資源簡介

2023-2024學年上海師大附中高二（下）期中數學試卷
一、單選題：本題共4小題，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下表是“膜法世家”形象代言人選舉得票情況統計，其中周柯宇的票數被污損了無法看清，那么應該當選的人是( )
姓名 張元英 林正英 米卡 周柯宇 林墨 合計
票數
A. 米卡 B. 周柯宇 C. 無法確定 D. 合計
2.高考數學試題中，有道選擇題，每道選擇題有個選項，其中只有個選項是正確的，則隨機選擇其中一個選項，正確的概率是，某家長說：“要是都不會做，每題都隨機選擇其中個選項，則一定有道題答對”這句話( )
A. 正確 B. 錯誤 C. 不一定 D. 無法解釋
3.如圖，在下列各正方體中，為正方體的一條體對角線，、分別為所在棱的中點，則滿足的是( )
A. B.
C. D.
4.已知，為同一次試驗中的兩個隨機事件，且，，命題甲：若，則事件與相互獨立；命題乙：“與相互獨立”是“”的充分不必要條件；則命題( )
A. 甲乙都是真命題 B. 甲是真命題，乙是假命題
C. 甲是假命題，乙是真命題 D. 甲乙都是假命題
二、填空題：本題共12小題，共60分。
5.某讀書會有名成員，假期他們每個人閱讀的本數分別如下：，，，，，則這組數據的分位數為______．
6.一個圓錐的側面積是其底面積的倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為 ．
7.已知，則 ______．
8.如圖只小貓圍繞在的單位正方形的交叉點上，隨機選取兩只，它們之間距離為的概率是______．
9.在空間直角坐標系中，已知點，，，，若，，，四點共面，則 ______．
10.九章算術中的“商功“篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，是的中點，，，，若，則______．
11.二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克牛頓于年、年間提出，據考證，我國至遲在世紀，北宋數學家賈憲就已經知道了二項式系數法則．在的二項式展開式中，的系數為______．
12.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是 ．
13.在紅樓夢中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有______種
14.連接空間幾何體上的某兩點的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉角，使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉軸如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且個頂點，，，在同一平面內，則這個八面體的旋轉軸共有______條
15.設樣本空間，，，，，，，的樣本點都是等可能出現的，且事件，事件，事件，使得，且滿足，，兩兩不獨立，則 ______．
16.已知正四面體的棱長為，動點滿足，且，則點的軌跡長為______．
三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
先后拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記向上的點數分別為，，將事件“為整數”記為，將事件“為偶數”記為，將事件“為奇數”記為．
試判斷事件與事件是否相互獨立？并說明理由；
求的值．
18.本小題分
已知甲組數據，，，的莖葉圖如圖所示，其中數據的整數部分為莖，數據的小數部分僅一位小數為葉，例如第一個數據為．
甲組數據的平均值、方差、中位數；
乙組數據為，，，，且甲、乙兩組數據合并后的個數據的平均值，方差，求乙組數據的平均值和方差，寫出必要的計算過程和步驟．
19.本小題分
某企業為了了解本企業員工每天慢走與慢跑的情況，對每天慢走時間在分鐘到分鐘之間的員工，隨機抽取人進行調查，將既參加慢走又參加慢跑的人稱為“族”，否則稱為“非族”，得如下的統計表以及每天慢走時間在分鐘到分鐘之間的員工人數的頻率分布直方圖部分：
組數 分組 人數 本組中“族”的比例
試補全頻率分布直方圖，并求與的值：
從每天慢走時間在分鐘內的“族”中按時間采用分層抽樣法抽取人參加企業舉辦的健身沙龍體驗活動，再從這人中選人作健身技巧與減脂秘籍的發言，求這人每天慢走的時間恰好人在分鐘內，另一個人在分鐘內的概率．
20.本小題分
如圖所示的空間直角坐標系中，所有坐標均為整數的點稱為整點；已知正方體的棱長為，點滿足，其中，．
若，且直線與平面所成角大小為，求點的軌跡長度；
若，，求正方體經過點，，的截面面積的取值范圍；
若，求三棱錐內不包括表面邊界整點的個數．
21.本小題分
高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，為了紀念他，人們把函數稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數已知：，
若，，，求的值；
若，，，求證：；
設，求除以的余數．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數分別為，，
則基本事件總數為，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共種情況，
滿足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，
故，
滿足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，
故，
滿足事件的有，，，，，，，，，共個，
所以，
所以事件與事件相互獨立；
滿足事件的有，，，，，，，共種，
所以，
所以，
18.解：甲組數據為，，，，，，，，，，，，，，，
所以甲組數據的中位數為，
甲組數據的平均值為．
甲組數據的方差為．
由，可得，
由，解得，，
所以．
19.解：第二組的頻率為，
所以第二組小矩形高為補全后的頻率直方圖如下：
第一組的頻率為，所以．
第五組的頻率為，所以．
因為分鐘的“族”人數為，
分鐘的“族”人數為，二者比例為：：，
所以按時間采用分層抽樣法抽取人，分鐘內抽取人，分鐘內抽取人．
設這人每天慢走的時間恰好人在分鐘，另一個人在分鐘為事件，
在分鐘內抽取人記為，，，，分鐘內抽取人記為，，
則有，，，，，，，，，，，，，，，
共種不同的抽取方法，事件有，，，，，，，，共種，
所以，即選出發言的人每天慢走的時間恰好人在分鐘內，
另一個人在分鐘內的概率為．
20.解：空間直角坐標系中，所有坐標均為整數的點稱為整點，
正方體的棱長為，點滿足，其中，，
連接，
平面，為在平面上的射影，
直線與平面所成角的平面角為，
由已知，
則，故點軌跡為以為圓心，為半徑的圓在正方形內的部分，
點的軌跡長度為，
在正方體中，以為坐標原點，
以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，
，
，，，，
，，
，即，
點在上運動，則，
過點作，交與點，連接，
平面平面，
平面平面，平面平面，
，又，
在正方體中經過點，，的截面為平行四邊形，如圖，
則，，
點到的距離為：
，
，故當取或時，取到最大值，
此時截面面積的最大值為，
當時，取到最小值，
此時截面面積的最小值為，
當時，在正方體中經過點，，的截面面積的取值范圍為．
如圖，過軸上的點，，，，，
，，作三棱錐平行于底面的截面，
則三棱錐內不包括表面邊界整點一定位于各截面內，
截面內的整點個數為，
截面內的整點個數為，
截面內的整點有個，為，
截面內的整點有個，分別為：，，，
截面內的整點有個，分別為：，，，，，，
截面內的整點有個，分別為：
，，，，，，，
，，，
截面內的整點有個，分別為：
，，，，，，，
，，，，，，，，
三棱錐內不包括表面邊界整點個數為．
21.解：因為，，
所以當時，，
而，
因為，，，
所以，，．
因為，，，，
則．
故．
，
又，
則，
又，
所以，
所以當，，
，
其除以的余數為，
當，時，
，
其除以的余數和，
當且，時，
，
其除以的余數為，
當，時，
，
其除以的余數為，
除以的余數為除以的余數，
即除以的余數，
又其除以的余數為．
第1頁，共1頁

展開更多......

收起↑