資源簡介

2024-2025學年河北省唐山市玉田一中高二（上）質檢
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.過空間三點，，的平面的一個法向量是( )
A. B. C. D.
2.若直線過點，點，則此直線的傾斜角是( )
A. B. C. D.
3.已知為空間任意一點，，，，四點中任意三點不共線，但四點共面，且，則的值為( )
A. B. C. D.
4.若直線與直線垂直則( )
A. B. C. D. 或
5.正四棱錐的所有邊長都相等，為的中點，則與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
6.兩點，，點是圓上任意一點，則面積最小值是( )
A. B. C. D.
7.二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于已知，，，，則該二面角的大小為( )
A. B. C. D.
8.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側棱的長為，且與，的夾角都等于，若是的中點，則( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知直線：，則( )
A. 直線的傾斜角為 B. 直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為
C. 點到直線的距離為 D. 直線關于軸對稱的直線方程為
10.已知圓：及點，則下列說法正確的是( )
A. 點的坐標為
B. 點在圓外
C. 若點在圓上，則直線的斜率為
D. 若是圓上任一點，則的取值范圍為
11.如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點，是棱上的動點，則( )
A.
B. 存在點，使平面
C. 存在點，使直線與所成的角為
D. 點到平面與平面的距離和為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知直線外一點，直線過原點，且平行于向量，則點到直線的距離為______．
13.已知線段的端點，，直線：與線段相交，則的取值范圍是______．
14.過點作直線分別交軸，軸正半軸于，兩點，為坐標原點．當取最小值時，直線的方程為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知直線：，：，且滿足，垂足為．
求的值及點的坐標．
設直線與軸交于點，直線與軸交于點，求的外接圓方程．
16.本小題分
如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，，的中點．
求證：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小題分
已知直線：，點．
若點到直線的距離為，求的最大值及此時的直線方程；
當時，過點的一條入射光線經過直線反射，其反射光線經過原點，求反射光線的直線方程．
18.本小題分
如圖，在三棱錐中，，，為正三角形，為的中點，．
求證：面面；
若為中點，求平面與平面夾角的值；
求點到平面的距離．
19.本小題分
在梯形中，，，，為的中點，線段與交于點，將沿折起到的位置，使得平面平面．
求證：平面；
平面與平面夾角的余弦值；
線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由．
參考答案
1.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：顯然，可得，，
由，
可得，
即，
解得，
所以直線：，直線：，
聯立方程組，
解得，
所以點．
由直線：，直線：，
可得，，
所以的外接圓是以為直徑的圓，可得圓心，半徑，
所以的外接圓方程是．
16.解：證明：連接，因為，分別為，的中點，所以
在三棱柱中，，
所以，，，，四點共面．
因為，，，分別為，的中點，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以因為平面，平面，
所以平面．
由題設平面，所以，，
因為，
所以，，兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系，
所以，，，，，，，
，
平面的一個法向量是，設平面的法向量為，
則，令，得，
設二面角的平面角為，
則，由圖可知為銳角，所以．
17.解：直線：，整理得，故，
解得，故直線恒過點．
故點到直線的距離的最大值．
直線的斜率為，故直線的斜率，
故，解得，
故直線的方程為，整理得．
由于直線恒過點，當時，直線的方程為；
點關于直線的對稱點，
所以，解得，
由于該直線經過原點，
所以直線的方程經過點和原點，
故反射光線的直線方程為，即．
18.解：，
，，
又，
面，
又 面，
面面；
因為為正三角形為中點，
所以，又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又為的中點，所以，，
如圖以為原點建立空間直角坐標系，
則，，，，，
，
顯然是平面的一個法向量，
不妨設平面的一個法向量為，
則，即，取，得，則，
設所求夾角為，則，
故面與面的夾角為；
由得，面的一個法向量為，
則到面的距離．
19.解：證明：如圖，連接，
，為的中點，，
，，
四邊形為平行四邊形，
是，的中點，
是的中點，
，
平面，平面，
平面；
平面平面，交線為，，是的中點，
，
平面，
平面，
，平面，
，，
，，
三角形為等邊三角形，
是的中點，
，
，，兩兩垂直，
則以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
，
，，
設平面的法向量為，
則，
解得：，令，則，
所以，
平面的法向量為，
設平面與平面的夾角為，
則，
故平面與平面的夾角的余弦值為；
存在點，
理由如下：設，，
則，
由知：平面的法向量為，
設與平面所成角為，
則，
因為，解得：，
故．
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