資源簡介

人教版九年級上學期數學第二十五章質量檢測（高階）
一、選擇題（每題3分）
1．（2024九上·西湖月考）從﹣3，﹣2，﹣1，0，1這五個數中，隨機取出一個數，記為a，若a使得關于x的不等式組無解，且關于x的分式方程有整數解的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
2．一項“過關游戲”規定：在過第n關時要將一顆質地均勻的骰子(六個面上分別刻有1到6個點)拋擲n次，若n次拋擲所出現的向上一面的點數之和大于n2，則算過關；否則，不算過關．能過第二關的概率是（　　）．
A． B． C． D．
3．（2024九上·武昌月考）我國魏晉時期的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖，若，，現隨機向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區域內的概率（　　）．
A． B． C． D．
4．（2018九上·紹興月考）甲乙兩人輪流在黑板上寫下不超過 的正整數（每次只能寫一個數），規定禁止在黑板上寫已經寫過的數的約數，最后不能寫的為失敗者，如果甲寫第一個，那么，甲寫數字（　?。r有必勝的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
5．（2015九上·新泰競賽）準備兩張大小一樣，分別畫有不同圖案的正方形紙片，把每張紙都對折、剪開，將四張紙片放在盒子里，然后混合，隨意抽出兩張正好能拼成原圖的概率是（　　）.
A． B． C． D．
6．（2024九上·順德期中）如圖，電路圖上有1個小燈泡以及4個斷開狀態的開關A，B，C，D，現隨機閉合兩個開關，小燈泡發光的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2024九上·慈溪期中）下列事件中必然發生的事件是（　　）
A．一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等'
B．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數
C．100件產品中有4件次品，從中任意抽取5件，至少有1件是正品
D．經過任意三點一定可以畫一個圓.
8．（2024九上·鄞州期中）筆簡中有9支型號、顏色完全相同的鉛管，將它們逐一標上1-9的號碼，若從管簡中任意抽出一支鉛筆，則抽到編號是3的倍數的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
9．（2024九上·淳安期中）某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統計了某一事件結果出現的頻率，繪制了如圖所示的折線統計圖，則符合這一結果的實驗最有可能的是（　?。?br/>A．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區別，從中任取一球是黃球
B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃
C．擲一個質地均勻的骰子，向上的面點數是4
D．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀
10．（2024九上·嘉興期末）如圖，我國古代數學家趙爽使用的弦圖是由四個全等的直角三角形構成的正方形，若，，在弦圖區域內隨機取點，則該點落在正方形區域內的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
二、填空題（每題3分）
11．（2024九上·墊江縣期中）將6名志愿者分到3個不同的社區，每個社區2名志愿者，則甲、乙兩名志愿者分到同一個社區的概率為 ．
12．有四張正面分別標有數字-3，0，1，5的不透明卡片，它們除數字不同外其余均相同．現將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數字記為a，則使關于x的分式方程有正整數解的概率為　 　
13．（2017九上·邯鄲期末）如圖，平面內有16個格點，每個格點小正方形的邊長為1，則圖中陰影部分的面積為　 ?。?br/>14．（2024九上·重慶市期中）從，1，3，這4個數中任選兩個數，分別記作，，那么點在平面直角坐標系中第二象限內的概率是　 　．
15．（2024九上·沙坪壩月考）從數，，1，2中任取一個數記為k，再從余下的3個數中，任取一個數記為b，則一次函數不經過第一象限的概率是．
三、解答題（共75分）
16．（2024九上·甘州月考）如圖，甲轉盤被分成3個面積相等的扇形，乙轉盤被分成4個面積相等的扇形，每一個扇形都標有相應的數字．同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，設甲轉盤中指針所指區域內的數字為x，乙轉盤中指針所指區域內的數字為y（當指針指在邊界上時，重轉一次，直到指針指向一個區域為止）．
（1）請你用畫樹狀圖或列表格的方法，求出點（x，y）落在第二象限內的概率；
（2）求出點（x，y）落在函數y＝ 圖象上的概率．
17．（2024九上·南山期中） 4件同型號的產品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）從這4件產品中隨機抽取1件進行檢測，不放回，再隨機抽取1件進行檢測. 請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩次抽到的都是合格品的概率；(解答時可用A表示1件不合格品，用B、C、D分別表示3件合格品)
（2）在這4件產品中加入若干件合格品后，進行如下試驗：隨機抽取1件進行檢測，然后放回，多次重復這個試驗，通過大量重復試驗后發現，抽到合格品的頻率穩定在0.95，則可以推算出大約加入多少件合格品
18．（2024九上·龍崗期中）化學實驗課上，楊老師帶來了（鎂）、（鋁）、（鋅）、（銅）四種金屬材料及其元素卡片（如圖，除正面信息不同外，其余均相同），將四張元素卡片背面朝上洗勻，讓學生隨機抽取一張，然后用抽取到的金屬與鹽酸反應來制取氫氣．（根據金屬活動順序可知：可以置換出氫氣，而不能置換出氫氣）
（1）小云隨機從中抽取一張卡片，抽到“”的概率為 　 ??；
（2）小云隨機從中抽取一張卡片，記下金屬后，放回洗勻，小南再從中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法求小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的概率．
19．（2024九上·杭州期中）睡眠管理作為“五項管理”中的重要內容之一，也是學校教育重點關注的內容，某校為了解學生平均每天睡眠時間，隨機抽取該校部分學生進行問卷調查，并將結果進行了統計和整理，繪制成如下統計表和不完整的統計圖.
某校學生睡眠時間各類別人數情況統計圖
學生類別 學生平均每天睡眠時間x（單位：小時）
A 7≤x<7.5
B 7.5≤x<8
C 8≤x<8.5
D 8.5≤x<9
E x≥9
（1）扇形統計圖中表示C類學生平均每天睡眠時間的扇形的圓心角度數為　 　.
（2）請補全條形統計圖.
（3）被抽取調查的E類4名學生中有2名女生，2名男生，從這4人中隨機抽取2人進行電話問訪，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率.
20．（2024九上·衡陽期中）（1）已知關于x的一元二次方程，若，是原方程的兩根，且，求的值．
（2）從1，2，3，4中任取一個數記為b，再從余下的三個數中，任取一個數記為c，求關于x的方程有實數根的概率．
21．（2024九上·九江期中）2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為A，B，C，D，體育老師把這四個項目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．
（1）體育老師想從這四張卡片中隨機抽取一張，去了解該項目在奧運會中的得分標準，恰好抽到是（滑板）的概率是_____；
（2）體育老師想從中選出兩個項目，然后做成手抄報給同學們普及一下，他先從這四張卡片中隨機抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．
22．（2020九上·東莞期末）某校要求九年級同學在課外活動中，必須在五項球類（籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活動中任選一項（只能選一項）參加訓練，為了了解九年級學生參加球類活動的整體情況，現以九年級2班作為樣本，對該班學生參加球類活動的情況進行統計，并繪制了如圖所示的不完整統計表和扇形統計圖：
九年級2班參加球類活動人數統計表
項目 籃球 足球 乒乓球 排球 羽毛球
人數 a 6 4 8 6
根據圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）a＝　 　，b＝　 ?。?br/>（2）該校九年級學生共有600人，則該年級參加足球活動的人數約　 　人；
（3）該班參加乒乓球活動的4位同學中，有2位男同學（A，B）和2位女同學（C，D），現準備從中選取兩名同學組成雙打組合，用樹狀圖或列表法求恰好選出一男一女組成混合雙打組合的概率．
23．（2023九上·溫州期末）某水果公司以9元/千克的成本從果園購進10000千克特級柑橘，在運輸過程中，有部分柑橘損壞，該公司對剛運到的特級柑橘進行隨機抽查，并得到如下的“柑橘損壞率”統計圖．由于市場調節，特級柑橘的售價與日銷售量之間有一定的變化規律，如下表是近一段時間該水果公司的銷售記錄．
特級柑橘的售價(元/千克) 14 15 16 17 18
特級柑橘的日銷售量(千克) 1000 850 900 850 800
（1）估計購進的10000千克特級柑橘中完好的柑橘的總重量為　 　千克；
（2）按此市場調節的規律來看，若特級柑橘的售價定為16.5元每千克，估計日銷售量，并說明理由．
（3）考慮到該水果公司的儲存條件，該公司打算12天內售完這批特級柑橘只售完好的柑橘，且售價保持不變，求該公司每日銷售該特級柑橘可能達到的最大利潤，并說明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】概率公式
2．【答案】A
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在過第n關時要將一顆質地均勻的骰子（六個面上分別刻有1到6的點數）拋擲n次，n次拋擲所出現的點數之和大于則算過關；
∴能過第二關的拋擲所出現的點數之和需要大于5，
列表得：
　 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36種等可能的結果，能過第二關的有26種情況，
∴能過第二關的概率是：
故選：A．
【分析】將n用2代入，求出能過第二關所出現的點數之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的結果數和能過第二關的結果數，利用概率公式求解.
3．【答案】C
【知識點】一元二次方程的根；勾股定理；幾何概率
【解析】【解答】解：如圖所示：
設小正方形的邊長為x，
∵a＝2，b＝3，
∴AB＝2+3＝5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2
∴（2+x）2+（x+3）2＝52
∴x＝1，x＝﹣6（不合題意舍去）
∴
∴，陰影面積
∴針尖落在陰影域內的概率＝
故答案為：C．
【分析】設小正方形的邊長為x，再利用勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，即（2+x）2+（x+3）2＝52，求出x的值，再分別求出BC和AC的長，最后利用三角形的面積公式及割補法求出陰影部分的面積即可.
4．【答案】D
【知識點】游戲公平性
【解析】【解答】對于選項A：當甲寫10時，乙可以寫3、4、6、7、8、9，如果乙寫7，則乙必勝，因為無論甲寫3，4，6，8，9這五個數中的6(連帶3)或8(連帶4)，乙可以寫4或3，剩下2個數字；當甲寫3或4時，乙可以寫8(連帶4)或6(連帶3)，剩下偶數個數字甲最后不能寫，乙必勝；
對于選項B：當甲寫9后，乙可以寫2、4、5、6、7、8、10，如果乙寫6，則乙必勝，因為剩下4、5、7、8、10這5個數中，無論甲寫8(連帶4)或10(連帶5)，乙可以寫5或4；當甲寫4或5時，乙可以寫10(連帶5)或8(連帶4)，甲最后不能寫，乙必勝；
對于選項C：當甲寫8時，乙可以寫3、5、6、7、9、10，當乙寫6(或10)時，甲就必須寫10(或6)，因為乙寫6(或10)后，連帶3(或5)也不能寫了，這樣才能保證剩下能寫的數有偶數個，甲才可以獲勝；
對于選項D： 甲先寫6，由于6的約數有1，2，3，6，接下來乙可以寫的數只有4、5、7、8、9、10，把這6個數分成三組：(4，7)、(5，8)、(9，10)，當然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要組內兩數大數不是小數的倍數即可，這樣，乙寫某組數中的某個數時，甲就寫同組中的另一數，從而甲一定寫最后一個，甲必獲勝，
綜上可知，只有甲先寫6，才能必勝，
故答案為：D.
【分析】根據游戲規則，分別將四個答案，一一分析，判斷出最后一個能書寫的是誰即可得出答案。
5．【答案】A
【知識點】概率公式
【解析】【解答】設分成的四張紙片中，1和2為一張；3和4為一張；如圖：
那么共有12種情況，正好能拼成的占4種，概率是 .
答案為：A．
【分析】把4張撲克符號化，即1、2拼為一張，3、4 拼為一張，任意抽取兩張，有12種機會均等的情況，正好一張的有4種情況，代入概率公式，可得概率為.
6．【答案】A
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
7．【答案】C
【知識點】事件的分類
【解析】【解答】解：A、一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等，是不可能事件，故本選項不符合題意，A錯誤；
B、隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數，是隨機事件，故本選項不符合題意，B錯誤；
C、100件產品中有4件次品，從中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本選項符合題意，C正確；
D、只有不在同一條直線上的三點才能確定一個圓，如果三點在同一條直線上，則無法畫出一個圓，是隨機事件，故本選項不符合題意，D錯誤．
故答案為：C．
【分析】本題考查必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發生的事件．一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等，是不可能事件，利用必然事件的定義可判斷A選項；隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數，是隨機事件，利用必然事件的定義可判斷A選項；100件產品中有4件次品，從中任意抽取5件，至少有1件是正品，利用必然事件的定義可判斷A選項；只有不在同一條直線上的三點才能確定一個圓，如果三點在同一條直線上，則無法畫出一個圓，利用必然事件的定義可判斷A選項；
8．【答案】C
【知識點】概率公式；簡單事件概率的計算
9．【答案】A
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：A、暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區別，從中任取一球是黃球的概率為，故A選項不符合題意，A錯誤；
B、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是；故B選項不符合題意，B錯誤．
C、擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4的概率為，故C選項符合題意，C正確；
D、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀“的概率為，故D選項不符合題意，D錯誤；
故答案為：C．
【分析】本題考查利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．根據統計圖可知，試驗結果在附近波動，即其概率.利用概率計算公式可得：從中任取一球是黃球的概率為，據此可判斷A選項；利用概率計算公式可得：從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是，據此可判斷B選項；利用概率計算公式可得：向上的面點數是4的概率為，據此可判斷C選項；利用概率計算公式可得：小明隨機出的是“剪刀“的概率為，據此可判斷D選項；
10．【答案】D
【知識點】幾何概率
【解析】【解答】解：由題意4個小三角形都是全等的直角三角形，AF=4，BF=3，
∴AB=5，EF=1.
∴正方形ABCD的面積是25，正方形EFGH的面積是1，
故弦圖區域內隨機取點，則該點落在正方形區域內的概率為.
故答案為：D.
【分析】根據題意，4個全等的直角三角形面積相等，據此可求出正方形ABCD和正方形EFGH的面積，再求概率即可.
11．【答案】
【知識點】概率公式
12．【答案】
【知識點】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
當a=0時，x=1，是分式方程的根，且是正整數解；
當a=-3時，x=，是分式方程的根，但不是正整數解；
當a=1時，x=2，不是分式方程的根，是增根；
當a=5時，x=，是分式方程的根，但不是正整數解；
∴ 使關于x的分式方程有正整數解的概率為： .
故答案為： .
【分析】先將a作為字母系數解分式方程，再分別求出a=-3、0、1、5的時候方程的根，并找出使分式方程有正整數解的情況數，從而根據概率公式即可算出答案.
13．【答案】
【知識點】幾何概率；概率公式
【解析】【解答】由題意，中間正方形中直角三角形的面積為
，
∴陰影部分的面積為1-
，
∴點P落在圖中陰影部分的概率是
．
【分析】由圖知，AB與CD 相交于O，O為CD中點，也為正方形邊長MF的中點，OF：BE=1：2，可以計算出直角三角形的面積為
，套概率公式可算出陰影概率.
14．【答案】
【知識點】概率公式；點的坐標與象限的關系
15．【答案】
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；一次函數圖象、性質與系數的關系
16．【答案】（1）（2）
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
17．【答案】（1）（1）畫出樹狀圖.
由樹狀圖可知，共有12種等可能的情況，抽到的都是合格品的情況有6種，
由此可得P(抽到的都是合格品)==.
（2）設加入x件合格品，
∵大量重復試驗后發現，抽到合格品的頻率穩定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
根據題意得=0.95，解得x=16.
經檢驗，x=16是原分式方程的根.
答：大約加入16件合格品.

【知識點】分式方程的實際應用；頻數與頻率；概率公式
【解析】【分析】本題考查概率的求法，用頻率估計概率.
（1）先利用樹狀圖表示出所有可能出現的情況，找出抽到的都是合格品的情況，再利用古典型概率的計算公式進行計算可求出答案；
（2）設加入x件合格品，根據頻率估計出抽到合格品的概率為：抽到合格品的概率等于0.95，再利用概率公式列出關于x的方程：=0.95，解方程可求出x的值，再進行檢驗，進而可求出答案.
18．【答案】（1）
（2）
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
19．【答案】（1）
（2）D類的人數為5 (人)，
補全條形統計圖，如圖，
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能結果，其中兩人恰好是2名男生的結果有2種.
∴.
【知識點】條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解析】 (人)；
故答案為：
【分析】(1)根據B類人數和人數占比即可求出本次被調查的學生人數； 用360度乘以C類的人數占比即可求出C類學生平均每天睡眠時間的扇形的圓心角度數；
(2)根據(1)所求，求出D類的人數即可補全統計圖；
(3)先畫出樹狀圖得到所有的等可能性的結果數，再找到所選的2人恰好都是男生的結果數，最后依據概率計算公式求解即可.
20．【答案】（1），（2）
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；用列表法或樹狀圖法求概率
21．【答案】（1）
（2）解：畫樹狀圖如下：
，
共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的結果數為2，
體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．

【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：體育老師想從中隨機抽取一張，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案為：；
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）先畫出樹狀圖，由樹狀圖的信息可知共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是共C（沖浪）和D（運動攀巖）的結果有2種，然后由概率公式求解即可．
（1）解：體育老師想從中隨機抽取一張，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案為：；
（2）解：畫樹狀圖如下：
，
共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的結果數為2，
體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．
22．【答案】（1）16；20
（2）16；20；90
（3）解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果，其中選出一男一女組成混合雙打組合的結果數為8，
所以恰好選出一男一女組成混合雙打組合的概率＝ ＝ ．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：（1）調查的總人數為6÷15%＝40（人），
所以a＝40×40%＝16，
b%＝ ×100%＝20%，則b＝20；（2）600×15%＝90，
所以估計該年級參加足球活動的人數約90人；
故答案為16；20；90；
【分析】（1）用參加足球的人數除以它所占的百分比得到調查的總人數，然后計算參加籃球的人數和參加排球人數的百分比得到a、b的值；
（2）用600乘以樣本中參加足球人數的百分比即可；
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，找出選出一男一女組成混合雙打組合的結果數，然后根據概率公式計算．
23．【答案】（1）9000
（2）解：設特級柑橘的售價為 元 / 千克，日銷售量是 千克，
由表格可知， 是 的一次函數，設 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
，
當 時， ，
特級柑橘的售價定為16.5元千克，日銷售量是875千克；
（3）解：∵12天內售完這批特級柑橘，
，
解得 ，
設該公司每日銷售該特級柑橘的利潤為 元，
根據題意得： ，
， ，
當 時， 取最大值，最大值為 元 ，
答：該公司每日銷售該特級柑橘可能達到的最大利潤是6750元
【知識點】一次函數的實際應用；利用頻率估計概率；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】解：（1）由圖可知，完好的柑橘的總重量為 （千克），
故答案為：9000；
【分析】（1）由統計圖可得柑橘損壞率在0.1左右波動，并且波動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，進而根據柑橘損壞率可得答案；
（2）由待定系數法得到日銷售量y與銷售單價x的函數關系式，再令單價為16.5即可求得答案；
（3）由12天內售完這批特級柑橘，可得特級柑橘的售價x≤19，設該公司每日銷售該特級柑橘的利潤為W元，根據每天的銷售數量乘以當天每千克柑橘的利潤=總利潤建立出函數關系式，進而根據二次函數性質即可求出答案．
1 / 1人教版九年級上學期數學第二十五章質量檢測（高階）
一、選擇題（每題3分）
1．（2024九上·西湖月考）從﹣3，﹣2，﹣1，0，1這五個數中，隨機取出一個數，記為a，若a使得關于x的不等式組無解，且關于x的分式方程有整數解的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】概率公式
2．一項“過關游戲”規定：在過第n關時要將一顆質地均勻的骰子(六個面上分別刻有1到6個點)拋擲n次，若n次拋擲所出現的向上一面的點數之和大于n2，則算過關；否則，不算過關．能過第二關的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在過第n關時要將一顆質地均勻的骰子（六個面上分別刻有1到6的點數）拋擲n次，n次拋擲所出現的點數之和大于則算過關；
∴能過第二關的拋擲所出現的點數之和需要大于5，
列表得：
　 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36種等可能的結果，能過第二關的有26種情況，
∴能過第二關的概率是：
故選：A．
【分析】將n用2代入，求出能過第二關所出現的點數之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的結果數和能過第二關的結果數，利用概率公式求解.
3．（2024九上·武昌月考）我國魏晉時期的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖，若，，現隨機向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區域內的概率（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】一元二次方程的根；勾股定理；幾何概率
【解析】【解答】解：如圖所示：
設小正方形的邊長為x，
∵a＝2，b＝3，
∴AB＝2+3＝5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2
∴（2+x）2+（x+3）2＝52
∴x＝1，x＝﹣6（不合題意舍去）
∴
∴，陰影面積
∴針尖落在陰影域內的概率＝
故答案為：C．
【分析】設小正方形的邊長為x，再利用勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，即（2+x）2+（x+3）2＝52，求出x的值，再分別求出BC和AC的長，最后利用三角形的面積公式及割補法求出陰影部分的面積即可.
4．（2018九上·紹興月考）甲乙兩人輪流在黑板上寫下不超過 的正整數（每次只能寫一個數），規定禁止在黑板上寫已經寫過的數的約數，最后不能寫的為失敗者，如果甲寫第一個，那么，甲寫數字（　　）時有必勝的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【知識點】游戲公平性
【解析】【解答】對于選項A：當甲寫10時，乙可以寫3、4、6、7、8、9，如果乙寫7，則乙必勝，因為無論甲寫3，4，6，8，9這五個數中的6(連帶3)或8(連帶4)，乙可以寫4或3，剩下2個數字；當甲寫3或4時，乙可以寫8(連帶4)或6(連帶3)，剩下偶數個數字甲最后不能寫，乙必勝；
對于選項B：當甲寫9后，乙可以寫2、4、5、6、7、8、10，如果乙寫6，則乙必勝，因為剩下4、5、7、8、10這5個數中，無論甲寫8(連帶4)或10(連帶5)，乙可以寫5或4；當甲寫4或5時，乙可以寫10(連帶5)或8(連帶4)，甲最后不能寫，乙必勝；
對于選項C：當甲寫8時，乙可以寫3、5、6、7、9、10，當乙寫6(或10)時，甲就必須寫10(或6)，因為乙寫6(或10)后，連帶3(或5)也不能寫了，這樣才能保證剩下能寫的數有偶數個，甲才可以獲勝；
對于選項D： 甲先寫6，由于6的約數有1，2，3，6，接下來乙可以寫的數只有4、5、7、8、9、10，把這6個數分成三組：(4，7)、(5，8)、(9，10)，當然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要組內兩數大數不是小數的倍數即可，這樣，乙寫某組數中的某個數時，甲就寫同組中的另一數，從而甲一定寫最后一個，甲必獲勝，
綜上可知，只有甲先寫6，才能必勝，
故答案為：D.
【分析】根據游戲規則，分別將四個答案，一一分析，判斷出最后一個能書寫的是誰即可得出答案。
5．（2015九上·新泰競賽）準備兩張大小一樣，分別畫有不同圖案的正方形紙片，把每張紙都對折、剪開，將四張紙片放在盒子里，然后混合，隨意抽出兩張正好能拼成原圖的概率是（　?。?
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】概率公式
【解析】【解答】設分成的四張紙片中，1和2為一張；3和4為一張；如圖：
那么共有12種情況，正好能拼成的占4種，概率是 .
答案為：A．
【分析】把4張撲克符號化，即1、2拼為一張，3、4 拼為一張，任意抽取兩張，有12種機會均等的情況，正好一張的有4種情況，代入概率公式，可得概率為.
6．（2024九上·順德期中）如圖，電路圖上有1個小燈泡以及4個斷開狀態的開關A，B，C，D，現隨機閉合兩個開關，小燈泡發光的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
7．（2024九上·慈溪期中）下列事件中必然發生的事件是（　?。?br/>A．一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等'
B．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數
C．100件產品中有4件次品，從中任意抽取5件，至少有1件是正品
D．經過任意三點一定可以畫一個圓.
【答案】C
【知識點】事件的分類
【解析】【解答】解：A、一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等，是不可能事件，故本選項不符合題意，A錯誤；
B、隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數，是隨機事件，故本選項不符合題意，B錯誤；
C、100件產品中有4件次品，從中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本選項符合題意，C正確；
D、只有不在同一條直線上的三點才能確定一個圓，如果三點在同一條直線上，則無法畫出一個圓，是隨機事件，故本選項不符合題意，D錯誤．
故答案為：C．
【分析】本題考查必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發生的事件．一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等，是不可能事件，利用必然事件的定義可判斷A選項；隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數，是隨機事件，利用必然事件的定義可判斷A選項；100件產品中有4件次品，從中任意抽取5件，至少有1件是正品，利用必然事件的定義可判斷A選項；只有不在同一條直線上的三點才能確定一個圓，如果三點在同一條直線上，則無法畫出一個圓，利用必然事件的定義可判斷A選項；
8．（2024九上·鄞州期中）筆簡中有9支型號、顏色完全相同的鉛管，將它們逐一標上1-9的號碼，若從管簡中任意抽出一支鉛筆，則抽到編號是3的倍數的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】概率公式；簡單事件概率的計算
9．（2024九上·淳安期中）某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統計了某一事件結果出現的頻率，繪制了如圖所示的折線統計圖，則符合這一結果的實驗最有可能的是（　?。?br/>A．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區別，從中任取一球是黃球
B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃
C．擲一個質地均勻的骰子，向上的面點數是4
D．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀
【答案】A
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：A、暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區別，從中任取一球是黃球的概率為，故A選項不符合題意，A錯誤；
B、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是；故B選項不符合題意，B錯誤．
C、擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4的概率為，故C選項符合題意，C正確；
D、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀“的概率為，故D選項不符合題意，D錯誤；
故答案為：C．
【分析】本題考查利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．根據統計圖可知，試驗結果在附近波動，即其概率.利用概率計算公式可得：從中任取一球是黃球的概率為，據此可判斷A選項；利用概率計算公式可得：從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是，據此可判斷B選項；利用概率計算公式可得：向上的面點數是4的概率為，據此可判斷C選項；利用概率計算公式可得：小明隨機出的是“剪刀“的概率為，據此可判斷D選項；
10．（2024九上·嘉興期末）如圖，我國古代數學家趙爽使用的弦圖是由四個全等的直角三角形構成的正方形，若，，在弦圖區域內隨機取點，則該點落在正方形區域內的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】幾何概率
【解析】【解答】解：由題意4個小三角形都是全等的直角三角形，AF=4，BF=3，
∴AB=5，EF=1.
∴正方形ABCD的面積是25，正方形EFGH的面積是1，
故弦圖區域內隨機取點，則該點落在正方形區域內的概率為.
故答案為：D.
【分析】根據題意，4個全等的直角三角形面積相等，據此可求出正方形ABCD和正方形EFGH的面積，再求概率即可.
二、填空題（每題3分）
11．（2024九上·墊江縣期中）將6名志愿者分到3個不同的社區，每個社區2名志愿者，則甲、乙兩名志愿者分到同一個社區的概率為 ．
【答案】
【知識點】概率公式
12．有四張正面分別標有數字-3，0，1，5的不透明卡片，它們除數字不同外其余均相同．現將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數字記為a，則使關于x的分式方程有正整數解的概率為　 　
【答案】
【知識點】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
當a=0時，x=1，是分式方程的根，且是正整數解；
當a=-3時，x=，是分式方程的根，但不是正整數解；
當a=1時，x=2，不是分式方程的根，是增根；
當a=5時，x=，是分式方程的根，但不是正整數解；
∴ 使關于x的分式方程有正整數解的概率為： .
故答案為： .
【分析】先將a作為字母系數解分式方程，再分別求出a=-3、0、1、5的時候方程的根，并找出使分式方程有正整數解的情況數，從而根據概率公式即可算出答案.
13．（2017九上·邯鄲期末）如圖，平面內有16個格點，每個格點小正方形的邊長為1，則圖中陰影部分的面積為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】幾何概率；概率公式
【解析】【解答】由題意，中間正方形中直角三角形的面積為
，
∴陰影部分的面積為1-
，
∴點P落在圖中陰影部分的概率是
．
【分析】由圖知，AB與CD 相交于O，O為CD中點，也為正方形邊長MF的中點，OF：BE=1：2，可以計算出直角三角形的面積為
，套概率公式可算出陰影概率.
14．（2024九上·重慶市期中）從，1，3，這4個數中任選兩個數，分別記作，，那么點在平面直角坐標系中第二象限內的概率是　 ?。?br/>【答案】
【知識點】概率公式；點的坐標與象限的關系
15．（2024九上·沙坪壩月考）從數，，1，2中任取一個數記為k，再從余下的3個數中，任取一個數記為b，則一次函數不經過第一象限的概率是．
【答案】
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；一次函數圖象、性質與系數的關系
三、解答題（共75分）
16．（2024九上·甘州月考）如圖，甲轉盤被分成3個面積相等的扇形，乙轉盤被分成4個面積相等的扇形，每一個扇形都標有相應的數字．同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，設甲轉盤中指針所指區域內的數字為x，乙轉盤中指針所指區域內的數字為y（當指針指在邊界上時，重轉一次，直到指針指向一個區域為止）．
（1）請你用畫樹狀圖或列表格的方法，求出點（x，y）落在第二象限內的概率；
（2）求出點（x，y）落在函數y＝ 圖象上的概率．
【答案】（1）（2）
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
17．（2024九上·南山期中） 4件同型號的產品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）從這4件產品中隨機抽取1件進行檢測，不放回，再隨機抽取1件進行檢測. 請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩次抽到的都是合格品的概率；(解答時可用A表示1件不合格品，用B、C、D分別表示3件合格品)
（2）在這4件產品中加入若干件合格品后，進行如下試驗：隨機抽取1件進行檢測，然后放回，多次重復這個試驗，通過大量重復試驗后發現，抽到合格品的頻率穩定在0.95，則可以推算出大約加入多少件合格品
【答案】（1）（1）畫出樹狀圖.
由樹狀圖可知，共有12種等可能的情況，抽到的都是合格品的情況有6種，
由此可得P(抽到的都是合格品)==.
（2）設加入x件合格品，
∵大量重復試驗后發現，抽到合格品的頻率穩定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
根據題意得=0.95，解得x=16.
經檢驗，x=16是原分式方程的根.
答：大約加入16件合格品.

【知識點】分式方程的實際應用；頻數與頻率；概率公式
【解析】【分析】本題考查概率的求法，用頻率估計概率.
（1）先利用樹狀圖表示出所有可能出現的情況，找出抽到的都是合格品的情況，再利用古典型概率的計算公式進行計算可求出答案；
（2）設加入x件合格品，根據頻率估計出抽到合格品的概率為：抽到合格品的概率等于0.95，再利用概率公式列出關于x的方程：=0.95，解方程可求出x的值，再進行檢驗，進而可求出答案.
18．（2024九上·龍崗期中）化學實驗課上，楊老師帶來了（鎂）、（鋁）、（鋅）、（銅）四種金屬材料及其元素卡片（如圖，除正面信息不同外，其余均相同），將四張元素卡片背面朝上洗勻，讓學生隨機抽取一張，然后用抽取到的金屬與鹽酸反應來制取氫氣．（根據金屬活動順序可知：可以置換出氫氣，而不能置換出氫氣）
（1）小云隨機從中抽取一張卡片，抽到“”的概率為 　 　；
（2）小云隨機從中抽取一張卡片，記下金屬后，放回洗勻，小南再從中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法求小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的概率．
【答案】（1）
（2）
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
19．（2024九上·杭州期中）睡眠管理作為“五項管理”中的重要內容之一，也是學校教育重點關注的內容，某校為了解學生平均每天睡眠時間，隨機抽取該校部分學生進行問卷調查，并將結果進行了統計和整理，繪制成如下統計表和不完整的統計圖.
某校學生睡眠時間各類別人數情況統計圖
學生類別 學生平均每天睡眠時間x（單位：小時）
A 7≤x<7.5
B 7.5≤x<8
C 8≤x<8.5
D 8.5≤x<9
E x≥9
（1）扇形統計圖中表示C類學生平均每天睡眠時間的扇形的圓心角度數為　 　.
（2）請補全條形統計圖.
（3）被抽取調查的E類4名學生中有2名女生，2名男生，從這4人中隨機抽取2人進行電話問訪，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率.
【答案】（1）
（2）D類的人數為5 (人)，
補全條形統計圖，如圖，
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能結果，其中兩人恰好是2名男生的結果有2種.
∴.
【知識點】條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解析】 (人)；
故答案為：
【分析】(1)根據B類人數和人數占比即可求出本次被調查的學生人數； 用360度乘以C類的人數占比即可求出C類學生平均每天睡眠時間的扇形的圓心角度數；
(2)根據(1)所求，求出D類的人數即可補全統計圖；
(3)先畫出樹狀圖得到所有的等可能性的結果數，再找到所選的2人恰好都是男生的結果數，最后依據概率計算公式求解即可.
20．（2024九上·衡陽期中）（1）已知關于x的一元二次方程，若，是原方程的兩根，且，求的值．
（2）從1，2，3，4中任取一個數記為b，再從余下的三個數中，任取一個數記為c，求關于x的方程有實數根的概率．
【答案】（1），（2）
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；用列表法或樹狀圖法求概率
21．（2024九上·九江期中）2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為A，B，C，D，體育老師把這四個項目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．
（1）體育老師想從這四張卡片中隨機抽取一張，去了解該項目在奧運會中的得分標準，恰好抽到是（滑板）的概率是_____；
（2）體育老師想從中選出兩個項目，然后做成手抄報給同學們普及一下，他先從這四張卡片中隨機抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．
【答案】（1）
（2）解：畫樹狀圖如下：
，
共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的結果數為2，
體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．

【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：體育老師想從中隨機抽取一張，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案為：；
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）先畫出樹狀圖，由樹狀圖的信息可知共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是共C（沖浪）和D（運動攀巖）的結果有2種，然后由概率公式求解即可．
（1）解：體育老師想從中隨機抽取一張，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案為：；
（2）解：畫樹狀圖如下：
，
共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的結果數為2，
體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．
22．（2020九上·東莞期末）某校要求九年級同學在課外活動中，必須在五項球類（籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活動中任選一項（只能選一項）參加訓練，為了了解九年級學生參加球類活動的整體情況，現以九年級2班作為樣本，對該班學生參加球類活動的情況進行統計，并繪制了如圖所示的不完整統計表和扇形統計圖：
九年級2班參加球類活動人數統計表
項目 籃球 足球 乒乓球 排球 羽毛球
人數 a 6 4 8 6
根據圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）該校九年級學生共有600人，則該年級參加足球活動的人數約　 　人；
（3）該班參加乒乓球活動的4位同學中，有2位男同學（A，B）和2位女同學（C，D），現準備從中選取兩名同學組成雙打組合，用樹狀圖或列表法求恰好選出一男一女組成混合雙打組合的概率．
【答案】（1）16；20
（2）16；20；90
（3）解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果，其中選出一男一女組成混合雙打組合的結果數為8，
所以恰好選出一男一女組成混合雙打組合的概率＝ ＝ ．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：（1）調查的總人數為6÷15%＝40（人），
所以a＝40×40%＝16，
b%＝ ×100%＝20%，則b＝20；（2）600×15%＝90，
所以估計該年級參加足球活動的人數約90人；
故答案為16；20；90；
【分析】（1）用參加足球的人數除以它所占的百分比得到調查的總人數，然后計算參加籃球的人數和參加排球人數的百分比得到a、b的值；
（2）用600乘以樣本中參加足球人數的百分比即可；
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，找出選出一男一女組成混合雙打組合的結果數，然后根據概率公式計算．
23．（2023九上·溫州期末）某水果公司以9元/千克的成本從果園購進10000千克特級柑橘，在運輸過程中，有部分柑橘損壞，該公司對剛運到的特級柑橘進行隨機抽查，并得到如下的“柑橘損壞率”統計圖．由于市場調節，特級柑橘的售價與日銷售量之間有一定的變化規律，如下表是近一段時間該水果公司的銷售記錄．
特級柑橘的售價(元/千克) 14 15 16 17 18
特級柑橘的日銷售量(千克) 1000 850 900 850 800
（1）估計購進的10000千克特級柑橘中完好的柑橘的總重量為　 　千克；
（2）按此市場調節的規律來看，若特級柑橘的售價定為16.5元每千克，估計日銷售量，并說明理由．
（3）考慮到該水果公司的儲存條件，該公司打算12天內售完這批特級柑橘只售完好的柑橘，且售價保持不變，求該公司每日銷售該特級柑橘可能達到的最大利潤，并說明理由．
【答案】（1）9000
（2）解：設特級柑橘的售價為 元 / 千克，日銷售量是 千克，
由表格可知， 是 的一次函數，設 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
，
當 時， ，
特級柑橘的售價定為16.5元千克，日銷售量是875千克；
（3）解：∵12天內售完這批特級柑橘，
，
解得 ，
設該公司每日銷售該特級柑橘的利潤為 元，
根據題意得： ，
， ，
當 時， 取最大值，最大值為 元 ，
答：該公司每日銷售該特級柑橘可能達到的最大利潤是6750元
【知識點】一次函數的實際應用；利用頻率估計概率；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】解：（1）由圖可知，完好的柑橘的總重量為 （千克），
故答案為：9000；
【分析】（1）由統計圖可得柑橘損壞率在0.1左右波動，并且波動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，進而根據柑橘損壞率可得答案；
（2）由待定系數法得到日銷售量y與銷售單價x的函數關系式，再令單價為16.5即可求得答案；
（3）由12天內售完這批特級柑橘，可得特級柑橘的售價x≤19，設該公司每日銷售該特級柑橘的利潤為W元，根據每天的銷售數量乘以當天每千克柑橘的利潤=總利潤建立出函數關系式，進而根據二次函數性質即可求出答案．
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