資源簡介

絕密★啟用前
德州市優高聯盟九校聯考數學試題
考試時間：120 分鐘； 2025 年 1 月
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第 I卷（選擇題）
一、單選題（每小題 5 分，共 8 個小題，總分 40 分）
1．已知集合 A {x∣2 x 2 3},B x∣x 2k 1,k N* ，則 A B （ ）
A． 1,3,5 B． 3,5 C． 3,5,7 D． 5,7,9
2．“數列 an 為等差數列” 是 “ a3 a9 2a6 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
3．已知函數 f x sinx與 g x cosx的圖象分別向右平移 個單位長度和 個單位長度后，所得圖象
重合，則（ ）
π
A． 2kπ k Z B． 2kπ π k Z
2 2
C． 2kπ
π
k π Z D． 2kπ k Z
2 2
4．某科學興趣小組的同學認為生物都由蛋白質構成，高溫可以使蛋白質變性失活，于是想初步探究某
病毒的成活率與溫度的關系，病毒數量 y(個 )與溫度 x ℃ 的部分數據如下表，由表中數據算得經驗回
歸方程 y b x a 中的b 1，預測當溫度為 22℃時，病毒數量為（ ）
溫度 x /℃ 4 8 10 18
病毒數量 y /個 30 22 18 14
A．10 B．9 C．8 D．7
5．如圖所示，點 F 是拋物線 y2 4x的焦點，點 A,B 2分別在拋物線 y2 4x及圓 x 1 y2 16的實線
部分上運動，且 總是平行于 x軸，則 FAB的周長的取值范圍是（ ）
A. 8,10 B． 5,8
C． 10,12 D． 8,10
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6．2025年春節放假安排：農歷除夕至正月初六放假，共 7天．某單位安排 7位員工值班，每人值班 1
天，每天安排 1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不
同的安排方案共有（ ）
A．1440種 B．1360種
C．1128種 D．1282種
7．已知點 A 2,0 ,B 0, 2 ，點 P在圓C : (x 2)2 y2 2上運動， PAB的最大值為 ，最小值為 ，
則sin sin （ ）
A 3 B 5 C 6 D 7． ． ． ．
2 2 2 2
x2 y28．設雙曲線C : 2 2 1 a 0,b 0 的左 右焦點分別為 F1,F2，左 右頂點為 A1, A2 ，已知 P為雙曲線a b
π
一條漸近線上一點，若 F1PF2 3 A1PA2 ，則雙曲線C的離心率 e （ ）2
A． 13 B．2 3 C． 11 D． 10
二、多選題（每小題 6 分，共 3 個小題，總分 18 分）
9．已知復數 z滿足 z2 z 1 0，則下列結論正確的是（ ）
A． z 1 B． z2 z
C． z2 z 0 D． z3 1
10．有 6個相同的球，分別標有數字 1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機取兩次，事件A表示“第一
次取出的球的數字是偶數”，事件 B表示“第二次取出的球的數字是奇數”，事件C表示“兩次取出的球的
數字之和是偶數”，則（ ）
A．A與 B為互斥事件 B． B與C相互獨立
C． P(A B)
3 2
D． P(C | B)
5 5
x
11．已知定義在 , 0 0, 上的函數 f x 滿足 f xy f 2 f y ，且當 x 1時， f x 0，
y
則下列結論正確的是（ ）
f x 1A． 是偶函數 B． f x f 0
x
C． f a f b 2 f ab D． f x 在 , 0 上單調遞增
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第 II 卷（非選擇題）
三、填空題（每小題 5 分，共 3 個小題，總分 15 分）
12 2．某流水線上生產的一批零件，其規格指標 X可以看作一個隨機變量，且 X ~ N 98, ，對于 X 100
的零件即為不合格，不合格零件出現的概率為 0.05，現從這批零件中隨機抽取 500個，用 Y表示這 500
個零件的規格指標 X位于區間 96,100 的個數，則隨機變量 Y的方差是 .
6
13 ． x
2 x 2 的展開式中含 x的項的系數為 .
x2 x
14．如圖，曲線C : (x2 y2 )3 32x2 y2是四葉玫瑰花瓣曲線，若點 (x, y)
是曲線C上一點，則 x2 y2 的最大值為 ，玫瑰花瓣及其邊
界內包含整點（橫 縱坐標均為整數）的個數為 .
四、解答題（共 5 個大題，總分 77 分）
15．（13分）

在△ABC中，角 A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設向量m 2sinA, 3sinA 3cosA ，
n cosA,cosA sinA ， f A m n A π , 2π， . 6 3
(1) 求函數 f A 的最大值；
(2) 若 f A 0， a 3， sinB sinC 6 ，求△ABC的面積.
2
16．（15分）
統計顯示，我國在線直播生活購物用戶規模近幾年保持高速增長態勢，下表為 2020年— 2024年我
國在線直播生活購物用戶規模（單位：億人），其中 2020年— 2024年對應的代碼依次為1—5 .
年份代碼 x 1 2 3 4 5
市場規模 y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36
5
y 5.16， v 1.68， vi yi 45.10，其中 vi xi
i 1
參考公式：對于一組數據 v1, y1 、 v2 , y2 、……、 vn , yn ，其經驗回歸直線 y bv a的斜率和截距的
n
vi yi nvy
最小二乘估計公式分別為b i 1n ， a 1.83 .2
v2i nv
i 1
第 3頁，共 4頁
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(1) 由上表數據可知，若用函數模型 y b x a擬合 y與 x的關系，請估計 2028年我國在線直播生活購
物用戶的規模（結果精確到 0.01）；
(2) 已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率 P，現從我國在線直播購物用戶
中隨機抽取5人，記這5人中選擇在品牌官方直播間購物的人數為 X ，若P X 5 P X 4 ，求 X 的
數學期望和方差.
17．（15分）
x2 y2 5
已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的左、右頂點分別為 A1, A2 ，其離心率 e ，過點 B(2,0)的直a b 3
l C P,Q A , A l | PQ | 4 5線 與橢圓 交于 兩點（異于 1 2 ），當直線 的斜率不存在時， .
3
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 若直線 A1P與 A2Q交于點S，試問：點S是否恒在一條直線上？若是，求出此定直線方程，若不
是，請說明理由.
18．（17分）
x 1
已知函數 f x alnx .
x 1
(1) 當 a 1時，求函數 f x 的單調區間；
(2) g x a x2 1 lnx (x 1)2若 a 0 有 3個零點x1， x2， x3，其中 x1 x2 x3 .
求實數 a的取值范圍.
19．（17分）
*
已知項數為m m N ,m 2 a a a a的數列 an 為遞增數列，且滿足 a *n N ，若b 1 2 m nn ，m 1
b N*且 n ，則稱 bn 為 an 的“伴隨數列”.
(1) 數列 4，10，16，19是否存在“伴隨數列”，若存在，寫出其“伴隨數列”，若不存在，說明理由;
(2) 若 bn 為 an 的“伴隨數列”，證明：b1 b2 bm；
(3) 已知數列 an 存在“伴隨數列” bn ，且a1 1,am 2025，求m的最大值.
第 4頁，共 4頁
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德州市優高聯盟九校聯考數學試題
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C B D C D A AC BD ABD
8
2 2 b
．【解】因雙曲線 : 2 2 = 1 > 0, > 0 的漸近線為 y x，焦點 F1( c,0),F2 (c,0) ， a
P b由雙曲線的對稱性不妨設 x0 , x

0 (x0 0)，
a
F π因為 1PF2 ，所以PF1 PF2，所以 k2 PF
k
1 PF
1
2 ，
b x b x 2 2
所以 a 0 a 0 b 1，所以
2
2 x0 c
2 x2 c0 , 2 x
2
0 c
2 ,x0 a ，
x0 c x0 c a a
所以 PA F F 3 A PA
π π
2 1 2，又 1 2 ，所以 PA A ，2 1 2 3
PA2 b
所以 tan
π
3
A A 2a 3 ，所以. b 2 3a，兩邊平方得b
2 12a2，
1 2
所以 c2
c
a2 12a2 ，所以 c2 13a2，所以 13，a
所以雙曲線C的離心率 e 13 . 故選：A.
11．ABD 【解】令 y 1, f x f x 2 f 1 , f 1 0，再令 x 1，得 f y 1 f 2 f y （1），
y
即 f y 1 f 1 0，所以 f x f 0，故 B正確；
y x
令 x 1，得 f y f 1 2f y ，
y
1
由（1）得 f y f 2f y , f y f y ，故 A正確；
y
令 a xy,b
y y
, y2 ab, y ab , f xy f
x
2 f y 2 f y ，
x
即 f a f b 2 f ab ，故 C不正確；


x f x1 f x2 f x1 f
1
2 f
x1
x x
0
設 x1 x2 0，則 1 1 則由B,C的分析及題意可得 2 2 ，
x2
即 f x1 f x2 , f x 在 0, + ∞ 上單調遞減，又 f x 是偶函數，
答案第 1頁，共 5頁
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∴ 在 ,0 上單調遞增，故 D正確，
12． 45 13．120 14． 8 17
x2 214【解】由基本不等式 (x2 y2)3 32x2 y2 32 ( y )2 8(x2 y2)2 ，解得 x2 y2 8，
2
當且僅當 x2 y2時取等號，所以 x2 y2 的最大值為 8；
在圓 x2 y2 8及其內部的整點橫向最上面一排有 ( 2, 2), ( 1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2)，共 5排；
縱向每一列也有 5個點，有 5列，共 25個，驗證知只有坐標軸上除原點外的 8個點不在花瓣內，所以
共有 17個. 故答案為：8；17
15．【解】（1） f (A) m n 2sin Acos A ( 3 sin A 3 cos A)(cos A sin A)
sin 2A 3(cos2A sin2A) sin 2A 3 cos 2A 2sin 2A
π
............3
3
A π因為 ,
2π 2A π 2π , 5π ，所以 ，.............4 6 3 3 3 3
2A π 2π π所以當 ，即 A 時，................5 f A 3有最大值
3 3 6 2 3
；...........6
2
（2）因為 f A 0，所以 2sin π 2A 0 ，所以 2A
π
kπ,k Z，
3 3
π 2π π
因為 A , ，所以 A ，.............8 6 3 3
b c a 3
2 b
由正弦定理 sinB sinC sin A 3 ，所以sin B ， sinC
c
，
2 2
2
sin B sinC 6 b c 6又因為 ，所以 ，得b c 6 ，..............10
2 2 2 2
由余弦定理有：a2 b2 c2 2bccos A，即3 (b c) 2 3bc，所以bc 1，..............12
1 1 3 3
所以 S△ABC bc sinA 1 ．..................132 2 2 4
16．【解】（1）設 v x，則 y bv a，..........1
5 5
因為 y 5.16，........2 v 1.68，.............3 v2i xi 15 ...........4
i 1 i 1
5
vi yi 5v y
b i 1 45.10 5 1.68 5.16所以， 5 1.98，......................62
v2 5v 15 5 1.68
2
i
i 1
所以， y與 x的擬合函數關系式為 y 1.98 x 1.83
當 x 9時， y 1.98 3 1.83 7.77，
則估計2028年我國在線直播生活購物用戶的規模為7.77億人....................7
答案第 2頁，共 5頁
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（2）由題意知 X B 5,P ，..................8
所以，P X 4 C45P4 1 P 5P4 1 P ，...............9
P X 5 C5P 55 ，.............10
由P X 5 P X 4 4 5，可得5P 1 P P ，...............11
因為0 P 1，解得P
5
，...................13
6
E X 5 5 25 D X 5 5 1 5 25所以， ，..........14 ..............156 6 6 6 36
17．解：(1)由題意可設橢圓的半焦距為 c，
c 5

a 3 a 3
4 20
由題意得： 2 2 1 b 2a 9b ...................3
a2 b2 c2 c 5


x2 y2
所以橢圓C的方程為： 1 ......................4
9 4
(2)設直線 l的方程為 x my 2， P x1, y1 ，Q x2 , y2
x my 2

聯立 x2 y2 4m2 9 y2 16my 20 0 ...................6
1 9 4
y y 16m 1 2

4m2y , y 9由 1 2是上方程的兩根可知： 20 ....................7 y1 y 2

4m2 9
4my1 y2 5 y1 y2 ......................8
y
直線 A1P
1
的方程為： y x 3 x 3 ...................91
y y2直線 A2Q的方程為： x 3 x2 3
..................10
得： x2 3 y1 x 3 x1 3 y2 x 3
5y2 y1 x 3 2my1 y2 5y2 y1 ...............12
把4my1 y2 5 y1 y2 代入得：
5y2 y1 x 3
5 y 5 1 y
9
2 5y2 y

1 5y y 2 2 2 2 1 ................14
9 9
即 x ，故點S恒在定直線 x 上．...................15
2 2
答案第 3頁，共 5頁
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x 1 2
18．（1）當時 a 1， f x lnx ， f x 1 2 x 1 2 2 ，.............3x 1 x (x 1) x(x 1)
則 f x 0在 0, 恒成立，所以 f x 在 0, 單調遞增，
故 f x 的單調遞增區間為 0, ，無單調遞減區間.........................4
（2） g x a x 2 1 lnx (x x 1 1)2 x 2 1 a lnx x 2 1 f x ，..............5
x 1
g 1 0， f 1 0，則 f x 除 1外還有兩個零點...........................6
ax2 2a 2
f x a 2 x a 2 2 ，..........................7x (x 1) x(x 1)
令h x ax2 2a 2 x a( x 0)，.............8
當 a 0時，h x 0在 0, 恒成立，則 f x 0，所以 f x 在 0, 單調遞減，不滿足，舍去；......9
當 a 0時，要是 f x 除 1外還有兩個零點，則 f x 不單調，
1
所以 h x 存在兩個零點，所以Δ (2a 2)2 4a2 0，解得0 a ，.............11
2
當0 a
1
時，設 h x 2的兩個零點為m,n(m n)，則m n 2 0，mn 1，
2 a
所以 0 m 1 n ...................12
當 x 0,m 時， h x 0， f x 0，則 f x 單調遞增；
當 x m,n 時， h x 0， f x 0，則 f x 單調遞減；
當 x n, 時， h x 0， f x 0，則 f x 單調遞增；..................13
又 f 1 0，所以 f m 0， f n 0，
1 1
1 a
f e a 1 e 1 2e
a 1
而 1 1 0 ，且

a ，.....................14
1
e 1
e a e a 1
1
1 a 1
f e 1 2 ea 1 1 1 0，且 ea 1，.....................15
ea 1 ea 1
1 1
所以存在 x a1 e ,m ， x3 n, ea ，使得 f x1 f x3 0，

即 g x a x2 1 lnx (x 1)2 a 0 有 3個零點x x 1 x1， 2 ， 3 .............................16
1
綜上，實數 a的取值范圍為 0, .....................17
2
答案第 4頁，共 5頁
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4 10 16 19 4 4 10 16 19 1019 ．【解】（1）因為b1 15， b

2 13 ......14 1 4 1
4 10 16 19 16 4 10 16 19 19
b 11 b 3 ， 4 10，......... 24 1 4 1
所以數列 4,10,16,19存在“伴隨數列”，且其“伴隨數列”為15,13,11,10 ...........3
（2）因為數列 an 存在“伴隨數列” bn ，所以 an 1 an 0 1 n m 1 ，..............4
且bn ,b
*
n 1 N
a1 a1 ··· am an a1 a1 ··· am a∴bn b n 1
an 1 an *
n 1 N ，...............6m 1 m 1 m 1
∴bn bn 1 0，即bn bn 1，∴b1 b2 bm ．...........7
（3）①因為a1 1,am 2025，其中m≥ 2
當m 2時， a1 1,a2 2025，.........8
1 2025b 1 1 20252025 b 2025有 1 ， 2 1均為正整數...............92 1 2 1
即當m 2時，數列1, 2025存在“伴隨數列”： 2025,1
因此m的最小值為 2 ...............10
②一方面，由（2）知， an 1 an m 1 bn bn 1 m 1,
于是 am 1 am am 1 am 1 am 2 a 2 a1 m 1 m 1 m 1 m 1 2
m 1 2所以 2024 m 45 m N * ....................13
另一方面，由數列 an 存在“伴隨數列 bn ，知
a1 a1 ··· am a1 a1 ab b 1 ··· am am am a1 2024 N*1 m ..........15m 1 m 1 m 1 m 1
所以m 1是 2024的正約數，而 2024 2 2 2 11 23，
若m 1的最大值為 44 ,即 m= 45，取 an 44n 43 n 1, 2, , 44 ， a45 2025，........16
此時 an 中的每一項除以 44都余 1，
a a ··· a a1 a2 ··· a故 45 a n *1 2 45 an是 44的正整數倍即bn N ，44
故m的最大值為 45 ..............................17
答案第 5頁，共 5頁
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