資源簡介

山東省青島市第五十八中學(xué) 2024-2025 學(xué)年高一上學(xué)期 12 月月考數(shù)學(xué)
試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若集合 = { |√ < 4}， = { |3 ≥ 1}，則 ∩ =( )
1 1
A. { |0 ≤ < 2} B. { | ≤ < 2} C. { |3 ≤ < 16} D. { | ≤ < 16}
3 3
2.函數(shù) = 2 2 的圖象大致是( )
A. B.
C. D.

3.已知函數(shù) ( )的周期為 ，且在區(qū)間( , )內(nèi)單調(diào)遞增，則 ( )可能是( )
6 3

A. ( ) = sin( ) B. ( ) = cos( )
3 3

C. ( ) = sin(2 ) D. ( ) = cos(2 )
3 3
4.函數(shù) = log3(
2 + 2 + 15)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A. (1, +∞) B. (1,5) C. ( 3,1) D. ( ∞, 1)
1
5.若 ∈ (0, )， + = 6，則 + =( )
tan
2√ 3 2√ 3 2√ 3 2
A. B. C. ± D.
3 3 3 3
6.如圖所示，在正方形 內(nèi)， 是以 為圓心， 長為半徑的圓的一段圓
弧，且∠ = 1弧度，兩陰影部分面積分別為 1和 2，則( )
A. 1 > 2
B. 1 = 2
C. 1 < 2
D. 不確定
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7.設(shè)函數(shù) ( ) = ( + 1)2 1， ( ) = + 2 ( 為常數(shù))，當(dāng) ∈ ( 1,1)時(shí)，曲線 = ( )與 = ( )恰
有一個(gè)交點(diǎn)，則 =( )
1
A. 1 B. C. 1 D. 2
2
3 1
8.已知函數(shù) ( ) = log2(√
2 + 1 )，若對(duì)任意的正數(shù) ， ，滿足 ( ) + (3 1) = 0，則 + 的最小值

為( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列選項(xiàng)正確的是則( )
A. “| 2| ≠ 1”是“ ≠ 1”的充分不必要條件
3
B. 函數(shù) ( ) = tan(2 )圖象的對(duì)稱中心為( + , 0), ∈
4 8 2
C. 命題“ 20 > 0， 0 5 0 + 6 = 0”的否定是 > 0，
2 5 + 6 ≠ 0
4 1
D.
sin2
+ 2 的最小值為9 cos
1
10.設(shè) ∈ ，[ ]表示不超過 的最大整數(shù)，例如：[ 3.5] = 4，[2.1] = 2，已知函數(shù) ( ) = ，則下1+ 2
列敘述中正確的是( )
A. [ ( )]是偶函數(shù) B. ( )是奇函數(shù)
C. ( )在 上是增函數(shù) D. [ ( )]的值域是{ 1,0}
11.設(shè)函數(shù) ( )的定義域?yàn)?， ( + )為奇函數(shù)， ( + 2 )為偶函數(shù).當(dāng) ∈ [0, ]時(shí)， ( ) = ，則下列
結(jié)論正確的有( )
5 7
A. ( ) = 1 B. ( )在(3 , )上單調(diào)遞減
2 2
C. 點(diǎn)(8 , 0)是函數(shù) ( )的一個(gè)對(duì)稱中心 D. 方程 ( ) + = 0有5個(gè)實(shí)數(shù)解
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。

3 1 sin( )sin( + )cos( )
12.若 是第三象限角，且cos( ) = ，則 ( ) = 2 的值______．
2 5 3 cos( )cos( + )
2

13.已知函數(shù) ( ) = sin( + )( > 0)在( , )上單調(diào)遞減，則 的取值范圍是______．
6 2
4
14.已知函數(shù) ( ) = 在定義域[ , ]上為減函數(shù)，且值域?yàn)閇log +4 ( 1), log ( 1)]， 的取值
范圍______，實(shí)數(shù) 的取值范圍是______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
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15.(本小題13分)
求值：
3 1 1√ 3 0 1 4( 4) ( ) +0.252×( )
(1) 2 √ 2 ；
1 1
2 22 32 49+ 2+ 510
lg√ 27+ 8 lg√ 1000
(2) ．
1.2
16.(本小題15分)

已知函數(shù) ( ) = √ 2sin( + )( > 0,0 < < )， (0) = 1，最小正周期 ．
2
(1)求 ( )的解析式；

(2)當(dāng) ∈ [ , ]時(shí)，[ ( )]2 ( ) ≤ 0恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
8 8
17.(本小題15分)
生物愛好者甲對(duì)某一水域的某種生物在自然生長環(huán)境下的總量 進(jìn)行監(jiān)測(cè).第一次監(jiān)測(cè)時(shí)的總量為 0(單位：
噸)，此時(shí)開始計(jì)時(shí)，時(shí)間用 (單位：月)表示.甲經(jīng)過一段時(shí)間的監(jiān)測(cè)得到一組如下表的數(shù)據(jù)：
/月 0 2 8 16
/噸 2.0 4.0 6.0 7.0
為了研究該生物總量 與時(shí)間 的關(guān)系，甲通過研究發(fā)現(xiàn)可以用以下的兩種函數(shù)模型來表達(dá) 與 的變化關(guān)系：
① = √ + 0；② = ( + 1) + 0( > 0且 ≠ 1)．
(1)請(qǐng)根據(jù)表中提供的前2列數(shù)據(jù)確定兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；
(2)根據(jù)第3，4列數(shù)據(jù)，選出其中一個(gè)與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)差距較小的函數(shù)模型；甲發(fā)現(xiàn)總量 由 0翻一番時(shí)經(jīng)過了
2個(gè)月，根據(jù)你選擇的函數(shù)模型，若總量 再翻一番時(shí)還需要經(jīng)過多少個(gè)月？(參考數(shù)據(jù)： 3 ≈ 0.48， 17 ≈
1.23)
18.(本小題17分)
設(shè)函數(shù) ( ) = ( > 0且， ≠ 1， ∈ )， ( )是定義在 上的奇函數(shù)．
(1)求 的值；
3
(2)已知 (1) = ，函數(shù) ( ) = 2 + 2 4 ( )， ∈ [1,2]，求 ( )的值域；
2
(3)若 > 1， ( ) = | | | ( )|，對(duì)任意 ∈ [ , + 1]，不等式 ( + ) ≤ [ ( )]2恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值
范圍．
19.(本小題17分)
設(shè) > 0，對(duì)定義在 上的函數(shù) ( )，若存在常數(shù) ，使得 ( + ) = ( ) + 對(duì)任意 ∈ 恒成立，則稱函數(shù)
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( )滿足性質(zhì) ( )．
(Ⅰ)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì) (2)？
① 1( ) = ，② ( ) =
2
2 ，③ 3( ) = 2 + 1．
(Ⅱ)若函數(shù) ( )具有性質(zhì) ( 1)， ( 2)，其中 2 > 1 > 0，求證：函數(shù) ( )具有性質(zhì) ( 2 1)；
2023
(Ⅲ)設(shè)函數(shù) ( ) = ( ) + ( )具有性質(zhì) ( )，其中 ( )是奇函數(shù)， ( )是偶函數(shù).若 ( ) = 1，求 ( )的
2 2
值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2√ 6
12.【答案】
5
2 4
13.【答案】[ , ]
3 3
11 4√ 6
14.【答案】{ | > 4} { |0 < < }
25
3 1 1√ 3 0 1 4( 4) ( ) +0.252×( )
15.【答案】解：(1) 2 √ 21 1
2 22 32 49+ 2+ 510
1
4 1+ ×4
= 21 2 2 3
× + 2+ 5
2 3 2 2
4 1+2
= 1 = 6；
1+1
2
lg√ 27+ 8 lg√ 1000
(2)
1.2
3 3
3+3 2
= 2 2
3
= ．
2 2+ 3 1 2

16.【答案】解：(1)因?yàn)?( ) = √ 2sin( + )( > 0,0 < < )， (0) = 1，最小正周期 ．
2
2
所以 = ，所以 = 2；

所以 (0) = √ 2 = 1，
√ 2
所以 = ，
2

又因?yàn)? < < ，
2
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所以 = ，
4

所以 ( ) = √ 2sin(2 + )；
4

(2)當(dāng) ∈ [ , ]時(shí)，則2 + ∈ [0, ]，
8 8 4 2

所以sin(2 + ) ∈ [0,1]，
4

所以 ( ) = √ 2sin(2 + ) ∈ [0, √ 2]；
4
令 = ( ) ∈ [0, √ 2]，
則有 2 ≤ 0在 ∈ [0, √ 2]上恒成立，
2 1
即 ≥ = ( + 1) + 2在 ∈ [0, √ 2]上恒成立，
+1 +1
令 = + 1 ∈ [1,1 + √ 2]，
1
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知 = + 2在 ∈ [1,1 + √ 2]上單調(diào)遞增，

1 1
所以( + ) = 1 + √ 2 + 2 = 2√ 2 2， 1+√ 2
所以 ≥ 2√ 2 2，
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍為[2√ 2 2, +∞)．
2 = 0 = 2
17. 0【答案】解：(1)由已知將前2列數(shù)據(jù)代入解析式①有{ ，解得：{ ,
4 = √ 2 + 0 = √ 2
∴ ① = √ 2 + 2；
2 = = 2
將前2列數(shù)據(jù)代入解析式②有{ 0 ，解得：{ 0 ，
4 = 3 + 0 = 2 3
( +1)
∴ ② = 2 3 ( + 1) + 2 = 2
3
3 + 2 = 2 3( + 1) + 2． 3
(2)當(dāng) = 8時(shí)，模型① = 4 + 2 = 6，模型② = 2 39 + 2 = 6；
2 17
當(dāng) = 16時(shí)，模型① = 4√ 2 + 2 ≈ 7.66，模型② = 2 317 + 2 = + 2 ≈ 7.13； 3
∴選模型②，
當(dāng)總量 再翻一番時(shí)有：8 = 2 3( + 1) + 2，解得 = 26，
即再經(jīng)過26 2 = 24個(gè)月時(shí)，總量 能再翻一番．
18.【答案】解：(1) ∵ ( ) = 是定義域?yàn)?上的奇函數(shù)，故 (0) = 0，得 = 1，
此時(shí)， ( ) = ， ( ) = = ( )，
即 ( )是 上的奇函數(shù)．
(2) = 1，即2 2 3 2 = 0，
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1
= 2或 = (舍去)，
2
∴ ( ) = 22 + 2 2 4(2 2 )2 4(2 2 ) + 2，
令 = 2 2 (1 ≤ ≤ 2)，
3 15
易知 = ( )在[1,2]上為增函數(shù)，∴ ∈ [ , ]，
2 4
∴ ( ) = ( ) = 2 4 + 2 = ( 2)2 2，
15 17
當(dāng) = 時(shí)， ( )有最大值 ；
4 16
當(dāng) = 2時(shí)， ( )有最小值 2，
17
故 ( )的值域是[ 2, ]．
16
| | , ≥ 0,(3)由 > 1, ( ) = | ( )| = {

，
, < 0,
則 ( )為偶函數(shù)，且 ( )在( ∞, 0)單調(diào)遞增，在(0, +∞)單調(diào)遞減，
2 , ≥ 0 2 , ≥ 0
又[ ( )]2 = { 2 ， (2 ) = { 2 ， , < 0 , < 0
∴ ( + ) ≤ [ ( )]2 = (2 )，
對(duì)任意 ∈ [ , + 1]恒成立，即|2 | ≤ | + |對(duì)任意 ∈ [ , + 1]恒成立，
平方得：3 2 2 2 ≤ 0對(duì) ∈ [ , + 1]恒成立，
3 2 2 2 ≤ 0
∴ { ，
3( + 1)2 2 ( + 1) 2 ≤ 0
3
解得： ≤ ，
4
3
綜上可得： 的取值范圍是( ∞, ]．
4
19.【答案】解：(1)①因?yàn)?1( + 2) = sin[ ( + 2)] = = 1( )，所以 1( )具有性質(zhì) (2)；
②因?yàn)?2( + 2) = ( + 2)
2 = 2 + 4 + 4 ≠ 2( ) + ，所以 2( )不具有性質(zhì) (2)；
③ 3( + 2) = 2( + 2) + 1 = 3( ) + 4，所以具有性質(zhì) (2)．
(2)因?yàn)楹瘮?shù) ( )具有性質(zhì) ( 2)，則存在常數(shù) 2使得 ( + 2) = ( ) + 2對(duì)任意 ∈ 恒成立．
因?yàn)楹瘮?shù) ( )具有性質(zhì) ( 1)，則存在常數(shù) 1使得 ( + 1) = ( ) + 1對(duì)任意 ∈ 恒成立，
故 ( 1 + 1) = ( 1) + 1，即 ( 1) = ( ) 1也對(duì)任意 ∈ 恒成立，
因此 ( + 2 1) = ( + 2) 1 = ( ) + 2 1對(duì)任意 ∈ 恒成立．
又因?yàn)?2 > 1 > 0，
所以函數(shù) ( )具有性質(zhì) ( 2 1).
(3)由已知存在 滿足 ( + ) = ( ) + ，即 ( + ) + ( + ) = ( ) + ( ) + ，
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令 = ，則 ( + ) + ( + ) = ( ) + ( ) + ①，
令 + = ，則 ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ②，
因?yàn)?( )是奇函數(shù)， ( )是偶函數(shù)，
所以 ( ) = ( )， ( ) = ( )， ( ) = ( + )， ( ) = ( + )，
① + ②，整理得 ( + ) = ( ) + ，

令 = ，則 ( ) = ( ) + ，即 ( ) = ，
2 2 2 2 2

又因?yàn)?( ) = 1，所以 = 2，
2
2033
所以 ( ) = (1011 + ) = (1010 + ) + 2 = = 1011 × 2 + ( ) = 2023．
2 2 2 2
第 8 頁，共 8 頁

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