資源簡介

福建省平和縣廣兆中學 2024-2025 學年高一上學期期末數學模擬試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < ≤ 1}， = { 2, 1,0,1,2}，則 ∩ =( )
A. { 1,0,1} B. { 1,1} C. [ 1,1] D. { 2, 1,0,1,2}
2.“ 2 ≠ 0”是“ 2 + 6 ≠ 0”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.若函數 ( )滿足 ( 1) = 2 1，則 ( )的解析式為( )
A. ( ) = 2 2 B. ( ) = 2 + 2 C. ( ) = 2 + 2 D. ( ) = 2 2
4.函數 ( ) = log ( 23 1)的定義域為( )
A. ( ∞, 1) B.
C. (0, +∞) D. ( ∞, 1) ∪ (1, +∞)
5.計算 21° 39° + 69° 39°的結果等于( )
1 √ 3 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
6.已知正實數 ， 滿足 + + = 8，則 + 的最小值是( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
(2 1)
7.函數 ( ) = 的大致圖象是( )
1
A. B.
C. D.
8.已知函數 ( ) = 5 + 12 ( > 0)在區間(0, )內沒有零點，但有極值點，則5 + 12
的取值范圍是( )
119 120 119 120 119 120
A. [ , 13] B. ( , 13] C. [ , ) D. ( , ]
13 13 13 13 13 13
第 1 頁，共 7 頁
二、多選題：本題共 3 小題，共 104 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數 ( ) = 2 (2 ) + 1，則下列選項中正確的是( )
4

A. ( )的最小值為 2 B. ( )在(0, )上單調遞增
4

C. ( )的圖象關于點( , 0)中心對稱 D. ( )在[ , ]上值域為[√ 2 + 1,3]
8 4 2
10.下列函數中，既是偶函數又存在零點的是( )
A. = (2 + 2 ) B. = log 22
3
C. = lg(1 ) + lg(1 + ) D. =
1
11.函數 ( )的定義域為 ，且滿足 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )， (4) = 1，則下列結論正確的有( )
A. (0) = 0 B. (2) = 0
C. ( )為偶函數 D. ( )的圖象關于(1,0)對稱
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
2 1
12.不等式 < 0的解集為______．
1
2
13.已知 = ，則 2 = ______．
3
14.已知函數 ( ) = |lg( 1)|，滿足 ( ) = ( )，且 ≠ ，則 + 4 的最小值為______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 60 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知集合 = { |2 1 < < + 1}， = { | 1 ≤ ≤ 2}．
(1)若 = 1，求( ) ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”成立的充分不必要條件，求實數 的取值范圍．
16.(本小題12分)
冪函數 ( ) = ( 2 5) 1的定義域是全體實數．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = 2 ( ) 4 + 1 2 ，且不等式 ( ) > 0在區間[0,4]上恒成立，求實數 的取值范圍．
17.(本小題12分)
3
sin( )cos( + )tan( )
已知 為第三象限角， ( ) = 2 2 ．
tan( )sin( )
(1)化簡 ( )；
3 1
(2)若cos( ) = ，求 ( )的值．
2 5
第 2 頁，共 7 頁
18.(本小題12分)
2 2
已知函數 ( ) = 是定義在 上的奇函數． 2 +2
(1)求實數 的值；
(2)判斷函數 = ( )的單調性并證明；
(3)求函數 ( )的值域．
19.(本小題12分)
在平面直角坐標系中，我們把函數 = ( )， ∈ 上滿足 ∈ ， ∈ (其中 表示正整數)的點 ( , )稱
為函數 = ( )的“正格點”．

(1)寫出當 = 時，函數 ( ) = ， ∈ (0,10)圖象上的正格點坐標；
2
(2)若函數 ( ) = ， ∈ ， ∈ (1,2)與函數 ( ) = 的圖象有正格點交點，求 的值．
5 √ 2
(3)對于(2)中的 值和函數 ( ) = ，若當 ∈ (0, ]時，不等式 > ( )恒成立，求實數 的取9 2
值范圍．
第 3 頁，共 7 頁
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】{ | < < 1}
2
12
13.【答案】
13
14.【答案】9
15.【答案】解：(1)當 = 1時， = { | 3 < < 0}，則 = { | ≤ 3或 ≥ 0}，
則( ) ∪ = { | ≤ 3或 ≥ 1}．
(2)由題意可得 ，
當 = 時，2 1 ≥ + 1，解得 ≥ 2；
2 1 < + 1
當 ≠ 時，{2 1 ≥ 1 ，解得0 ≤ ≤ 1；
+ 1 ≤ 2
綜上所述，實數 的取值范圍是[0,1] ∪ [2, +∞)．
16.【答案】解：(1)由題意得 2 5 = 1，解得 = 2或3，
當 = 2時， ( ) = 3，此時定義域不是全體實數，故舍去；
當 = 3時， ( ) = 2，滿足題意；
所以 ( )的解析式為 ( ) = 2．
(2) ( ) = 2 ( ) 4 + 1 2 = 2 2 4 + 1 2 ，
不等式 ( ) > 0在區間[0,4]上恒成立，
即2 2 4 + 1 2 > 0在區間[0,4]上恒成立，
第 4 頁，共 7 頁
即2 < 2 2 4 + 1在區間[0,4]上恒成立，
所以2 < (2 2 4 + 1) ，
令 ( ) = 2 2 4 + 1， ∈ [0,4]，
所以 ( ) = (1) = 1，
1
所以2 < 1，解得 < ，
2
1
即 的取值范圍是( ∞, ).
2
3
sin( )cos( + )tan( )
17.【答案】解：(1) ( ) = 2 2
tan( )sin( )
( )( )( )
=
( tan )sin
=
3 1
(2) ∵ cos( ) =
2 5
1 1
∴ = 從而 =
5 5
又 為第三象限角
2√ 6
∴ = √ 1 sin2 =
5
2√ 6
即 ( )的值為 ．
5
18.【答案】解：(1)因為函數 ( )是定義在 上的奇函數，
20 20
所以 (0) = 0，即
20+20
= 0，解得 = 1，
2 2
此時 ( ) =
2 +2
，滿足 ( ) = ( )，
故 = 1．
(2) ( )在 上單調遞增，證明如下：
2 2 2
( ) =
2 +2
= 1
22
，
+1
則對任意 1、 2 ∈ ，且 1 > 2，
2 2 2 2 22 1+1 22 2+1
則 ( 1) ( 2) = (1
22
) (1
1+1 22
) = = ，
2+1 22 2+1 22 1+1 (22 2+1)(22 1+1)
因為22 1+1 22 2+1 > 0，則 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以 ( )在 上單調遞增．
2
(3) ( ) = 1
22
， ∈ ，
+1
第 5 頁，共 7 頁
1
因為22 > 0，所以22 + 1 > 1，0 <
22
< 1，
+1
2 2
所以0 < 2 < 2， 2 < 2 +1 22
< 0，
+1
2
所以 1 < 1 2 < 1， 2 +1
所以函數 ( )的值域為( 1,1)．

19.【答案】解：(1)因為 = ，所以 ( ) = sin ， ∈ (0,10)，
2 2
所以函數的正格點為(1,1)，(5,1)，(9,1)；
(2)根據題設，可得兩個函數大致圖象如下，
函數 ( ) = ( ∈ )與函數 ( ) = 的圖象只有一個“正格點”交點(10,1)．
所以 10 = 1，

則2 + = 10
4 +1
， ∈ ，則 = ( ∈ )，
2 20
又 ∈ (1,2)，
9
可得 = 2， = ；
20
9 5
(3)由(2)知 ( ) = sin ， ∈ (0, ],
20 9
9
則 ∈ (0, ],
20 4
所以 9 √ 2 ( ) = sin ∈ (0, ],
20 2
故√ 2 1 ( ) ∈ (0, ]；
2 2
5
當 > 1時， = log 在(0, ]上單調遞增， 9
所以不等式 √ 2 9 > sin 不能恒成立； 2 20
5
當0 < < 1時， = log 在(0, ]上單調遞減， 9
5
當 = 時，函數 = log
9
取最小值，
如下圖知 5 √ 2 1 > sin = ， 9 2 4 2
第 6 頁，共 7 頁
5 1 25
由 > = √ ，解得 < < 1， 9 2 81
25
綜上，實數 的取值范圍為( , 1)．
81
第 7 頁，共 7 頁

展開更多......

收起↑