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2024-2025學年寧夏大學附中高一（上）期中數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.集合，，則( )
A. B. C. D.
2.命題“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知：，：，則是的( )
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
4.不等式的解集是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
5.下列結論正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，，則 D. 若，則
6.已知函數，則的大致圖象為( )
A. B.
C. D.
7.函數的單調增區間為( )
A. B.
C. 和 D.
8.若，，且，恒成立，則實數的取值范圍是( )
A. B. 或
C. 或 D.
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.由，，組成一個集合，且集合中含有個元素，則實數的取值不可能是( )
A. B. C. D.
10.下列函數中，既是偶函數又在區間上為增函數的是( )
A. B. C. D.
11.在下列四組函數中，與不表示同一函數的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
12.若是定義域為的偶函數，且在上為減函數，則下列選項正確的是( )
A. 的圖象關于軸對稱 B. 在上為減函數
C. 當時，取得最大值 D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知冪函數的圖象經過點，則的值為 ．
14.函數的定義域是______．
15.已知，函數，若，則______．
16.已知函數，，對任意的、且，總有，若，則實數的取值范圍是______．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
已知集合，．
當時，求；
若，求實數的取值范圍．
18.本小題分
已知函數．
若，求的值；
判斷函數的奇偶性并證明．
19.本小題分
已知函數．
若函數在區間上是單調遞增函數，求實數的取值范圍；
若對一切實數都成立，求實數的取值范圍．
20.本小題分
已知函數是定義在上的奇函數，且當時，．
求函數在上的解析式．
在給出的直線坐標系中，畫出函數的圖象．
根據圖象寫出的單調區間不必證明．
21.本小題分
通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間：講授開始時，學生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態；隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用表示學生掌握和接受概念的能力的值越大，表示學生的接受能力越強，表示提出和講授概念的時間單位：，可有以下公式：
．
講課開始后和講課開始后比較，何時學生的注意力更集中？
講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中，能持續多久？
一道數學難題，需要講解，并且要求學生的注意力至少達到，那么老師能否在學生達到所需狀態下講授完這道題目？請說明理由．
22.本小題分
定義在上的函數，對任意的，，都有成立，且當時，．
求的值；
證明：在上為增函數；
當時，解不等式．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，則時，，
，
或；
若，則，
當即時，，滿足；
當即時，，
則由，可得，解之得，
實數的取值范圍為．
18.解：，且，
，解得；
為奇函數．
證明：的定義域為，關于原點對稱，
又，
函數為奇函數．
19.解：因為函數在區間上是單調遞增函數，且的對稱軸為，
所以，解得，即的取值范圍是．
若對一切實數都成立，
則，解得，
即實數的取值范圍是．
20.、因為時，，所以，當時，，
，又因為為奇函數，所以，
，即
．
單調增區間是，單調減區間是和．
21.解：由題意得，，，
所以講課開始后學生注意力更集中；
當時，，
所以在上單調遞增，最大值為．
當時，；
當時，函數為減函數，且．
因此開講分鐘后，學生的接受能力最強為，能維持分鐘；
當時，令，解得或舍去；
當時，令，解得，
可得學生一直達到所需接受能力的狀態的時間，
因此老師不能及時在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題．
22.解：令，則，；
證明：設，則，，
，
即，
在上為增函數；
解：，，
，在上為增函數，
，
解得，
所以不等式的解集為．
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