資源簡介

2024-2025年上學期九年級期末數學試題卷
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1. 下列字母既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 拋擲一枚質地均勻的硬幣六次，正面朝上和反面朝上的次數相同，這個事件是（　）
A. 確定性事件 B. 隨機事件 C. 必然事件 D. 不可能事件
3. 已知直線l上一點到圓心的距離剛好等于圓的半徑，那么直線l與的位置關系是 （　）
A 相切 B. 相交 C. 相交或相切 D. 相切或相離
4. 解關于x的一元二次方程 ，配方后得到 ，則 的值是（　）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
5. 將拋物線y=—（x—1）2 先向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式是（　）
A.y=—（x—1）2 —2 B.y=—（x—1）2 +2
C. D.
6. 若a，b是方程的兩個根，則的值是（　）
A. 2026 B. 2024 C. 2022 D. 2020
7. 不透明的袋子里裝有三雙除顏色外完全一樣的襪子，隨機一次性拿出其中兩只襪子，則這兩只襪子剛好是一雙的概率是（　）
A. B. C. D.
8. 如圖是底面半徑為6，高為8的實心圓錐體，現將圓錐體居中水平切一刀，下面的部分叫圓臺，則該圓臺的表面積是（　）
A. B. C. D.
9. 拋物線經過三點，若，則下列關于該拋物線的說法，正確的是（　）
A. 開口向下
B. 頂點在x軸下方
C. 對稱軸在軸左側
D. 若點也在該拋物線上，則
10. 如圖，在 中， ，將 繞點C順時針旋轉后得到 ，且B，D，E三點在同一條直線上，若 ，則的長是（　）
A. 7 B. C. 6 D.
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結果直接寫在答題卡指定的位置．
11. 若點A（3，n）與點關于原點對稱，則______．
12. 如圖，同心圓的大小圓半徑比為，隨機向該同心圓及其內部區域投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區域的概率是_________．
13. 如圖，要設計一本書的封面，要求封面是長24，寬16 的大矩形，正中間是一個與大矩形的長寬比例相等的小矩形，且兩矩形上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，若小矩形的面積是大矩形面積的 ，則上、下邊襯的寬度為_________．
14. 的半徑為2，，為圓的兩條弦，若，則的值是________．
15. “數形結合”是解決數學問題的一種重要思想，請用這種思想解決下面的問題：已知關于x的方程有三個不同的實數根，則k的值為________．
16. 若二次函數的圖象向右平移1個單位長度后關于y軸對稱．則下列四個說法：①；②對于任意實數m，不等式 一定成立；③當時，代數式的最小值為3；④為該二次函數圖象上任意兩點，且，當時，一定有．其中正確的是__________（填寫序號）．
三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．
17. 已知關于x的一元二次方程 有兩個相等的實數根，求k的值和方程的根．
18. 如圖，在 中， ，將 繞點A 按逆時針旋轉得到 ，連接交于點O，連接交于點 D．
（1）求證：；
（2）求 度數（用α表示）．
19. 為了切實幫助家長解決在學生教育上的困惑，學校舉辦了一場家庭教育沙龍并邀請了部分家長參加活動．在場地安排了9把椅子（每個方格代表一把椅子，橫為排，豎為列）按圖示方式擺放，其中圓點表示已經有家長入座的椅子．
（1）如圖① ，已經有兩位家長入座，又有一位家長隨機入座，則這三把椅子剛好在同一直線上的概率為______；
（2）如圖② ，已經有四位家長入座四個位置，又有甲、乙兩位家長隨機入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用樹狀圖或列表法求甲，乙兩人剛好坐在同一列上的概率．
20. 如圖，為的直徑，將繞點A 逆時針旋轉一定角度后得到的交于點E，連接交于點D，已知F為的中點，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若 ，求圖中陰影部分的面積．
21. 如圖是由小正方形組成的 網格，每個小正方形的頂點叫做格點．A，C為格點，B是以為直徑的圓與格線的交點，M為圓外一格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
（1）畫出圓的直徑，并畫出劣弧的中點E；
（2）先在圓上畫點 F，使 ，再在圓上畫點 N，使 為圓的一條切線．
22. 某公司以3元/千克的價格收購2000千克蘋果后，一部分直接銷售，另一部分加工成蘋果干銷售，并全部售出，現有如下信息：直接銷售蘋果的銷售價格 （單位：元/千克）與銷售數量x（單位：千克）之間的函數關系是 ，且直接銷售的蘋果不少于總量的 ．
加工成蘋果干的總加工費用（單位：元）與加工數量t（單位：千克）之間的函數關系是 ，且加工成蘋果干后質量會損耗，蘋果干的銷售價格為70元/千克.
設直接銷售的蘋果有x千克，請完成下列問題：
（1）①用含x代數式表示下列各量：直接銷售的利潤為 ，加工后銷售的利潤 為 ；
②直接寫出x 的取值范圍是 ．
（2）若直接銷售的利潤比加工后銷售的利潤多1400元，求x的值；
（3）如何安排兩種銷售方式能讓總利潤最大 最大利潤是多少
23. 如圖，在中，，，Q為經過點C并與垂直直線上一點，將繞點Q旋轉得到，連接．
（1）如圖（1），點Q在點C上方，，，點D在上，且，求的長；
（2）如圖（2），點Q在點C下方，，E為的中點，連接，，，求證：；
（3）如圖（3），在（2）的條件下，連接，若，，且點D與點A關于對稱，直接寫出的長．
24. 如圖（1），拋物線 與x軸交于兩點，與 y軸交于點C，且 ，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）M為第一象限拋物線上一點，若，求點M坐標；
（3）如圖（2），過點的直線與拋物線交于兩點，分別過點且與拋物線只有唯一公共點的兩條直線交于點T，求證：點 T 在一條定直線上．
答案
1. A
2. B
3.C
4. A
5. C
6. D
7. C
8. A
解：如圖，設圓錐沿高線的縱切面為，則半徑為，高為，
∴母線長為，
∴居中的橫斷面半徑為，上部圓錐的母線長為，
∴圓臺的表面積為：
，
故選：A．
9. D
解：∵拋物線經過三點，也在該拋物線上，
∴，，，，
∵，
∴，
∴解不等式得，
解不等式得，即，，
∴，
∴拋物線開口向上，故A選項說法錯誤；
對稱軸在軸右側，故C選項說法錯誤；
∵，
∴，故D選項說法正確；
頂點與x軸的關系無法確定，故B選項錯誤；
故選：D．
10. B
解：∵繞點順時針旋轉后得到，
∴，
∴，
∴，
∴根據勾股定理得，
∵，
∴，
過點D作交于點F，
∴根據勾股定理得，
∴，
∴在中，根據勾股定理得，
故選： ．
11.
解：∵點A（3，n）與點關于原點對稱，
∴，，
即，
∴，
故答案為：．
12.
解：∵同心圓的大小圓半徑比為，
∴設同心圓的大小圓半徑分別為，，
大圓面積：，
小圓面積：，
陰影部分面積：，
飛鏢擊中陰影區域的概率：，
故答案為：．
13. 3
解：由題意得，封面的長寬比為，
設該矩形的長為，寬為，
根據題意得：，
解得：，
不符合題意，故舍去，
，
上下邊襯的寬度為：
故答案為：3．
14. 16解：如圖，延長交于點，連接，
，且的弧的度數為，
的弧的度數為，
是的直徑，
的弧的度數為，，，
，
，
，
在中，，
，
，
的值是，
故答案為：16．
15.
解：當或時，；
當時，；
∵，當時，，
∴過定點，
∴與的函數圖象如圖所示：
∵關于x的方程有三個不同的實數根，即函數與有三個不同交點，
∴根據函數圖象可得與在范圍內有唯一交點，
∴聯立得，
∴方程有兩等根，且方程的解，在范圍內，
∴，且，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
16. ①②④
解：∵二次函數的圖象向右平移1個單位長度后關于軸對稱，
∴二次函數的對稱軸是直線．
∴．
∴，
∴，故①正確．
將代入得
∴
，
∵，
∴當時，取最小值為，故③錯誤．
∵對稱軸是直線，
∴當時是最小值，
∵當時，
∴，
整理得，故②正確．
∵，
∴．
∴，的中點在對稱軸的右側．
∵，
∴點P離對稱軸的距離比Q離對稱軸的距離近．
∵拋物線開口向上，
∴，故④正確．
故答案為：①②④．
17.解：∵關于x的一元二次方程 有兩個相等的實數根，
∴，
∴，
∴原方程為 ，
∴ ，
∴，
綜上所述，，兩根為．
18.
【小問1詳解】解：∴繞點逆時針旋轉得到，
∴根據旋轉的性質可知，旋轉前后對應邊相等，
∴，，
又∵，且是公共角，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小問2詳解】解：∵
∴，即，
∵，
∴中，根據三角形內角和定理，，
在中，根據三角形內角和定理，，
∵，
∴，
∴．
19. 【小問1詳解】解：如圖1，共有7個空位置，只有當坐在第2排第2列的那個位置時，符合題意，則這三把椅子剛好在同一直線上的概率為；
【小問2詳解】解：如圖：
已經有四位家長入座四個位置，又有甲、乙兩位家長隨機入座，甲坐第一排，乙坐第二排，列表如下：
， ，
， ，
， ，
共有6種等可能的結果，其中甲，乙兩人剛好坐在同一列上共有2種等可能的結果，
∴．
20. 【解】
【小問1詳解】證明：如圖，連、，
∵四邊形為圓內接四邊形，
∴，
∵繞點A 逆時針旋轉一定角度后得到的交于點E，連接交于點D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵F為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵為的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】解：如圖，連，，，
∵為的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，也為等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴圖中陰影部分的面積．
21.
解：如圖所示，
作出的中點（即圓心），
作射線交圓與點，線段就為所求作的直徑，
利用網格平行線找到的中點，
過此點和點作射線交圓與點，
此點即為所求作的點；
【小問2詳解】解：如圖所示，
找到格線與圓的交點，連，，此時就為所求作的點，
∵，
∴，
找到格點點，連，交圓一點，此點就為所求作的點，
理由如下，過點作交于點，
在中，，
∴設，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為的切線．
22. 【解】
【小問1詳解】∵直接銷售收入，收購支出，
，
，
，
∵加工后的蘋果干數量為，
，
直接銷售的蘋果不少于總量的，
，
，
故答案為：，；
【小問2詳解】解：由題意得，，
，
，
∴，
，
；
【小問3詳解】解：由題意得，
，
∴當時，隨x的增大而減小，
，
∴當時，最大，最大利潤，
∴，
∴直接銷售數量為，加工數量為時利潤最大，最大為元．
23. 【小問1詳解】解：如圖，過點作交于點，
，，
是等邊三角形，
，，
又，
，
，
，
，
將繞點Q旋轉得到，
，
又，
，，
在中，，
，
設，則，
由勾股定理得，，
，
解得：，
，
的長為1．
【小問2詳解】證明：如圖，延長至使得，連接、、，
為的中點，
，
又，，
，
，，
，
，
五邊形的內角和為，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是等腰三角形，
又，
，
．
【小問3詳解】解：如圖，延長、交于點，
，，
是等邊三角形，
，，
點D與點A關于對稱，
，
，
，
由題意得，，，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
設，則，
由勾股定理得，，
，
解得：，
，
，
在中，，
的長為．
24.
【解】【小問1詳解】∵拋物線的對稱軸為軸，
∴點關于軸對稱，
∴，
∵，
∴，
當時，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴拋物線，點，
將點代入得，
解得，
∴拋物線的表達式為．
【小問2詳解】設，且，
設直線的表達式為，
將代入，得，
解得，
∴直線的表達式為，
當時，，即，
∴直線與軸交點為，
∵M為第一象限拋物線上一點，
∴
則
，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
其中與點重合，故舍去，
則，
∴點坐標為．
【小問3詳解】設直線的表達式為，
聯立，整理得，
設
則，
設直線的表達式為，
聯立，得，
∵直線與拋物線有唯一公共點，
∴，
即，
則，
即，解得，
∴，
直線的表達式為，
同理可得，直線的表達式為，
聯立，得，
整理得，
∵，
∴，，
∴點的坐標為，
∴點 T 在定直線上．

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