資源簡介

2024-2025學年遼寧省協作體高二上學期期末考試數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知隨機變量，若其對應的正態密度函數滿足，且，則( )
A. B. C. D.
2.已知直線的傾斜角為，若，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.的展開式中，含的項的系數為( )
A. B. C. D.
4.如圖，正方形的棱長為分別是的中點，是四邊形內一動點，，若直線與平面沒有公共點，則線段的最小值為( )
A. B. C. D.
5.某學校利用周末時間組織學生進行志愿者服務，高二年級共個班，其中班有個志愿者隊長，本次志愿者服務一共個名額，志愿者隊長必須參加且不占名額，若每個班至少有人參加，則共有種分配方法．
A. B. C. D.
6.已知菱形的邊長為，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且平面平面若點都在同一球面上，則該球的表面積為( )
A. B. C. D.
7.已知橢圓的左、右焦點分別為，點是直線上與點不重合的動點，則的最小值為( )
A. B. C. D.
8.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家；如果天不下雨，那么他不帶雨傘假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立現在兩把雨傘均在家里，那么連續上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共2小題，共12分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知雙曲線：的左、右焦點分別為過的直線交雙曲線的右支于兩點，其中點在第一象限．的內心為，與軸的交點為，記的內切圓的半徑為，的內切圓的半徑為，則下列說法正確的有( )
A. 若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為或
B. 若，且，則雙曲線的離心率為
C. 若，，則的取值范圍是
D. 若直線的斜率為，，則雙曲線的離心率為
10.在棱長為的正方體中，為棱的中點，為線段上的動點含端點，則下列選項正確的有( )
A. 若直線與直線所成角為，則的最大值為．
B. 若點到平面的距離為，則的最小值為．
C. 若在該正方體內放入一個半徑為的小球，則小球在正方體內不能達到的空間體積是．
D. 點從點出發勻速朝移動，點從點出發勻速朝移動．現同時出發，當到達時，恰好在的中點處．則在此過程中，兩點的最近距離為．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
11.已知，且，則的最小值為 ．
12.已知兩條互相垂直的直線，分別經過點，，公共點為，，則當取最小值時， ．
13.已知是空間單位向量，若空間向量滿足，且對于任意，則 ， ．
14.數學家萊布尼茲是世界上首個提出二進制計數法的人，任意一個十進制正整數均可以用二進制數表示若正整數，其中或，則可以用位二進制數表示記的二進制各個位數和為，則例如，因此已知正整數且，則這樣的有 個； ．
四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
設，求：
；
．
16.本小題分
已知圓的圓心在直線上，且點，在上
求圓的標準方程；
若傾斜角為的直線經過點，且與圓相交于，兩點，求．
17.本小題分
如圖，在直角梯形中，已知，，將沿翻折，使平面平面如圖，的中點為．
求證：平面
若的中點為，在線段上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為若存在，求
出點的位置若不存在，請說明理由．
18.本小題分
對于形如“”的絕對值方程，我們可以考慮將其與點到直線的距離公式：相關聯．
設集合，點的坐標為，滿足“存在，使得”的點構成的圖形為，求證：的面積大于；
已知平面內的點異于原點，且點的坐標滿足關系式若這樣的點恰有三個，求實數的值．
19.本小題分
某校舉行圍棋比賽，甲乙丙三個人通過初賽，進入決賽已知甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為．
決賽規則如下：首先通過抽簽的形式確定甲乙兩人進行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結束后，勝利者和丙進行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進行下一局比賽，每場比賽勝者積分，負者積分，首先累計到分者獲得比賽勝利，比賽結束假設，且每局比賽相互獨立．
求乙連勝兩局獲得最終勝利的概率；
求比賽結束時乙獲勝的概率；
若，假設乙第一局出場，且乙獲得了指定首次比賽對手的權利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優指定策略．
20.本小題分
如圖，在拋物線上任選一動點，可認為其縱坐標為以為邊長的正方形的面積，由此將拋物線下陰影部分的面積轉化為四棱錐的體積，得，稱其為拋物線的“三分之一”原則．
如圖，在擬柱體中，底面為矩形，，點到底面的距離為，試利用拋物線的“三分之一”原則求擬柱體的體積；
已知類似于圓錐的空間幾何體具有圓錐的一切對稱性，且其頂點為，底面為，高為，將置于空間直角坐標系中，使其頂點與坐標原點重合，與平面平行且上任意一點坐標均可表示為若用任一平行于平面的平面截所得的截面的面積與到平面的距離有關系：設被平面所截得曲線為，
求的體積關于的表達式及在平面中的方程；
在平面中，過點作兩條互相垂直的弦，分別交于兩點，都在第一象限內且在的右側，分別交于兩點設的面積為的面積為，當點的橫坐標時，求的最大值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
由條件，取，得到；
取，得到
取，得到
兩式相加得到，
所以．
根據知：
展開式的通項為：，
故當為偶數時，對應系數為正；當為奇數時，對應系數為負，
故
．

16.
設線段的中點為，則，
因為直線的斜率為，
所以線段的垂直平分線的斜率為，
所以線段的垂直平分線所在的直線方程為，
由得
所以圓心，半徑為，
所以圓的標準方程為；
因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，
又直線經過點，所以直線的方程為，
即，
所以點到直線的距離為，
所以．

17.解：證明：因為，的中點為，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
根據面面垂直的性質可得平面；
取的中點為，連接，則，由圖直角梯形可知，為正方形，
，，，，．
由平面，可知，，兩兩互相垂直，
分別以，，為，，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
設，
，
設平面的法向量為，
取，則，即平面的法向量為，
由平面，取平面的法向量，
設平面與平面的夾角為，
則，
解得或舍
所以，線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為．
點位于線段靠近的三等分點處．
18.
因為，表示除原點外的平面內的所有點．
，
所以的軌跡為到直線和的距離之和不大于的點的集合．
如圖：
因為，
所以直線和垂直，
不妨設分別為點在直線上的投影，
則存在，滿足．
對，分類討論，
當時，．
因為，所以．
當時，，
因為集合表示除原點外平面內的點，所以不能在原點，
所以，，所以，但，不能同時等于，
所以但等號不能同時成立，所以，
所以點的軌跡是以原點為圓心，半徑在范圍內的圓形的內部區域原點除外，
故的面積為，證畢．
由已知得，整理得，
問題可看成有且僅有三條直線滿足和到直線不過原點的距離相等，
又，
當，此時易得符合題意的直線為線段的垂直平分線以及與直線平行的且距離為的兩條直線，符合題意；
當時，有條直線會使得點和到它們的距離相等，
注意到不過原點，所以當其中一條直線過原點時，會作為增根被舍去．
設點到的距離為，
作為增根被舍去的直線，過原點和的中點，其方程為，此時，符合；
作為增根被舍去的直線，過原點且與平行，
其方程為，此時，不符合；
當，只有兩條直線使得點和到它們的距離相等，不符合題意；
綜上，可取和．

19.
．
，
設事件為“第一局乙對丙最終乙獲勝”，為“第一局乙對甲最終乙獲勝”，
第一，第一局乙獲勝，第二局乙獲勝；
第二，第一局乙獲勝，第二局甲獲勝，第三局丙獲勝，第四局乙獲勝；
第三，第一局丙獲勝，第二局甲獲勝，第三局乙獲勝，第四局乙獲勝，
故；
同理可得；
，
由于，故，
所以，故乙的最優指定策略是指定第一局的對手為甲．

20.
如圖，用平行于底面的平面截擬柱體得矩形，設點到的距離為，
由相似的基本定理得矩形面積，
建立如圖的平面直角坐標系，
由主題干信息得，擬柱體的體積即函數
與軸正半軸所圍成的陰影部分面積，由拋物線的“三分之一”
原則：，
即擬柱體的體積；
由主題干信息得，類錐體的體積即底面的面積與軸正半軸所圍成的陰影部分面積，
又與有關系，
所以；
因為具有圓錐的一切對稱性，
所以其底面為圓，
得其半徑，
由幾何體的空間位置，可建立與得關系：，
即在平面中的方程為：；
設，
由得
聯立直線與拋物線
由，得，
即舍或，
所以恒過定點，
改寫為，
代入得，
即
易得
所以
由，得，
令
則有，
其中，
對于函數，當時，有如下圖像：
所以，
所以，
即的最大值為．

第1頁，共1頁

展開更多......

收起↑