資源簡介

(共70張PPT)
3.1.1
第三章
<<<
基本計數原理
1.理解兩個計數原理的概念和區別.
2.掌握兩個計數原理的簡單應用，并能根據實際問題的特征，合理地分類或分步.
學習目標
同學們，在我們的日常生活中處處離不開選擇，今天，我們想關注的是對于出現相同結果的原因會有多少種，比如說，從我們教室到教學樓外，我們有幾個樓梯可以選擇，或者我們先從哪個樓梯到達下一層，然后又可以做出選擇；比如說，我們去餐廳就餐，我們有多少個窗口可以選擇，或者說，我們先在哪幾個窗口買饅頭，再到哪幾個窗口買菜等等，這些問題都涉及到今天我們要研究的基本計數原理.
導 語
一、分類加法計數原理
二、分步乘法計數原理
課時對點練
三、兩個計數原理的簡單應用
隨堂演練
內容索引
分類加法計數原理
一
提示　此人共有3+4=7(種)快捷途徑可選.
某人明天要從濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可以選擇：一是乘飛機，二是乘G字頭列車，假如這天飛機有3個航班可乘，G字頭列車有4個班次可乘.那么此人從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選呢？
問題1
分類加法計數原理
完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= 種不同的方法.
m1+m2+…+mn
(1)每種方法都能獨立地完成這件事，不依賴于其他條件.
(2)每類辦法中任兩種方法都不同.
(3)不同類辦法之間沒有相同方法存在.
注 意 點
<<<
(1)設集合A={1，2，3，4}，m，n∈A，則方程+=1表示焦點位于x軸上的橢圓有
A.6個 B.8個
C.12個 D.16個
例 1
√
因為橢圓的焦點在x軸上，所以m>n.
當m=4時，n=1，2，3；當m=3時，n=1，2；當m=2時，n=1，即所求的橢圓共有3+2+1=6(個).
　　　(2)(課本例1)在某設計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子，如圖所示，要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？
例 1
用R表示紅色，用B表示藍色，
例如，RBRB表示第一個和第三個格子涂紅色，
第二個和第四個格子涂藍色.
因為紅色和藍色都要用兩次，
為了簡化問題，考慮涂紅色的格子是否相鄰，
則填涂結果可以分為兩類：涂紅色的格子相鄰，涂紅色的格子不相鄰.
涂紅色的格子相鄰的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3種；
涂紅色的格子不相鄰的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3種.
依據分類加法計數原理，
李明共有3+3=6(種)不同的涂法.
(2)在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的個數為　　　　.
36
方法一　根據題意，將十位上的數字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).
方法二　分析個位數字，可分以下幾類：
個位數字是9，則十位數字可以是1，2，3，…，8中的一個，故共有8個；
個位數字是8，則十位數字可以是1，2，3，…，7中的一個，故共有7個；
同理，個位數字是7的有6個；
……
個位數字是2的有1個.
由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).
若例1(1)條件不變，結論變為“則方程-=1表示焦點位于x軸上的雙曲線”有
A.6個 B.8個
C.12個 D.16個
延伸探究
√
因為雙曲線的焦點在x軸上，所以m>0，n>0，當m=1時，n=1，2，3，4；
當m=2時，n=1，2，3，4；
當m=3時，n=1，2，3，4；當m=4時，n=1，2，3，4，即所求的雙曲線共有4+4+4+4=16(個).
(1)分類時，首先要根據問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下分類，分類要做到“不重不漏”.
(2)利用分類加法計數原理的解題流程
反
思
感
悟
(1)一個科技小組有3名男同學，5名女同學，若從中任選1名同學參加學科競賽，則不同的選派方法共有　　　　種.
跟蹤訓練 1
8
任選1名同學參加學科競賽，有兩類方案：
第一類，從男同學中選取1名參加學科競賽，有3種不同的選法；
第二類，從女同學中選取1名參加學科競賽，有5種不同的選法.
由分類加法計數原理得，不同的選派方法共有3+5=8(種).
(2)若x，y∈N+，且x+y≤6，則有序自然數對(x，y)共有　　　　個.
15
將滿足條件x，y∈N+，且x+y≤6的x的值進行分類：
當x=1時，y可取的值為5，4，3，2，1，共5個；
當x=2時，y可取的值為4，3，2，1，共4個；
當x=3時，y可取的值為3，2，1，共3個；
當x=4時，y可取的值為2，1，共2個；
當x=5時，y可取的值為1，共1個.
即當x=1，2，3，4，5時，y的值依次有5，4，3，2，1個，
由分類加法計數原理得，有序自然數對(x，y)共有5+4+3+2+1=15(個).
二
分步乘法計數原理
提示　該代表共有3×4=12(種)不同的走法.
如果該全國人大代表明天要先從濟南前往天津，然后前往北京參加會議，他計劃乘坐飛機前往天津，此時有3個航班供他選擇，然后乘坐G字頭列車前往北京，此時有4個G字頭列車班次供他選擇，那么該代表從濟南到北京共有多少種不同的走法？
問題2
分步乘法計數原理
完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= 種不同的方法.
m1×m2×…×mn
(1)步驟可以分出先后順序，每一步驟對實現目標是必不可少的.
(2)每步的方法具有獨立性，不受其他步驟影響.
(3)每步所取的方法不同，每一步都有若干種方法.
注 意 點
<<<
(1) 4名同學報名參加跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，不同的報名方法數有
A.43 B.34 C.7 D.12
例 2
√
要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3×3×3×3=34(種)報名方法.
(2)(課本例2)用1，2，3，4，5可以排成多少個數字不重復的三位數？
例 2
排成一個三位數，可以分為三步：
第一步，確定百位上的數字，共有5種方法；
第二步，確定十位上的數字，因為數字不能重復，
所以不能是百位上已有的數字，共有4種方法；
第三步，確定個位上的數字，共有3種方法.
依據分步乘法計數原理，
可以排成數字不重復的三位數的個數為5×4×3=60.
(2)人們習慣把最后一位是6的多位數叫作“吉祥數”，則無重復數字的四位吉祥數(首位不能是零)共有　　　　個.
448
第一步，確定千位，除去0和6，有8種不同的選法；第二步，確定百位，除去6和千位數字外，有8種不同的選法；第三步，確定十位，除去6和千位、百位上的數字外，有7種不同的選法.故共有8×8×7=448(個)無重復數字的四位“吉祥數”.
4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三個項目的冠軍(每項冠軍只允許一人獲得)，共有多少種可能的結果？
延伸探究
要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步，而每項冠軍是四人中的某一人，有4種可能的情況，于是共有4×4×4=64(種)可能的結果.
反
思
感
悟
(1)應用分步乘法計數原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可.
(2)利用分步乘法計數原理的解題流程
利用分步乘法計數原理解題的注意點及解題思路
(1)一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字，這4個撥號盤可以組成_________個四位數的號碼.(各位上的數字允許重復)
跟蹤訓練 2
10 000
按從左到右的順序撥號可以分四步完成：
第一步，有10種撥號方式，所以m1=10；
第二步，有10種撥號方式，所以m2=10；
第三步，有10種撥號方式，所以m3=10；
第四步，有10種撥號方式，所以m4=10.
根據分步乘法計數原理，共可以組成N=10×10×10×10=10 000(個)四位數的號碼.
(2)從-1，0，1，2這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)=ax2+bx+c的系數，可組成不同的二次函數共_____個，其中不同的偶函數共　　個.(用數字作答)
18
6
一個二次函數對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數原理知，共有不同的二次函數3×3×2=18(個).
若二次函數為偶函數，則b=0.a的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數原理知，共有不同的偶函數3×2=6(個).
兩個計數原理的簡單應用
三
　(課本例3)某班班委由2位女同學、3位男同學組成，現要從該班班委里選出2人去參加學校組織的培訓活動，要求至少要有1位女同學參加，則不同的選法共有多少種？
例 3
按照選擇的女同學人數分為兩種情況，
即2位都是女同學和只有1位女同學.
2位都是女同學的選法顯然只有1種.
只有1位女同學的選法，可以分為兩步完成：
先從2位女同學中選出1人，有2種選法；
再從3位男同學中選出1人，有3種選法.
依據分步乘法計數原理，
共有不同的選法2×3=6(種).
依據分類加法計數原理，
不同的選法共有1+6=7(種).
　現有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫.
(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？
例 3
分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法.根據分類加法計數原理，共有5+2+7=14(種)不同的選法.
(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？
分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，根據分步乘法計數原理，共有5×2×7=70(種)不同的選法.
(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？
分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數原理知，有5×2=10(種)不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7=35(種)不同的選法；
第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7=14(種)不同的選法.
所以共有10+35+14=59(種)不同的選法.
反
思
感
悟
(1)在處理具體的應用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么，選擇合理的標準處理事件，關鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數的重復或遺漏.
(2)對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數原理又要運用分步乘法計數原理的問題，我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題更加直觀、清晰.
集合A={1，2，-3}，B={-1，-2，3，4}，從A，B中各取1個元素，作為點P(x，y)的坐標.
(1)可以得到多少個不同的點？
跟蹤訓練 3
可分為兩類：A中元素為x，B中元素為y或A中元素為y，B中元素為x，則共得到3×4+4×3=24(個)不同的點.
(2)這些點中，位于第一象限的有幾個？
第一象限內的點，即x，y均為正數，所以只能取A，B中的正數，故共有2×2+2×2=8(個)不同的點位于第一象限.
1.知識清單：
(1)分類加法計數原理.
(2)分步乘法計數原理.
(3)兩個原理的簡單應用.
2.方法歸納：分類討論.
3.常見誤區：
(1)“分類”與“分步”不清，導致計數錯誤.
(2)分類標準不明確，出現“重”“漏”現象.
隨堂演練
四
1.某同學從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選1本閱讀，則不同的選法共有
A.24種 B.9種 C.3種 D.26種
不同的雜志本數為4+3+2=9，從其中任選1本閱讀，共有9種選法.
1
2
3
4
√
2.(多選)已知x∈{2，3}，y∈{-4，8}，則x·y的值可以為
A.-8 B.-12
C.11 D.24
問題分為兩步：第一步在集合{2，3}中任取一個值，有2種不同取法，第二步在集合{-4，8}中任取一個值，有2種不同取法，故x·y可表示2×2=4(個)不同的值.即2×(-4)=-8，2×8=16，3×(-4)=-12，3×8=24.
1
2
3
4
√
√
√
3.現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的1個講座，則不同選法的種數是
A.56 B.65 C.30 D.11
第一名同學有5種選擇方法，第二名同學有5種選擇方法，…，第六名同學也有5種選擇方法，根據分步乘法計數原理可得6名同學共有56(種)不同的選法.
1
2
3
4
√
4.5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員.現從中選出3名隊員參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員的選法有　　　種.(用數字作答)
1
2
3
4
9
分為兩類：第一類是2名老隊員、1名新隊員，有3種選法；第二類是2名新隊員、1名老隊員，有2×3=6(種)選法，由分類加法計數原理知，共有3+6=9(種)不同的選法.
課時對點練
五
1.某學生去書店，發現3本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有
A.3種 B.6種 C.7種 D.9種
分3類：買1本書，買2本書和買3本書.各類的購買方式依次有3種、3種和1種，故購買方式共有3+3+1=7(種).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基礎鞏固
√
2.給一些書編號，準備用3個字符，其中首字符用A，B，后兩個字符用a，b，c(允許重復)，則不同編號的書共有
A.8本 B.9本
C.12本 D.18本
需分三步完成：第一步，首字符有2種編法；
第二步，第二個字符有3種編法；
第三步，第三個字符有3種編法，故由分步乘法計數原理知，不同編號的書共有2×3×3=18(本).
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為
A.40 B.16 C.13 D.10
分兩類情況討論：第一類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；
第二類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面.
根據分類加法計數原理知，共可以確定8+5=13(個)不同的平面.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，則不同的行車路線有
A.24種 B.16種
C.12種 D.10種
可分為四類，從每一個方向的入口進入都可作為一類，
如圖，從第1個入口進入時，有3種行車路線；同理，從
第2個，第3個，第4個入口進入時，都分別有3種行車路
線，由分類加法計數原理可得共有3+3+3+3=12(種)不同
的行車路線.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
5.從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a+bi，其中虛數有
A.30個 B.42個 C.36個 D.35個
要完成這件事可分兩步，第一步確定b(b≠0)，有6種方法，第二步確定a，有6種方法，故由分步乘法計數原理知，共有6×6=36(個)虛數.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙，需選擇一套服裝參加“五一”節歌舞演出，則不同的選法種數為
A.24 B.14 C.10 D.9
由題意可得，不同的選法種數為
4×3+2=14.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，則共可配成　　　　組.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
60
分兩類：第一類，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6=30(組)不同的結果；
同理，第二類也有30組不同的結果，則共可配成30+30=60(組).
8.有5個不同的棱柱、3個不同的棱錐、4個不同的圓臺、2個不同的球，若從中任取多面體和旋轉體各1個，則不同取法的種數是　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
48
分兩步：第1步，取多面體，從棱柱或棱錐中取1個，不同的取法有5+3=8(種)；
第2步，取旋轉體，從圓臺或球中取1個，不同的取法有4+2=6(種).
根據分步乘法計數原理知，不同取法的種數是8×6=48.
9.有一項活動，需從3位教師、8名男同學和5名女同學中選人參加.
(1)若只需1人參加，則有多少種不同的選法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
選1人，可分3類：
第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；
第2類，從男同學中選1人，有8種不同的選法；
第3類，從女同學中選1人，有5種不同的選法.
共有3+8+5=16(種)不同的選法.
(2)若需教師、男同學、女同學各1人參加，則有多少種不同的選法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
選教師、男同學、女同學各1人，分3步進行：
第1步，選教師，有3種不同的選法；
第2步，選男同學，有8種不同的選法；
第3步，選女同學，有5種不同的選法.
共有3×8×5=120(種)不同的選法.
10.用0，1，2，3，4，5這6個數字組成無重復數字的四位數，若把每位數字比其左鄰的數字小的數稱為“漸降數”，求上述四位數中“漸降數”的個數.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
分三類：
第一類，當千位數字為3時，要使四位數為“漸降數”，則四位數只有3 210，共1個；
第二類，當千位數字為4時，“漸降數”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4個；
第三類，當千位數字為5時，“漸降數”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10個.
由分類加法計數原理，得共有1+4+10=15(個)“漸降數”.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.某班小張等4位同學報名參加A，B，C三個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，且小張不能報A小組，則不同的報名方法有
A.27種 B.36種
C.54種 D.81種
小張的報名方法有2種，其他3位同學各有3種，根據分步乘法計數原理，
共有2×3×3×3=54(種)不同的報名方法.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
綜合運用
12.滿足a，b∈{-1，0，1，2}，且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解的有序實數對(a，b)的個數為
A.14 B.13 C.12 D.10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解，得a=0，b∈R或a≠0，ab≤1.
又a，b∈{-1，0，1，2}，故
當a=-1時，b=-1，0，1，2，有4種可能；
當a=0時，b=-1，0，1，2，有4種可能；
當a=1時，b=-1，0，1，有3種可能；
當a=2時，b=-1，0，有2種可能.
∴由分類加法計數原理知，有序數對(a，b)的個數為4+4+3+2=13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.從集合{1，2，3，4，5}中任取2個不同的數，作為直線Ax+By=0的系數，則形成不同的直線最多有
A.18條 B.20條
C.25條 D.10條
第一步取A的值，有5種取法，第二步取B的值有4種取法，其中當A=1，B=2時，與A=2，B=4時是相同的；當A=2，B=1時，與A=4，B=2時是相同的，故共有5×4-2=18(條).
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.電路如圖所示，在A，B間有四個開關，若發現A，B之間電路不通，則這四個開關打開或閉合的方式有　　　　種.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13
各個開關有打開或閉合2種情形，故四個開關共有24種可能，其中能使電路通的情形有1，4都閉合且2和3中至少有一個閉合，共有3種可能，故電路不通時這四個開關打開或閉合的方式有24-3=13(種).
拓廣探究
15.如圖所示，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的線段表示它們有網線相連，連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為
A.26 B.24
C.20 D.19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
因信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由分類
加法計數原理知，完成從A向B傳遞有四種方法：
12→5→3，12→6→4，12→6→7，12→8→6，故
單位時間內傳遞的最大信息量為四條不同網線上
傳遞的最大信息量的和：3+4+6+6=19.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.用1，2，3，4四個數字(可重復)排成三位數，并把這些三位數由小到大排成一個數列{an}.
(1)寫出這個數列的前11項；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
(2)這個數列共有多少項？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
這個數列的項數就是用1，2，3，4排成的三位數的個數，每個數位上都有4種排法，則共有4×4×4=64(項).
(3)若an=341，求n.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
比an=341小的數有兩類，如下表：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
共有2×4×4+1×3×4=44(項).
所以n=44+1=45.3.1.1 基本計數原理
[學習目標]　1.理解兩個計數原理的概念和區別.2.掌握兩個計數原理的簡單應用，并能根據實際問題的特征，合理地分類或分步.
一、分類加法計數原理
問題1　某人明天要從濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可以選擇：一是乘飛機，二是乘G字頭列車，假如這天飛機有3個航班可乘，G字頭列車有4個班次可乘.那么此人從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選呢？
知識梳理
分類加法計數原理
完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=　　　　　　種不同的方法.
例1　(1)設集合A={1，2，3，4}，m，n∈A，則方程+=1表示焦點位于x軸上的橢圓有(　　)
A.6個 B.8個
C.12個 D.16個
例1　(2)(課本例1)在某設計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子，如圖所示，要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？
(2)在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的個數為　　　　.
延伸探究　若例1(1)條件不變，結論變為“則方程-=1表示焦點位于x軸上的雙曲線”有(　　)
A.6個 B.8個
C.12個 D.16個
反思感悟　(1)分類時，首先要根據問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下分類，分類要做到“不重不漏”.
(2)利用分類加法計數原理的解題流程
跟蹤訓練1　(1)一個科技小組有3名男同學，5名女同學，若從中任選1名同學參加學科競賽，則不同的選派方法共有　　　　　種.
(2)若x，y∈N+，且x+y≤6，則有序自然數對(x，y)共有　　　　　個.
二、分步乘法計數原理
問題2　如果該全國人大代表明天要先從濟南前往天津，然后前往北京參加會議，他計劃乘坐飛機前往天津，此時有3個航班供他選擇，然后乘坐G字頭列車前往北京，此時有4個G字頭列車班次供他選擇，那么該代表從濟南到北京共有多少種不同的走法？
知識梳理
分步乘法計數原理
完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=　　　　　　　　　　種不同的方法.
例2　 (1) 4名同學報名參加跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，不同的報名方法數有(　　)
A.43 B.34
C.7 D.12
例2　(2)(課本例2)用1，2，3，4，5可以排成多少個數字不重復的三位數？
(2)人們習慣把最后一位是6的多位數叫作“吉祥數”，則無重復數字的四位吉祥數(首位不能是零)共有　　　　個.
延伸探究　4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三個項目的冠軍(每項冠軍只允許一人獲得)，共有多少種可能的結果？
反思感悟　利用分步乘法計數原理解題的注意點及解題思路
(1)應用分步乘法計數原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可.
(2)利用分步乘法計數原理的解題流程
跟蹤訓練2　(1)一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字，這4個撥號盤可以組成__________個四位數的號碼.(各位上的數字允許重復)
(2)從-1，0，1，2這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)=ax2+bx+c的系數，可組成不同的二次函數共__________個，其中不同的偶函數共　　　　個.(用數字作答)
三、兩個計數原理的簡單應用
例3　(課本例3)某班班委由2位女同學、3位男同學組成，現要從該班班委里選出2人去參加學校組織的培訓活動，要求至少要有1位女同學參加，則不同的選法共有多少種？
例3　現有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫.
(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？
(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？
(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？
跟蹤訓練3　集合A={1，2，-3}，B={-1，-2，3，4}，從A，B中各取1個元素，作為點P(x，y)的坐標.
(1)可以得到多少個不同的點？
(2)這些點中，位于第一象限的有幾個？
1.知識清單：
(1)分類加法計數原理.
(2)分步乘法計數原理.
(3)兩個原理的簡單應用.
2.方法歸納：分類討論.
3.常見誤區：
(1)“分類”與“分步”不清，導致計數錯誤.
(2)分類標準不明確，出現“重”“漏”現象.
1.某同學從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選1本閱讀，則不同的選法共有(　　)
A.24種 B.9種
C.3種 D.26種
2.(多選)已知x∈{2，3}，y∈{-4，8}，則x·y的值可以為(　　)
A.-8 B.-12
C.11 D.24
3.現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的1個講座，則不同選法的種數是(　　)
A.56 B.65
C.30 D.11
4.5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員.現從中選出3名隊員參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員的選法有　　　　種.(用數字作答)
答案精析
問題1　此人共有3+4=7(種)快捷途徑可選.
知識梳理
m1+m2+…+mn　
例1　(1)A　[因為橢圓的焦點在x軸上，所以m>n.
當m=4時，n=1，2，3；當m=3時，n=1，2；當m=2時，n=1，即所求的橢圓共有3+2+1=6(個).]
例1　(2)(課本例1)解　用R表示紅色，用B表示藍色，
例如，RBRB表示第一個和第三個格子涂紅色，
第二個和第四個格子涂藍色.
因為紅色和藍色都要用兩次，
為了簡化問題，考慮涂紅色的格子是否相鄰，
則填涂結果可以分為兩類：涂紅色的格子相鄰，涂紅色的格子不相鄰.
涂紅色的格子相鄰的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3種；
涂紅色的格子不相鄰的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3種.
依據分類加法計數原理，
李明共有3+3=6(種)不同的涂法.
(2)36
解析　方法一　根據題意，將十位上的數字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).
方法二　分析個位數字，可分以下幾類：
個位數字是9，則十位數字可以是1，2，3，…，8中的一個，故共有8個；
個位數字是8，則十位數字可以是1，2，3，…，7中的一個，故共有7個；
同理，個位數字是7的有6個；
……
個位數字是2的有1個.
由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).
延伸探究　D　[因為雙曲線的焦點在x軸上，所以m>0，n>0，當m=1時，n=1，2，3，4；當m=2時，n=1，2，3，4；當m=3時，n=1，2，3，4；當m=4時，n=1，2，3，4，即所求的雙曲線共有4+4+4+4=16(個).]
跟蹤訓練1　(1)8　(2)15
問題2　該代表共有3×4=12(種)不同的走法.
知識梳理
m1×m2×…×mn
例2　 (1)B　[要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3×3×3×3=34(種)報名方法.]
例2　(2)(課本例2)解　排成一個三位數，可以分為三步：
第一步，確定百位上的數字，共有5種方法；
第二步，確定十位上的數字，因為數字不能重復，
所以不能是百位上已有的數字，共有4種方法；
第三步，確定個位上的數字，共有3種方法.
依據分步乘法計數原理，
可以排成數字不重復的三位數的個數為5×4×3=60.
(2)448
解析　第一步，確定千位，除去0和6，有8種不同的選法；第二步，確定百位，除去6和千位數字外，有8種不同的選法；第三步，確定十位，除去6和千位、百位上的數字外，有7種不同的選法.故共有8×8×7=448(個)無重復數字的四位“吉祥數”.
延伸探究　解　要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步，而每項冠軍是四人中的某一人，有4種可能的情況，于是共有4×4×4=64(種)可能的結果.
跟蹤訓練2　(1)10 000　(2)18　6
例3　(課本例3)解　按照選擇的女同學人數分為兩種情況，
即2位都是女同學和只有1位女同學.
2位都是女同學的選法顯然只有1種.
只有1位女同學的選法，可以分為兩步完成：
先從2位女同學中選出1人，有2種選法；
再從3位男同學中選出1人，有3種選法.
依據分步乘法計數原理，
共有不同的選法2×3=6(種).
依據分類加法計數原理，
不同的選法共有1+6=7(種).
例3　解　(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法.根據分類加法計數原理，共有5+2+7=14(種)不同的選法.
(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，根據分步乘法計數原理，共有
5×2×7=70(種)不同的選法.
(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數原理知，有5×2=10(種)不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7=35(種)不同的選法；
第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7=14(種)不同的選法.
所以共有10+35+14=59(種)不同的選法.
跟蹤訓練3　解　(1)可分為兩類：A中元素為x，B中元素為y或A中元素為y，B中元素為x，則共得到3×4+4×3=24(個)不同的點.
(2)第一象限內的點，即x，y均為正數，所以只能取A，B中的正數，故共有2×2+2×2=8(個)不同的點位于第一象限.
隨堂演練
1.B　2.ABD　3.A　4.9作業1　基本計數原理
單選題每小題5分，共50分
1.某學生去書店，發現3本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有(　　)
A.3種 B.6種
C.7種 D.9種
2.給一些書編號，準備用3個字符，其中首字符用A，B，后兩個字符用a，b，c(允許重復)，則不同編號的書共有(　　)
A.8本 B.9本
C.12本 D.18本
3.已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為(　　)
A.40 B.16
C.13 D.10
4.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，則不同的行車路線有(　　)
A.24種 B.16種
C.12種 D.10種
5.從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a+bi，其中虛數有(　　)
A.30個 B.42個
C.36個 D.35個
6.有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙，需選擇一套服裝參加“五一”節歌舞演出，則不同的選法種數為(　　)
A.24 B.14
C.10 D.9
7.(5分)古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，則共可配成　　　　組.
8.(5分)有5個不同的棱柱、3個不同的棱錐、4個不同的圓臺、2個不同的球，若從中任取多面體和旋轉體各1個，則不同取法的種數是　　　　　.
9.(10分)有一項活動，需從3位教師、8名男同學和5名女同學中選人參加.
(1)若只需1人參加，則有多少種不同的選法？(5分)
(2)若需教師、男同學、女同學各1人參加，則有多少種不同的選法？(5分)
10.(12分)用0，1，2，3，4，5這6個數字組成無重復數字的四位數，若把每位數字比其左鄰的數字小的數稱為“漸降數”，求上述四位數中“漸降數”的個數.
11.某班小張等4位同學報名參加A，B，C三個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，且小張不能報A小組，則不同的報名方法有(　　)
A.27種 B.36種
C.54種 D.81種
12.滿足a，b∈{-1，0，1，2}，且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解的有序實數對(a，b)的個數為(　　)
A.14 B.13
C.12 D.10
13.從集合{1，2，3，4，5}中任取2個不同的數，作為直線Ax+By=0的系數，則形成不同的直線最多有(　　)
A.18條 B.20條
C.25條 D.10條
14.(5分)電路如圖所示，在A，B間有四個開關，若發現A，B之間電路不通，則這四個開關打開或閉合的方式有　　　　種.
15.如圖所示，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的線段表示它們有網線相連，連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為(　　)
A.26 B.24
C.20 D.19
16.(13分)用1，2，3，4四個數字(可重復)排成三位數，并把這些三位數由小到大排成一個數列{an}.
(1)寫出這個數列的前11項；(4分)
(2)這個數列共有多少項？(4分)
(3)若an=341，求n.(5分)
答案精析
1.C　2.D　3.C　4.C　5.C　6.B　7.60　8.48
9.解　(1)選1人，可分3類：
第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；
第2類，從男同學中選1人，有8種不同的選法；
第3類，從女同學中選1人，有5種不同的選法.
共有3+8+5=16(種)不同的選法.
(2)選教師、男同學、女同學各1人，分3步進行：
第1步，選教師，有3種不同的選法；
第2步，選男同學，有8種不同的選法；
第3步，選女同學，有5種不同的選法.
共有3×8×5=120(種)不同的選法.
10.解　分三類：
第一類，當千位數字為3時，要使四位數為“漸降數”，則四位數只有3 210，共1個；
第二類，當千位數字為4時，“漸降數”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4個；
第三類，當千位數字為5時，“漸降數”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10個.
由分類加法計數原理，得共有1+4+10=15(個)“漸降數”.
11.C　[小張的報名方法有2種，其他3位同學各有3種，根據分步乘法計數原理，
共有2×3×3×3=54(種)不同的報名方法.]
12.B　[由關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解，得a=0，b∈R或a≠0，ab≤1.
又a，b∈{-1，0，1，2}，故
當a=-1時，b=-1，0，1，2，有4種可能；
當a=0時，b=-1，0，1，2，有4種可能；
當a=1時，b=-1，0，1，有3種可能；
當a=2時，b=-1，0，有2種可能.
∴由分類加法計數原理知，有序數對(a，b)的個數為4+4+3+2=13.]
13.A　[第一步取A的值，有5種取法，第二步取B的值有4種取法，其中當A=1，B=2時，與A=2，B=4時是相同的；當A=2，B=1時，與A=4，B=2時是相同的，
故共有5×4-2=18(條).]
14.13
解析　各個開關有打開或閉合2種情形，故四個開關共有24種可能，其中能使電路通的情形有1，4都閉合且2和3中至少有一個閉合，共有3種可能，故電路不通時這四個開關打開或閉合的方式有24-3=13(種).
15.D　[因信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由分類加法計數原理知，完成從A向B傳遞有四種方法：12→5→3，12→6→4，12→6→7，12→8→6，故單位時間內傳遞的最大信息量為四條不同網線上傳遞的最大信息量的和：3+4+6+6=19.]
16.解　(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
(2)這個數列的項數就是用1，2，3，4排成的三位數的個數，每個數位上都有4種排法，則共有4×4×4=64(項).
(3)比an=341小的數有兩類，如下表：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4+1×3×4=44(項).
所以n=44+1=45.

展開更多......

收起↑