資源簡(jiǎn)介

四川省涼山州寧南中學(xué) 2024-2025 學(xué)年高一上學(xué)期期末模擬考數(shù)學(xué)試
卷（一）
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合 = { | 3 < < 0}， = { | 1 ≤ ≤ 1}，則圖中陰影部分表
示的集合為( )
A. [ 1,1) B. ( 3, 1)
C. ( ∞, 3] ∪ [ 1, +∞) D. ( 3,1]
1
2.設(shè) = ( ) 0.9， = 40.8

， = 4(sin )，則 ， ， 的大小關(guān)系為( ) 4 2
A. > > B. > > C. > > D. > >
√ 3
3.“ = 2 + ( ∈ )”是“ = ”的( )
3 2
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
3
4.設(shè)函數(shù) ( ) = 2─2，用二分法求 ( ) = 0的一個(gè)近似解時(shí)，第1步確定了一個(gè)區(qū)間為(1, )，到第3步時(shí)，
2
求得的近似解所在的區(qū)間應(yīng)該是( )
3 5 3 11 3 11 23
A. (1, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
2 4 2 8 2 8 16
5.若關(guān)于 不等式 2 + + ≥ 0的解集為[ 2,3]，則關(guān)于 不等式 2 + + ≥ 0的解集為( )
1 1 1 1
A. [ , ] B. [ , ]
2 3 3 2
1 1 1 1
C. ( ∞, ] ∪ [ , +∞) D. ( ∞, ] ∪ [ , +∞)
2 3 3 2

6.已知函數(shù) ( ) = 2 6 + 3( > 0且 ≠ 1)的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn) ，且點(diǎn) 在角 的終邊上，則 =( )
sin +cos
1 1
A. B. 0 C. 7 D.
7 7
2 3
7.已知函數(shù) ( ) = 2 ，則其圖象大致是( ) 1
第 1 頁(yè)，共 8 頁(yè)
A. B.
C. D.
8.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，保障師生安全，學(xué)校決定每天對(duì)教室進(jìn)行
消毒工作，已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)空氣中的含藥量 ( / 3)與時(shí)間
1
( )成正比(0 < < )；藥物釋放完畢后， 與 的函數(shù)關(guān)系式為 =
4
1
( )
1
( 為常數(shù)， ≥ )，據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到
4 4
0.5( / 3)以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，則學(xué)校應(yīng)安排工作人員至少提前
( )分鐘進(jìn)行消毒工作
A. 25 B. 30 C. 45 D. 60
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列說(shuō)法正確的是( )
3
A. ( ) = √ 3與 ( ) = 是同一函數(shù)
B. 已知 ( + 1) = 2 + ，則 (1) + ( 1) = 0
C. 對(duì)于任何一個(gè)函數(shù)，如果因變量 的值不同，則自變量 的值一定不同
1
D. 函數(shù) ( ) = 在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)

10.設(shè)正實(shí)數(shù) 、 滿(mǎn)足 + = 2，則下列說(shuō)法正確的是( )
2
A. + 的最小值為3 B. 的最大值為1

C. √ + √ 的最小值為2 D. 2 + 2的最小值為2
11.如圖， ， 是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為(1,0)，∠ = 60°，質(zhì)
點(diǎn) 以1 / 的角速度按逆時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn) 以2 / 的角速
度按順時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上運(yùn)動(dòng)，則( )
第 2 頁(yè)，共 8 頁(yè)

A. 經(jīng)過(guò)1 后，∠ 的弧度數(shù)為 + 3
3
7
B. 經(jīng)過(guò) 后，扇形 的弧長(zhǎng)為
12 12

C. 經(jīng)過(guò) 后，扇形 的面積為
6 3
5
D. 經(jīng)過(guò) 后， ， 在單位圓上第一次相遇
9
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生
動(dòng)、極富書(shū)卷氣.如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形 截去同心扇形
所得圖形，已知 = 0.1 ， = 0.4 ，∠ = 125°，則該扇環(huán)形
磚雕的面積為_(kāi)_____ 2．

+ , < 0
13.已知函數(shù) ( ) = { 2 在 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為_(kāi)_____．
, ≥ 0
14.已知關(guān)于 的方程 2 ( + 1) + 4 2 = 0的兩根分別在區(qū)間(0,1)，(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為
______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 60 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知集合 = { | + 1 ≤ ≤ 2 + 1}，函數(shù) = 3(
2 3 10)的定義域?yàn)?．
(1)若集合 = ，求集合 ；
(2)在(1)條件下，若 = 3，求( ) ∩ ；
(3)在(1)條件下，若“ ∈ ”是“ ∈ ”充分不必要條件，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
16.(本小題12分)
cos( + )
已知 ( ) = ．
sin(2 + )
31
(1)化簡(jiǎn) ( )并求 ( )的值；
3
1
(2)若 ∈ (0, )且 ( ) + ( ) = ，求sin2 cos2 的值；
2 5
√ 3
(3)已知 ( ) = ，求sin( + )的值．
6 3 3
第 3 頁(yè)，共 8 頁(yè)
17.(本小題12分)
1
已知函數(shù) ( ) = 1 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其中 為常數(shù)．
1
2
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)當(dāng) ∈ [2, +∞)時(shí)， ( ) > 1( + )恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
2
18.(本小題12分)
已知 ( )， ( )分別為定義在 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且 ( ) + ( ) = 2 ．
(1)求 ( )和 ( )的解析式；
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明 ( )在區(qū)間[0, ∞)上是增函數(shù)；
(3)已知 ( ) = 4 2( ) 4 ( ) + 9，其中 是大于1的實(shí)數(shù)，當(dāng) ∈ [0, log2 ]時(shí)， ( ) ≥ 0，求實(shí)數(shù) 的
取值范圍．
19.(本小題12分)
已知定義域?yàn)? = ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)的函數(shù) ( )滿(mǎn)足對(duì)任意 1， 2 ∈ ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，都有 ( 1 2) =
1 ( 2) + 2 ( 1).
(1)求證： ( )是奇函數(shù)；
( )
(2)設(shè) ( ) = ，且 > 1時(shí) ( ) < 0，

①求證： ( )在(0, +∞)上是減函數(shù)；
②求不等式 (2 1) > (3 )的解集．
第 4 頁(yè)，共 8 頁(yè)
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】
12
13.【答案】(1,2]
1
14.【答案】(0, )
4
15.【答案】解：(1)由函數(shù) = 3(
2 3 10)的定義域?yàn)?，可得 2 3 10 > 0，
即( + 2)( 5) > 0，解得 < 2或 > 5，所以集合 = { | < 2或 > 5}，
所以 = = { | 2 ≤ ≤ 5}．
(2)當(dāng) = 3時(shí)，集合 = { |4 ≤ ≤ 7}，可得 = { | < 4或 > 7}，
因?yàn)? = { | 2 ≤ ≤ 5}，所以( ) ∩ = { | 2 ≤ < 4}．
(3)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要條件，所以 是 的真子集，
當(dāng) + 1 > 2 + 1時(shí)，即 < 0時(shí)，此時(shí) = ，滿(mǎn)足 是 的真子集；
2 + 1 ≥ + 1
當(dāng) ≠ 時(shí)，則滿(mǎn)足{2 + 1 ≤ 5 且不能同時(shí)取等號(hào)，解得0 ≤ ≤ 2，
+ 1 ≥ 2
綜上，實(shí)數(shù) 的取值范圍為( ∞, 2]．

16.【答案】解：(1)由誘導(dǎo)公式可知 ( ) = = ，
sin
31 31 1
則 ( ) = cos( ) = cos = ；
3 3 3 2
1
(2)由(1)得 ( ) + ( ) = cos( ) = = ，
2 2 5
第 5 頁(yè)，共 8 頁(yè)
1
可得 + = ，
5
2 1則( + ) = 1 + 2 = ，
25
12
解得 = ，
25
又 ∈ (0, )，則 > 0， < 0，
49
所以( )2 = sin2 + cos2 2 = ，
25
7
可得 = ，
5
7
所以sin2 cos2 = ( + )( ) = ；
25
(3)由已知(1)得 ( ) = ，
√ 3 √ 3
所以 ( ) = cos( ) = ，可得cos( ) = ，
6 6 3 6 3
√ 3
所以sin( + ) = sin[ ( )] = cos( ) = ．
3 2 6 6 3
1
17.【答案】解：( ) ∵函數(shù) ( ) = 1 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故 ( )為奇函數(shù)，
1
2
1+ 1 1
∴ ( ) = ( )，∴ 1 = 1 = 1 ，
1 1 1
2 2 2
1+ 1
∴ = ，∴ 1 2 2 = ( 1)( 1)，即(1 2) 2 = 0，
1 1
∴ 2 = 1，∴ = 1(函數(shù)無(wú)意義，舍去)，或 = 1．
( )當(dāng) ∈ [2, +∞)時(shí)， ( ) > 1( + )恒成立，
2
+1 +1 +1
即 1 > 1( + ) 恒成立，∴ < + > 恒成立，
1 1 1
2 2
2
即 > + 1，在 ∈ [2, +∞)恒成立．
1
2
令 ( ) = + 1，可得 ( )在[2, +∞)單調(diào)遞減，
1
∴ > ( ) ，∴ > (2) = 1，
∴ ∈ (1, +∞)．
18.【答案】解：(1) ( )， ( )分別為定義在 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
所以 ( ) = ( )， ( ) = ( )，
( ) + ( ) = 2 ①，
( ) + ( ) = ( ) ( ) = 2 ②，
第 6 頁(yè)，共 8 頁(yè)
1 1
由①②可知， ( ) = (2 + 2 )， ( ) = (2 2 )；
2 2
1 1
(2)證明：取 1 > 2 ≥ 0， ( 1) (
1 1 2 2
2) = (2 + 2 ) (2 + 2 ) 2 2
2 2 2
1
2
1 2
1 2 2+2 1 2 2 2 2 + + 2 12 1 2 2
2 1
= = = (1 + )， 2 2 2 2 1 2
1
因?yàn)?1 > 2 ≥ 0，所以2
1 2 2 > 0，2 1+ 2 > 1，1 + > 0， 2 1 2
所以 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)， ( )在區(qū)間[0, ∞)上是增函數(shù)，得證；
(3)由已知 ( ) = 4 2( ) 4 ( ) + 9，
2 +2 2 +2
( ) = 4 ( )2 4 ( ) + 9 = (2 + 2 )2 2 (2 + 2 ) + 9，
2 2
由(2)得 ( )在[0, log2 ]上單調(diào)遞增，
1
+
∴ > 1， ( ) ∈ [1, ]，
2
1
設(shè) = 2 + 2 = 2 ( ) ∈ [2, + ]，

令 ( ) = 2 2 + 9 ≥ 0，
1 9 1
∵ > 0，∴ ≤ ( + )， ∈ [2, + ]，
2
1 9
而函數(shù) = ( + )，在 ∈ [2,3]上遞減，在 ∈ [3, +∞]遞增，
2
1 3+√ 5 1 9 1 9
①當(dāng) + ≤ 3時(shí)，1 < ≤ < 3， ( + ) ≥ √ × = 3，顯然成立，
2 2 2
3+√ 5
即1 < ≤ ；
2
1 3+√ 5 1 9
②當(dāng) + > 3時(shí)， > ， = (3 + ) = 3，∴ ≤ 3， 2 2 3
3+√ 5
即 < ≤ 3；
2
綜上所述，實(shí)數(shù) 的取值范圍是(1,3]．
1
19.【答案】解：(1)取 1 = 2 = 1，可得 (1) = 0，取 1 = 2 = 1，可得 ( 1) = (1) = 0． 2
取 1 = ， 2 = 1，可得 ( ) = ( ) + ( 1) = ( )．
∴ ( )是奇函數(shù)．
( )
(2)① ∵ ( )是奇函數(shù)， ( ) = 是偶函數(shù)，

由 ( 1 2) = 1 ( 2) + 2 ( 1).可得有 ( 1 2) = ( 2) + ( 1).

設(shè) 1 > 2 > 0，則
1 > 1， > 1時(shí) ( ) < 0，可得 ( 1) < 0．
2 2
第 7 頁(yè)，共 8 頁(yè)
1 1
∴ ( 1) = ( 2
) = ( 2) + ( ) < ( 2).
2 2
∴ ( )在(0, +∞)上是減函數(shù)；
2 1 ≠ 0
② ∵ ( )是偶函數(shù)且在(0, +∞)上是減函數(shù)，∴不等式 (2 1) > (3 )的解集 {3 ≠ 0 ．
|2 1| < |3 |
1
≠
2 1 1 1
{ ≠ 0 < 1或> 或 < <
2 5 2
1
> 或 < 1
5
1 1 1
∴不等式 (2 1) > (3 )的解集為( ∞, 1) ∪ ( , ) ∪ ( , +∞)．
5 2 2
第 8 頁(yè)，共 8 頁(yè)

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