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2024-2025學年廣東省名校聯盟高一（上）期中數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列函數既是奇函數又是增函數的是( )
A. B. C. D.
2.命題“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知集合，，若，則( )
A. B. C. D.
4.函數在上單調遞增，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，則，，的大小關系是( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙三人進入某比賽的決賽，若該比賽的冠軍只有人，則“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的( )
A. 充要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
7.函數的定義域為( )
A. B. C. D.
8.若，則有( )
A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設，則( )
A. B. C. D.
10.函數與的大致圖象可能是( )
A. B. C. D.
11.如果函數在上是增函數，對于任意的，，則下列結論中正確的是( )
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.計算： ______．
13.已知某商品的原價為元，由于市場原因，先降價出售，一段時間后，再提價出售，則該商品提價后的售價______該商品的原價填“高于”“低于”或“等于”
14.已知函數是上的減函數，則的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知集合，．
當時，求，；
若，求的取值范圍．
16.本小題分
已知冪函數是奇函數．
求的解析式；
若不等式成立，求的取值范圍．
17.本小題分
已知，，，求的最小值；
已知，求的最大值．
18.本小題分
已知函數是定義在上的奇函數，且．
求函數的解析式；
判斷函數在上的單調性，并用定義證明；
解關于的不等式：．
19.本小題分
已知是定義在上的函數，對任意的，存在常數，使得恒成立，則稱是上的受限函數，其中稱為的限定值．
若函數在上是限定值為的受限函數，求的最大值；
若函數，判斷是否是限定值為的受限函數，請說明理由；
若函數在上是限定值為的受限函數，求的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.低于
14.
15.解：集合，．
當時，，
則，；
由，得或，解得或，
所以的取值范圍是．
16.解：冪函數，，即，
，解得或．
當時，，此時，是奇函數，則符合題意；
當時，，此時，是偶函數，則不符合題意．
故．
由可知，不等式，
即不等式，
為增函數，
，即，
，解得或，即的取值范圍是．
17.解：，且，
，
當且僅當，即，時，等號成立，
的最小值為；
，則，
，
當且僅當即時等號成立．
的最大值．
18.解：由奇函數的性質可知，，
，，
．
，；
函數在上是增函數．
證明：任取，
則，
所以函數在上是增函數；
由可得
，
．
故不等式的解集為．
19.解：由于函數的限定值為，因此函數，
所以，解得．
由于函數是上的受限函數，因此，
所以，所以的最大值是．
函數是限定值為的受限函數，理由如下：
根據題意，得，所以，
當時，，因此，
因此，所以，
因此函數是上的限定值為的受限函數．
由于函數在上是限定值為的受限函數，
因此函數在上恒成立，所以在上恒成立，
因此在上恒成立，所以在上恒成立．
設，由于，因此，
易證函數在上單調遞減，所以．
因此，所以的取值范圍為．
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