資源簡介

寧夏大學附中 2024-2025 學年高一上學期期中考試數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.集合 = {0,1,2}， = { 1,0,3}，則 ∩ =( )
A. {0,1} B. {0} C. {0,1,2} D. { 1,0,1}
2.命題“ ∈ ， 2 3 + 3 < 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 3 + 3 > 0 B. ∈ ， 2 3 + 3 ≥ 0
C. ∈ ， 2 3 + 3 > 0 D. ∈ ， 2 3 + 3 ≥ 0
3.已知 ： 1 ≤ < 3， ： ≤ 3，則 是 的( )
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
4.不等式 2 + 5 6 > 0的解集是( )
A. { | < 2或 > 3} B. { | 2 < < 3}
C. { | < 6或 > 1} D. { | 6 < < 1}
5.下列結論正確的是( )
A. 若 > ，則 > B. 若 2 > 2，則 >
C. 若 > ， < 0，則 < D. 若√ < √ ，則 >
3
6.已知函數 ( ) = 2 ，則 ( )的大致圖象為( ) +1
A. B.
C. D.
1
7.函數 = 的單調增區間為( )
4+3 2
第 1 頁，共 7 頁
3 3
A. [ , +∞) B. ( 1, ]
2 2
3 3
C. [ , 4)和(4, +∞) D. ( ∞, 1) ∪ ( 1, ]
2 2
2 1
8.若 > 0， > 0，且 + = 1， + 2 > 2 + 7 恒成立，則實數 的取值范圍是( )

A. 8 < < 1 B. < 8或 > 1
C. < 1或 > 8 D. 1 < < 8
二、多選題：本題共 4 小題，共 20 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.由 2，2 ，4組成一個集合 ，且集合 中含有3個元素，則實數 的取值不可能是( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
10.下列函數中，既是偶函數又在區間(0, +∞)上為增函數的是( )
1
A. = 2 B. = 2 + 2 C. = D. = | | + 1

11.在下列四組函數中， ( )與 ( )不表示同一函數的是( )
2 1
A. ( ) = 1， ( ) =
+1
+ 1, ≥ 1
B. ( ) = | + 1|， ( ) = {
1, < 1
C. ( ) = 1， ( ) = ( + 1)0
D. ( ) = ， ( ) = (√ )2
12.若 ( )是定義域為 的偶函數，且 ( )在[0, +∞)上為減函數，則下列選項正確的是( )
A. ( )的圖象關于 軸對稱 B. ( )在( ∞, 0)上為減函數
C. 當 = 0時， ( )取得最大值 D. ( ) < (3) < ( 2)
三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。
13.已知冪函數 = ( )的圖象經過點(4,2)，則 (2)的值為 ．
1
14.函數 ( ) = + √ 1 的定義域是______．

2 4, > 2
15.已知 ∈ ，函數 ( ) = { ，若 [ (√ 6)] = 3，則 =______．
| 3| + , ≤ 2
( 1) ( )16.已知函數 = ( )， ∈ [ 2,2]，對任意的 1、 2 ∈ [ 2,2]且
2
1 ≠ 2，總有 > 0，若 ( + 1) > 1 2
(2 )，則實數 的取值范圍是______．
四、解答題：本題共 6 小題，共 70 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
已知集合 = { | 1 < < 2}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 + 3}．
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(1)當 = 0時，求 ( ∪ )；
(2)若 ∪ = ，求實數 的取值范圍．
18.(本小題12分)

已知函數 ( ) = + ( > 0)．

(1)若 (1) = 3，求 的值；
(2)判斷函數 ( )的奇偶性并證明．
19.(本小題12分)
已知函數 ( ) = 2 + 2 + 4．
(1)若函數 ( )在區間[1,4]上是單調遞增函數，求實數 的取值范圍；
(2)若 ( ) > 0對一切實數 都成立，求實數 的取值范圍．
20.(本小題12分)
已知函數 ( )是定義在 上的奇函數，且當 ≥ 0時， ( ) = (1 )．
(1)求函數 ( )在 上的解析式．
(2)在給出的直線坐標系中，畫出函數 ( )的圖象．
(3)根據圖象寫出 ( )的單調區間(不必證明)．
21.(本小題12分)
通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間：
講授開始時，學生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態；隨后學生的注
意力開始分散．分析結果和實驗表明，用 ( )表示學生掌握和接受概念的能力( ( )的值越大，表示學生的
接受能力越強)， 表示提出和講授概念的時間(單位： )，可有以下公式：
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0.1 2 + 2.6 + 43(0 < ≤ 10)
( ) = {59(10 < ≤ 16) ．
3 + 107(16 < ≤ 30)
(1)講課開始后5 和講課開始后20 比較，何時學生的注意力更集中？
(2)講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中，能持續多久？
(3)一道數學難題，需要講解13 ，并且要求學生的注意力至少達到55，那么老師能否在學生達到所需狀
態下講授完這道題目？請說明理由．
22.(本小題12分)
定義在(0, +∞)上的函數 ( )，對任意的 ， ∈ (0, +∞)，都有 ( ) = ( ) + ( )成立，且當 > 1時，
( ) > 0．
(1)求 (1)的值；
(2)證明： ( )在(0, +∞)上為增函數；
1
(3)當 (2) = 時，解不等式 ( ) > 1 ( 3)．
2
第 4 頁，共 7 頁
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】√ 2
14.【答案】( ∞, 0) ∪ (0,1]
15.【答案】2
16.【答案】[ 1,1)
17.【答案】解：(1) = { | + 1 ≤ ≤ 2 + 3}，則 = 0時， = { |1 ≤ ≤ 3}，
∴ ∪ = { | 1 < < 2} ∪ { |1 ≤ ≤ 3} = { | 1 < ≤ 3}，
∴ ( ∪ ) = { | ≤ 1或 > 3}；
(2)若 ∪ = ，則 ，
當 + 1 > 2 + 3即 < 2時， = ，滿足 ；
當 + 1 ≤ 2 + 3即 ≥ 2時， ≠ ，
≥ 2
1
則由 ，可得{ + 1 > 1，解之得 2 < < ，
2
2 + 3 < 2
1
實數 的取值范圍為( ∞, 2) ∪ ( 2, )．
2

18.【答案】解：(1) ∵ ( ) = + ( > 0)，且 (1) = 3，

∴ 1 + = 3，解得 = 2；

(2) ( ) = + ( > 0)為奇函數．

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證明：∵ ( ) = + ( > 0)的定義域為( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，關于原點對稱，


又 ( ) = = ( + ) = ( )，

∴函數 ( )為奇函數．
19.【答案】解：(1)因為函數 ( )在區間[1,4]上是單調遞增函數，且 ( )的對稱軸為 = ，
所以 ≤ 1，解得 ≥ 1，即 的取值范圍是[ 1, +∞)．
(2)若 ( ) > 0對一切實數 都成立，
則 = 4 2 16 < 0，解得 2 < < 2，
即實數 的取值范圍是( 2,2)．
20.【答案】(1)、因為 ≥ 0時， ( ) = (1 )，所以，當 < 0時， > 0，
∴ ( ) = (1 + )，又因為 ( )為奇函數，所以 ( ) = ( )，
∴ ( ) = (1 + )，即 ( ) = (1 + )
(1 ), ≥ 0
( ) = { ．
( + 1), < 0
(2)
1 1 1 1
(3)單調增區間是( , )，單調減區間是( ∞, )和( , +∞)．
2 2 2 2
21.【答案】解：(1)由題意得， (5) = 53.5， (20) = 47 < (5)，
所以講課開始后5 學生注意力更集中；
(2)當0 < ≤ 10時， ( ) = 0.1 2 + 2.6 + 43 = 0.1( 13)2 + 59.9，
所以 ( )在(0,10]上單調遞增，最大值為 (10) = 0.1(10 13)2 + 59．
當10 < ≤ 16時， ( ) = 59；
當 > 16時，函數 ( )為減函數，且 ( ) < 59．
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因此開講10分鐘后，學生的接受能力最強(為59)，能維持6分鐘；
(3)當0 < ≤ 10時，令 ( ) = 55，解得 = 6或20(舍去)；
52
當 > 16時，令 ( ) = 55，解得 = ，
3
52 34
可得學生一直達到所需接受能力55的狀態的時間 6 = < 13，
3 3
因此老師不能及時在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題．
22.【答案】(1)解：令 = = 1，則 (1) = (1) + (1)，∴ (1) = 0；

(2)證明：設0 < 1 < 2，則
2 > 1，∴ ( 2) > 0，
1 1

∴ ( 1) ( 2) = ( 1) ( 1
2) = ( 1) ( 1) (
2) = ( 2) < 0，
1 1 1
即 ( 1) < ( 2)，
∴ ( )在(0, +∞)上為增函數；
(3)解：∵ (4) = (2) + (2) = 1，∴ ( ) + ( 3) > (4)，
∴ ( 2 3 ) > (4)，∵ ( )在(0, +∞)上為增函數，
> 0
∴ { 3 > 0 ，
2 3 > 4
解得 > 4，
所以不等式的解集為{ | > 4}．
第 7 頁，共 7 頁

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