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河北省唐山市玉田第一中學 2024-2025 學年高二上學期質(zhì)檢數(shù)學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.過空間三點 (1,1,0)， (1,0,1)， (0,1,1)的平面的一個法向量是( )
A. (1,1,1) B. (1,1, 1) C. (1,0,1) D. ( 1,0,1)
2.若直線過點(1,2)，點(4,2 + √ 3)，則此直線的傾斜角是( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3.已知 為空間任意一點， ， ， ， 四點中任意三點不共線，但四點共面，且 = + 2 + ，
則 的值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
4.若直線 + 2 = 0與直線 2 + + 1 = 0垂直.則 =( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. 0或 1
5.正四棱錐 的所有邊長都相等， 為 的中點，則 與 所成角的余弦值為( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
3 2 3 2
6.兩點 ( 1,0)， (0,2)，點 是圓( 2)2 + 2 = 1上任意一點，則△ 面積最小值是( )
√ 5 √ 5
A. √ 5 B. 2 C. 3 + D. 3
2 2
7.二面角的棱上有 ， 兩點，直線 ， 分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于 .已知 = 4，
= 6， = 8， = 2√ 17，則該二面角的大小為( )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
8.如圖，在四棱錐 中，底面 是邊長為1的正方形，側棱 的長為2，且
與 ， 的夾角都等于60°，若 是 的中點，則| | =( )
√ 6
A.
2
√ 6
B.
3
√ 6
C.
4
√ 6
D.
5
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知直線 ： √ 3 + 1 = 0，則( )
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A. 直線 的傾斜角為
3
√ 3
B. 直線 與兩坐標軸圍成的三角形面積為
6
C. 點(0,√ 3)到直線 的距離為1
D. 直線 關于 軸對稱的直線方程為√ 3 + 1 = 0
10.已知圓 ： 2 + 2 4 14 + 45 = 0及點 ( 2,3)，則下列說法正確的是( )
A. 點 的坐標為(2,7)
B. 點 在圓 外
1
C. 若點 ( , + 1)在圓 上，則直線 的斜率為
4
D. 若 是圓 上任一點，則| |的取值范圍為[2√ 2, 6√ 2]
11.如圖，四棱錐 中，底面 是正方形， ⊥平面 ， = ， ， 分別是 ， 的中
點， 是棱 上的動點，則( )
A. ⊥
B. 存在點 ，使 //平面
C. 存在點 ，使直線 與 所成的角為30°
D. 點 到平面 與平面 的距離和為定值
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.已知直線 外一點 ( 1,0,2)，直線 過原點 ，且平行于向量 = (0,4,2)，則點 到直線 的距離為______．
13.已知線段 的端點 ( 1,3)， (5,2)，直線 ： 2 3 = 0與線段 相交，則 的取值范圍是______．
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14.過點 (4,1)作直線 分別交 軸， 軸正半軸于 ， 兩點， 為坐標原點．當| | + | |取最小值時，直
線 的方程為______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知直線 1： + ( 2) = 0， 2： + 2 = 0，且滿足 1 ⊥ 2，垂足為 ．
(1)求 的值及點 的坐標．
(2)設直線 1與 軸交于點 ，直線 2與 軸交于點 ，求△ 的外接圓方程．
16.(本小題15分)
如圖，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 = = = 2， ， ， 分別為 ， ， 1 1的中
點．
(1)求證： //平面 1 ；
(2)求二面角 1 的余弦值．
17.(本小題15分)
已知直線 ： + + 1 = 0，點 ( 2,1)．
(1)若點 到直線 的距離為 ，求 的最大值及此時 的直線方程；
(2)當 = 2時，過點 的一條入射光線經(jīng)過直線 反射，其反射光線經(jīng)過原點，求反射光線的直線方程．
18.(本小題17分)
如圖，在三棱錐 中， = 2， = 4，△ 為正三角形， 為 的中點，∠ = ∠ = 90°．
(1)求證：面 ⊥面 ；
(2)若 為 中點，求平面 與平面 夾角的值；
(3)求點 到平面 的距離．
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19.(本小題17分)
在梯形 中， // ，∠ = 60°， = 2 = 2 = 4， 為 的中點，線段 與 交于 點，
將△ 沿 折起到△ ′的位置，使得平面 ⊥平面 ′．
(1)求證： //平面 ′；
(2)平面 與平面 ′夾角的余弦值；

(3)線段 ′上是否存在點 ，使得 與平面 ′所成角的正弦值為√ 6？若存在，求出 的值：若不存在，
8 ′
請說明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 105
12.【答案】
5
5
13.【答案】( ∞, 2] ∪ [ , +∞)
3
14.【答案】 + 2 6 = 0
1
15.【答案】解：(1)顯然 ≠ 2，可得 1 = ， = ， 2 2
由 1 ⊥ 2，
可得 1 2 = 1，
1
即( ) ( ) = 1，
2
解得 = 1，
所以直線 1： = 0，直線 2： + 2 = 0，
= 0
聯(lián)立方程組{ ，
+ 2 = 0
= 1
解得{ ，
= 1
所以點 (1,1)．
(2)由直線 1： = 0，直線 2： + 2 = 0，
可得 (0,0)， (2,0)，
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1
所以△ 的外接圓是以 為直徑的圓，可得圓心(1,0)，半徑 = | | = 1，
2
所以△ 的外接圓方程是( 1)2 + 2 = 1．
16.【答案】解：(1)證明：連接 1 ，因為 ， 分別為 ， 的中點，所以 //
在三棱柱 1 1 1中， // 1 1，
所以 // 1 1， ， ， 1， 1四點共面．
因為 // 1 1， = 1 1， ， 分別為 ， 1 1的中點，
所以 // 1 ， = 1 ，
所以四邊形 1 為平行四邊形，
所以 // 1.因為 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 //平面 1 ．
(2)由題設 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
因為 ⊥ ，
所以 ， ， 1兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系 ，
所以 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， (1,0,0)， (1,1,0)， 1(2,0,2)， 1(0,2,2)，
= (0,1,0), 1 = ( 1,1,2), 1 1 = ( 2,2,0)，
平面 的一個法向量是 = (0,0,1)，設平面 1的法向量為 = ( , , )，
= = 0
則{ ，令 = 2，得 = (2,0,1)，
1 = + + 2 = 0
設二面角 1 的平面角為 ，
| | √ 5
則 ，由圖可知 為銳角，所以 √ 5| | = = = ．
| | | | 5 5
1 = 0
17.【答案】解：(1)直線 ： + + 1 = 0，整理得( 1) + ( + 1) = 0，故{ ，
+ 1 = 0
= 1
解得{ ，故直線 恒過點 (1, 1)．
= 1
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故點 ( 2,1)到直線 的距離的最大值 = √ ( 2 1)2 + (1 + 1)2 = √ 13．
1+1 2 3
直線 的斜率為 = = ，故直線 的斜率 = ， 2 1 3 2
3 1 2
故 = ，解得 = ，
2 3
2 5
故直線 的方程為 = 0，整理得3 2 5 = 0．
3 3
(2)由于直線 恒過點 (1, 1)，當 = 2時，直線 的方程為 + 2 + 1 = 0；
點 ( 2,1)關于直線 + 2 + 1 = 0的對稱點 ( , )，
2 1+ 12
+ 2 × + 1 = 0 =
所以{ 2 2 1 ，解得{
5 ，
1
= 2 =
+2 5
由于該直線經(jīng)過原點，
1 12
所以直線的方程經(jīng)過點 ( , )和原點 (0,0)，
5 5
故反射光線的直線方程為 = 12 ，即12 + = 0．
18.【答案】解：(1) ∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ，
∴ ⊥面 ，
又 面 ，
∴面 ⊥面 ；
(2)因為 為正三角形為 中點，
所以 ⊥ ，又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 為 的中點，所以 // ， ⊥ ，
如圖以 為原點建立空間直角坐標系，
則 (0,0,0)， (0,0,√ 3)， (0,2,0)， ( 1,0,0)， ( 1,4,0)，
= (0,4,0), = (1,0, √ 3)，
顯然 = ( 1,0,0)是平面 的一個法向量，
不妨設平面 的一個法向量為 = ( , , )，
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則{
= 0 4 = 0，即{ ，取 = 1，得 = 0, = √ 3，則 = ( √ 3, 0,1)，
= 0 + √ 3 = 0
設所求夾角為 ，則 |( 1)×( √ 3)| √ 3 = |cos < , > | = = ，
1×2 2

故面 與面 的夾角為 ；
6
(3)由(2)得 = (1,2,0)，面 的一個法向量為 = ( √ 3, 0,1)，
| | √ 3
則 到面 的距離 = = ．
| | 2
19.【答案】解：(1)證明：如圖，連接 ，
∵ = 2 = 4， 為 的中點， // ，
∴ = = 2， // ，
∴四邊形 為平行四邊形，
∴ 是 ， 的中點，
∵ 是 的中點，
∴ // ，
∵ 平面 ′， 平面 ′，
∴ //平面 ′；
(2) ∵平面 ⊥平面 ′，交線為 ， ′ = ′ ， 是 的中點，
∴ ′ ⊥ ，
∵ ′ 平面 ′，
∴ ′ ⊥平面 ，
∵ ， 平面 ，
∴ ′ ⊥ ， ′ ⊥ ，
∵ ∠ = 60°， = ，
∴三角形 為等邊三角形，
∵ 是 的中點，
∴ ⊥ ，
∴ ′， ， 兩兩垂直，
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則以 為坐標原點，分別以 ， ， ′為 軸， 軸， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵ = 2 = 2 = 4，
∴ (√ 3, 0,0), ( √ 3, 2,0), ( √ 3, 0,0), ′(0,0,1)， = (0, 2,0), ′ = (√ 3, 2,1)，
設平面 ′的法向量為 = ( , , )，
= 2 = 0
則{ ，
′ = √ 3 2 + = 0
解得： = 0，令 = 1，則 = √ 3，
所以 = (1,0, √ 3)，
平面 的法向量為 = (0,0,1)，
設平面 與平面 ′的夾角為 ，
| | |(1,0, √ 3) (0,0,1)| √ 3
則 = |cos , | = = = ，
| | | | 2 2
故平面 與平面 ′
√ 3
的夾角的余弦值為 ；
2
(3)存在點 ，
理由如下：設 (0, , 1 )， ∈ [0,1]，
則 = (0, , 1 ) ( √ 3, 0,0) = (√ 3, , 1 )，
由(2)知：平面 ′的法向量為 = (1,0, √ 3)，
設 與平面 ′所成角為 ，
| | |(√ 3, ,1 ) (1,0, √ 3)| √ 6
則 = |cos , | = = =| | | | 2 8 ，
2√ 3+ 2+(1 )
2
因為 ∈ [0,1]，解得： = ，
3
1
故 = ．
′ 3
第 9 頁，共 9 頁

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