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2024-2025學年山東省青島五十八中高一（上）月考
數學試卷（12月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若集合，，則( )
A. B. C. D.
2.函數的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
3.已知函數的周期為，且在區間內單調遞增，則可能是( )
A. B.
C. D.
4.函數的單調遞減區間是( )
A. B. C. D.
5.若，，則( )
A. B. C. D.
6.如圖所示，在正方形內，是以為圓心，長為半徑的圓的一段圓弧，且弧度，兩陰影部分面積分別為和，則( )
A.
B.
C.
D. 不確定
7.設函數，為常數，當時，曲線與恰有一個交點，則( )
A. B. C. D.
8.已知函數，若對任意的正數，，滿足，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列選項正確的是則( )
A. “”是“”的充分不必要條件
B. 函數圖象的對稱中心為
C. 命題“，”的否定是，
D. 的最小值為
10.設，表示不超過的最大整數，例如：，，已知函數，則下列敘述中正確的是( )
A. 是偶函數 B. 是奇函數
C. 在上是增函數 D. 的值域是
11.設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數當時，，則下列結論正確的有( )
A. B. 在上單調遞減
C. 點是函數的一個對稱中心 D. 方程有個實數解
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若是第三象限角，且，則的值______．
13.已知函數在上單調遞減，則的取值范圍是______．
14.已知函數在定義域上為減函數，且值域為，的取值范圍______，實數的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
求值：
；
．
16.本小題分
已知函數，，最小正周期．
求的解析式；
當時，恒成立，求實數的取值范圍．
17.本小題分
生物愛好者甲對某一水域的某種生物在自然生長環境下的總量進行監測第一次監測時的總量為單位：噸，此時開始計時，時間用單位：月表示甲經過一段時間的監測得到一組如下表的數據：
月
噸
為了研究該生物總量與時間的關系，甲通過研究發現可以用以下的兩種函數模型來表達與的變化關系：；且．
請根據表中提供的前列數據確定兩個函數模型的解析式；
根據第，列數據，選出其中一個與監測數據差距較小的函數模型；甲發現總量由翻一番時經過了個月，根據你選擇的函數模型，若總量再翻一番時還需要經過多少個月？參考數據：，
18.本小題分
設函數且，，，是定義在上的奇函數．
求的值；
已知，函數，，求的值域；
若，，對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
19.本小題分
設，對定義在上的函數，若存在常數，使得對任意恒成立，則稱函數滿足性質．
Ⅰ判斷下列函數是否具有性質？
，，．
Ⅱ若函數具有性質，，其中，求證：函數具有性質；
Ⅲ設函數具有性質，其中是奇函數，是偶函數若，求的值．
參考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
；
．
16.解：因為，，最小正周期．
所以，所以；
所以，
所以，
又因為，
所以，
所以；
當時，則，
所以，
所以；
令，
則有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
由對勾函數的性質可知在上單調遞增，
所以，
所以，
所以實數的取值范圍為．
17.解：由已知將前列數據代入解析式有，解得：
；
將前列數據代入解析式有，解得：，
．
當時，模型，模型；
當時，模型，模型；
選模型，
當總量再翻一番時有：，解得，
即再經過個月時，總量能再翻一番．
18.解：是定義域為上的奇函數，故，得，
此時，，，
即是上的奇函數．
，即，
或舍去，
，
令，
易知在上為增函數，，
，
當時，有最大值；
當時，有最小值，
故的值域是．
由，
則為偶函數，且在單調遞增，在單調遞減，
又，，
，
對任意恒成立，即對任意恒成立，
平方得：對恒成立，
，
解得：，
綜上可得：的取值范圍是．
19.解：因為，所以具有性質；
因為，所以不具有性質；
，所以具有性質．
因為函數具有性質，則存在常數使得對任意恒成立．
因為函數具有性質，則存在常數使得對任意恒成立，
故，即也對任意恒成立，
因此對任意恒成立．
又因為，
所以函數具有性質
由已知存在滿足，即，
令，則，
令，則，
因為是奇函數，是偶函數，
所以，，，，
，整理得，
令，則，即，
又因為，所以，
所以．
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