資源簡介

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題型專練02 平行線（5大題型）
目錄概覽
題型一 平行線的概念、畫法
題型二 平行公理及推論
題型三 平行線的判定
題型四 平行線的性質
題型五 平行線的判定與性質綜合應用
題型一 平行線的概念、畫法
1．（2024春 招遠市期末）同一平面內不重合的兩條直線的位置關系有　　
A．相交、垂直 B．相交、平行
C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行
2．（2024春 洮北區校級月考）直線與平行可記作：　?。?br/>3．（2024春 岷縣校級月考）在同一平面內，直線與滿足下列條件：
（1）與沒有公共點，則與　 ??；
（2）與有且只有一個公共點，則與　 　；
（3）與有兩個公共點，則與　 ?。?br/>4．（2024春 銀州區校級期末）如圖所示，在內有一點．
（1）過畫；
（2）過畫；
（3）用量角器量一量與相交的角與的大小有怎樣關系？
5．（2022春 田東縣期末）一副透明的直角三角尺，按如圖所示的位置擺放．如果把三角尺的每條邊看成線段，請根據圖形解答下列問題：
（1）找出圖中一對互相平行的線段，并用符號表示出來；
（2）找出圖中一對互相垂直的線段，并用符號表示出來；
（3）找出圖中的一個鈍角、一個直角和一個銳角，用符號把它們表示出來，并求出它們的度數．（不包括直角尺自身所成的角）
題型二 平行公理及推論
6．（2024春 端州區校級期中）下列說法正確的是　　
A．、、是直線，若，，則
B．、、是直線，若，，則
C．、、是直線，若，，則
D．、、是直線，若，，則
7．（2024春 東港區校級月考）下列說法中正確的說法個數有　　
①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；
②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
④直線外一點與直線上一點間的線段的長度是這一點到這條直線的距離；
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
8．（2024春 東陽市月考）在同一平面內有，，三條直線，若，且與相交，那么與的位置關系是　　
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能確定
9．（2023秋 郟縣期末）如圖，，，則點，，在同一條直線上，理由是　?。?br/>10．（2023春 安達市校級期中）如圖，，過點畫，則與的位置關系是　　，理由是　　．
11．（2021春 和平區校級期中）如圖，在直線的同側有、、三點，若，，則、、三點　　（填“在”或“不在” 同一條直線上．
題型三 平行線的判定
12．（2024秋 長春期末）如圖，下列條件中能判定的是　　
A． B． C． D．
13．（2024秋 南崗區校級期末）如圖，直線、被直線所截，下列選項中能得到的是　　
A． B． C． D．
14．（2024 南崗區校級開學）如圖，點在延長線上，下列條件中不能判定的是　　
A． B． C． D．
15．（2024春 江津區校級月考）老師在固板上畫出如圖所示的圖形，要求添加一個條件使得，以下四位同學的答案不正確的是　　
A．小龍： B．小年：
C．小達： D．小吉：
16．（2024春 平山縣月考）如圖，已知直線，被直線所截，交點為，．，．對的說理過程中的理由表述錯誤的是　　
☆； 〇； □； △．
A．☆代表已知
B．〇代表對頂角相等
C．□代表等量代換
D．△代表兩直線平行，同旁內角互補
17．（2023秋 常寧市期末）如圖一個彎形管道的拐角，，這時說管道，是根據　 ?。?br/>18．（2023秋 侯馬市期末）如圖，已知條件：①；②；③；④；其中能夠判定直線的是 　?。ㄖ惶钚蛱枺?br/>19．（2023秋 三原縣期末）如圖，在四邊形中，點是延長線上一點，請添加一個條件，使，那么可以添加的條件是 　　（寫出一個即可）．
20．（2024春 信都區月考）已知直線以及直線外一點，如圖1，圖2、圖3的作圖結果可以說明的基本事實是 　??；其依據是 　　．
21．（2024秋 興慶區校級期末）如圖，點在直線上，平分，平分，是上一點，連接．
（1）求證：；
（2）若與互余，求證：．
22．（2024春 固始縣期中）已知，如圖，，、分別平分與，且．試說明：．（請根據條件進行推理，得出結論，并在括號內注明理由）
解：、分別平分與（已知），
， 　　，
　　，
　　　?。ǖ攘看鷵Q）．
　　，
　　 　?。?br/>　　　　 　?。?br/>23．（2024秋 蘇家屯區校級期末）如圖，直線、交于點，，分別平分和，已知，且．（注，，
（1）求的度數；
（2）求證：．
24．（2024春 肥西縣期末）如圖，已知，，證明．
25．（2023秋 九龍坡區校級期末）如圖，直線、交于點，，分別平分和，且．
（1）求證：；
（2）若，求的度數．
四．平行線的性質
26．（2024 重慶）如圖，，若，則的度數為　　
A． B． C． D．
27．（2024 五華區校級模擬）如圖，已知，曉玉把三角板的直角頂點放在直線上．若，則的度數為　　
A． B． C． D．
28．（2023春 梅縣區校級期中）將一張長方形紙片（足夠長）折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個三角形，為折痕，若，則的度數為　　
A． B． C． D．
29．（2024秋 甘州區期末）如圖，，能平分交于點，若，則的度數是　　
A． B． C． D．
30．（2023秋 淮陽區期末）如圖，已知直線，則、、之間的關系是　　
A． B．
C． D．
31．（2024秋 競秀區期末）如圖，，，，則與的數量關系是　　
A． B．
C． D．
32．（2024 二道區校級模擬）隨著科技發展，騎行共享單車這種“低碳”生活方式已融入人們的日常生活，如圖是共享單車車架的示意圖，線段，，分別為前叉、下管和立管（點在上），為后下叉．已知，，，，則的度數為　　
A． B． C． D．
33．（2024秋 興慶區校級期末）如圖，，，， 　　．
34．（2024春 青秀區校級期中）將一副三角板按如圖所示擺放在一組平行線內，，，則的度數為 　?。?br/>35．（2024春 白塔區校級期中）一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，其中一個角等于，則另一個角的度數為　 ?。?br/>36．（2021秋 襄汾縣期末）如圖，把一張長方形紙片沿折疊后，、分別落在，的位置上，與交于點，若，則　?。?br/>37．（2024秋 泉山區校級期末）如圖，直線，，垂足為，與相交于點，若，求的度數．
38．（2024春 陽山縣期末）如圖，，交于點，，垂足為．
（1）若，求的度數；
（2）直接寫出圖中與互余的所有角．
39．（2024春 南充期末）如圖1，平分，平分，且，．
（1）求證：．
（2）如圖2，延長，交于點，求的度數．
40．（2024春 西安校級期中）如圖，△中，為邊上一點，過作，交于；為邊上一點，連接并延長，交的延長線于，．求證：平分．
41．（2024春 吉州區校級月考）如圖，．
（1）如圖①，若，點在射線上，，求的度數；
（2）如圖②，若，試猜想與的數量關系，并說明理由．
42．（2024春 城關區校級期末）如圖，點在的邊上，過作，平分，于．
（1）若，求；
（2）過作，交于點，求證：平分．
五．平行線的判定與性質綜合應用
43．（2023秋 九龍坡區校級期末）如圖，，，則　　
A． B． C． D．
44．（2024春 瀘縣校級期末）如圖，，，則等于　　
A． B． C． D．
45．（2024春 浦北縣期末）如圖，下列結論中不正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
46．（2024 淮北一模）已知，將一塊等腰直角三角形的三角板按如圖所示的方式擺放，若，則的度數為　　
A． B． C． D．
47．（2023秋 漳州期末）如圖，已知，，，點是線段延長線上一點，且．以下四個結論：
①；②；③平分；④．
其中結論正確的個數是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
48．（2024春 邵陽期末）將一副三角尺按如圖所示的方式放置，給出下列結論：①若，則；②若，則；③；④若，則．其中正確的是　　
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
49．（2024春 雁峰區校級月考）如圖，已知：，，平分，，有下列結論：①；②；③；④．結論正確的有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
50．（2024春 龍沙區期末）如圖，與交于點，點在直線上，交于點，，，，下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論是
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
51．（2024春 雅安期末）如圖，如果，，，那么的度數是 　?。?br/>52．（2023秋 城廂區校級期末）如圖，，，平分，，有下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是 　?。ㄌ顚懶蛱枺?br/>53．（2024春 懷寧縣期末）如圖，直線分別與直線、相交于、兩點．
（1）當時，要使得，則應為 　　；
（2）若，平分，，則　　．
54．（2024春 鳳凰縣期末）如圖，有一副三角板按如圖放置，則下列結論：①；②如果，則有；③如果，則有；④如果，必有．其中正確的是 　　（填序號）
55．（2024春 臨湘市期末）如圖，在中，，，，，則下列結論：①；②；③；④平分．其中正確的是 　　．（填序號）
56．（2024秋 朝陽區期末）已知：如圖，、是直線上兩點，，平分，
（1）求證：；
（2）若，求的度數．
57．（2024秋 九臺區期末）如圖，已知，，，求證：．
閱讀下面的解答過程，填空并填寫理由．
證明：（已知），
　　 　?。?br/>　?。?br/>（已知），
（等量代換）．
　　 　?。?br/>　　 　　．
又（已知），
．
．
58．（2024秋 公主嶺市期末）【探究】（1）如圖1，，點在直線與之間，連接，，試說明：．請完成下面的解題過程．
解：過點作，
　　 　　．
，，
　　，
　　，
，
；
【應用】（2）如圖2，，點在，之間，與交于點，與交于點．若，，求的度數；
【拓展】（3）如圖3，直線在直線，之間，且，點，分別在，上，是直線上的一個動點，且不在直線上，連接，．若，直接寫出的度數．
59．（2024秋 德惠市期末）已知：如圖①，點在上，且平分，．求證：．
（探究）已知：如圖②，點在上，且平分，求證：．
（應用）如圖③，平分，點是上一點，過點作交于點，，直接寫出的度數．
60．（2024春 江津區校級月考）下列如圖，，是直線上的一點，，．
（1）求證：；
（2）連接，若，，請寫出所有與互補的角．
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題型專練02 平行線（5大題型）
目錄概覽
題型一 平行線的概念、畫法
題型二 平行公理及推論
題型三 平行線的判定
題型四 平行線的性質
題型五 平行線的判定與性質綜合應用
一．平行線的概念、畫法
1．（2024春 招遠市期末）同一平面內不重合的兩條直線的位置關系有　　
A．相交、垂直 B．相交、平行
C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行
【答案】
【分析】根據同一平面內的直線有相交與平行兩種位置關系即可解答．
【解析】同一平面內的兩直線只有相交與平行兩種位置關系．
故選．
2．（2024春 洮北區校級月考）直線與平行可記作：　　．
【答案】．
【分析】根據平行符號的表示方法解答即可．
【解析】直線與平行可記作：．
故答案為：．
3．（2024春 岷縣校級月考）在同一平面內，直線與滿足下列條件：
（1）與沒有公共點，則與　平行??；
（2）與有且只有一個公共點，則與　 ??；
（3）與有兩個公共點，則與　 ?。?br/>【分析】根據平行、相交和重合的定義就可以解決．
【解析】（1）與沒有公共點，則與平行．
（2）與有且只有一個公共點，則與相交．
（3）與有兩個公共點，則與重合．
4．（2024春 銀州區校級期末）如圖所示，在內有一點．
（1）過畫；
（2）過畫；
（3）用量角器量一量與相交的角與的大小有怎樣關系？
【分析】用兩個三角板，根據同位角相等，兩直線平行來畫平行線，然后用量角器量一量與相交的角與的關系為：相等或互補．
【解析】（1）（2）如圖所示，
（3）與夾角有兩個：，；，，所以和的夾角與相等或互補．
5．（2022春 田東縣期末）一副透明的直角三角尺，按如圖所示的位置擺放．如果把三角尺的每條邊看成線段，請根據圖形解答下列問題：
（1）找出圖中一對互相平行的線段，并用符號表示出來；
（2）找出圖中一對互相垂直的線段，并用符號表示出來；
（3）找出圖中的一個鈍角、一個直角和一個銳角，用符號把它們表示出來，并求出它們的度數．（不包括直角尺自身所成的角）
【分析】（1）直線，故直線上的線段都與平行．
（2）根據和都是直角，即可找出互相垂直的線段．
（3）根據角的概念進行解答．
【解析】此題答案不唯一，只要答案正確即可得分．
（1）如：，，．
（2）如：，，．
（3）如：鈍角：，．
直角有：．
如：銳角，，．
二．平行公理及推論
6．（2024春 端州區校級期中）下列說法正確的是　　
A．、、是直線，若，，則
B．、、是直線，若，，則
C．、、是直線，若，，則
D．、、是直線，若，，則
【答案】．
【分析】根據平行線的性質和判定逐個判斷即可．
【解析】、，，
，故本選項錯誤；
、在同一平面內，當，時，，故本選項錯誤；
、當，時，，故本選項錯誤；
、當，時，，故選項正確；
故選．
7．（2024春 東港區校級月考）下列說法中正確的說法個數有　　
①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；
②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
④直線外一點與直線上一點間的線段的長度是這一點到這條直線的距離；
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【答案】
【分析】根據平行公理及推論、垂線、點到直線的距離的相關結論即可得到答案．
【解析】在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故①錯誤；
平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故②錯誤；
過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故③錯誤；
過直線外一點向已知直線作垂線，該點到垂足的線段的長度是這一點到這條直線的距離，故④錯誤；
故選．
8．（2024春 東陽市月考）在同一平面內有，，三條直線，若，且與相交，那么與的位置關系是　　
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能確定
【答案】
【分析】根據平行于同一條直線的兩條直線平行，進行判斷即可．
【解析】若，且與相交，
與相交，
故選．
9．（2023秋 郟縣期末）如圖，，，則點，，在同一條直線上，理由是　經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行　．
【答案】經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
【分析】直接利用平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，得出即可．
【解析】，，點，，在同一條直線上，
理由是：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
故答案為：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
10．（2023春 安達市校級期中）如圖，，過點畫，則與的位置關系是　 　，理由是　 ?。?br/>【答案】；平行于同一直線的兩直線互相平行．
【分析】根據平行公理解答．
【解析】與的位置關系是，
理由是：平行于同一直線的兩直線互相平行．
故答案為：；平行于同一直線的兩直線互相平行．
11．（2021春 和平區校級期中）如圖，在直線的同側有、、三點，若，，則、、三點　在?。ㄌ睢霸凇被颉安辉凇?同一條直線上．
【答案】在．
【分析】依據過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，即可得到，，三點在同一條直線上．
【解析】，（已知），
，，三點在同一條直線上（過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行），
故答案為：在．
三．平行線的判定
12．（2024秋 長春期末）如圖，下列條件中能判定的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用平行線的判定方法分別判斷得出答案．
【解析】、，
，
故符合題意．
、，
不能判定，
故不符合題意．
、，
不能判定，
不符合題意．
、，
不能判定，
故不符合題意．
故選．
13．（2024秋 南崗區校級期末）如圖，直線、被直線所截，下列選項中能得到的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據平行線的判定定理判斷求解即可．
【解析】，
，
故符合題意；
由，不能判定，
故不符合題意；
由，不能判定，
故不符合題意；
由，不能判定，
故不符合題意；
故選．
14．（2024 南崗區校級開學）如圖，點在延長線上，下列條件中不能判定的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據平行線的判定方法直接判定．
【解析】選項中，，（內錯角相等，兩直線平行），所以正確；
選項中，，（內錯角相等，兩直線平行），所以正確；
選項中，，（同旁內角互補，兩直線平行），所以正確；
而選項中，與是直線、被所截形成的內錯角，因為，所以應是，故錯誤．
故選．
15．（2024春 江津區校級月考）老師在固板上畫出如圖所示的圖形，要求添加一個條件使得，以下四位同學的答案不正確的是　　
A．小龍： B．小年：
C．小達： D．小吉：
【答案】
【分析】根據平行線的判定定理判斷求解即可．
【解析】，
，
故不符合題意；
，，
，
，
故不符合題意；
，，
，
，
故不符合題意；
由，不能判斷，
故符合題意；
故選．
16．（2024春 平山縣月考）如圖，已知直線，被直線所截，交點為，．，．對的說理過程中的理由表述錯誤的是　　
☆； 〇； □； △．
A．☆代表已知
B．〇代表對頂角相等
C．□代表等量代換
D．△代表兩直線平行，同旁內角互補
【答案】
【分析】根據平行線的判定定理求解即可．
【解析】（已知），
（對頂角相等），
（等量代換），
（同旁內角互補，兩直線平行），
故選．
17．（2023秋 常寧市期末）如圖一個彎形管道的拐角，，這時說管道，是根據　同旁內角互補，兩直線平行　．
【答案】同旁內角互補，兩直線平行
【分析】由已知，，即，可得關于的判定條件：同旁內角互補，兩直線平行．
【解析】，，
，
（同旁內角互補，兩直線平行）．
18．（2023秋 侯馬市期末）如圖，已知條件：①；②；③；④；其中能夠判定直線的是 　①②③④　．（只填序號）
【答案】①②③④．
【分析】由平行線的判定方法，即可判斷．
【解析】，由內錯角相等，兩直線平行判定，
故①符合題意；
，由同旁內角互補，兩直線平行，判定，
故②符合題意；
，，
，
，
，
，
故③符合題意；
，，
，
，
故④符合題意．
能夠判定直線的是①②③④．
故答案為：①②③④．
19．（2023秋 三原縣期末）如圖，在四邊形中，點是延長線上一點，請添加一個條件，使，那么可以添加的條件是 　?。▽懗鲆粋€即可）．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】直接利用平行線的判定方法得出答案．
【解析】當時，則．
故答案為：（答案不唯一）．
20．（2024春 信都區月考）已知直線以及直線外一點，如圖1，圖2、圖3的作圖結果可以說明的基本事實是 　經過已知直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行　；其依據是 　?。?br/>【答案】經過已知直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行；同位角相等，兩直線平行．
【分析】根據畫平行線的方法可得答案．
【解析】直線以及直線外一點，如圖1，圖2、圖3的作圖結果可以說明的基本事實是經過已知直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行；其依據是同位角相等，兩直線平行．
故答案為：經過已知直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行；同位角相等，兩直線平行；
21．（2024秋 興慶區校級期末）如圖，點在直線上，平分，平分，是上一點，連接．
（1）求證：；
（2）若與互余，求證：．
【分析】（1）利用角平分線的定義結合平角的性質即可證明；
（2）利用，結合已知求得，根據“內錯角相等，兩直線平行”即可證明．
【解析】（1）證明：平分，平分，
，，
，
；
（2）證明：，
，
與互余，
，
，
．
22．（2024春 固始縣期中）已知，如圖，，、分別平分與，且．試說明：．（請根據條件進行推理，得出結論，并在括號內注明理由）
解：、分別平分與（已知），
， 　角平分線的定義　，
　　，
　　　?。ǖ攘看鷵Q）．
　　，
　　 　　．
　　　　 　　．
【分析】首先根據角平分線定義可得，，根據等式的性質可得，再由條件可得，根據內錯角相等，兩直線平行可得．
【解析】證明：、分別平分與，（已知）
， （角平分線定義）
又（已知）
（等量代換），
又（已知），
（等量代換），
（內錯角相等，兩直線平行）．
故答案為：角平分線的定義；已知；1，2；已知；3，等量代換；，，內錯角相等，兩直線平行．
23．（2024秋 蘇家屯區校級期末）如圖，直線、交于點，，分別平分和，已知，且．（注，，
（1）求的度數；
（2）求證：．
【分析】（1）根據角平分線定義得到，，設，，根據平角的定義得到，求得，于是得到結論；
（2）根據余角的性質和平行線的判定定理即可得到結論．
【解析】（1）解：，分別平分和，
，，
，
，
，
設，，
，
，
，
；
（2）證明：，
，
，
，
．
24．（2024春 肥西縣期末）如圖，已知，，證明．
【分析】根據利用“同位角相等，兩直線平行”可得出，再根據利用“同旁內角互補，兩直線平行”可得出，從而即可證出結論．
【解析】證明：，
．
，
．
．
25．（2023秋 九龍坡區校級期末）如圖，直線、交于點，，分別平分和，且．
（1）求證：；
（2）若，求的度數．
【分析】（1）先利用角平分線的定義可得，，從而利用平角定義可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行線的判定可得，即可解答；
（2）利用（1）的結論可得，然后利用平角定義可得，，然后利用對頂角相等可得，再利用角平分線的定義可得，從而利用平角定義進行計算即可解答．
【解析】（1）證明：，分別平分和，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，，
，
平分，
，
，
的度數為．
四．平行線的性質
26．（2024 重慶）如圖，，若，則的度數為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據鄰補角定義求出，再根據平行線的性質求解即可．
【解析】如圖，
，，
，
，
，
故選．
27．（2024 五華區校級模擬）如圖，已知，曉玉把三角板的直角頂點放在直線上．若，則的度數為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據“兩直線平行，內錯角相等”求解即可．
【解析】如圖，
，，
，
，
，
故選．
28．（2023春 梅縣區校級期中）將一張長方形紙片（足夠長）折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個三角形，為折痕，若，則的度數為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據平行線的性質，可以得到，，再根據和折疊的性質，即可得到的度數，本題得以解決．
【解析】如圖所示，
長方形的兩條長邊平行，，
，，
，
由折疊的性質可知，，
，
，
故選．
29．（2024秋 甘州區期末）如圖，，能平分交于點，若，則的度數是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據平行線性質求出的度數，根據角平分線求出的度數，根據平行線性質求出的度數即可．
【解析】，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故選．
30．（2023秋 淮陽區期末）如圖，已知直線，則、、之間的關系是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】過作直線，根據平行線的性質即可求解．
【解析】如圖，過作直線，
，
，
，，
，
，
即，
故選．
31．（2024秋 競秀區期末）如圖，，，，則與的數量關系是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】分別過點，作，，利用平行線的性質可求得，，再結合所給的條件即可求解．
【解析】分別過點，作，，如圖，
，
，，
，，，，
，
，
，，
，，
，
即．
故選．
32．（2024 二道區校級模擬）隨著科技發展，騎行共享單車這種“低碳”生活方式已融入人們的日常生活，如圖是共享單車車架的示意圖，線段，，分別為前叉、下管和立管（點在上），為后下叉．已知，，，，則的度數為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先利用平行線的性質可得，再利用角的和差關系可得，然后利用平行線的性質可得，即可解答．
【解析】，
，
，
，
，
，
故選．
33．（2024秋 興慶區校級期末）如圖，，，， 　　．
【答案】．
【分析】求出，再利用三角形內角和定理即可解決問題．
【解析】，
，
，
，
故答案為．
34．（2024春 青秀區校級期中）將一副三角板按如圖所示擺放在一組平行線內，，，則的度數為 　　．
【答案】．
【分析】由題意可求得，再由平行線的性質可求得的度數，結合平角的定義即可求．
【解析】如圖，
由題意可得：，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
35．（2024春 白塔區校級期中）一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，其中一個角等于，則另一個角的度數為　或?。?br/>【答案】或．
【分析】根據題意作圖，可得：與的兩邊都與的兩邊分別平行，然后根據兩直線平行，同旁內角互補，即可求得的度數，又由鄰補角的定義，即可求得的度數，即可求得答案．
【解析】如圖：與的都兩邊與的兩邊分別平行，
即，，
，，
，
，
．
故答案為：或．
36．（2021秋 襄汾縣期末）如圖，把一張長方形紙片沿折疊后，、分別落在，的位置上，與交于點，若，則　?。?br/>【答案】．
【分析】先根據平行線的性質求得的度數，再根據折疊求得的度數，最后計算的大小．
【解析】，
，
由折疊可得，，
，
．
故答案為：
37．（2024秋 泉山區校級期末）如圖，直線，，垂足為，與相交于點，若，求的度數．
【答案】．
【分析】過作，由已知的，即，根據兩條直線分別于第三條直線平行，則這兩條直線也平行，再根據兩直線平行，內錯角相等可求結果．
【解析】過作，
，
，
，，
，
，
，
的度數為．
38．（2024春 陽山縣期末）如圖，，交于點，，垂足為．
（1）若，求的度數；
（2）直接寫出圖中與互余的所有角．
【分析】（1）根據平行線的性質求出，再利用直角三角形兩銳角互余求出的度數；
（2）根據（1）及對頂角相等的性質解答即可．
【解析】（1），
，
，
，
，
；
（2），，
，，
即，，都與互余．
39．（2024春 南充期末）如圖1，平分，平分，且，．
（1）求證：．
（2）如圖2，延長，交于點，求的度數．
【分析】（1）利用角平分線的定義可得，，再利用平行線的性質可得，，然后利用等量代換可得，從而可得，即可解答；
（2）利用（1）的結論可得：，然后利用三角形內角和定理可得，從而可得，最后利用平行線的性質可得，即可解答．
【解析】（1）證明：平分，平分，
，，
，，
，，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，
，
，
，
的度數為．
40．（2024春 西安校級期中）如圖，△中，為邊上一點，過作，交于；為邊上一點，連接并延長，交的延長線于，．求證：平分．
【分析】先由平行線的性質得到，，再根據已知條件結合對頂角相等可得，則可證明平分．
【解析】證明：，
，，
，，
，
平分．
41．（2024春 吉州區校級月考）如圖，．
（1）如圖①，若，點在射線上，，求的度數；
（2）如圖②，若，試猜想與的數量關系，并說明理由．
【分析】（1）過點作，則，根據，可得，再根據平行線的性質即可解答；
（2）過點作，即，根據、可得，根據平行線的性質可得，再結合即可解答．
【解析】（1）如圖①，過點作，則，
，
，
，
，，
，
．
（2）猜想：，理由如下：
如圖②，過點作，即，
，
，，
，
，
，
，
．
42．（2024春 城關區校級期末）如圖，點在的邊上，過作，平分，于．
（1）若，求；
（2）過作，交于點，求證：平分．
【分析】（1）根據平行線的性質和角平分線的性質，可以求得；
（2）根據平行線的性質和角平分線的定義可以求得和的關系，從而可以證明結論成立．
【解析】（1）解：，
，
，
平分，
；
（2）證明：平分，
，
，
，
，
，
，
平分．
五．平行線的判定與性質綜合應用
43．（2023秋 九龍坡區校級期末）如圖，，，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由及鄰補角互補，可得出，利用“同位角相等，兩直線平行”可得出，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出的度數，再利用鄰補角互補可求出的度數．
【解析】如圖，
，，
，
，
．
，
．
故選．
44．（2024春 瀘縣校級期末）如圖，，，則等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先證明，可得，再利用對頂角的性質與等量代換可得答案．
【解析】如圖，
，，
，
，
，
，
，
故選．
45．（2024春 浦北縣期末）如圖，下列結論中不正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】
【分析】根據平行線的性質即可判斷和；根據平行線的判定，即可判斷和，即可解答．
【解析】、，
，
，
，
故符合題意；
、，
（內錯角相等，兩直線平行），
故不符合題意；
、，
（同位角相等，兩直線平行），
故不符合題意；
、，
（兩直線平行，同旁內角互補），
故不符合題意；
故選．
46．（2024 淮北一模）已知，將一塊等腰直角三角形的三角板按如圖所示的方式擺放，若，則的度數為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用平行線的性質結合三角板的性質求得和的度數，再利用平角的定義即可求解．
【解析】如圖，作，
，
，
，
，
，
，
故選．
47．（2023秋 漳州期末）如圖，已知，，，點是線段延長線上一點，且．以下四個結論：
①；②；③平分；④．
其中結論正確的個數是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】先由平行線的性質得到，，進而得到，則，即可推出，進而得到，則，進一步得到，則，根據現有條件無法證明平分，由此可得答案．
【解析】，
，，
，
，
，故①正確；
，
，
，
，故②正確；
，
，故④正確；
根據現有條件無法證明平分，故③錯誤；
故選．
48．（2024春 邵陽期末）將一副三角尺按如圖所示的方式放置，給出下列結論：①若，則；②若，則；③；④若，則．其中正確的是　　
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】
【分析】根據題意可知，，，，證明，可判斷①正確；根據平行線的性質可判斷②正確；根據，，可判斷③正確；證明，即可判斷④正確．
【解析】由題意，知，，，，
，
，
，
，故①正確；
，
，
，故②正確；
，，
，故③正確；
，，
．
，
，故④正確．
故選．
49．（2024春 雁峰區校級月考）如圖，已知：，，平分，，有下列結論：①；②；③；④．結論正確的有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】
【分析】根據平行線的判定與性質逐一分析判斷即可．
【解析】，，
，
故①正確，符合題意；
平分，
，
，
，
（1），
，
（2），
（1）（2）得，，
故②正確，符合題意；
，
，
平分，
，
，
（3），
（1），
（3）（1）得，，
故③正確，符合題意；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故④錯誤，不符合題意．
故符合題意的有：①②③．
故選．
50．（2024春 龍沙區期末）如圖，與交于點，點在直線上，交于點，，，，下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論是
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
【答案】
【分析】過點作，，設，，利用豬腳模型、鋸齒模型表示出、，即可分析出答案．
【解析】
①正確；
過點作，，
，
，
設，，則，
，
，
，
②錯誤；
，
③錯誤；
，
④正確．
綜上所述，正確答案為①④．
故選．
51．（2024春 雅安期末）如圖，如果，，，那么的度數是 　　．
【答案】．
【分析】過作，利用平行線的性質求出，進而求出，利用平行線的傳遞性得出，再利用平行線的性質求解即可．
【解析】過作，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
故答案為：．
52．（2023秋 城廂區校級期末）如圖，，，平分，，有下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是 ?、佗堋。ㄌ顚懶蛱枺?br/>【答案】①④．
【分析】根據平行線的性質逐一分析判斷即可．
【解析】，，
，故①正確；
，
，
，
，
，
，故②不正確；
，
，
平分，
，
，
（3），
（1），
（3）（1）得，，故④正確；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③錯誤．
故正確的結論有：①②④．
故答案為：①④．
53．（2024春 懷寧縣期末）如圖，直線分別與直線、相交于、兩點．
（1）當時，要使得，則應為 　??；
（2）若，平分，，則　?。?br/>【分析】（1）根據補角的定義求得，再利用兩直線平行同位角相等，即可得到答案；
（2）平行線的性質得到，由，，可求得，進而根據對頂角相等求出，最后根據角平分線的定義，即可得到答案．
【解析】（1），
，
要使得，則，
故答案為：；
（2）如圖，
，
，
，，
，
，
，
平分，
．
故答案為：．
54．（2024春 鳳凰縣期末）如圖，有一副三角板按如圖放置，則下列結論：①；②如果，則有；③如果，則有；④如果，必有．其中正確的是 　①②③④?。ㄌ钚蛱枺?br/>【答案】①②③④．
【分析】先根據余角的概念和同角的余角相等判斷①；再根據平行線的判定定理判斷②；然后根據平行線的判定定理判斷③；最后根據平行線的判定與性質判斷④．
【解析】，，
，故①正確；
，
，
又，
，
，故②正確；
，
，
．故③正確；
，
，
，
，故④正確；
故答案為：①②③④．
55．（2024春 臨湘市期末）如圖，在中，，，，，則下列結論：①；②；③；④平分．其中正確的是 ?、佗冖堋。ㄌ钚蛱枺?br/>【答案】①②④．
【分析】根據平行線的性質得到，故①符合題意；，根據余角的性質得到，故②符合題意；根據角平分線的定義得到平分，故④符合題意；根據已知條件無法證明，故③不符合題意．
【解析】，，
，
故①正確，符合題意；
，
，
，
，
，
故②正確，符合題意；
，
，
，
，
平分，
故④正確，符合題意；
，要使，
則，
平分，但不一定與相等，
無法證明，
故③錯誤，不符合題意，
故答案為：①②④．
56．（2024秋 朝陽區期末）已知：如圖，、是直線上兩點，，平分，
（1）求證：；
（2）若，求的度數．
【分析】（1）由，，可得，即可證明；
（2）由平行線的性質，可得，又平分，則，根據平行線的性質，即可得到的度數．
【解析】證明：（1），，是直線上兩點，
，
，
；
（2），，
，
平分，
，
，
．
57．（2024秋 九臺區期末）如圖，已知，，，求證：．
閱讀下面的解答過程，填空并填寫理由．
證明：（已知），
　　 　　．
　?。?br/>（已知），
（等量代換）．
　　 　?。?br/>　　 　?。?br/>又（已知），
．
．
【答案】；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內角互補．
【分析】根據平行線的判定與性質求解即可．
【解析】證明：（已知），
（同位角相等，兩直線平行）．
（兩直線平行，內錯角相等）．
（已知），
（等量代換）．
（同位角相等，兩直線平行）．
（兩直線平行，同旁內角互補）．
又（已知），
．
．
故答案為：；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內角互補．
58．（2024秋 公主嶺市期末）【探究】（1）如圖1，，點在直線與之間，連接，，試說明：．請完成下面的解題過程．
解：過點作，
　　 　?。?br/>，，
　　，
　　，
，
；
【應用】（2）如圖2，，點在，之間，與交于點，與交于點．若，，求的度數；
【拓展】（3）如圖3，直線在直線，之間，且，點，分別在，上，是直線上的一個動點，且不在直線上，連接，．若，直接寫出的度數．
【分析】（1）證明出，得到，，則；
（2）利用（1）中的結論可知，，則可得的度數為，由對頂角相等可得；
（3）結合（1）中的結論可得，需要討論是鈍角或是銳角時兩種情況，分別根據平行線的性質求解即可．
【解析】（1）過點作，
（兩直線平行，內錯角相等）．
，，
（平行于同一條直線的兩條直線平行），
，
，
；
（2）由（1）中探究可知，，
，且，
，
；
（3）如圖，當為鈍角時，
由（1）中結論可知，，
；
當為銳角時，如圖，
由（1）中結論可知，，
即，
綜上，或．
59．（2024秋 德惠市期末）已知：如圖①，點在上，且平分，．求證：．
（探究）已知：如圖②，點在上，且平分，求證：．
（應用）如圖③，平分，點是上一點，過點作交于點，，直接寫出的度數．
【分析】【探究】由角平分線的定義得，再由平行線的性質得，即可得出結論；
【應用】由角平分線的定義得，再由平行線的性質得，，然后求出，則，即可求解．
【解析】【探究】證明：平分，
，
，
，
；
【應用】解：平分，
，
，
，，
，
，
，
．
60．（2024春 江津區校級月考）下列如圖，，是直線上的一點，，．
（1）求證：；
（2）連接，若，，請寫出所有與互補的角．
【分析】（1）根據平行線的性質和判定，可以證明結論成立；
（2）根據平行線的性質，可以得到與互補的角．
【解析】（1）證明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由上可得，與互補的角是、、、和．
第1頁（共1頁）

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