資源簡介

廣東省名校聯盟 2024-2025 學年高一上學期期中考試數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列函數既是奇函數又是增函數的是( )
1
A. = 2 + 1 B. = + 1 C. = 2 D. = 3
2.命題“ > 0， 2 3 2 > 0”的否定是( )
A. > 0， 2 3 2 ≤ 0 B. ≤ 0， 2 3 2 ≤ 0
C. > 0， 2 3 2 ≤ 0 D. ≤ 0， 2 3 2 ≤ 0
3.已知集合 = { | 2 < < 5}， = { |2 1 < < 2 + 6}，若 ∩ = { |3 < < 5}，則 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.函數 ( ) = 2 + 5在( 1,+∞)上單調遞增，則 的取值范圍是( )
A. ( ∞, 2] B. ( ∞,1] C. [1,+∞) D. [2,+∞)
5.已知 = 0.91.2， = 1.10.9， = 1，則 ， ， 的大小關系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.甲、乙、丙三人進入某比賽的決賽，若該比賽的冠軍只有1人，則“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的( )
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
1
7.函數 ( ) = √ 2 1 + 的定義域為( )
4
A. [0,4) B. (4,+∞)
C. [0,4) ∪ (4,+∞) D. ( ∞, 4) ∪ (4,+∞)
2 2 +6
8.若 < 1，則 有( )
+1
A. 最小值4 B. 最小值2 C. 最大值 8 D. 最大值 10
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設 > > 0 > ，則( )
A. > B. < C. > 2 D. 1 > 1
10.函數 = ( 1) + 2 與 = ( > 0, ≠ 1)的大致圖象可能是( )
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A. B.
C. D.
11.如果函數 ( )在[ , ]上是增函數，對于任意的 1， 2 ∈ [ , ]( 1 ≠ 2)，則下列結論中正確的是( )
( 1) ( )A. 2 > 0 B. ( 1 2)[ ( ) ( )] > 0 1 1 22
C. ( ) ≤ ( 1) < ( 2) ≤ ( ) D. ( 1) > ( 2)
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
1 1 √ 6
12.計算：(2 ) 2 + ( )2 = ______．
4 3
13.已知某商品的原價為 元，由于市場原因，先降價 %(0 < < 100)出售，一段時間后，再提價 %出售，
則該商品提價后的售價______該商品的原價. (填“高于”“低于”或“等于”)
, < 0,
14.已知函數 ( ) = { 是 上的減函數，則 的取值范圍是______．
( 3) + 2 , 0
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知集合 = { | 3 < < 5}， = { |2 + 1 < 2 + 7}．
(1)當 = 1時，求 ∪ ， ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范圍．
16.(本小題15分)
已知冪函數 ( ) = ( 2 3 3) 1是奇函數．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若不等式(3 3) 1 < ( 2 ) 1成立，求 的取值范圍．
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17.(本小題15分)
4 1
(1)已知 > 0， > 0， + = 2，求 + 的最小值；

1
(2)已知0 < < ，求 = √ (1 4 )的最大值．
4
18.(本小題17分)
+ 1 2
已知函數 ( ) = 2 是定義在( 1,1)上的奇函數，且 ( ) = ． +1 2 5
(1)求函數的解析式；
(2)判斷函數 ( )在( 1,1)上的單調性，并用定義證明；
1 1
(3)解關于 的不等式： ( + ) + ( ) < 0．
2 2
19.(本小題17分)
已知 ( )是定義在 上的函數，對任意的 ∈ ，存在常數 > 0，使得 ( ) 恒成立，則稱 ( )是 上的
受限函數，其中 稱為 ( )的限定值．
(1)若函數 ( ) = 2 2 + 5在(0, ]上是限定值為8的受限函數，求 的最大值；
(2)若函數 ( ) = √ 4 2 + 2，判斷 ( )是否是限定值為4的受限函數，請說明理由；
(3)若函數 ( ) = 2 +1 4 在[0,1]上是限定值為9的受限函數，求 的取值范圍．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
4
12.【答案】
3
13.【答案】低于
1
14.【答案】(0, ]
2
15.【答案】解：集合 = { | 3 < < 5}， = { |2 + 1 < 2 + 7}．
(1)當 = 1時， = { |3 < ≤ 9}，
則 ∪ = { | 3 < ≤ 9}， ∩ = { |3 < < 5}；
(2)由 ∩ = ，得2 + 1 ≥ 5或2 + 7 ≤ 3，解得 ≥ 2或 ≤ 5，
所以 的取值范圍是( ∞, 5] ∪ [2,+∞)．
16.【答案】解：(1) ∵冪函數 ( ) = ( 2 3 3) 1，∴ 2 3 3 = 1，即 2 3 4 = 0，
∴ ( 4)( + 1) = 0，解得 = 4或 = 1．
當 = 4時， ( ) = 3，此時 ( ) = 3 = ( )，∴ ( )是奇函數，則 = 4符合題意；
當 = 1時， ( ) = 2，此時 ( ) = 2 = ( )，∴ ( )是偶函數，則 = 1不符合題意．
故 ( ) = 3．
(2)由(1)可知 = 4，∴不等式(3 3) 1 < ( 2 ) 1，
即不等式(3 3)3 < ( 2 )3，
∵ = 3為增函數，
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∴ 3 3 < 2 ，即 2 4 + 3 > 0，
∴ ( 1)( 3) > 0，解得 > 3或 < 1，即 的取值范圍是( ∞, 1) ∪ (3,+∞)．
17.【答案】解：(1) ∵ > 0， > 0且 + = 2，
4 1 1 4 1 1 4 1 4 9
∴ + = ( + )( + ) = (5 + + ) ≥ (5 + 2√ ) = ，
2 2 2 2
4 4 2
當且僅當 = ，即 = ， = 時，等號成立，
3 3
4 1 9
∴ + 的最小值為 ；
2
1
(2) ∵ 0 < < ，則1 4 > 0，
4
1 1 4 +1 4 1
∴ = √ (1 4 ) = √ (4 )(1 4 ) ≤ = ，
4 2 2 4
1
當且僅當4 = 1 4 即 = 時等號成立．
8
1
∴ = √ (1 4 )的最大值 ．
4
18.【答案】解：(1)由奇函數的性質可知， (0) = 0，

∴ = 0， ( ) =
1+ 2
，
1
1 2
∵ ( ) = = 2
2 5 1
．
1+
4

∴ = 1， ( ) = 2 ； +1
(2)函數 ( )在( 1,1)上是增函數．
證明：任取 1 < 1 < 2 < 1，
( )(1 )
則 ( ) ( 1 2 1 2 1 21 2) = 2 2 = 2 2 < 0 ( ) < ( )， 1+ 1 1+ 2 (1+ 1)(1+
1 2
2)
所以函數 ( )在( 1,1)上是增函數；
1 1
(3)由 ( + ) + ( ) < 0可得
2 2
1 1 1 1
( + ) < ( ) ( + ) < ( )，
2 2 2 2
1 1
+ < < 0
2 2 3 11 1
∴ 1 < + < 1 { < <2 2 < < 0．
2 21 3
1
{ 1 < < 1
< <
2 2
2
1
故不等式的解集為( , 0)．
2
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19.【答案】解：(1)由于函數 ( )的限定值為8，因此函數 ( ) = 2 2 + 5 ≤ 8，
所以 2 2 3 ≤ 0，解得 1 ≤ ≤ 3．
由于函數 ( )是(0, ]上的受限函數，因此(0, ] [ 1,3]，
所以0 < ≤ 3，所以 的最大值是3．
(2)函數 ( )是限定值為4的受限函數，理由如下：
根據題意，得4 2 ≥ 0，所以 2 ≤ ≤ 2，
當 2 ≤ ≤ 2時，0 ≤ 4 2 ≤ 4，因此0 ≤ √ 4 2 ≤ 2，
因此2 ≤ √ 4 2 + 2 ≤ 4，所以2 ≤ ( ) ≤ 4，
因此函數 ( )是[ 2,2]上的限定值為4的受限函數．
(3)由于函數 ( )在[0,1]上是限定值為9的受限函數，
因此函數 ( ) ≤ 9在[0,1]上恒成立，所以 2 +1 4 ≤ 9在[0,1]上恒成立，
9+4 1 9
因此 ≤ +1在[0,1]上恒成立，所以 ≤ (2
+ )在[0,1]上恒成立．
2 2 2
設 = 2 ，由于0 ≤ ≤ 1，因此 = 2 ∈ [1,2]，
9 9 13
易證函數 = + 在[1,2]上單調遞減，所以 = 2 + = ． 2 2
13 13
因此 ≤ ，所以 的取值范圍為( ∞, ]．
4 4
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