資源簡介

湖南省永州市宏樺高級中學 2024-2025 學年高一上學期期末數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列說法正確的是( )
1
A. ∈ B. √ 2 ∈
2
C. {0,1,2} = {2,1,0} D. {(1,2)} {1，2}
2.若 < < 0，則下列不等式成立的是( )
1 1 1 1
A. < B. < 2 C. > D. 2 >


3.已知角 的終邊在直線 = 2 上，則 的值為( )
sin +cos
2 1 2 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
4.若 為函數 ( ) = log2 + 2的零點，則 所在區間為( )
1 5 5
A. ( , 1) B. (1,2) C. (2, ) D. ( , 3)
2 2 2
5.已知函數 ( ) = ( > 0)的圖象的一部分如圖1，則圖2中的函數圖像對應的函數是( )
1 1
A. = (2 ) B. = ( ) C. = ( 1) D. = (2 1)
2 2 2 2
6.奇函數 ( )在( ∞, 0)上單調遞增，若 ( 1) = 0，則不等式 ( ) < 0的解集是( )
A. ( ∞, 1) ∪ (0,1) B. ( ∞, 1) ∪ (1, +∞)
C. ( 1,0) ∪ (0,1) D. ( 1,0) ∪ (1, +∞)
7.已知 = log23， = log45， = √ 2，則 ， ， 的大小關系為( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
8.若對于任意實數 ，不等式sin4 2 3 < 0恒成立，則實數 的取值范圍是( )
A. ( ∞, 2) B. ( 2, +∞) C. ( ∞, 2) D. (2, +∞)
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知 為常數，則關于 的不等式( )( 1) < 0的解集可能是( )
第 1 頁，共 8 頁
A. (1, ) B. ( , 1) C. D.
10.下列說法正確的是( )
A. 函數 ( ) = 2 2的零點是 1，2
B. 若定義在[1,2]上的函數 ( )滿足 (2) > (1)，則 ( )為增函數
1
C. 函數 ( ) = 的定義域為 ，則0 < < 4
2 +1
3 2 , 0 < < 1 1 3
D. 已知函數 ( ) = { 1 ，則 ( ( ))值為
2 , ≥ 1 2 2

11.下列說法正確的是( )
A. “ < 3”是“ ≤ 3”的必要不充分條件

B. “ < 1”的一個充分不必要條件是“ > > 0”

C. 設 ∈ ，則方程 2 + 2 + = 0有兩個負實數根的充要條件是0 < ≤ 1
1
D. “ > 1”是“ < 1”的既不充分又不必要條件

三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
1
12.已知 ( ) = 3 + 5， ( ) = 3，則 ( ) = ______．


13.函數 ( ) = tan( + )( > 0, | | < )的圖像如圖所示，圖中陰影部
2
分的面積為6 ，則函數 = ( )的解析式為______．
2 +3 2 +3
14.函數 ( ) = 的圖象可以由反比例函數圖象經過平移而得到.函數 ( ) = 對稱中心是______，進
1 1
而求值 ( 10) + ( 9) + ( 8) + + ( 2) + ( 1) + (0) + (2) + (3) + (11) + (12) = ______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
求值：
8 1 3 1 2(1)( ) 3 + 4 2 lg + 2；
27 2 5
23 23 13
(2)sin( ) + cos( ) 2024 cos ．
6 7 3
第 2 頁，共 8 頁
16.(本小題15分)
在① ∪ = ，②“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分條件，③ ∩ = ，這三個條件中任選一個，補充到本
題第(2)問的橫線處，并求解．
7
已知集合 = { | 2 ≤ ≤ + 2}， = { | 1 ≤ ≤ }．
2
(1)當 = 2時，求 ∩ ；
(2)若_____，求實數 的取值范圍．
17.(本小題15分)
3 +
已知 ( ) = 是定義在 上的奇函數． 3 +1
(1)求 的值；
(2)若存在區間[ , ]( < )，使得函數 = ( ) + 在[ , ]上的值域為[3 , 3 ]，求實數 的取值范圍．
18.(本小題17分)
隨著經濟發展，越來越多的家庭開始關注到家庭成員的關系，一個以“從心定義家庭關系”為主題的應用
心理學的學習平臺，從建立起，得到了很多人的關注，也有越來越多的人成為平臺的會員，主動在平臺上
進行學習.已知前四年，平臺會員的個數如圖所示：
(1)依據圖中數據，從下列三種模型中選擇一個恰當的模型估算建立平臺 ( ∈ )年后平臺會員人數 (千人
)，并求出你選擇模型的解析式；

① = + ( > 0)，② = log + ( > 0且 ≠ 1)，③ =
+ ( > 0且 ≠ 1)．

9
(2)為控制平臺會員人數盲目擴大，平臺規定無論怎樣發展，會員人數不得超過 ( ) ( > 0)千人，請依據
4
(1)中你選擇的函數模型求 的最小值．
19.(本小題17分)

已知函數 ( ) = 2 2 ( + )(0 < | | < )，對 ∈ ，有 ( ) ≤ | ( )|．
2 2 3
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(1)求 的值及 ( )的單調遞增區間；
1
(2)若 0 ∈ [0, ]， ( 0) = ，求 2 0； 4 3

(3)將函數 = ( )圖象上的所有點，向右平移 個單位后，再將所得圖象上的所有點，縱坐標不變，橫坐
24
標變為原來的2倍，得到函數 = ( )的圖象.若 ∈ [0, ]，√ 2 ( ) + 2 ≤ 2 2 3 ，求實數 的取
值范圍．
第 4 頁，共 8 頁
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】7
1
13.【答案】 ( ) = tan( )
2 3
14.【答案】(1,2) 44
2 1 1
15.【答案】解：(1)原式= ( ) 1 + 9 2 + 5 + 2
3 2 2
3 1
= + 9 + ( 5 + 2)
2 2
3 1
= + 9 +
2 2
= 11；
23
(2)原式= sin(4 ) + cos( ) 0 cos(4 + )
6 7 3

= sin + 0 cos
6 3
1 1
= + 0
2 2
= 0．
16.【答案】解：(1)當 = 2時， = { |0 ≤ ≤ 4}，
7
又因為 = { | 1 ≤ ≤ }，
2
7
所以 ∩ = { |0 ≤ ≤ }；
2
(2)若選①， ∪ = ，則 ，
第 5 頁，共 8 頁
顯然 ≠ ，要想滿足 ，
2 ≥ 1
則{ 7 ，
+ 2 ≤
2
3
解得1 ≤ ≤ ，
2
3
故實數 的取值范圍是{ |1 ≤ ≤ }；
2
若選②，“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分條件，則 ，
顯然 ≠ ，要想滿足 ，
2 ≥ 1
則{ 7 ，
+ 2 ≤
2
3
解得1 ≤ ≤ ，
2
3
故實數 的取值范圍是{ |1 ≤ ≤ }；
2
若選③， ∩ = ，
7
需滿足 + 2 < 1或 2 > ，
2
11
解得 < 3或 > ，
2
11
故實數 的取值范圍是{ | < 3或 > }.
2
17.【答案】解：(1)因為函數定義域為 ，函數在 上是奇函數，
所以 ( ) + ( ) = 0，
3 + 3 + 3 + 1+ 3 1+ +(1+ )3 (1+ )(1+3 )
即 + = + = = = 1 + = 0，
3 +1 3 +1 3 +1 1+3 3 +1 1+3
所以 = 1；
3 +1 2 2
(2)由(1)得 = ( ) + = = + 1 ，
3 +1 3 +1
2
令 ( ) = + 1 ，
3 +1
2
因為 = 3 + 1在 上遞增，所以 = 在 上遞減， 3 +1
2
所以 = 在 上單調遞增， 3 +1
2
所以 ( ) = + 1 在 上遞增， 3 +1
因為函數 = ( ) + 在[ , ]上的值域為[3 , 3 ]，
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2
( ) = + 1 = 3 3 (3 + 1) = ( + 1)(3 + 1) 2
所以{ 3 +1 ，所以{ ， 2
( ) = + 1 = 3 3 (3 + 1) = ( + 1)(3
+ 1) 2
3 +1
(3 )2 3 + 1 = 0
整理可得：{
(3 )2
，
3 + 1 = 0
因為0 < 3 < 3 ，所以關于 的方程 2 + 1 = 0有兩個不相等的正實根，
= 2 4(1 ) > 0
所以{ > 0 ，
1 > 0
解得2√ 2 2 < < 1，
即 的取值范圍為(2√ 2 2,1)．
18.【答案】解：(1)從表格數據可以得知，函數是一個增函數，故不可能是①，
∵函數增長的速度越來越快不選②，
∴選擇③ = + ( > 0且 ≠ 1)，
14 = +
代入表格中的三個點可得：{20 = 2 + ，
29 = 3 +
= 8
3
解得：{ = ，將(4,42.5)代入符合，
2
= 2
3
∴ = 8 ( ) + 2, ∈ ；
2
3
(2)由(1)可知： ( ) = 8 ( ) + 2, ∈ ，
2
3 9
故不等式8 ( ) + 2 ≤ ( ) 對 ∈ [1, +∞)且 ∈ 恒成立，
2 4
8 2 2 2
∴ ≥ + = 2 ( )2 3 3 2 + 8 ( )
對 ∈ [1, +∞)且 ∈ 恒成立，
( ) ( ) 3 3
2 2
2 2 2
令( ) = ，則 ∈ (0, ], ∴ ( ) = 2 2 + 8 , ∈ (0, ]，
3 3 3
2 2 56
∵ ( )在(0, ]單調遞增，∴ ( ) ≤ ( ) = ，
3 3 9
56 56
∴ ≥ ，∴ 的最小值為 ．
9 9
19.【答案】解：(1) ( ) = 2 + 2 = sin(2 + )，

因為對 ∈ ，有 ( ) ≤ | ( )|，可得當 = 時， ( )取得最值，
3 3

所以2 × + = + ， ∈ ，
3 2

可得 = + ， ∈ ，又0 < | | < ，
6 2
第 7 頁，共 8 頁

所以 = ，
6

所以 ( ) = sin(2 )，
6

由 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，可得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 6 2 6 3

所以 ( )的單調遞增區間為[ + , + ]( ∈ )．
6 3
1
(2)由 0 ∈ [0, ]， ( 0) = ， ( ) = sin(2 )， 4 3 6
1
可得2 0 ∈ [ , ]，sin(2 ) = ， 6 6 3 0 6 3
2√ 2
所以cos(2 0 ) = ， 6 3
√ 3+2√ 2
所以 2 0 = sin[(2 0 ) + ] = sin(2 0 )cos + cos(2 0 )sin = ． 6 6 6 6 6 6 6

(3)將函數 = ( )圖象上的所有點，向右平移 個單位后得到，
24

函數 = sin[2( ) ] = sin(2 )的圖象，進而可得 ( ) = sin( )，
24 6 4 4

令 ( ) = √ 2sin( ) + 2 = + 2 ， ∈ [0, ]，
4
只需 ( ) 2 ≤ 2 3 ，

令 = = √ 2sin( )，
4
3
因為 ∈ [0, ]，所以 ∈ [ , ]，
4 4 4
所以 ∈ [ 1 , √ 2]，
因為 2 = ( )2 = 1 2 ，可得2 = 1 2，
1 5
所以 = + 1 2 = ( )2 + ，
2 4
因為 ∈ [ 1 , √ 2]，所以當 = 1時， ( ) = 1，
1
所以2 2 3 ≥ 1，即(2 1)( 1) ≥ 0，解得 ≤ 或 ≥ 1．
2
1
所以實數 的取值范圍為{ | ≤ 或 ≥ 1}．
2
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