資源簡(jiǎn)介

上海師范大學(xué)附屬中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共 4 小題，共 18 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.下表是“膜法世家”形象代言人選舉得票情況統(tǒng)計(jì)，其中周柯宇的票數(shù)被污損了無法看清，那么應(yīng)該當(dāng)
選的人是( )
姓名 張?jiān)?林正英 米卡 周柯宇 林墨 合計(jì)
票數(shù) 250 200 380 ■ 320 1550
A. 米卡 B. 周柯宇 C. 無法確定 D. 合計(jì)
2.高考數(shù)學(xué)試題中，有12道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的，則隨機(jī)選擇其中
1
一個(gè)選項(xiàng)，正確的概率是 ，某家長(zhǎng)說：“要是都不會(huì)做，每題都隨機(jī)選擇其中1個(gè)選項(xiàng)，則一定有3道題答
4
對(duì).”這句話( )
A. 正確 B. 錯(cuò)誤 C. 不一定 D. 無法解釋
3.如圖，在下列各正方體中， 為正方體的一條體對(duì)角線， 、 分別為所在棱的中點(diǎn)，則滿足 ⊥ 的是( )
A. B.
C. D.

4.已知 ， 為同一次試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，且 ( ) > 0， ( ) > 0，命題甲：若 ( | ) + ( ) = 1，則

事件 與 相互獨(dú)立；命題乙：“ 與 相互獨(dú)立”是“ ( | ) = ( | )”的充分不必要條件；則命題( )
A. 甲乙都是真命題 B. 甲是真命題，乙是假命題
C. 甲是假命題，乙是真命題 D. 甲乙都是假命題
二、填空題：本題共 12 小題，共 54 分。
5.某讀書會(huì)有5名成員，假期他們每個(gè)人閱讀的本數(shù)分別如下：3，5，4，2，1，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)
為______．
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6.一個(gè)圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為 ．
7.已知 4 = 4 +1 +
5
( ∈
)，則 = ______．
8.如圖8只小貓圍繞在2 × 2的單位正方形的交叉點(diǎn)上，隨機(jī)選取兩只，它們
之間距離為1的概率是______．
9.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) (2,3,1)， ( 1,1, 1)， (0, 1,1)， (1,1, )，若 ， ， ， 四點(diǎn)共面，
則 = ______．
10.《九章算術(shù)》中的“商功“篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的
計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵 1 1 1中，
1
是 1 1的中點(diǎn)， = 2 1 = 2 ， = 1， = 3 ，若 = +3 1
+ ，則 + + =______．
11.二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩度克 牛頓于1664年、1665年間提出，據(jù)考證，我國(guó)至遲在11
1
世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)知道了二項(xiàng)式系數(shù)法則．在( 2 )5的二項(xiàng)式展開式中， 的系數(shù)為______．
2
12.已知空間向量 = (1,0,1)， = (1,1,1)，則向量 在向量 上的投影向量的坐標(biāo)是 ．
13.在《紅樓夢(mèng)》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子
凈肉六種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心
熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時(shí)不同的下鍋順序共有______種.
14.連接空間幾何體上的某兩點(diǎn)的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉(zhuǎn)角
(0° < < 360°)，使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體
的旋轉(zhuǎn)軸.如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn) ， ， ，
在同一平面內(nèi)，則這個(gè)八面體的旋轉(zhuǎn)軸共有______條.
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15.設(shè)樣本空間 = 1，2，3，4，5，6，7，8的樣本點(diǎn)都是等可能出現(xiàn)的，且事件 = {1,2,3,4}，事件 = {1,2,3,5}，
事件 = {1, , , 8}，使得 ( ) = ( ) ( ) ( )，且滿足 ， ， 兩兩不獨(dú)立，則 + = ______．
16.已知正四面體 的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn) 滿足 = 0，且 = 0，則點(diǎn) 的軌跡長(zhǎng)為______．
三、解答題：本題共 5 小題，共 78 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題14分)
先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為 ， ，將事件“l(fā)og( +1) 為整數(shù)”記為 ，將事件
“ + 為偶數(shù)”記為 ，將事件“ + 2 為奇數(shù)”記為 ．
(1)試判斷事件 與事件 是否相互獨(dú)立？并說明理由；
(2)求 ( | )的值．
18.(本小題14分)
已知甲組數(shù)據(jù) 1， 2，…， 15的莖葉圖如圖所示，其中數(shù)據(jù)的整數(shù)部分為莖，數(shù)據(jù)的小數(shù)部分(僅一位小數(shù)
)為葉，例如第一個(gè)數(shù)據(jù)為5.3．

(1)甲組數(shù)據(jù)的平均值 、方差 21 1、中位數(shù) ；
(2)乙組數(shù)據(jù)為 1， 2，…， 15，且甲、乙兩組數(shù)據(jù)合并后的30個(gè)數(shù)據(jù)的平均值 = 9.2，方差
2 = 11.23，

求乙組數(shù)據(jù)的平均值 2和方差
2
2，寫出必要的計(jì)算過程和步驟．
19.(本小題14分)
某企業(yè)為了了解本企業(yè)員工每天慢走與慢跑的情況，對(duì)每天慢走時(shí)間在25分鐘到55分鐘之間的員工，隨機(jī)
抽取 人進(jìn)行調(diào)查，將既參加慢走又參加慢跑的人稱為“ 族”，否則稱為“非 族”，得如下的統(tǒng)計(jì)表以
及每天慢走時(shí)間在25分鐘到55分鐘之間的員工人數(shù)的頻率分布直方圖(部分)：
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組數(shù) 分組 人數(shù) 本組中“ 族”的比例
1 [25,30) 200 0.6
2 [30,35) 300 0.65
3 [35,40) 200 0.5
4 [40,45) 150 0.4
5 [45,50) 0.3
6 [50,55) 50 0.3
(1)試補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求 與 的值：
(2)從每天慢走時(shí)間在[40,50)(分鐘)內(nèi)的“ 族”中按時(shí)間采用分層抽樣法抽取6人參加企業(yè)舉辦的健身沙
龍?bào)w驗(yàn)活動(dòng)，再從這6人中選2人作健身技巧與減脂秘籍的發(fā)言，求這2人每天慢走的時(shí)間恰好1人在[40,45)
分鐘內(nèi)，另一個(gè)人在[45,50)分鐘內(nèi)的概率．
20.(本小題18分)
如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 中，所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)；已知正方體 1 1 1 1的
棱長(zhǎng)為 ，點(diǎn) 滿足 = + 1，其中 ∈ [0,1]， ∈ [0,1]．

(1)若 = 1，且直線 1 與平面 1 1 所成角大小為 ，求點(diǎn) 的軌跡長(zhǎng)度； 4
(2)若 = 1， = 1，求正方體經(jīng)過點(diǎn) 1， ， 的截面面積 的取值范圍；
(3)若 = 8，求三棱錐 1 內(nèi)(不包括表面邊界)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
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21.(本小題18分)
高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為
世界三大數(shù)學(xué)家，為了紀(jì)念他，人們把函數(shù) = [ ]( ∈ )稱為高斯函數(shù)，其中[ ]表示不超過 的最大整數(shù).
已知： ( ) = ( + √ 3)
，( ∈ , ≥ 1)
(1)若 ( 1) = + √ 3 ， ， ∈ ，求 4 + 4的值；
(2)若 (1) = + √ 3 ， ， ∈ ，求證：
2
2 3
2
2 = 4 ；

(3)設(shè) = ∑2024
2024 +2024
=1 [ ]，求 除以2023的余數(shù)．
( 1) 2023
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】3.5
6.【答案】60°
7.【答案】8
2
8.【答案】
7
9.【答案】1
11
10.【答案】
8
5
11.【答案】
4
2 2 2
12.【答案】( , , )
3 3 3
13.【答案】12
14.【答案】13
15.【答案】13
16.【答案】√ 3
17.【答案】解：(1)先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為 ， ，
則基本事件總數(shù)為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種情況，
滿足事件 的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，
(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18個(gè)，
18 1
故 ( ) = = ，
36 2
滿足事件 的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，
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(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，共18個(gè)，
18 1
故 ( ) = = ，
36 2
滿足事件 的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9個(gè)，
9 1
所以 ( ) = = = ( ) ( )，
36 4
所以事件 與事件 相互獨(dú)立；
(2)滿足事件 的有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(3,1)，(3,4)，(5,6)，(5,1)，共7種，
7
所以 ( ) = ，
36
7
( ) 7
所以 ( | ) = = 36 = ，
( ) 1 18
2
18.【答案】解：(1)甲組數(shù)據(jù)為5.3，6.5，7.4，7.6，8.1，8.1，8.1，8.2，8.2，8.4，9.5，9.8，10.5，11.0，
13.8，
所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 = 8.2，
1
甲組數(shù)據(jù)的平均值為 1 = (5.3 + 6.5 + 7.4 + 7.6 + 8.1 × 3 + 8.2 × 2 + 8.4 + 9.5 + 9.8 + 10.5 + 11.0 +15
13.8) = 8.7．
1
甲組數(shù)據(jù)的方差為 2 21 = [(5.3 8.7) + (6.5 8.7)
2 + (7.4 8.7)2 + (7.6 8.7)2 + (8.1 8.7)2 × 3 +
15
(8.2 8.7)2 × 2 + (8.4 8.7)2 + (9.5 8.7)2 + (9.8 8.7)2 + (10.5 8.7)2 + (11.0 8.7)2 + (13.8
8.7)2] = 3.824．

15×8.7+15
(2)由 2 = 9.2，可得 = 9.7，
30 2
1
∑15 2 2
15 =1
8.7 = 3.824
由{ ，解得∑15 2 = 1192.71，∑15 2
1
= 1683.39，
(∑15 2
=1 =1
=1 + ∑
15 2 2 =1 ) 9.2 = 11.2330
1
所以 2 = ∑15 2
1
2 =1 9．7
2 = × 1683.39 9．72 = 18.136．
15 15
19.【答案】解：(1)第二組的頻率為1 (0.04 + 0.04 + 0.03 + 0.02 + 0.01) × 5 = 0.3，
0.3
所以第二組小矩形高為 = 0.06.補(bǔ)全后的頻率直方圖如下：
5
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200
第一組的頻率為0.04 × 5 = 0.2，所以 = = 1000．
0.2
第五組的頻率為0.02 × 5 = 0.1，所以 = 1000 × 0.1 = 100．
(2)因?yàn)閇40,50)分鐘的“ 族”人數(shù)為150 × 0.4 = 60，
[45,50)分鐘的“ 族”人數(shù)為100 × 0.3 = 30，二者比例為60：30 = 2：1，
所以按時(shí)間采用分層抽樣法抽取6人，[40,45)分鐘內(nèi)抽取4人，[45,50)分鐘內(nèi)抽取2人．
設(shè)這2人每天慢走的時(shí)間恰好1人在[40,45)分鐘，另一個(gè)人在[45,50)分鐘為事件 ，
在[40,45)分鐘內(nèi)抽取4人記為 ， ， ， ，[45,50)分鐘內(nèi)抽取2人記為 ， ，
則有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共15種不同的抽取方法，事件 有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8種，
8
所以 ( ) = ，即選出發(fā)言的2人每天慢走的時(shí)間恰好1人在[40,45)分鐘內(nèi)，
15
8
另一個(gè)人在[45,50)分鐘內(nèi)的概率為 ．
15
20.【答案】解：(1)空間直角坐標(biāo)系 中，所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，
正方體 1 1 1 1的棱長(zhǎng)為 ，點(diǎn) 滿足 = + 1，其中 ∈ [0,1]， ∈ [0,1]，
連接 1 ，
∵ 1 1 ⊥平面 1 1， 1 為 1 在平面 1 1上的射影，
∴直線 1 與平面 1 1 所成角的平面角為∠ 1 1，

由已知∠ 1 1 = ， 4
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1
則 1 = 1 1 = 1，故 點(diǎn)軌跡為以 1為圓心，1為半徑的 圓在正方形 4 1
1 內(nèi)的部分，
1
∴點(diǎn) 的軌跡長(zhǎng)度為 × 2 × 1 = ，
4 2
(2)在正方體 1 1 1 1中，以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以 ， ， 1所在的直線分別為 ， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵ = 1，
∴ (1,1,0)， (0,1,0)， 1(1,1,1)， 1(0,0,1)，
∵ = + 1， = 1，
∴ = + ，即 1 = 1，
∴ 點(diǎn)在 1上運(yùn)動(dòng)，則 (0,1, )，
過點(diǎn) 1作 1 // ，交 1與點(diǎn) ，連接 ，
∵平面 1 1//平面 1 1，
平面 1 1 ∩平面 1 = ，平面 1 1 ∩平面 1 = 1 ，
∴ // 1 ，又 1 // ，
∴在正方體中經(jīng)過點(diǎn) 1， ， 的截面為平行四邊形 1 ，如圖，
則 = (1,0, )， 1 = (1,1, 1)，
∴點(diǎn) 到 1 的距離為：
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2 1

2 2 1+ 2 √ 2
2 2 +2
= √ | | ( ) = √ 1 + ( ) = ，
| 1 | √ 3 3
∵ ∈ [0,1]，故當(dāng) 取0或1時(shí)， 取到最大值 2√ ，
3
此時(shí)截面面積的最大值為 1 22 △ = 2 × × √ 3 × √ = √ 2， 1 2 3
1
當(dāng) 時(shí)， 取到最小值√ 2 = ，
2 2
1 √ 2 √ 6
此時(shí)截面面積的最小值為2 △ = 2 × × √ 3 × = ， 1 2 2 2
∴當(dāng) = 1
√ 6
時(shí)，在正方體中經(jīng)過點(diǎn) 1， ， 的截面面積的取值范圍為[ , √ 2]． 2
(3)如圖，過 軸上的點(diǎn) 2(0,0,7)， 3(0,0,6)， 4(0,0,5)， 5(0,0,4)， 6(0,0,3)，
7(0,0,2)， 8(0,0,1)，作三棱錐 1 平行于底面 的截面，
則三棱錐 1 內(nèi)(不包括表面邊界)整點(diǎn)一定位于各截面內(nèi)，
截面 2 2 2內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，
截面 3 3 3內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，
截面 4 4 4內(nèi)的整點(diǎn)有1個(gè)，為(1,1,5)，
截面 5 5 5內(nèi)的整點(diǎn)有3個(gè)，分別為：(1,1,4)，(1,2,4)，(2,1,4)，
截面 6 6 6內(nèi)的整點(diǎn)有6個(gè)，分別為：(1,1,3)，(1,2,3)，(1,3,3)，(2,1,3)，(2,2,3)，(3,1,3)，
截面 7 7 7內(nèi)的整點(diǎn)有10個(gè)，分別為：
(1,1,2)，(1,2,2)，(1,3,2)，(1,4,2)，(2,1,2)，(2,2,2)，(2,3,2)，
(3,1,2)，(3,2,2)，(4,1,2)，
截面 8 8 8內(nèi)的整點(diǎn)有15個(gè)，分別為：
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(1,1,1)，(1,2,1)，(1,3,1)，(1,4,1)，(1,5,1)，(2,1,1)，(2,2,1)，
(2,3,1)，(2,4,1)，(3,1,1)，(3,2,1)，(3,3,1)，(4,1,1)，(4,2,1)，(5,1,1)，
∴三棱錐 1 內(nèi)(不包括表面邊界)整點(diǎn)個(gè)數(shù)為35．
21.【答案】解：(1)因?yàn)? ( 1) =

+ √ 3 ， ( ) = ( + √ 3) ，
所以當(dāng) = 4時(shí)， 44( 1) = ( 1 + √ 3) = 4 + √ 3 4，
而( 1 + √ 3)4 = ( 1 + √ 3)2( 1 + √ 3)2 = (4 2√ 3)2 = 28 16√ 3，
因?yàn)? ， ∈ ， 4 + √ 3 4 = 28 16√ 3，
所以 4 = 28， 4 = 16， 4 + 4 = 28 16 = 12．
(2)因?yàn)? ( ) = ( + √ 3)
， (1) = + √ 3 ， ， ∈ ，
則 22 3
2
2 = ( 2 √ 3 2 )( 2 + √ 3 2 ) = (1 √ 3)
2 (1 + √ 3)2 = [(1 √ 3)(1 + √ 3)]2 =
( 2)2 = 4 ．
故 2 3 2 = 4 2 2 ．

2024 +2024 (2023+1) +2023 +
(3) = = ，
( 1) 2023 ( 1) 2023
又(2023 + 1) = 02023 + 1 2023
1 + + 1 2023 +
0
2023 ，

(2023+1) 1
則 = 0 2023
1 + 1 2023
2 + + 1 + ，
2023 2023
2024
又 = + ，
2023 2023
2024 +2024
所以 = 02023 1 1
1
+ 2023
2 + + 1 + + + =
02023 1 + 12023 2 +
2023 2023 2023
1 +1+ + + ， 2023
所以當(dāng) = 2 ，(1 ≤ ≤ 1010, ∈ )，
2024 +2024 20242 +2024 2
[ ] = [ ]
( 1) 2023 2023
= [ 0 20232 1 + 1 20232 2 + + 2 1
2 +1
+ 2 + ] = 0 20232 1 + 1 20232 2 + + 2 12 2 2 2 2 2 + 2 ， 2023
其除以2023的余數(shù)為 2 12 + 2 = 2 + 2 = 4 ，
當(dāng) = 2 ，( = 1011, = 1012)時(shí)，
2024 +2024 20242 +2024 2
[ ] = [ ] = [ 0 2 1 1 2 2 2 1
2 +1
2023 2
2023 + 2 2023 + + 2 + 2 + ] =
( 1) 2023 2023
0 20232 1 + 1 2 2 2 12 2 2023 + + 2 + 2 + 1，
其除以2023的余數(shù)2022和3，
當(dāng)1 ≤ ≤ 2024且 = 2 1，(1 ≤ ≤ 1011, ∈ )時(shí)，
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2024 +2024 20242 1+2024 (2 1)
[ ] = [ ( )] = [ (
0
2 12023
2 2 + 1 2 3 2 2
2023 2 1
2023 + + 2 1 + 2 1 +
( 1) 2023
2
)] = ( 02 12023
2 2 + 1 2 32 12023 + +
2 2
2023 2 1
+ 2 )，
其除以2023的余數(shù)為2023 (4 1) = 2024 4 ，
當(dāng) = 2 1， = 1012時(shí)，
2024 +2024 20242 1+2024 (2 1)
[ 0 ] = [ ( )] = [ ( 2 12023
2 2 + 1 2 3 2 2
2023 2 1
2023 + + 2 1 + 2 1 +
( 1) 2023
2
)] = ( 0 20232 2 + 1 2 3 2 2
2023 2 1 2 1
2023 + + 2 1 + 2 + 1)，
其除以2023的余數(shù)為2021，
除以2023的余數(shù)為∑1011( 4 ) + 2022 + 3 + ∑1011 =1 =1 ( 2024 4 ) + 2021除以2023的余數(shù)，
即2024 × 1011 + 2022 + 3 + 2021 = 2024 × 1011 + 4046除以2023的余數(shù)，
又2024 × 1011 + 4046 = (2023 + 1) × 1011 + 2023 × 2 = 2023 × 1011 + 1011 + 2023 × 2其除以2023的
余數(shù)為1011．
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