：A、∵三角形的一個外角等于與之不相鄰的兩個內角之和，∴A正確，是真命題；
B、∵在同一平面，不相交的兩條直線一定平行，∴B錯誤，是假命題；
C、∵三角形的一個外角大于這個三角形的任何一個不相鄰的內角，∴C錯誤，是假命題；
D、∵相等的角所對的邊不一定相等，∴D原命題是假命題；
故答案為：A．
【分析】利用三角形外角的性質及真命題的定義逐項分析判斷即可.
6．（2024八上·平果期末）直線向上平移7個單位后與y軸的交點坐標是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】一次函數圖象上點的坐標特征；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：直線y＝2x 3向上平移7個單位得，y＝2x 3＋7＝2x＋4，
令x＝0，則y＝2x＋4＝2×0＋4＝4，
∴與y軸的交點坐標為（0，4），
故答案為：D．
【分析】先求出平移后的解析式為y＝2x 3＋7＝2x＋4，再將x=0代入解析式求出y的值即可得到答案.
7．（2024八上·平果期末）如圖，，若以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交腰AB于點D，則下列結論一定正確的是（　　）
A． B． C． D．CD平分
【答案】A
【知識點】角的運算；三角形內角和定理；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：由題意，AB＝AC，BC＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝∠CBD＋∠CDB＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝∠A，
∠A＝36°、AD＝BD、CD平分∠ACB這三個結論不能得出故A項正確，B、C、D錯誤，
故答案為：A．
【分析】利用三角形的內角和，角的運算和等邊對等角的性質逐項分析判斷即可.
8．（2024八上·平果期末）如圖，一次函數與正比例函數（k，b是常數，且），在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：A、由一次函數y＝ kx＋b圖象可知k＞0，b＜0，即kb＜0；正比例函數y＝kbx的圖象可知kb＞0，矛盾，∴A錯誤；
B、由一次函數y＝ kx＋b圖象可知k＜0，b＞0，即kb＜0；正比例函數y＝kbx的圖象可知kb＞0，矛盾，∴B錯誤；
C、由一次函數y＝ kx＋b圖象可知k＜0，b＞0，即kb＜0；正比例函數y＝kbx的圖象可知kb＜0，一致，∴C正確；
D、由一次函數y＝ kx＋b圖象可知k＜0，b＜0，kb＞0；正比例函數y＝kbx的圖象可知kb＜0，矛盾，∴D錯誤；
故答案為：C．
【分析】利用一次函數的圖象與系數的關系（①當k>0時，一次函數的圖象呈上升趨勢；②當k<0時，一次函數的圖象呈下降趨勢；③當b>0時，函數圖象經過y軸的正半軸；④當b<0時，函數圖象經過y軸的負半軸）分析求解即可.
9．（2024八上·平果期末）如圖，已知，將沿CD折疊，使得點B落在邊AC上的點處，若'，則的度數為（　　）
A．84° B．80° C．78° D．75°
【答案】D
【知識點】角的運算；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
由折疊的性質可得∠CB'D＝∠B，∠BCD＝∠ACD=∠ACB＝45°，
∵∠A＝∠ADB'，∠CB'D＝∠A＋∠ADB'，
∴∠B＝∠CB'D＝∠A＋∠ADB'＝2∠A，
∴∠A＋2∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝75°，
故答案為：D．
【分析】先利用折疊的性質可得∠CB'D＝∠B，∠BCD＝∠ACD=∠ACB＝45°，再結合∠A＝∠ADB'，∠CB'D＝∠A＋∠ADB'，利用角的運算和等量代換可得∠A＝30°，再求出∠BDC＝∠A＋∠ACD＝75°即可.
10．（2024八上·平果期末）如圖，一次函數與的圖象相交于點，則下列說法錯誤的是（　　）
A．
B．
C．關于x的方程的解是
D．關于x的不等式的解集是
【答案】D
【知識點】一次函數與一元一次方程的關系；一次函數與不等式（組）的關系；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：根據題意，把交點P（a，3）代入一次函數y＝ 2x＋1中得，
2a＋1＝3，解得，a＝ 1，
∴P（ 1，3），
把點P（ 1，3）代入一次函數圖象y＝kx＋b得， k＋b＝3，
根據一次函數y＝kx＋b的圖象可得，k＞0，b＞0，∴A，B正確，不符合題意；
當x＝ 1時，kx＋b＝3，∴C正確，不符合題意；
當kx＋b＜ 2x＋1時，x＜ 1，∴D錯誤，符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用一次函數的圖象與系數的關系（①當k>0時，一次函數的圖象呈上升趨勢；②當k<0時，一次函數的圖象呈下降趨勢；③當b>0時，函數圖象經過y軸的正半軸；④當b<0時，函數圖象經過y軸的負半軸）和一次函數與不等式的關系和一元一次方程的關系逐項分析求解即可.
11．（2024八上·平果期末）如圖，中，AD是角平分線，CE是的中線．若的面積是40，，，則的面積是（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】C
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質；三角形的中線
【解析】【解答】解：過點D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分別為F，G，如圖所示：
∵AD是角平分線，
∴DF＝DG，
設DF＝DG＝h，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
∴40＝AB DF＋AC DG，
∴8h＋12h＝80，
解得：h＝4，
∴S△ADC＝×12×4＝24，
∵CE是△ADC的中線，
∴S△DCE＝S△ADC＝×24＝12，
故答案為：C．
【分析】過點D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分別為F，G，設DF＝DG＝h，根據S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，可得40＝AB DF＋AC DG，求出h的值，再利用三角形的面積公式求出S△ADC＝×12×4＝24，最后利用三角形的中線平分三角形的面積可得S△DCE＝S△ADC＝×24＝12.
12．（2024八上·平果期末）如圖，兩個邊長相等的正方形ABCD和EFGH按如圖所示的位置擺放（CD與EF重合），點B，C，F，G共線，正方形ABCD沿BG方向勻速運動，直到B點與G點重合．設運動時間為t，運動過程中兩圖形重疊部分的面積為S，則下面能大致反映S與t之間關系的函數圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】函數的圖象；動點問題的函數圖象
【解析】【解答】解：設AB＝a，正方形ABCD運動速度為v，
當C點未達到G點時，CF＝vt，
∴S＝avt，其中a，v為常量，
當C點超過G點時，如下圖所示，
∵FC＝vt，
∴GC＝FC FG＝vt a，
∴BG＝BC GC＝a （vt a）＝2a vt
∴S＝a（2a vt）＝ avt＋2a2，其中a，v為常量，
故答案為：B．
【分析】利用“速度、路程和時間”的關系，再分別求出重疊部分的面積，再根據解析式分析函數圖象即可.
13．（2024八上·平果期末）函數，當時，函數值　 　．
【答案】-1
【知識點】函數值
【解析】【解答】解：將x=3代入，
可得：y=-2×3+5=-1，
故答案為：-1.
【分析】將x=3代入求出y的值即可.
14．（2024八上·平果期末）已知正比例函數的圖象經過點，則這個正比例函數的表達式是　 　．
【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；正比例函數的概念
【解析】【解答】解：設該正比例函數的解析式為y＝kx（k≠0），
∵正比例函數的圖象經過點（3， 6），
∴ 6＝3k，
解得：k＝ 2，
∴這個正比例函數的表達式是y＝ 2x.
故答案為：y＝ 2x.
【分析】設該正比例函數的解析式為y＝kx（k≠0），再將點（3，-6）代入解析式求出k的值即可.
15．（2024八上·平果期末）對于平面直角坐標系中任意兩點，定義一種新運算“※”；，根據這個規則計算：　 　．
【答案】
【知識點】有理數的乘法法則
【解析】【解答】解：根據題意可得，
（ 2，3）※（3，5）
＝（ 2×5，3×3）
＝（ 10，9），
故答案為：（ 10，9）．
【分析】參照題干中的定義及計算方法分析求解即可.
16．（2024八上·平果期末）如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線DF交BC于點F，交AB于點E，交CA的延長線于點D，若，則　 　．
【答案】16
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質
【解析】【解答】解：如圖，連接AF，BD，
∵DF是AB的垂直平分線，
∴BF＝AF，BD＝AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C=(180° ∠BAC)＝30°，∠DAB＝180° ∠BAC＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD＝AB＝AC，
∵AE＝4，
∴AB＝2AE＝8，
∴CD＝AD＝AC＝2AB＝16，
故答案為：16．
【分析】連接AF，BD，先證出△ABD是等邊三角形，可得AD＝AB＝AC，再結合AE=4，求出AB＝2AE＝8，最后求出CD＝AD＝AC＝2AB＝16即可.
17．（2024八上·平果期末）如圖，，點E在AB上，DE與AC交于點F，，，則　 　．
【答案】24°
【知識點】角的運算；三角形內角和定理；三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEB，∠D＝36°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝36°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180° ∠A ∠C＝84°，
∴∠CBD＝∠ABC ∠DBE＝84° 60°＝24°，
故答案為：24°．
【分析】先利用全等三角形的性質可得∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝36°，∠ABC＝∠DEB，再利用三角形的內角和求出∠ABC的度數，最后求出∠CBD＝∠ABC ∠DBE＝84° 60°＝24°即可.
18．（2024八上·平果期末）如圖，，于點A，于點B，且．點P從A向B運動，每分鐘走1m，點Q從A向D運動，每分鐘走2m，P，Q兩點同時出發，運動　 　分鐘后，與全等．
【答案】6
【知識點】三角形全等及其性質；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：設P，Q運動t分鐘后，△CPB與△PQA全等，
∵DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，
∴∠A＝∠B＝90°，
①當AP＝BC，AQ＝PB時，△BPC≌△AQP，
∵P每分鐘走1m，Q每分鐘走2m，
∴t×1＝BC＝6m，2t＝AB AP＝18 t，
∴t＝6；
②當AP＝BP，AQ＝CB時，△BPC≌△APQ，
∵P每分鐘走1m，Q每分鐘走2m，
∴t＝18 t，2t＝6，
∴不存在t的值使△BPC≌△APQ，
∴P，Q運動6分鐘后，△CPB與△PQA全等．
故答案為：6．
【分析】分類討論：①當AP＝BC，AQ＝PB時，△BPC≌△AQP，②當AP＝BP，AQ＝CB時，△BPC≌△APQ，再分別列出方程求解即可.
19．（2024八上·平果期末） 如圖，AC和BD相交于O點，且，．求證：∠A=∠D．
【答案】解：如圖所示，連接BC，
在和中，
，
∴， （SSS）
∴.
【知識點】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】連接BC，先利用“SSS”證出，再利用全等三角形的性質可得.
20．（2024八上·平果期末） 如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網格中建立平面直角坐標系．已知點A，B，C的坐標分別為，，上．
（1）作關于y軸的對稱（其中A點對應點為D，B點對應點為E，C點對應點為F）；
（2）寫出D，E，F三點的坐標；
（3）求的面積．
【答案】（1）解：如圖所示：為所求作的三角形
（2）解：，，
（3）解：
【知識點】點的坐標；三角形的面積；作圖﹣軸對稱
【解析】【分析】（1）先利用關于y軸對稱的點坐標的特征（橫坐標變為相反數，縱坐標不變）找出點A、B、C的對應點，再連接即可；
（2）根據平面直角坐標系直接寫出點D、E、F的坐標即可；
（3）利用三角形的面積公式求解即可.
21．（2024八上·平果期末） 桿秤是我國的傳統計量工具，如圖，秤鉤上所掛物體的重量不同使得秤砣到秤紐的水平距離不同．稱重時，當秤鉤所掛重物為x（kg）時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為y（cm）．已知y是關于x的一次函數，下表是若干次稱重時所記錄的數據．
x（kg） 0.5 1.5 3 　
y 1 　 2.25 3
（1）求y關于x的函數表達式，并將表格補充完整；
（2）當秤鉤所掛的重物重量為11kg時，求秤桿上秤砣到秤紐的水平距離．
【答案】（1）解：設y與x之間的函數表達式為
把和分別代入上式得．
解得 ，
∴.
補全表格如下表
x（kg） 0.5 1.5 3 4.5
y 1 1.5 2.25 3
（2）解：把代入，
解得：.
答：當秤鉤所掛的重物重量為11kg時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為6.25cm．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）利用待定系數法求出函數解析式，再將x、y的值分別代入解析式并將表格補充完整即可；
（2）將x=11代入解析式求出y的值即可.
22．（2024八上·平果期末） 如圖，已知，于點D，于點B，．
（1）求證：；
（2）連接AC交BD于點O，試判斷OA與OC之間的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）證明：如圖所示，
∵， ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
（2）解：.
理由如下：在和中，
，
∴，
∴.
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“HL”證出，再利用全等三角形的性質可得AD=CB；
（2）先利用“AAS”證出，再利用全等三角形的性質可得OA=OC.
23．（2024八上·平果期末） 如圖，在中，，E為AB邊上的點，且，D為線段AE的中點，過E點作，過C點作，且CF，EF相交于點F．
（1）求證：；
（2）求證：．
【答案】（1）證明：∵，D為線段AE的中點，
∴（三線合一），
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）證明：如圖所示：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
在和中，
，
∴，（ASA）
∴.
【知識點】三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性質-三線合一
【解析】【分析】（1）根據，，再利用等角的余角相等可得；
（2）先利用“AAS”證出，再利用全等三角形的性質可得.
24．（2024八上·平果期末） 如圖，以等邊的邊AC為腰作等腰，連接BD，過點A作交BC于點E，交DC的延長線于點F．
（1）求證：AE平分；
（2）若，，，求AF的長．
下面是小穎同學求AF長的過程，請將解題過程補充完整；
解：如圖所示，在FA上截取，連接BF，CG，
∵，，∴是等邊三角形，∴　 　
∵是等邊三角形，∴，，
∴　 　，在和中　 　　 　
∴∴　 　
由（1）知AF為BD的垂直平分線，∴∴　 　
∴
【答案】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵△ACD是等腰三角形，
∴AC＝AD，
∴AB＝AD，即△ABD是等腰三角形，
∵AG⊥BD，
∴AG平分∠BAD，
∵點E是AG線段上的一點，即點A，G，E三點共線，
∴AE平分∠BAD.
（2）解：，；；；CF；；
【知識點】等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；三角形全等的判定-SAS；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（2）解：如圖所示，在FA上截取FG＝FC，連接BF，CG，
∵∠AFD＝∠BAC＝60°，FG＝FC，
∴△FCG是等邊三角形，
∴CG＝CF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠GCF＝60°，
∴∠ACG＝60° ∠BCG＝∠BCF，
在△ACG和△BCF中，
∴△ACG≌△BCF（SAS），
∴AG＝BF，
由（1）可知AF為BD的垂直平分線，
∴BF＝FD，
∴AG＝DF，
∴AF＝AG＋FG＝DF＋CF＝7＋2＝9．
故答案為：CG＝CF，∠ACG＝60° ∠BCG＝∠BCF，AG＝BF，AG＝DF．
【分析】（1）先證出△ABD是等腰三角形，再結合AG⊥BD，利用“三線合一”可得AG平分∠BAD，再結合點E是AG線段上的一點，即點A，G，E三點共線，即可得到AE平分∠BAD；
（2）在FA上截取FG＝FC，連接BF，CG，先利用“SAS”證出△ACG≌△BCF，可得AG＝BF，再結合BF＝FD，可得AG＝DF，最后利用線段的和差求出AF的長即可.
25．（2024八上·平果期末） 某校計劃租用甲、乙兩種型號客車送200名師生去研學基地開展綜合實踐活動，需租用甲、乙兩種型號的客車共10輛．已知租用一輛甲型客車需800元，租用一輛乙型客車需1100元．甲型客車每輛可坐16名師生，乙型客車每輛可坐22名師生．
設租用甲型客車x輛，租車總費用為y元．
（1）請寫出y與x之間的函數表達式．（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）據資金預算，本次租車總費用不超過10800元，則甲型客車至少需租用幾輛
（3）在（2）的條件下，要保證全體師生都有座位，問有哪幾種租車方案 請選出最省錢的租車方案．
【答案】（1）解：
所以y與x之間的函數表達式為.
（2）解：根據題意，得 ，
解得：，
∵x應為正整數，
∴，
答：甲型客車至少需租用1輛．
（3）解：根據題意，得 ，
解得：，結合（2）的條件，得
∵x應為正整數，
∴x=1，2，3．
因此有3種租車方案：
方案一，甲型客車租1輛，乙型客車租9輛；
方案二，甲型客車租2輛，乙型客車租8輛；
方案三，甲型客車租3輛，乙型客車租7輛．
∵，，
∴y隨x的增大而減小，
∴當時，y取得最小值．
∴最省錢的租車方案是甲型客車租3輛，乙型客車租7輛．
【知識點】一元一次不等式的應用；列一次函數關系式；一元一次不等式組的實際應用-方案問題
【解析】【分析】（1）利用“租車總費用=甲型客車費用+乙型客車費用”列出函數解析式即可；
（2）根據“本次租車總費用不超過10800元”列出不等式，再求解即可；
（3）先求出，可得x=1，2，3，再求出三種方案，最后分別求解即可.
26．（2024八上·平果期末） 綜合與實踐
【問題情境】
數學課上老師組織同學們利用直角三角形紙片來進行拼圖探究活動．
（1）【實驗探究】陽光小組將一張含30°角的直角三角形紙片和一張等腰直角三角形紙片按圖①的方式擺放，則圖中　 　．
（2）無敵小組將兩張等腰直角三角形紙片和按圖②的方式擺放，點A與點D以重合，且點B，C，E在同一直線上，連接CF交AE于點G，小組同學測量發現，請你幫他們證明此結論．
（3）【拓展探究】課后小強自制了兩張三角形紙片和，其中，，，他把兩張三角形紙片按圖③的方式擺放（A與D重合，B與E重合）．點C，F在AB兩側，過點B作，交AC的延長線于點G，小強發現線段AC，AF，CG之間存在一定的數量關系，請你探究此關系并加以證明．
【答案】（1）
（2）證明：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，點A與點D以重合，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAF，
∴在△BAE和△CAF中，
　 　
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠BEA＝∠CFA，
∵∠EAF＝90°，
∴∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠EFC＋∠FEC＝∠EFC＋∠FEA＋∠AEB＝∠EFC＋∠FEA＋∠AFC＝∠AFE＋∠FEA＝90°，
∴∠ACE＝180° （∠EFC＋∠FEC）＝180° 90°＝90°，
∴CF⊥BE.
（3）解：AF＝AC＋2CG.
證明如下：過點B作BH⊥AF于點H，如圖所示：
∴∠BHA＝∠BHF＝90°，
∵BG⊥AC，
∴∠G＝90°，
∴∠BHA＝∠BHF＝∠G，
由題意可得∠BAF＝∠BAG，
∴在△ABH和△ABG中，
，
∴△ABH≌△ABG（AAS），
∴AH＝AG，BH＝BG，
∵∠F＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠BCG＝180°，
∴∠F＝∠BCG，
在△BHF和△BGC中
，
∴△BHF≌△BGC（AAS），
∴HF＝GC，
∴AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG．
【知識點】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（1）解：如圖所示，
由題意可得：∠D＝30°，∠DEF＝90°，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠ACB=×90°＝45°，
∴∠1＝∠ACE ∠D＝45° 30°＝15°；
故答案為：15°.
【分析】（1）先求出∠ACE=∠ACB=×90°＝45°，再利用角的運算求出∠1的度數即可；
（2）先利用“SAS”證出△BAE≌△CAF，可得∠BEA＝∠CFA，再利用角的運算和等量代換可得∠ACE＝180° （∠EFC＋∠FEC）＝180° 90°＝90°，即可得到CF⊥BE；
（3）過點B作BH⊥AF于點H，先利用“AAS”證出△ABH≌△ABG，可得AH＝AG，BH＝BG，再結合∠F＝∠BCG，利用“AAS”證出△BHF≌△BGC，可得HF＝GC，最后利用線段的和差及等量代換可得AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG．
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