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北京市北京師范大學附中2024-2025學年高二上學期期末數學模擬試卷(PDF版,含答案)

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  1. 二一教育資源

北京市北京師范大學附中2024-2025學年高二上學期期末數學模擬試卷(PDF版,含答案)

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北京師范大學附中 2024-2025 學年高二上學期期末數學模擬試卷
一、單選題:本題共 10 小題,每小題 4 分,共 40 分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求
的。
1.在空間直角坐標系 中,點 (2, 3,1)關于原點對稱的點的坐標為( )
A. ( 2, 3, 1) B. (2,3, 1) C. ( 2,3,1) D. ( 2,3, 1)
2.已知直線 的一個方向向量為( 1,1),則直線 的傾斜角為( )
A. 45° B. 90° C. 120° D. 135°
3.拋物線 2 = 12 的焦點為 ,點 在此拋物線上,| | = 6,則點 的橫坐標為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4.圓( 3)2 + ( + 2)2 = 1與圓( 7)2 + ( 1)2 = 16的位置關系是( )
A. 相交 B. 內切 C. 外切 D. 內含
2
5.( 2)
6的展開式中,常數項為( )

A. 60 B. 15 C. 15 D. 60
6.某學校4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動,每名同學只能去1個小區,且每個小區至少安排1名同
學,則不同的安排方法種數為( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
7.已知正四棱錐 的高為4,棱 的長為2,點 為側棱 上一動點,那么△
面積的最小值為( )
A. √ 2
√ 3
B.
2
√ 2
C.
3
4√ 2
D.
3
8.已知直線 :√ 3 + 4 = 0,圓 : 2 + 2 = 2( > 0),若直線 上存在兩點 , ,圓 上存在點 ,
使得| | = 2,且∠ = 90°,則 的取值范圍是( )
A. [1,3] B. [2,3] C. [1,+∞) D. [2,+∞)
9.已知直線 1, 2的斜率分別為 1, 2,傾斜角分別為 1, 2,則“cos( 1 2) ≤ 0”是“ 1 2 ≤ 0”的( )
第 1 頁,共 9 頁
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
10.一個平面區域內,兩點間距離的最大值稱為此區域的直徑,那么曲線 2 + 4 = 2圍成的平面區域的直徑
為( )
4
A. √32 B. 3 C. 2√ 2 D. 4
二、填空題:本題共 5 小題,每小題 5 分,共 25 分。
11.直線 : 2 + 2 = 0過橢圓的左焦點 1和一個頂點 ,該橢圓的離心率為______.
12.圓 2 + 2 2 8 + 13 = 0的圓心到直線 + 1 = 0的距離為1,則 的值為 .
13.若(2 1)4 = 4 + 3 24 3 + 2 + 1 + 0,則 1 + 2 + 3 + 4 = ______.
2
14.雙曲線 : 2 = 1的漸近線方程為______;若 與圓 : 2 + 2 = 2( > 0)交于 , , , 四點,
3
且這四個點恰為正方形的四個頂點,則 = ______.
15.已知正方體 1 1 1 1的棱長為2, 為 的中點,點 在正方體的表面上運動,且滿足平面
1 ⊥平面 1E.給出下列四個結論:
① △ 1 的面積的最大值為√ 5;
②滿足使△ 1 的面積為2的點 有且只有4個;
③點 可以是 1的中點;
④線段 的最大值為3.
其中所有正確結論的序號是______.
三、解答題:本題共 6 小題,共 85 分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
16.(本小題13分)
某小組共有6名學生,其中女生2名,男生4名.
(Ⅰ)將6名學生排成一排,且女生不相鄰的排法有多少種?
(Ⅱ)從6名中選出3人參加某公益活動.
( )共有多少種不同的選擇方法?
( )如果至少有1位女生入選,共有多少種不同的選擇方法?
第 2 頁,共 9 頁
17.(本小題13分)
已知 (2,4), ( 1,1), 為坐標原點,圓 為△ 的外接圓.
(Ⅰ)求圓 的標準方程;
(Ⅱ)過原點的直線 被圓 截得的弦長為3√ 2,求直線 的方程.
18.(本小題14分)
如圖,在三棱柱 1 1 1中, 1 ⊥平面 , ⊥ , = = 2, 1 = 3,點 , 分別在棱 1
和棱 1上,且 = 1, = 2, 為棱 1 1的中點.
(Ⅰ)求證: 1 ⊥ 1 ;
(Ⅱ)求二面角 1 1 的余弦值.
19.(本小題15分)
2 2 √ 2
已知橢圓 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦點為 (1,0),離心率為 ,直線 過點 且不平行于坐標軸, 與 有兩 2
個交點 , ,線段 的中點為 .
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)延長線段 與橢圓 交于點 ,若四邊形 為平行四邊形,求此時直線 的斜率.
20.(本小題15分)
如圖,正方體 1 1 1 1的棱長為2, 為 的中點,點 在 1上.再從下列三個條件中選擇一個作
為已知,使點 唯一確定,并解答問題.
條件①: = ;
條件②: ⊥ ;
條件③: //平面 1 1.
(Ⅰ)求證: 為 1的中點;
(Ⅱ)求直線 與平面 所成角的大小,及點 到平面 的距離.
第 3 頁,共 9 頁
注:如果選擇的條件不符合要求,第(Ⅰ)問得0分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答計
分.
21.(本小題15分)
2 2 √ 3
已知橢圓 : 2 + 2 = 1( > > 0)的離心率為 ,以橢圓 的四個頂點為頂點的四邊形面積為4. 2
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
1
(Ⅱ)設 為橢圓 的右頂點, 為橢圓的上頂點,直線 : = 與橢圓交于 , 兩點( 在第三象限), 是橢
2
圓上的動點(不與原點重合),直線 , 分別交直線 于點 , ,記 = ; = ,求證: + 為
定值.
第 4 頁,共 9 頁
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
2√ 5
11.【答案】
5
4
12.【答案】
3
13.【答案】0
14.【答案】 = ±√ 3 √ 3
15.【答案】①④
16.【答案】解:(Ⅰ)將6名學生排成一排,且女生不相鄰的排法: 4 24 5 = 480種.
(Ⅱ)從6名中選出3人參加某公益活動.
( )共有 36 = 20種不同的選擇方法.
( )如果至少有1位女生入選,共有 36
3
4 = 16種不同的選擇方法.
17.【答案】解:(Ⅰ)設圓 的方程為 2 + 2 + + + = 0,
圓 過點 (2,4), ( 1,1), (0,0),
22 + 42 + 2 + 4 + = 0 = 2
則{1 + 1 + + = 0 ,解得{ = 4,
= 0 = 0
故圓 的方程為 2 + 2 2 4 = 0,
所以圓 的標準方程為( 1)2 + ( 2)2 = 5;
(Ⅱ)當直線的斜率不存在時,顯然不符合題意,
當直線的斜率存在時,可設直線方程為 = 0,
過原點的直線 被圓 截得的弦長為3√ 2,
第 5 頁,共 9 頁
( 1)2 + ( 2)2 = 5,
則圓心 (1,2),半徑 = √ 5,
3√ 2 √ 2
圓心 到直線 的距離 = √ 2 ( )2 = ,
2 2
| 2| √ 2
故 = ,解得 = 1或 = 7,
2 2√ +1
所求直線方程為 = 或 = 7 .
18.【答案】解:(Ⅰ)證明:由于 1 ⊥ , 1 ⊥ , ⊥ ,
故以 為坐標原點, , , 1所在直線分別為 , , 軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則 1(2,0,3), 1(0,2,3), (1,1,3), 1(0,0,3), (2,0,1), (0,0,2),
所以 1 = (1,1,0), 1 = (2, 2, 2),
因為 1 1 = (1,1,0) (2, 2, 2) = 2 2 + 0 = 0,
所以 ⊥ 1 1 ,因此 1 ⊥ 1 ;
(Ⅱ)因為 ⊥平面 1 1,所以平面 1 1 的一個法向量為 = (1,0,0),
由(1)知, = (0, 2, 1), 1 1 = (2, 2, 2),
設平面 1 的一個法向量為 = ( , , ),則 ⊥ , 1 1 ⊥ ,
= 2 = 0
所以{ 1 ,令 = 2,則 = (1, 1,2),
1 = 2 2 2 = 0
設二面角 1 1 的平面角為 ,由圖可知 為鈍角,
| | 1 √ 6
所以 = | < cos , > | = = = .
| | | | √ 6 6
19.【答案】解:(Ⅰ)由題意可知, = 1, √ 2 = = ,
2
因為 2 = 2 + 2,所以 = √ 2, = 1,
則橢圓的方程為
2
+ 2 = 1;
2
(Ⅱ)設直線 的方程為 = ( 1)( ≠ 0),
第 6 頁,共 9 頁
( 1, 1), ( 2, 2),
= ( 1)
聯立{ 2 2 ,消去 ,得(2
2 + 1) 2 4 2 + 2 2 2 = 0,
+ = 1
2
2
4 2
則 1 + 2 = , 2 1 + 2 = ( 1 + 2) 2 = 2 ,
2 +1 2 +1
若四邊形 為平行四邊形,則 + = ,設 ( 3, 3),
2
4 2
所以 3 = 1 + 2 = , = + = , 2 3 1 2 2
2 +1 2 +1
因為點 在橢圓上,
2
4 2
所以( )22 + 2 × ( 2 )
2 = 2,
2 +1 2 +1
1
解得 √ 2 2 = ,即 = ± ,
2 2
當四邊形 為平行四邊形時,
直線 的斜率為 √ 2 = ± .
2
20.【答案】選條件①:
如圖1所示,連接 , 相交于點 ,連接 ,則 為 的中點,
若 為 1的中點,則 // 1,但由 = 得不出 // 1,
所以 點不唯一確定,不符合題意.
選條件②:
(Ⅰ)證明:如圖2所示,連接 1,
由正方體的性質知, ⊥平面 1 1, 1 平 面 1 1,
所以 ⊥ 1, 因為 ⊥ , // ,
所以 ⊥ , 所以 // 1,
又 為 的中點,所以 為 1的中點. (Ⅱ)解:以 為坐標原點,
建立如圖3所示的空間直角坐標系,
則 (0,0,0), (0,2,0), (1,2,0), (1,1,1),
所以 = (0,2,0), = (1,1,1), = (0, 1,1),
= 2 = 0
設平面 的法向量為 = ( , , ),則{ ,
= + + = 0
令 = 1,則 = 0, = 1,所以 = (1,0, 1),
設直線 與平面 所成的角為 ,
第 7 頁,共 9 頁
| | | 1| 1
則 = |cos < , > | = = = ,
| | | | √ 2×√ 2 2
| | 1 √ 2
所以直線 與平面 所成角的大小為30°,點 到平面 的距離為 = = = .
| | √ 2 2
選條件③:
(Ⅰ)證明:如圖2所示,連接 1,
因為 //平面 1 1, 平面 1,平面 1 ∩平面 1 1 = 1,
所以 // 1,
又 為 的中點,所以 為 1的中點.
(Ⅱ)解:以下過程同選擇條件②.
21.【答案】解:(Ⅰ)由橢圓 的四個頂點為頂點的四邊形面積為4,
1
得 2 2 = 2 = 4,則 = 2,
2
2
由 的離心率為√ 3,得√ 2 √ 3= , 2 2
則 = 2 ,解得 = 2, = 1,
2
所以橢圓 的標準方程為 + 2 = 1;
4
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知, (2,0), (0,1),
2
+ 2 = 1 = √ 2 = √ 2
由{ 4 ,解得{
1 √ 2
或{ √ 2 ,
= = =
2 2 2
則 √ 2 √ 2 ( √ 2, ), (√ 2, ),
2 2
2
設 ( 0, 0), 0 0 ≠ 0,有
0 + 2 ,
4 0
= 1
1
直線 的方程為 = 0 + 1,
0
0 1 = + 1 0
由{ 0 ,解得點 的橫坐標 = 0
1 +1
,
= 2 0
2

直線 的方程為 = 0 ( 2) , 0 2
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= 0 ( 2)
0 2
2
= 0由{ ,解得點 的橫坐標 0 , 1
= 0
+1
2
2
√ 2 √ 2由 = ,得 = ,同理 = ,
+√ 2 +√ 2
2 4所以 + = ,
( +√ 2)( +√ 2)
4
2 0
0 4 0 0
而 4 = 0 2 4 = 4 = 0, 1 (
2 0
) 0 0
所以 + = 0為定值.
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