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專題三： 解答題 寒假提高練 2024--2025學年
初中數學人教版七年級上冊（新教材）
1．計算：．
2．化簡：
3．解方程：．
4．定義一種新運算“☆”，規定有理數，例如．
(1)計算：；
(2)計算：；
(3)根據（1）（2）的結果直接寫出與之間的關系．
5．已知：A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2+xy﹣1．若3A+6B的值與x的值無關，求y的值．
6．已知關于x的方程的解與方程的解互為相反數，求m的值．
7．2022年9月，第56屆世乒賽在成都舉行．某工廠加工一批比賽用乒乓球，按國際比賽規定要求乒乓球的直徑標準為，但是實際生產的乒乓球直徑可能會有一些偏差．隨機抽查檢驗該批加工的10個乒乓球直徑檢驗記錄如下．（“＋”表示超出標準，“－”表示不足標準）
序號 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
直徑 0 0.3 0.1 0.2
(1)其中偏差最大的乒乓球直徑是________；
(2)若誤差在“”以內的球可以作為良好產品，這些乒乓球的良好率是________；
(3)這10個乒乓球平均每個球的直徑是多少毫米？
8．如圖所示，點、在線段上，點、分別是、的中點．
（1）設，求線段的長；
（2）設，，用表示線段的長．
9．數軸上點A，B的位置如圖所示，若點A表示的數為，且，已知動點P，Q分別從A，B兩點同時出發，都向右運動，點P的速度為每秒2個單位長度，點Q的速度為每秒1個單位長度，當點P與點Q重合時，P，Q兩點停止運動，設運動的時間為ts．

(1)點B表示的數為______，線段的中點表示的數為______；
(2)當時，求t的值（提示：先分別表示出運動后點P，Q表示的數）
10．已知與互補，射線平分，設，．
(1)如圖1，在的內部，當與互余時，求的值；
(2)如圖2，在的外部，，求與滿足的等量關系．（提示：分別用含的式子表示出與的度數）
11．如圖，線段，動點P從A出發，以每秒2個單位的速度沿射線運動，運動時間為t秒（），M為的中點．
(1)用含t的代數式表示的長度為_________．
(2)在點運動的過程中，當t為多少時，？
(3)在點運動的過程中，點N為的中點，證明線段的長度不變，并求出其值．
(4)當點在延長線上運動時，當、、三點中的一個點是以另兩個點為端點的線段中點時，直接寫出t值．
12．如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為 ．
(1)畫出關于x軸對稱的；
(2)點的坐標為 　 ，點的坐標為　 ；
(3)點與點Q關于y軸對稱，若，求點P的坐標．
13．某醫院為改善醫療服務水平，計劃為門診樓患者等候區添置A，B兩種規格的六座聯排靠椅38套；對于同類商品，采購部比較了實體店和電商平臺的購買方式，具體情況列表如下：
渠道 實體店 電商平臺
規格 A B A B
單價（元/套） 260 290 220 260
運費（元/套） 0 0 20 20
(1)若在實體店購買A，B兩種聯排靠椅共花費10270元，求A，B兩種聯排靠椅各購買了多少套；
(2)若在電商平臺購買A，B兩種聯排靠椅38套．
①設購買A種聯排靠椅m套，用含m的式子表示購買A，B兩種聯排靠椅的總費用；
②若購買A種聯排靠椅的套數不大于總套數的，當m取最大正整數時，求購買A，B兩種聯排靠椅的總費用．
14．為了豐富校園體育生活，某學校準備舉行運動會，學校需要采購秩序冊x份，他們的報價相同．
甲廠的優惠條件是：按每份定價6元的八折收費，另收500元制版費；乙廠的優惠條件是：每份定價6元的價格不變，而500元的制版費四折優惠．問：
(1)請用含x的式子表示，到甲廠采購需要支付________元，到乙廠采購需要支付________元；
(2)當印制200份秩序冊時，選哪個印刷廠所付費用較少，為什么？
15．思行中學利用寒假期間對教室內墻進行粉刷，現有甲，乙兩個工程隊都想承包這項工程，已知甲工程隊每天能粉刷3間教室，乙工程隊每天能粉刷2間教室，若單獨粉刷所有教室，甲工程隊比乙工程隊要少用10天，在粉刷過程中，該學校要付甲工程隊每天費用2500元，付乙工程隊每天費用2000元．
(1)求思行中學一共有多少間教室？
(2)若先由甲，乙兩個工程隊合作一段時間后，乙工程隊停工了，甲工程隊單獨完成剩余部分．且甲工程隊的全部工作時間是乙工程隊的工作時間的2倍還多4天，求甲工程隊共粉刷多少天？
(3)經學校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程隊單獨完成；方案二：由乙工程隊單獨完成；方案三：按（2）的方式完成；請你通過計算幫學校看看哪種粉刷方案最省錢．
16．如圖，直線 、 相交于點，，若，，求的度數．
17．（1）我們曾解決過這樣的問題：如圖1，點O在直線上，，分別平分，，可求得______．
【問題改編】點O在直線上，，平分．
（2）如圖2，若，求的度數；
（3）將圖2中的按圖3所示的位置進行放置，寫出與度數間的等量關系，并寫明理由．
18．如圖，點O在直線上，是的平分線，．
(1)和___________互為余角，和___________互為補角．
(2)若，求的度數．
(3)若，則的度數為_________°（用含m的式子表示）．
19．數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值，記作，數軸上表示數的點與表示數的點的距離記作，如數軸上表示數5的點與表示數7的點的距離為，表示數軸上表示數5的點與表示數的點的距離，表示數軸上表示數的點與表示數5的點的距離．根據以上材料回答下列問題：
(1)①若，則_____，
②，則的取值為_____；
(2)最小值為_____；
(3)求的最小值，并求出此時的取值范圍．
20．如圖，在數軸上A點表示數a，B點表示數b，AB表示A點和B點之間的距離，且a、b滿足．
(1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ；
(2)若數軸上存在一點C，且AC＝2BC，求C點表示的數；
(3)若在原點O處放一擋板，一小球甲從點A處以1個單位/秒的速度向左運動，同時另一小球乙從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點）以原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為t（秒）．
①分別表示甲、乙兩小球到原點的距離（用t表示）；
②求甲、乙兩小球到原點的距離相等時經歷的時間．
參考答案：
1．
解：原式
．
2．
解：原式=
=
3．
解：去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
系數化為，得．
4．(1)
(2)16
(3)與互為相反數
（1）
；
（2）
；
（3）；
，
故與互為相反數．
5．y＝．
解：3A+6B
＝3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2+xy﹣1）
＝（15y﹣6）x﹣9，
∵3A+6B的值與x的值無關，
∴15y﹣6＝0，
解得：y＝．
6．
解：解方程，得．
因為方程的解與方程的解互為相反數，
所以，
解得．
7．(1)
(2)50%
(3)毫米
（1）解：列表中絕對值最大的數是，
，
即偏差最大的乒乓球直徑是，
故答案為：；
（2）解：列表中絕對值小于的數有5個，
，
即這些球的良好率是，
故答案為：50；
（3）解：
，
即這10個乒乓球平均每個球的直徑是毫米．
8．（1）；（2）
解：∵點、分別是、的中點，∴，，
（1）∵，而，
∴，
∴ ，
∴，
即；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
9．(1)
(2)的值是或13
（1）解：∵點表示的數為，點在原點的右側，
∴，
∴表示的數是6，
∴線段的中點表示的數為，
故答案為：；
（2）設運動的時間為，則運動后表示的數是表示的數是，
解得或，
答：的值是或13．
10．(1)
(2)
（1）∵與互余，
∴，
∵與互補，延長于F．
，
，
∴，
，
．
（2）∵，
∴，
∵射線平分，
∴，
∵與互補，
∴，
∴，
11．(1)；
(2)或；
(3)證明見解析，值為12．
(4)t為18或9．
（1）解：如解圖1，當點在點左側，，
如解圖2，當點P在B點右側，，
∴，
∵，，
∴
（2）∵是線段的中點，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得或；
∴當或秒時， ；
（3）如解圖1，當點P在B點左側，即點P在線段上運動時，
∵是線段的中點，
∴，
∵是線段的中點，
∴，
∴，
∵的長度是一個常數，
∴的長度不變，其值為；
如解圖2，當點在點右側，即點P在延長線上運動時，
∵N是線段的中點，
∴，
∵是線段的中點，
∴，
∴，
∵的長度是一個常數，
∴的長度不變，其值為；
（4）由題意可知，不可能是的中點．
如果是的中點，那么，
∴，
解得，符合題意；
如果B是的中點，那么
∴，
解得，符合題意；
綜上，在P點的運動過程中，存在這樣的t的值，使M、N、B三點中的一個點是以其余兩點為端點的線段的中點，此時t為18或9．
12．(1)圖見解析
(2)，
(3)點P的坐標為（4，2）或（﹣4，﹣6）
（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：由圖可知，，，
故答案為：，；
（3）解：∵點與點關于軸對稱，
∴點的坐標為，
又∵，
∴，
∴或，
∴當時，；當時，，
∴點的坐標為或．
13．(1)購買種聯排靠椅25套，種聯排靠椅13套
(2)①購買兩種聯排靠椅的總費用為元；②購買兩種聯排靠椅的總費用為10160元
（1）解：設購買種聯排靠椅套，則購買種聯排靠椅套，
根據題意，得：，
解得：，
答：購買種聯排靠椅25套，種聯排靠椅13套；
（2）①設共花費元，根據題意，得：
答：購買兩種聯排靠椅的總費用為元；
②根據題意，得：且為最大正整數，
購買兩種聯排靠椅的總費用為(元)．
答：購買兩種聯排靠椅的總費用為10160元．
14．(1)
(2)選乙廠的付費較少，見解析
（1）解：甲廠的總費用：（元）．
乙廠的總費用：（元）．
故答案為：．
（2）當印制200份秩序冊時，
甲廠的總費用：（元）．
乙廠的總費用：（元）．
，
答：選乙廠的付費較少．
15．(1)思行中學一共有個教室
(2)甲工程隊共粉刷天
(3)選擇方案一是最省錢的粉刷方案
（1）解：設乙工程隊要刷天，則思行中學一共有個教室，
由題意得：，
解得：，
，
答：思行中學一共有個教室；
（2）解：設乙工程隊的工作時間為天，則甲工程隊的工作時間天，
由題意得：，
解得：，
，
答：甲工程隊共粉刷天；
（3）解：方案一：由甲工程隊單獨完成需（天），
費用為（元）；
方案二：由乙工程隊單獨完成需要天，
費用為（元）；
方案三：按（2）方式完成，
費用為（元），
，
方案一最合適，
答：選擇方案一是最省錢的粉刷方案．
16．，過程見詳解
解：，，
，
又，，
，
，
，
又，
．
17．（1）；（2）；（3），理由見解析．
解：（1），，分別平分，，
，
，
故答案為：；
（2），
．
，
．
．
平分，
．
；
（3）設．
則．
平分，
．
，
．
按圖3所示的位置放置時，與度數間的等量關系為：．
18．(1)，
(2)
(3)
（1）解：∵，
∴，，
∴和互為余角，和互為補角；
故答案為：；；
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∵和互為余角，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∵和互為余角，
∴，
故答案為：．
19．(1)①5或；②
(2)4
(3)15，當時其和取得最小值
（1）解：①表示數軸上表示x的點到的距離為3，
或，
解得或，
故答案為：5或．
②，表示的意義是數軸上表示x的點到表示3和兩點的距離之和為5，可得，
故答案為：．
（2）解：表示的意義是數軸上表示x的點到表示，和三點的距離之和，
，當時取得最小值4，
，當時為0，
當時，取得最小值，
其最小值為：，
故答案為：；
（3）解：表示的意義是數軸上表示x的點到表示的點的距離，個表示x的點到表示的點的距離，個表示x的點到表示的點的距離，個表示x的點到表示的點的距離，個表示x的點到表示的點的距離之和，
相當于有個分段點，
第8個分段點是2023，
當時其和取得最小值，
即．
20．(1)－1，3，4
(2)或
(3)①甲：；乙：或；②秒或秒
（1）因為，
所，
所以；
所以AB的距離＝，
故答案為：－1，3，4；
（2）設數軸上點C表示的數為c．
因為，
所以，即．
因為，
所以點C不可能在BA的延長線上，則C點可能在線段AB上和線段AB的延長線上．
①當C點在線段AB上時，則有，
得，解得；
②當C點在線段AB的延長線上時，則有，
得，解得．
故當時，或；
（3）①因為甲球運動的路程為：，
所以甲球與原點的距離為：；
乙球到原點的距離分兩種情況：
（I）當時，乙球從點B處開始向左運動，一直到原點O，
因為，乙球運動的路程為：，
所以乙球到原點的距離為：；
（I I）當時，乙球從原點O處開始一直向右運動，此時乙球到原點的距離為：；
②當時，得，
解得；
當時，得，
解得．
故當秒或秒時，甲乙兩小球到原點的距離相等．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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