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2024-2025學年甘肅省白銀市靖遠四中高二（上）期末
數學模擬試卷（12月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在的展開式中，的系數為( )
A. B. C. D.
2.過點且斜率為的直線與坐標軸圍成的三角形的面積為( )
A. B. C. D.
3.襪子由襪口、襪筒、腳趾三部分組成，現有四種不同顏色的布料，設計襪子的顏色配比，要求相連的部分顏色不同，共可以設計出不同顏色類型的襪子種數為( )
A. B. C. D.
4.在一次志愿者活動中，某居民小區有男女報名，活動方需從中選取人，則選中男女的概率是( )
A. B. C. D.
5.設，則( )
A. B. C. D.
6.若的展開式中含的系數為，則實數( )
A. B. C. D.
7.直線過拋物線：的焦點，且與拋物線交于、兩點，則的最小值為( )
A. B. C. D.
8.已知雙曲線的離心率為，直線：過雙曲線的右焦點且與雙曲線交于，兩點，雙曲線的左焦點滿足，則直線被圓所截得的弦長為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.“六藝”即“禮、樂、射、御、書、數”，為春秋戰國時期讀書人必須學習的六種技藝，分別為禮法、樂舞、射箭、駕車、書法和算術，其中射箭、駕車御戰車、駕車為軍事技能某國學館開設“傳承優秀文
化”專題培訓班，對這六種技藝要逐項培訓，下列敘述正確的是( )
A. “禮”與“射”必須相鄰的培訓方法有種
B. 先培訓“數”后培訓“樂”的培訓方法種數為
C. “御、書、數”相鄰的培訓方法種數為
D. “射”排在最后的培訓方法種數為
10.記為等比數列的前項和，若，，則滿足不等式的的值可能為( )
A. B. C. D.
11.設曲線關于直線對稱的曲線為，曲線的焦點為，則下列關于曲線的說法正確的是( )
A. 曲線的方程為
B. 以曲線的焦點為圓心，且過其頂點的圓的方程為
C. 若直線與曲線恰有一個公共點，則
D. 從曲線上一點向準線作垂線，垂足為，若，則的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.的展開式中的常數項為，則 ______．
13.某城市一地鐵站有，，，四個出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互獨立地任選一個出站口出站，則共有______種出站方法．
14.已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，則的最小值為______，最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
現有編號分別為，，，，，的個不同的小球，將這些小球排成一排．
若要求，，相鄰，則有多少種不同的排法？
若要求不排在兩端，且，，各不相鄰，則有多少種不同的排法？
16.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為與的交點．
證明：直線平面．
若，，求三棱錐的體積．
17.本小題分
設橢圓方程的離心率為，上、下頂點分別為，，右焦點為，且______．
在，這三個條件中任選一個，填在上面的橫線上，并解答．
求橢圓的方程；
過點的直線交橢圓于，兩點不同于，兩點，且，試求直線的方程．
注：若選擇多個條件分別作答，則按第一個解答計分．
18.本小題分
雙曲線：的一條漸近線方程為，點在雙曲線上．
求雙曲線的標準方程；
過點的直線與雙曲線交于第一象限內的點，若軸被以為直徑的圓所截得的弦長為，求該圓的方程．
19.本小題分
已知拋物線：的焦點為，坐標原點為，點，，在拋物線上，其中，直線，的傾斜角互補，直線的斜率為．
求拋物線的方程；
求直線的斜率；
設點到直線的距離為，當取最大值時，求．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：把，，看成一個整體與剩余的個球全排列，則不同的排法有種．
因為，，各不相鄰，所以這三個小球的位置只能在第，，或，，或，，或，，位，
因為不排在兩端，所以當，，三個小球的位置在第，，或，，位時，
不同的排法種數為種；
當，，三個小球的位置在第，，或，，位時，不同的排法種數為種．
所以共有種不同的排法．
16.解：因為底面為菱形，所以，
因為平面，平面，所以，
又因為，平面，，所以平面．
因為，，
所以．
在中，，
因為平面，即平面，
所以三棱錐的體積．
17.
18.解：因為點在雙曲線上，
所以，
又雙曲線的一條漸近線方程，
可得，
聯立，解得，，
則雙曲線的標準方程為；
不妨設的中點為，，
過點作軸，垂足為，
若軸被以為直徑的圓所截得的弦長為，
此時，
即，
因為，
所以，
此時，
解得，
因為點在雙曲線上，
當時，
解得，
所以，
此時，
所以以為直徑的圓的圓心為，半徑，
則所求圓的方程為．
19.解：將點代入拋物線方程得：，
所以拋物線的方程：．
設：，
與拋物線方程聯立可得：，
所以，，
因為直線，的傾斜角互補，用代可得：，
因此，，
所以．
由得，，，
因此的方程：，，
點到直線的距離，
，
所以，
令，，則，
所以，
當且僅當時，即，則時，取等號，
所以的最大值為．
第1頁，共1頁

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