資源簡介

(共58張PPT)
3.3.1
第三章
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二項式定理
1.能用基本計數原理證明二項式定理.
2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.
3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
學習目標
艾薩克·牛頓Isaac Newton(1643—1727)英國科學家.他被譽為
人類歷史上最偉大的科學家之一.他不僅是一位物理學家、
天文學家，還是一位偉大的數學家.1664年冬，由于瘟疫流
行而迫使牛頓從劍橋回到鄉下，研讀沃利斯博士的《無窮
算術》，牛頓開始了對二項式定理的研究，并最終建立二項式定理，牛頓是如何思考的呢？
導 語
一、二項式定理
二、二項式定理的逆用
課時對點練
三、二項展開式通項的應用
隨堂演練
內容索引
二項式定理
一
觀察下列幾個等式：
(a+b)1=a+b；
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
你能發現它們有什么樣的規律嗎？你能發現各等式右側是如何形成的嗎？
問題1
提示　右側展開式的項數比左側的次數大1，展開式的系數具有一定的對稱性，各式均按照a的降冪順序或者b的升冪順序進行排列的，各項的系數與組合數有某種關系；以(a+b)2為例：(a+b)2是2個(a+b)相乘，根據多項式乘法法則，每個(a+b)在相乘時有兩種選擇，選a或選b，而且每個(a+b)中的a或b都選定后，才能得到展開式的一項.于是，由分步乘法計數原理，在合并同類項之前，(a+b)2的展開式共有2×2=22項，而且每一項都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相當于從2個(a+b)中取k個b的組合數，即a2-kbk的系數是.
提示　(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5.
你能根據問題1的分析，寫出(a+b)5的展開式嗎？
問題2
二項式定理
一般地，當n是正整數時，有(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn.
上述公式稱為二項式定理.
(1)展開式：等式右邊的式子稱為(a+b)n的展開式，它共有n+1項.
(2)二項式系數：各項的系數(k=0，1，2，…，n)叫做二項式系數.
(3)通項公式：(a+b)n展開式的第k+1項叫做二項展開式的通項公式，記作Tk+1=an-kbk.
(1)每一項中a與b的指數和為n.
(2)各項中a的指數從n起依次減小1，到0為止，各項中b的指數從0起依次增加1，到n為止.
(3)a與b的位置不能交換.
(4)二項式系數與二項展開式項的系數不同.
注 意 點
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　　　(課本例1)寫出(2-x)5的展開式.
例 1
在二項式定理中令a=2，b=-x，n=5，
可得(2-x)5=25+24(-x)+23(-x)2+22(-x)3+2(-x)4+(-x)5=32-80x+80x2-40x3+10x4-x5.
　　　求的展開式.
例 1
方法一　=(3)4+(3)3·+(3)2+
(3+
=81x2+108x+54++.
方法二　==(1+3x)4
=［1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4］
=(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2.
求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開，展開時注意二項展開式的特點：前一個字母是降冪，后一個字母是升冪.形如(a-b)n的展開式中會出現正負間隔的情況.對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開.
反
思
感
悟
　　　　　求的展開式.
跟蹤訓練 1
方法一　＝(2x)5＋(2x)4·＋(2x)3＋(2x)2＋(2x)＋
=32x5-120x2＋-＋-.
方法二　==
=(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5]
=32x5-120x2+-+-.
二
二項式定理的逆用
(1)化簡：1+2+4+…+2n.
例 2
原式=·1n·20+·1n-1·2+·1n-2·22+…+2n=(1+2)n=3n.
(2)化簡：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-·(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0=
=(2x)5=32x5.
若將本例(1)中的式子變為“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化簡結果.
延伸探究
逆用二項式定理，將1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n.
反
思
感
悟
逆用二項式定理可將多項式化簡，對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項的系數.
注意：逆用二項式定理時如果項的系數是正負相間的，則是(a-b)n的形式.
化簡：(x+1)n-(x+1)n-1+-…+(-1)k(x+1)n-k+
…+(-1)n.
跟蹤訓練 2
原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+
(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
二項展開式通項的應用
三
　 (課本例3)求的展開式中常數項的值和對應的二項式系數.
例 3
因為=(2+)6，
所以展開式中的第k+1項為
Tk+1=(2)6-k()k=26-k
=26-kx3-k.
要得到常數項，必須有3-k=0，從而有k=3，因此常數項是第4項，且T4=26-3x3-3=160.
從而可知常數項的值為160，其對應的二項式系數為=20.
　 若展開式中前三項的系數成等差數列，求：
(1)展開式中含x的一次項；
例 3
由已知可得+·=2·，
即n2-9n+8=0，解得n=8或n=1(舍去).
所以展開式的通項為
Tk+1=)8-k=2-k，
令4-k=1，解得k=4.
所以含x的一次項為T5=2-4x=x.
(2)展開式中所有的有理項.
令4-k∈Z，且0≤k≤8，則k=0，4，8，所以展開式的有理項分別為
T1=x4，T5=x，T9=.
反
思
感
悟
(1)求二項展開式的特定項的常見題型
①求第k項，Tk=an-k+1bk-1；②求含xk的項(或xpyq的項)；③求常數項；④求有理項.
(2)求二項展開式的特定項的常用方法
①對于常數項，隱含條件是字母的指數為0(即0次項)；
②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數恰好都是整數的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解；
③對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數應是非負整數，求解方式與求有理項一致.
在的展開式中，求：
(1)第3項的二項式系數及系數；
跟蹤訓練 3
第3項的二項式系數為=15，
又T3=(2)4=240x，
所以第3項的系數為240.
(2)含x2的項.
展開式的通項為Tk+1=(2)6-k=(-1)k26-kx3-k，
令3-k=2，解得k=1，
所以含x2的項為第2項，且T2=-192x2.
1.知識清單：
(1)二項展開式的形成過程.
(2)二項式定理的正用與逆用.
(3)二項展開式的通項的應用.
2.方法歸納：轉化化歸.
3.常見誤區：二項式系數與系數的區別，an-kbk是展開式的第k+1項.
隨堂演練
四
1.二項式(a+b)2n的展開式的項數是
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
展開式的項數比二項式的指數大1.
1
2
3
4
√
2.的展開式中的第4項是
A.56x3 B.84x3
C.56x4 D.84x4
T4=x6=84x3.
√
1
2
3
4
3.二項式的展開式中，常數項是　　　　.
1
2
3
4
240
二項式的第k+1項為
Tk+1=(2x)6-k=26-kx6-3k，
令6-3k=0，解得k=2，
所以常數項是·24=240.
4.在的展開式中，則
(1)第5項的二項式系數為　　　，系數為　　　　??；
1
2
3
4
70
1 120
因為T5=(2x2)4·=24·，所以第5項的二項式系數是=70，第5項的系數是·24=1 120.
(2)x2的系數為　　　　　.
1
2
3
4
112
的展開式的通項為Tk+1=(2x2)8-k=(-1)k·28-k·
，根據題意得16-k=2，解得k=6，
因此x2的系數是(-1)6·28-6=112.
課時對點練
五
1.若的展開式有16項，則自然數n的值為
A.9 B.10 C.11 D.16
因為的展開式共有n+6項，所以n+6=16，解得n=10.
√
1
2
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15
16
基礎鞏固
2.展開式中的常數項為
A.第5項 B.第5項或第6項
C.第6項 D.不存在
根據題意，展開式中的通項為Tk+1=x10-k=x10-2k，
令10-2k=0，可得k=5，則其常數項為第5+1=6項.
√
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3.在(a+b)n的展開式中，第2項與第6項的二項式系數相等，則n等于
A.6 B.7 C.8 D.9
由已知得=，可知n=1+5=6.
√
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16
4.(x-y)10的展開式中x6y4項的系數是
A.840 B.-840
C.210 D.-210
在通項Tk+1=x10-k(-y)k中，令k=4，即得(x-y)10的展開式中x6y4項的系數為×(-)4=840.
√
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5.若實數a=2-，則a10-2a9+22a8-…+210等于
A.32 B.-32
C.1 024 D.512
因為a=2-，所以a10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10=(2--2)10=
(-)10=25=32.
√
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6.(多選)對于二項式(n∈N+)，下列判斷正確的有
A.存在n∈N+，展開式中有常數項
B.對任意n∈N+，展開式中沒有常數項
C.對任意n∈N+，展開式中沒有x的一次項
D.存在n∈N+，展開式中有x的一次項
√
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√
二項式的展開式的通項為Tk+1=x4k-n，由通項可知，當n=
4k(k∈N+)和n=4k-1(k∈N+)時，展開式中分別存在常數項和x的一次項，故AD正確.
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7.若二項式(1+2x)n展開式中x3的系數等于x2的系數的4倍，則n=　　　.
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8
(1+2x)n的展開式的通項為Tk+1=(2x)k=2kxk，又x3的系數等于x2的系數的4倍，所以23=422，解得n=8.
8.(2024·天津)在的展開式中，常數項為　　　　.
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20
因為的展開式的通項為
Tk+1=
=36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6，
令6(k-3)=0，可得k=3，
所以常數項為30=20.
9.已知的展開式中第3項的系數比第2項的系數大162.
(1)求n的值；
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因為T3=)n-2=4，
T2=)n-1=-2，
依題意得4+2=162，所以2+=81，
所以n2=81，又n∈N+，解得n=9.
(2)求展開式中含x3的項，并指出該項的二項式系數.
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設第k+1項含x3項，則Tk+1=)9-k·=(-2)k=3，
解得k=1，
所以含x3的項為T2=-2x3=-18x3.
二項式系數為=9.
10.已知(+)n(其中n<15)的展開式中第9項與第11項的二項式系數和是第10項的二項式系數的2倍.
(1)求n的值；
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(+)n(其中n<15)的展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數分別是.
依題意得+=2，
即+=2·，
化簡得90+(n-9)(n-8)=20(n-8)，
即n2-37n+322=0，
解得n=14或n=23，
因為n<15，所以n=14.
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(2)寫出它展開式中的所有有理項.
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展開式的通項為Tk+1=·=·=，
展開式中的有理項當且僅當k是6的倍數，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展開式中的有理項共3項，分別是
當k=0時，T1=x7=x7；
當k=6時，T7=x6=3 003x6；
當k=12時，T13=x5=91x5.
11.(多選)若的展開式中存在常數項，則n的值可能為
A.16 B.10 C.5 D.2
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綜合運用
√
的展開式的通項公式為Tk+1=x2n-k=(-1)k
=0，得k=，
又k∈N，n∈N+，所以結合選項知n可取5和10.
12.對任意實數x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，則a2的值為
A.3 B.6 C.9 D.21
∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+·23=8+12(x-2)+6(x-2)2
+(x-2)3，∴a2=6.
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13.已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N，n>4)，若2a2+an-3=0，則n=　　.
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(1-x)n的展開式的通項公式為Tk+1=(-x)k，所以ak=(-1)k·(k=0，1，2，…，n).
由2a2+an-3=0，得2(-1)2·+(-1)n-3=0，即2×-=0，所以n-2=6，解得n=8.
14.已知在的展開式中，第9項為常數項，則：
(1)n的值為　　　??；
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二項展開式的通項為Tk+1=·=(-1)k.
因為第9項為常數項，所以當k=8時，2n-k=0，解得n=10.
(2)含x的整數次冪的項有　　　　個.
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要使20-k為整數，需k為偶數，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6項，分別為展開式的第1，3，5，7，9，11項.
拓廣探究
15.在的展開式中，x2項的系數為
A.30 B.45 C.60 D.90
在的展開式中，通項公式為Tr+1=.
對于，通項公式為Tk+1=xr-2 023k，k≤r，r，k∈N，r≤10.
令r-2 023k=2，可得r=2+2 023k，
故k=0，r=2，
故x2項的系數為·=45.
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√
16. 已知f(x)=(1+x)m，g(x)=(1+2x)n(m，n∈N+).
(1)若m=3，n=4，求f(x)g(x)的展開式中含x2的項；
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16
當m=3，n=4時，
f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.
(1+x)3展開式的通項為Tr+1=xr，
(1+2x)4展開式的通項為Tk+1=(2x)k，
f(x)g(x)的展開式中含x2的項為
1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.
(2)令h(x)=f(x)+g(x)，h(x)的展開式中含x的項的系數為12，那么當m，n為何值時，含x2的項的系數取得最小值？
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h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.
∵h(x)的展開式中含x的項的系數為12，
∴+2=12，
即m+2n=12，所以m=12-2n.
含x2項的系數為+4=+4
=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)
=4n2-25n+66=4+，n∈N+，
所以當n=3，m=6時，含x2的項的系數取得最小值.
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163.3.1　二項式定理
[學習目標]　1.能用基本計數原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
一、二項式定理
問題1　觀察下列幾個等式：
(a+b)1=a+b；
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
你能發現它們有什么樣的規律嗎？你能發現各等式右側是如何形成的嗎？
問題2　你能根據問題1的分析，寫出(a+b)5的展開式嗎？
知識梳理
二項式定理
一般地，當n是正整數時，有(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn.
上述公式稱為二項式定理.
(1)展開式：等式右邊的式子稱為(a+b)n的展開式，它共有n+1項.
(2)二項式系數：各項的系數(k=0，1，2，…，n)叫做二項式系數.
(3)通項公式：(a+b)n展開式的第k+1項叫做二項展開式的通項公式，記作Tk+1=an-kbk.
例1　(課本例1)寫出(2-x)5的展開式.
例1　求的展開式.
反思感悟　求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開，展開時注意二項展開式的特點：前一個字母是降冪，后一個字母是升冪.形如(a-b)n的展開式中會出現正負間隔的情況.對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開.
跟蹤訓練1　求的展開式.
二、二項式定理的逆用
例2　(1)化簡：1+2+4+…+2n.
(2)化簡：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
延伸探究　若將本例(1)中的式子變為“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化簡結果.
反思感悟　逆用二項式定理可將多項式化簡，對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項的系數.
注意：逆用二項式定理時如果項的系數是正負相間的，則是(a-b)n的形式.
跟蹤訓練2　化簡：(x+1)n-(x+1)n-1+-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
三、二項展開式通項的應用
例3　(課本例3)求的展開式中常數項的值和對應的二項式系數.
例3　若展開式中前三項的系數成等差數列，求：
(1)展開式中含x的一次項；
(2)展開式中所有的有理項.
反思感悟　(1)求二項展開式的特定項的常見題型
①求第k項，Tk=an-k+1bk-1；②求含xk的項(或xpyq的項)；③求常數項；④求有理項.
(2)求二項展開式的特定項的常用方法
①對于常數項，隱含條件是字母的指數為0(即0次項)；
②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數恰好都是整數的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解；
③對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數應是非負整數，求解方式與求有理項一致.
跟蹤訓練3　在的展開式中，求：
(1)第3項的二項式系數及系數；
(2)含x2的項.
1.知識清單：
(1)二項展開式的形成過程.
(2)二項式定理的正用與逆用.
(3)二項展開式的通項的應用.
2.方法歸納：轉化化歸.
3.常見誤區：二項式系數與系數的區別，an-kbk是展開式的第k+1項.
1.二項式(a+b)2n的展開式的項數是(　　)
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
2.的展開式中的第4項是(　　)
A.56x3 B.84x3
C.56x4 D.84x4
3.二項式的展開式中，常數項是　　　　.
4.在的展開式中，則
(1)第5項的二項式系數為　　　　　，系數為　　　　　　?。?
(2)x2的系數為　　　　　　　.
答案精析
問題1　右側展開式的項數比左側的次數大1，展開式的系數具有一定的對稱性，各式均按照a的降冪順序或者b的升冪順序進行排列的，各項的系數與組合數有某種關系；以(a+b)2為例：(a+b)2是2個(a+b)相乘，根據多項式乘法法則，每個(a+b)在相乘時有兩種選擇，選a或選b，而且每個(a+b)中的a或b都選定后，才能得到展開式的一項.于是，由分步乘法計數原理，在合并同類項之前，(a+b)2的展開式共有2×2=22項，而且每一項都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相當于從2個(a+b)中取k個b的組合數，即a2-kbk的系數是.
問題2　(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5.
例1　(課本例1)解　在二項式定理中令a=2，b=-x，n=5，
可得(2-x)5=25+24(-x)+23(-x)2+22(-x)3+2(-x)4+(-x)5=32-80x+80x2-40x3+10x4-x5.
例1　解　方法一　
=(3)4+(3)3·+(3)2+(3+
=81x2+108x+54++.
方法二　==(1+3x)4
=[1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4]
=(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2.
跟蹤訓練1　解　方法一　=(2x)5+(2x)4·+(2x)3+·(2x)2+
(2x)+=32x5-120x2+-+-.
方法二　===(4x3)5+(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5]=32x5-120x2+-+-.
例2　(1)解　原式=·1n·20+·1n-1·2+·1n-2·22+…+2n=(1+2)n=3n.
(2)解　原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-·(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0==(2x)5=32x5.
延伸探究　解　逆用二項式定理，將1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n.
跟蹤訓練2　解　原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2·(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
例3　(課本例3)解　因為=(2+)6，
所以展開式中的第k+1項為
Tk+1=(2)6-k()k=26-k
=26-kx3-k.
要得到常數項，必須有3-k=0，從而有k=3，因此常數項是第4項，且T4=26-3x3-3=160.
從而可知常數項的值為160，其對應的二項式系數為=20.
例3　解　(1)由已知可得
+·=2·，
即n2-9n+8=0，解得n=8或n=1(舍去).
所以展開式的通項為
Tk+1=)8-k
=2-k，
令4-k=1，解得k=4.
所以含x的一次項為
T5=2-4x=x.
(2)令4-k∈Z，且0≤k≤8，則k=0，4，8，所以展開式的有理項分別為
T1=x4，T5=x，T9=.
跟蹤訓練3　解　(1)第3項的二項式系數為=15，
又T3=(2)4=240x，
所以第3項的系數為240.
(2)展開式的通項為
Tk+1=(2)6-k=(-1)k26-kx3-k，
令3-k=2，解得k=1，
所以含x2的項為第2項，
且T2=-192x2.
隨堂演練
1.B　2.B　3.240
4.(1)70　1 120　(2)112作業9　二項式定理
單選題每小題5分，共35分；多選題每小題6分，共12分
1.若的展開式有16項，則自然數n的值為(　　)
A.9 B.10
C.11 D.16
2.展開式中的常數項為(　　)
A.第5項 B.第5項或第6項
C.第6項 D.不存在
3.在(a+b)n的展開式中，第2項與第6項的二項式系數相等，則n等于(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
4.(x-y)10的展開式中x6y4項的系數是(　　)
A.840 B.-840
C.210 D.-210
5.若實數a=2-，則a10-2a9+22a8-…+210等于(　　)
A.32 B.-32
C.1 024 D.512
6.(多選)對于二項式(n∈N+)，下列判斷正確的有(　　)
A.存在n∈N+，展開式中有常數項
B.對任意n∈N+，展開式中沒有常數項
C.對任意n∈N+，展開式中沒有x的一次項
D.存在n∈N+，展開式中有x的一次項
7.(5分)若二項式(1+2x)n展開式中x3的系數等于x2的系數的4倍，則n=　　　　.
8.(5分)(2024·天津)在的展開式中，常數項為　　　　.
9.(10分)已知的展開式中第3項的系數比第2項的系數大162.
(1)求n的值；(5分)
(2)求展開式中含x3的項，并指出該項的二項式系數.(5分)
10.(11分)已知(+)n(其中n<15)的展開式中第9項與第11項的二項式系數和是第10項的二項式系數的2倍.
(1)求n的值；(5分)
(2)寫出它展開式中的所有有理項.(6分)
11.(多選)若的展開式中存在常數項，則n的值可能為(　　)
A.16 B.10
C.5 D.2
12.對任意實數x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，則a2的值為(　　)
A.3 B.6
C.9 D.21
13.(5分)已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N，n>4)，若2a2+an-3=0，則n=　　　　.
14.(5分)已知在的展開式中，第9項為常數項，則：
(1)n的值為　　　??；
(2)含x的整數次冪的項有　　　　個.
15.在的展開式中，x2項的系數為(　　)
A.30 B.45
C.60 D.90
16.(12分) 已知f(x)=(1+x)m，g(x)=(1+2x)n(m，n∈N+).
(1)若m=3，n=4，求f(x)g(x)的展開式中含x2的項；(5分)
(2)令h(x)=f(x)+g(x)，h(x)的展開式中含x的項的系數為12，那么當m，n為何值時，含x2的項的系數取得最小值？(7分)
答案精析
1.B　2.C　3.A　4.A　5.A　6.AD
7.8
解析　(1+2x)n的展開式的通項為Tk+1=(2x)k=2kxk，又x3的系數等于x2的系數的4倍，
所以23=422，解得n=8.
8.20
解析　因為的展開式的通項為
Tk+1=
=36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6，
令6(k-3)=0，可得k=3，
所以常數項為30=20.
9.解　(1)因為T3=)n-2·=4，
T2=)n-1
=-2，
依題意得4+2=162，
所以2+=81，
所以n2=81，又n∈N+，解得n=9.
(2)設第k+1項含x3項，
則Tk+1=)9-k·=(-2)k，所以=3，
解得k=1，
所以含x3的項為
T2=-2x3=-18x3.
二項式系數為=9.
10.解　(1)(+)n(其中n<15)的展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數分別是，，.
依題意得+=2，
即+
=2·，
化簡得90+(n-9)(n-8)=20(n-8)，
即n2-37n+322=0，
解得n=14或n=23，
因為n<15，所以n=14.
(2)展開式的通項為
Tk+1=·=
·=，
展開式中的有理項當且僅當k是6的倍數，又0≤k≤14，k∈N，
所以展開式中的有理項共3項，分別是當k=0時，T1=x7=x7；
當k=6時，T7=x6=3 003x6；
當k=12時，T13=x5=91x5.
11.BC　[的展開式的通項公式為Tk+1=x2n-k=(-1)k，令=0，得k=，又k∈N+，n∈N+，所以結合選項知n可取5和10.]
12.B　[∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+·23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3，∴a2=6.]
13.8
解析　(1-x)n的展開式的通項公式為Tk+1=(-x)k，
所以ak=(-1)k·(k=0，1，2，…，n).由2a2+an-3=0，得2(-1)2·+(-1)n-3=0，即2×-=0，
所以n-2=6，解得n=8.
14.(1)10　(2)6
解析　二項展開式的通項為
Tk+1=·
=(-1)k.
(1)因為第9項為常數項，所以當k=8時，2n-k=0，解得n=10.
(2)要使20-k為整數，需k為偶數，由于k=0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6項，分別為展開式的第1，3，5，7，9，11項.
15.B　[在的展開式中，通項公式為
Tr+1=.
對于，通項公式為Tk+1=xr-2 023k，k≤r，r，k∈N，r≤10.
令r-2 023k=2，可得r=2+2 023k，
故k=0，r=2，
故x2項的系數為·=45.]
16.解　(1)當m=3，n=4時，
f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.
(1+x)3展開式的通項為
Tr+1=xr，
(1+2x)4展開式的通項為
Tk+1=(2x)k，
f(x)g(x)的展開式中含x2的項為
1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.
(2)h(x)=f(x)+g(x)
=(1+x)m+(1+2x)n.
∵h(x)的展開式中含x的項的系數為12，∴+2=12，
即m+2n=12，所以m=12-2n.
含x2項的系數為
+4=+4
=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)
=4n2-25n+66
=4+，n∈N+，
所以當n=3，m=6時，含x2的項的系數取得最小值.

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