資源簡介

廣東省廣州市 2024-2025 學年高一上學期期末數學模擬試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列與44°角終邊相同的角為( )
A. 326° B. 326° C. 342° D. 316°
3
2.已知集合 = { | < }， = { |1 2 > 0}，則( )
2
1
A. ∩ = { | < } B. ∩ =
2
1
C. ∪ = { | < } D. ∪ =
2
3.已知冪函數 = ( )的圖象經過點(4,2)，則 (3) =( )
3 √ 3
A. B. 9 C. D. √ 3
2 3
4
4.已知圓心角為72°的扇形的弧長為 ，則該扇形的面積為( )
5
8 4 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
5.函數 ( ) = 的零點所在的區間為( )

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
+2
6.已知 ， 為正實數，則“ < ”是“ < ”的( )
+2
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4 1
7.若存在正實數 ， 滿足 + = 1，且使不等式 + < 2 3 有解，則實數 的取值范圍是( )
4
A. ( 4,1) B. ( 1,4)
C. ( ∞, 4) ∪ (1, +∞) D. ( ∞, 1) ∪ (4, +∞)
8.已知函數 ( ) = 2 + + ，若關于 的不等式 ( ) < 1的解集為( , + 2)，則函數 ( )的值域為( )
5 3
A. [ , +∞) B. [ , +∞) C. [1, +∞) D. [0, +∞)
2 2
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列能夠表示集合 = { 2,0,1}到集合 = { 1,0,1,2,4}的函數關系的是( )
A. = B. = | | C. = 2 D. = 2
1
10.已知 + = ， ∈ (0, )，則下列等式正確的是( )
5
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12 7
A. = B. =
25 5
3 37
C. = D. sin3 + cos3 =
4 125
2
11.已知函數 ( ) = +2 ，則( )
A. 當 = 0時， ( )為偶函數 B. ( )既有最大值又有最小值
C. ( )在( ∞, ]上單調遞增 D. ( )的圖象恒過定點
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.已知命題 ： < 0， 4 2 > 2，則命題 的否定為______．
13.已知 ( )滿足 ( + ) = ( ) + ( ) + 2，且 (2) = 2，則 (3) = ______．
2
14.已知函數 ( ) = {√ + 2, ≥ 1在 上單調遞增，則實數 的取值范圍為______．
+ , < 1
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知集合 = { | 2 < < 6}， = { | 2 < < + 2}．
(1)若 ∈ 成立的一個必要條件是 ∈ ，求實數 的取值范圍；
(2)若 ∩ = ，求實數 的取值范圍．
16.(本小題15分)

已知函數 ( ) = 2 (2 + )．
6

(1)填寫下表，用“五點法”畫出函數 ( ) = 2 (2 + )在一個周期上的圖象；
6
5 2

12 12 3

2 + 2
6 2
( ) 0 2 0 0
(2)解不等式√ ( ) ≤ 1．
17.(本小題15分)
已知二次函數 ( )滿足 ( + 2) + ( ) = 2 2 2．
(1)求函數 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = ( ) 2( 1) ， ∈ [ 1,2]，求 ( )的最小值．
18.(本小題17分)
近幾年，直播平臺作為一種新型的學習渠道，正逐漸受到越來越多人們的關注和喜愛.某平臺從2021年建立
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開始，得到了很多網民的關注，會員人數逐年增加.已知從2021到2023年，每年年末該平臺的會員人數如表
所示．
建立平臺第 年 1 2 3
會員人數 (千人) 22 34 70
(1)請根據表格中的數據，從下列三個模型中選擇一個恰當的模型估算該平臺建立第 ( ∈ )年年末會員人
數 (千人)，求出你所選擇模型的解析式，并預測2024年年末的會員人數；

① = + ( > 0)；② = + ( > 0且 ≠ 1)；③ = + ( > 0且 ≠ 1)．
(2)為了更好地維護管理平臺，該平臺規定第 年年末的會員人數上限為 9 ( > 0)千人，請根據(1)中得
到的函數模型，求 的最小值．
19.(本小題17分)
5
已知函數 ( ) = log 2 ( + 1) ( > 0, ≠ 1, ∈ )的圖象經過點(0,1)，(1, 2 )． 2
(1)證明：函數 ( )的圖象是軸對稱圖形；
(2)求關于 的不等式2 ( )+ 2 7 ≤ 0的解集；
(3)若函數 = ( ) 有且只有一個零點，求實數 的值．
第 3 頁，共 7 頁
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 < 0， 4 2 ≤ 2
13.【答案】4
3
14.【答案】(0, ]
4
15.【答案】解：(1)若 ∈ 成立的一個必要條件是 ∈ ，所以 ，
因為集合 = { | 2 < < 6}， = { | 2 < < + 2}．
2 ≥ 2
則{ ，所以0 ≤ ≤ 4，
+ 2 ≤ 6
故實數 的取值范圍[0,4]．
(2)若 ∩ = ，則 + 2 ≤ 2或 2 ≥ 6，
所以 ≤ 4或 ≥ 8，
故實數 的取值范圍( ∞, 4] ∪ [8, +∞)．

16.【答案】解：(1)函數 ( ) = 2 (2 + )，列表，
6
5 2 11

12 6 12 3 12
3
2 + 0 2 6 2 2
( ) 0 2 0 2 0
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畫出函數 ( ) = 2 (2 + )在一個周期上的圖象如圖所示：
6
(2)由√ ( ) ≤ 1得0 ≤ ( ) ≤ 1，

由圖象得 ≤ ≤ 0時，0 ≤ ( ) ≤ 1，
12

因為函數 ( ) = 2 (2 + )的最小正周期為 ，
6

所以 + ≤ ≤ ， ∈ 時，0 ≤ ( ) ≤ 1，
12

故不等式√ ( ) ≤ 1的解集為[ + , ]， ∈ ． 12
17.【答案】解：(1)設 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，
因為二次函數 ( )滿足 ( + 2) + ( ) = 2 2 2，
所以 ( + 2)2 + ( + 2) + + 2 + + = 2 2 2，
即2 2 + (4 + 2 ) + 4 + 2 + 2 = 2 2 2，
2 = 2
所以{4 + 2 = 0 ，
4 + 2 + 2 = 2
= 1
解得{ = 2，
= 1
所以 ( ) = 2 2 1；
(2)由(1)可知 ( ) = 2 2 1，
所以 ( ) = ( ) 2( 1) = ( )2 2 1， ∈ [ 1,2]，
當 ≤ 1時， ( )在[ 1,2]上單調遞增，
所以 ( ) = ( 1) = 2 ，
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當 1 < < 2時， ( ) 2 = ( ) = 1，
當 ≥ 2時， ( )在[ 1,2]上單調遞減，
所以 ( ) = (2) = 3 4 ，
2 , ≤ 1
綜上， ( ) = {
2 1, 1 < < 2．
3 4 , ≥ 2
18.【答案】解：(1)某平臺從2021年建立開始，得到了很多網民的關注，會員人數逐年增加，
已知從2021到2023年，每年年末該平臺的會員人數如表所示：
建立平臺第 年 1 2 3
會員人數 (千人) 22 34 70
由表格中的數據知，所求函數是一個增函數，且增長越來越快，
模型①的函數遞減，模型②的函數即使遞增，增長也較緩慢，因此選擇模型③，
于是 + = 22， 2 + = 34， 3 + = 70，解得 = 3， = 2， = 16，
所以函數模型對應的解析式為 = 2 3 + 16( ∈ )，
當 = 4時，預測2024年年末的會員人數為2 × 34 + 16 = 178千人；
(2)為了更好地維護管理平臺，該平臺規定第 年年末的會員人數上限為 9 ( > 0)千人，
16 2
由(1)及已知得，對 ∈ ，都有2 3 + 16 ≤ 9 ，令 = 3 ≥ 3，則 ≥ 2 + ，
1 1
令 = ∈ (0, ]，則不等式右邊等價于函數 ( ) = 16 2 + 2 ，
3
1 1 1 1 22
函數 ( )在區間(0, ]上單調遞增，因此 ( ) = ( ) = 16 × + 2 × = ， 3 3 9 3 9
22 22
則 ≥ ，所以 的最小值為 ．
9 9
2 = 1
19.【答案】解：(1)證明：根據題意可得{ 5，又 > 0， ≠ 1， ∈ ，
2 ( + 1) = 2 2
解得 = 2， = 1，
22 +1
∴ ( ) = log2(2
2 + 1) = log2(2
2 + 1) log 2 2 = 2 =

2 2
(2 + 2 )，
又 ∈ ，且 ( ) = ( )，∴ ( )為偶函數，
∴ ( )的圖象關于 軸對稱，
∴函數 ( )的圖象是軸對稱圖形；
(2)由(1)可得 ( ) = log 2 2(2 + 1) ，
∴關于 的不等式2 ( )+ 2 7 ≤ 0可化為：
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22 + 1 2 7 ≤ 0，
∴ (2 )2 2 6 ≤ 0，
∴ (2 + 2)(2 3) ≤ 0，
∴ 2 3 ≤ 0，∴ ≤ log23，
∴原不等式的解集為( ∞, log23]；
(3)由(1)可知 ( ) = (2 + 2 2 )， ∈ ，
∴ = ( ) 有且只有一個零點即為：
= ( )與 = 在 上只有一個交點，
1
令 = 2 + 2 = 2 + ≥ 2√ 1，當且僅當 = 0時，等號成立，
2
1
又由 = 2 與 = + ( > 1)都為增函數，

可得 = 2 + 2 在(0, +∞)上單調遞增，又 = log2 在(0, +∞)上單調遞增，
∴ = ( ) = (2 2 + 2
)在(0, +∞)上單調遞增，又 ( )為偶函數， (0) = 1，
∴要使 = ( )與 = 在 上只有一個交點，則 = 1，
故實數 的值為1．
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