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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第四章因式分解綜合題（培優(yōu)）
一、單選題
1．下列二次三項(xiàng)式中，不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列因式分解正確的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知是完全平方式，則的值為（　　）
A． B． C． D．
5．下列因式分解正確的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列等式，從左到右的變形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列等式中，從左到右的變形中是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列因式分解正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9．對(duì)任意代數(shù)式，每個(gè)字母及其左邊的符號(hào)（不包括括號(hào)外的符號(hào)）稱為一個(gè)數(shù)，如：，其中稱為“數(shù)1”，為“數(shù)2”，為“數(shù)3”，為“數(shù)4”，為“數(shù)5”，若將任意兩個(gè)數(shù)交換位置，則稱這個(gè)過(guò)程為“換位思考”，例如：對(duì)上述代數(shù)式的“數(shù)1”和“數(shù)5”進(jìn)行“換位思考”，得到：，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①代數(shù)式進(jìn)行一次“換位思考”，化簡(jiǎn)后只能得到1種結(jié)果②代數(shù)式進(jìn)行一次“換位思考”，化簡(jiǎn)后可能得到5種結(jié)果③代數(shù)式進(jìn)行一次“換位思考”，化簡(jiǎn)后可能得到7種結(jié)果④代數(shù)式進(jìn)行一次“換位思考”，化簡(jiǎn)后可能得到8種結(jié)果
A．0 B．2 C．3 D．4
10．已知關(guān)于的整式，其中，，，，為整數(shù)，且，下列說(shuō)法：①的項(xiàng)數(shù)不可能小于等于3；②若，則不可能分解為一個(gè)整式的平方；③若，且，，，，均為正整數(shù)，則滿足條件的共有4個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空題
11．已知，，則代數(shù)式的值為　 　．
12．因式分解：　 　.
13．分解因式：m3-16m= 　 　
14．分解因式：
（1）　 　；
（2）　 　；
（3）　 　；
（4）　 　；
（5）　 　.
15．我們規(guī)定：若一個(gè)四位自然數(shù)各個(gè)數(shù)位均不為零，且千位與百位的積等于十位與個(gè)位的和，千位與十位的和為10，則稱這個(gè)四位自然數(shù)為“加乘數(shù)”．例如：2786，滿足，且，所以2786是“加乘數(shù)”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“加乘數(shù)”為；將一個(gè)“加乘數(shù)”M的千位與十位對(duì)調(diào)、百位與個(gè)位對(duì)調(diào)，得到新的數(shù)記為N，若能被11整除，則滿足條件的M的最大值與最小值的差為．
16． 大長(zhǎng)方形中按如圖所示的方式擺放五個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形，若一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為，陰影部分的面積為20，則大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為　 　．
三、計(jì)算題
17．因式分解（1）、利用因式分解簡(jiǎn)便計(jì)算（2）：
（1）
（2）
18．因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．定義：任意兩個(gè)數(shù)a，b，按規(guī)則運(yùn)算得到一個(gè)新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為a，b的“和積數(shù)”．
（1）若，，求a，b的“和積數(shù)”c；
（2）若，，求a，b的“和積數(shù)”c；
（3）已知，且a，b的“和積數(shù)”，求b（用含x的式子表示）并計(jì)算的最小值．
四、解答題
20．分解因式：
（1） ；
（2）
21．因式分解
（1）；
（2）．
22．分解因式（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）： ．
23． 已知（x+a）（x+b）＝x2﹣4x+2．
（1）求（a﹣1）（b﹣1）的值．
（2）求（a﹣b）2的值．
24．已知：，，，問(wèn)多項(xiàng)式、、是否有公因式？若有，求出其公因式；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.
25．感知：（1）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)因式分解的等式，由圖 1 中的大正方形的面積可得到的因式分解等式為_____________ ；
應(yīng)用：（2）通過(guò)不同的方法表示同一個(gè)幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的因式分解等式．如圖 2 所示 的是棱長(zhǎng)為的正方體被分割線分成 8 塊．用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方體的體積，則這個(gè)式子為 ；
拓展：（3）如圖 3，棱長(zhǎng)為 x 的實(shí)心大正方體切除一個(gè)棱長(zhǎng)為 y 的小正方體，剩余部分按如圖所示的 方式繼續(xù)切割為甲、乙、丙三個(gè)長(zhǎng)方體，則甲長(zhǎng)方體的體積為 ，乙長(zhǎng)方體的體積為 ， 丙長(zhǎng)方體的體積為 ，甲、乙、丙三個(gè)長(zhǎng)方體體積之和可表示為．
根據(jù)（2）和（3）中的結(jié)論解答下列問(wèn)題：若圖 2 與圖 3 中的 x 與 y 的值分別相等，且滿足，，其中，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣公式法；因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
2．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣公式法；因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
3．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的概念
4．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方式
5．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；平方差公式及應(yīng)用；因式分解的概念；公因式的概念
6．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的概念
7．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的概念；分式的概念
8．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】公因式的概念；因式分解﹣公式法；因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
9．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】去括號(hào)法則及應(yīng)用
10．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式的概念；因式分解的應(yīng)用
11．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
12．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】公因式的概念
13．【答案】m（m +4）（m -4）
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；因式分解﹣提公因式法
14．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
15．【答案】,
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；二元一次方程的解
16．【答案】6
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；加減消元法解二元一次方程組
17．【答案】（1）
（2）16
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣公式法；因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法；因式分解的應(yīng)用
18．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知識(shí)點(diǎn)】公因式的概念；因式分解﹣公式法；因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
19．【答案】（1）；
（2）或；
（3），有最小值為．
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；因式分解的應(yīng)用；求代數(shù)式的值-直接代入求值
20．【答案】（1）2（x+2）（x－2）
（2）
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
21．【答案】（1）
（2）
【知識(shí)點(diǎn)】公因式的概念；因式分解﹣公式法
22．【答案】解：a3 3a =a(a2-3)
= ．
【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式
23．【答案】（1）解：∵（x+a）（x+b）
＝x2+（a+b）x+ab
＝x2﹣4x+2，
∴a+b＝﹣4，ab＝2，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣（a+b）+1
＝2+4+1
＝7；
（2）解：（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝16﹣8
＝8．
【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方式
24．【答案】解：多項(xiàng)式、、有公因式.
，
，
.
∴多項(xiàng)式、、的公因式是.
【知識(shí)點(diǎn)】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
25．【答案】（1）；（2）；（3）
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景；因式分解的應(yīng)用
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