資源簡介

(共97張PPT)
培優課
第六章
<<<
與球有關的內切、外接問題
1.掌握簡單幾何體的外接球問題的求解方法.
2.會求特殊幾何體的內切球的相關問題.
學習目標
與球有關的內切、外接問題是立體幾何的一個重點(切、接問題的解題思路類似，此處以多面體的外接球為例).研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系.
導 語
一、直接法
二、構造法
課時對點練
三、尋求軸截面圓半徑法
隨堂演練
內容索引
四、確定球心的位置法
五、等體積法求內切球問題
直接法
一
　(1)一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，一個底面的周長為3，則這個球的體積為　　　.
例 1
　
設正六棱柱的底面邊長為x，高為h，
則有
∴正六棱柱的底面外接圓的半徑r=，
球心到底面的距離d=.
∴外接球的半徑R=.
(2)在三棱錐A-BCD中，側棱長均為2的等邊三角形，則該三棱錐外接球的體積為　　　.
　
由題意知該三棱錐為正三棱錐，如圖所示，O為底面△BCD的中心且AO垂直于底面△BCD，O'在線段AO上，O'為外接球球心，
令O'A=O'D=R，
∵OD=，
∴AO==4，
∴OO'=4-R，
又OO'2+OD2=O'D2，
∴(4-R)2+4=R2，解得R=，∴V球=.
找幾何體的外接球球心，即找點O，使點O與幾何體各頂點的距離相等.正棱錐的外接球球心在底面的垂線上，直棱柱的外接球球心為上、下底面外心所連線段的中點.
反
思
感
悟
　正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為
A. B.16π
C.9π D.
跟蹤訓練 1
√
如圖，設球心為O，半徑為r，AE=
，
∴該球的表面積為4πr2=4π×.
二
構造法
　三棱錐A-BCD的四個面都是直角三角形，且側棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且V三棱錐A-BCD=，則該三棱錐A-BCD外接球的體積為　 　　.
例 2
　4π
因為AB⊥BC，BC⊥CD，構造如圖所示的長方體，
則AD為三棱錐A-BCD的外接球的直徑.設外接球的半徑為R.
∵V三棱錐A-BCD=×BC×CD×AB
=，
∴CD=2，∴該長方體為正方體，
∴AD=2，
故外接球的體積為V=π.
　若把條件改為三棱錐A-BCD的三個面是直角三角形，且側棱AB垂直于底面BCD，BC⊥BD，AB=BC=2，且V三棱錐A-BCD=，則該三棱錐A-BCD外接球的體積為　　　　.
延伸探究
4π
因為AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD，
構造如圖所示的長方體，
則AE為三棱錐A-BCD的外接球的直徑，
設外接球的半徑為R.
V三棱錐A-BCD=×BC×BD×AB=，
∴BD=2，∴該長方體為正方體，
∴AE=2，
∴外接球的體積為V=π.
反
思
感
悟
(1)側面為直角三角形的四面體或正四面體，或對棱均相等的模型，可以放到正方體或長方體中去求解.
①若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示.
構造法的解題策略
反
思
感
悟
②若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示.
③正四面體P-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長a=，如圖3所示.
反
思
感
悟
④若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示.
(2)將直三棱錐補成三棱柱求解.
　“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種阿基米德多面體.已知AB=1，則關于圖中的半正多面體，下列說法正確的有
A.該半正多面體的體積為
B.該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為
C.該半正多面體外接球的表面積為8π
D.該半正多面體的表面積為6+2
跟蹤訓練 2
√
如圖，因為AB=1，
所以該半正多面體是由棱長為的正方體沿各棱
中點截去八個三棱錐所得到的，
所以該半正多面體的體積V=(，故A錯誤；
根據該半正多面體的對稱性可知，
過A，B，C三點的截面為正六邊形ABCFED，
又AB=1，所以正六邊形的面積S=6×，故B錯誤；
根據該半正多面體的對稱性可知，該半正多面體
的外接球的球心為正方體的中心，
即正六邊形ABCFED的中心，故半徑R=1，
所以該半正多面體外接球的表面積為S=4πR2=4π
×12=4π，故C錯誤；
因為該半正多面體的八個面為正三角形、六個面為正方形，棱長皆為1，
所以其表面積為8×，故D正確.
尋求軸截面圓半徑法
三
　已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為
A. B.
C. D.
例 3
√
如圖所示，因為AC⊥BC，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB=.
連接OO1，
則OO1⊥平面ABC，
OO1=，
所以三棱錐O-ABC的體積V=.
反
思
感
悟
(1)定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑.
(2)作截面：選準最佳角度作出截面，達到空間問題平面化的目的.
與球截面有關的解題策略
　已知四棱錐P-ABCD的側棱長均相等，其各個頂點都在球O的球面上，AB=BC，∠ABC=90°，AD=2
，則球O的表面積為
A.25π B.
C. D.
跟蹤訓練 3
√
如圖，設點P在底面的射影為H，
∵四棱錐P-ABCD的側棱長均相等，
∴HA=HB=HC=HD，
∴A，B，C，D四點共圓.
∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ADC=90°.
∵AD=2，CD=2，
∴AC=4，∴AB=BC=2.
∵三棱錐P-ABC的體積為，
∴，∴PH=4，
設球O的半徑為R，∴(4-R)2+22=R2，
解得R=，則球O的表面積S=4πR2=25π.
確定球心的位置法
四
　在三棱錐A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為　　　.
例 4
16π
由∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，
根據余弦定理可得AC=AD=2
=16π.
反
思
感
悟
對于一般的幾何體來說，解決外接球問題，關鍵是找到球心.由外接球定義，其球心在過每個面的多邊形的外心且與該面垂直的直線上.
　已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，其中較大圓錐的體積是較小圓錐的體積的3倍，若這
兩個圓錐的體積之和為4π，則球的體積為　　　.
跟蹤訓練 4
　
如圖，設圓錐S1O1與圓錐S2O1公共底面的圓心為O1，
兩圓錐公共底面圓周上一點為A，
底面半徑r=O1A，
設球心為O，球的半徑R=OA，
由πr2S1O1，
πr2S2O1，
又=3，
即=3，
即S2O1=3S1O1，
又S2O1+S1O1=2R，
所以S1O1=R，
所以OO1=R，
又+r2=R2，
所以r=R，
又πr2S2O1=4π，
即R=4π，
解得R=2，
所以V=，
即球的體積為.
等體積法求內切球問題
五
　各棱長均為的四面體內有一內切球，求該球的體積.
例 5
如圖，在四面體S-ABC中，取底面△ABC的中心為O1，連接SO1，O1A，則SO1⊥O1A.
∵AO1==1，
∴SO1=，
∴四面體的體積V=.
設內切球球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，
∴VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC
=)2×r
=，
∴球的體積V球=π.
　求本例所給四面體外接球的表面積.
延伸探究
設外接球半徑為R，由上述例題解題過程可知，
R=OS=SO1-OO1=SO1-r=，
∴外接球的表面積S球=4πR2=4π×.
反
思
感
悟
求幾何體的內切球問題的關鍵是把幾何體分割成以球心為頂點，各個面為底面的棱錐，這些棱錐的高的大小恰好是內切球半徑的大小.
　已知正方形ABCD的邊長為2，E為邊AB的中點，F為邊BC的中點，將△AED，△DCF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點重合于點P，則三棱錐P-DEF的外接球與內切球的表面積的比值為
A.6 B.12
C.24 D.30
跟蹤訓練 5
√
如圖①，依題意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，
所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如圖②.
所以在三棱錐P-DEF中，PD，PE，PF兩兩垂直，且PE=PF=1，PD=2，
所以三棱錐P-DEF的外接球即為以PD，PE，
PF為相鄰三條棱的長方體的外接球，
所以三棱錐P-DEF的外接球半徑R滿足
2R=，
則其外接球的表面積為4πR2=6π.
因為三棱錐P-DEF的表面積為正方形ABCD的面積，
所以S表=2×2=4，
V三棱錐P-DEF=.
設三棱錐P-DEF的內切球的半徑為r，
所以由，
所以內切球的表面積為4πr2=，
所以三棱錐P-DEF的外接球與內切球的表面積的比值為=24.
1.知識清單：
(1)掌握簡單幾何體的外接球問題的求解方法.
(2)會求特殊幾何體的內切球的相關問題.
2.方法歸納：直接法、構造空間幾何體法、截面圓法、確定球心的位置法、定義法、等體積法.
3.常見誤區：球心位置的確定、空間幾何體的構造.
隨堂演練
六
1.底面半徑為，母線長為2的圓錐的外接球O的表面積為
A.6π B.12π
C.8π D.16π
由圓錐的底面半徑為)2，解得R=2，所以球O的表面積為4πR2=16π.
√
1
2
3
4
2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，則該三棱柱的外接球的體積為
A. B.
C. D.20π
√
1
2
3
4
1
2
3
4
設△A1B1C1的外心為O1，△ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，
如圖所示，
由題意可得該三棱柱的外接球的球心O為O1O2的中點.
在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC
=32+12-2×3×1×cos 60°=7，
則BC=，
由正弦定理可得△ABC外接圓的直徑
2r=，
1
2
3
4
而球心O到截面ABC的距離d=OO2=AA1=1，
設直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半徑為R，
在△OO2B中可得R2=d2+r2=12+，
故R=，
所以該三棱柱的外接球的體積V=.
3.已知四面體SABC的所有棱長為2，球O1是其內切球.若在該四面體中再放入一個球O2，使其與平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，則球O2與球O1的半徑的比值為
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
1
2
3
4
如圖，設S在平面ABC內的射影為O，R1為球O1的半徑，R2為球O2的半徑，F，H分別為球O1，球O2與側面SBC的切點.在Rt△SAO中，該四面體的高
h=SO=
=.
1
2
3
4
又四面體的表面積S=4×，
則，
由，
即.
4.已知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上底面面積為12，其內切球體積為36π，則該正四棱臺的表面積為　　　.
1
2
3
4
312
1
2
3
4
如圖，作該正棱臺的截面，因為該正四棱臺的上底面面積為12，
故上底面邊長為2，
因為內切球體積為36π=πGM3，故GM=3.
在△GMP中，GM=3，MP=，∠GMP=90°，
所以GP=2，∠MPG=60°，
根據對稱性∠QPG=60°，
故∠QPM=120°，∠QEN=60°，
所以∠GEN=30°，
1
2
3
4
因為GN=3，所以EN=3，
所以正四棱臺下底面是一個邊長為6 的正方形，
故側面梯形的高
PE=PQ+QE=，
即S表=12+108+4×=312.
課時對點練
七
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A BC ACD 24π 32π
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9.
(1)如圖，在Rt△EOF中，EF=10，OF=x，
則EO=，
∴V=x2，
0答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9.
(2)方法一　設正四棱錐的內切球球心為P，且與底面相切于點O，與側面相切于斜高ΕF于點Q，
則PO=PQ=r，
∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，
則EQ=4，
又EP=8-r，
∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2得r2+42=(8-r)2，
解得r=3.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9.
方法二　當x=12時，由(1)知V=×122×=384，
正四棱錐的表面積S=4××12×10+122=384，
由等體積法可得V=Sr，
即r==3.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10.
(1)在等腰梯形DCC1D1中，過點C1作C1H⊥DC，垂足為H，
易求CH=，C1H=，
則四棱臺的表面積S=S上底+S下底+S側=1+4+4××=5+3.
(2)如圖，將該棱臺補成四棱錐S-ABCD，
連接AC，BD交于點O，
A1C1，B1D1交于點O1，連接SO，
由題意及棱臺的結構特征可知，點O1在線段SO上.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10.
因為AB=2，A1B1=1，
所以△SA1B1與△SAB的相似比為1∶2，
所以SA=2AA1=2，AO=，
故SO=，OO1=，
即該四棱臺的高為.
由于四棱臺的上、下底面都是正方形，
則該四棱臺外接球的球心在OO1上，連接OB1，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10.
在四邊形B1BOO1中，OO1=，B1O1=，
則OB1==OB，
即點O到點B的距離與點O到點B1的距離相等，
同理，點O到點A，A1，C，C1，D，D1的距離均為，
所以O為該四棱臺外接球的球心，且外接球的半徑r=，
故該四棱臺外接球的體積V=πr3=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
一、單項選擇題
1.一個正方體的八個頂點都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為
A.8 B.8
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∵球的半徑為1，且正方體內接于球，
∴球的直徑即為正方體的體對角線，即正方體的體對角線長為2.
不妨設正方體的棱長為a，則有3a2=4，即a2=.
∴正方體的表面積為6a2=6×=8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.在正三棱錐S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，△ABC的邊長為2，則該正三棱錐外接球的表面積為
A.4π B.6π
C.8π D.9π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
在正三棱錐S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，
則∠ASB=，則正三棱錐S-ABC為正四面體.
將正四面體補成正方體(正四面體的四個頂點S，A，
B，C均為正方體的頂點)，
則正四面體的外接球即為正方體的外接球，
由△ABC的邊長為2，可得補成的正方體棱長為，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
則其外接球的半徑R=，
所以該正三棱錐外接球的表面積S=4πR2=6π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=6，則其外接球的體積為
A.28π B.π
C. D.π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由正三棱柱的底面邊長AB=6，
設底面外接圓的半徑為r，
所以2r=
π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
4.將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內切球的體積為
A. B.
C. D.2π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
設圓錐的底面半徑為r，高為h，
則2πr=×3，
∴r=1，h=，
∴R=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、多項選擇題
5.用一個平面去截棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列結論中正確的是
A.若該平面過點A，C，B1，則截面的周長為6
B.若該平面過點A，C，B1，則截得的兩個幾何體的外接球體積相等
C.若該平面過點A，D，B1，則截得的兩個幾何體的表面積均為3+
D.若該平面過點D，B1，則其截正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的
截面面積不是定值
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
若該平面過點A，C，B1，則截面為正三角形ACB1，其邊長為，A錯誤；
若該平面過點A，C，B1，則截得的兩個幾何體的外接球均為正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球，故外接球體積相等，B正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
當該平面過點A，D，B1時，截面為AB1C1D，則截得的兩個幾何體為相同的三棱柱，且三棱柱的表面積均為2×12+2×，C正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
若該平面過點D，B1，則其過正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球球心，所以截外接球所得的截面面積是定值，D錯誤.
6.下列關于三棱柱ABC-A1B1C1的命題，正確的是
A.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有外接球
B.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有內切球
C.若正三棱柱ABC-A1B1C1有一個半徑為1的內切球，則該三棱柱的體積
為6
D.若直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心在一個側面上，則該三棱柱的底
面是直角三角形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
√
對于A，取連接直三棱柱上、下底面三角形外心的線段的中點O，則
點O到直三棱柱各個頂點的距離均為，其中r為底面三角
形外接圓半徑，h為直三棱柱的高，
∴點O即為直三棱柱的外接球球心，A正確；
對于B，若直三棱柱有內切球，則其高等于直徑，底面內切圓半徑等于內切球半徑，
即底面內切圓半徑需為直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B錯誤；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
對于C，若正三棱柱的內切球半徑為1，則正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為3，
設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，則，
∴該正三棱柱的體積V=，C正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
對于D，若外接球球心在直三棱柱的側面上，則球心為該側面的中心，其到底面三角形各頂點的距離相等，
∴球心在底面上的射影到底面三角形三個頂點的距離也相等，
又該側面中心在底面的投影在底面三角形的一條邊上，
∴該投影為底面三角形一條邊的中點，且到另一頂點的距離為該邊長的一半，
∴該底面三角形為直角三角形，D正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
三、填空題
7.各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是　　　　.
正四棱柱的高為4，體積為16，則底面積為4，則底面正方形邊長為2，正四棱柱的體對角線長即球的直徑，為2，所以球的表面積是24π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
24π
8.已知A，B，C，D為球O的球面上四個點，且滿足AB=4，BC=3，CD=4，AB⊥平面BCD，則球O的表面積的最小值為　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
32π
如圖，
以△BCD為底，AB為高補成直三棱柱BCD-AEF，
O1，O2分別為△BCD，△AEF的外心，
易知球心O即為O1O2中點，
設球的半徑為R，△BCD外接圓半徑為r，
則R2=r2+4，
由正弦定理可知2r==4，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
當且僅當BD=時取等號.
∴rmin=2，
∴Rmin=2.
∴Smin=4π=32π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
四、解答題
9.一塊邊長為20 cm的正方形鐵皮按如圖1所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，如圖2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
圖1　　　　　　　　圖2
(1)試把容器的容積V表示成底邊邊長x的函數；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
圖1　　　　　　　　圖2
如圖，在Rt△EOF中，EF=10，OF=x，
則EO=，∴V=，
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
(2)當x=12 cm時，求此容器的內切球(與四個側面和底面均相切的球)的半徑r.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
圖1　　　　　　　　圖2
方法一　設正四棱錐的內切球球心為P，且與底面相切于點O，與側面相切于斜高ΕF于點Q，
則PO=PQ=r，
∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，則EQ=4，
又EP=8-r，
∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2
得r2+42=(8-r)2，
解得r=3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
方法二　當x=12時，由(1)知V==384，
正四棱錐的表面積S=4××12×10+122=384，
由等體積法可得V=Sr，
即r==3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
10.在上、下底面均為正方形的四棱臺ABCD-A1B1C1D1
中，已知AA1=BB1=CC1=DD1=，AB=2，A1B1=1.
(1)求該四棱臺的表面積；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
在等腰梯形DCC1D1中，過點C1作C1H⊥DC，垂足為H，
易求CH=，
則四棱臺的表面積S=S上底+S下底+S側=1+4+4×.
(2)求該四棱臺外接球的體積.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
如圖，將該棱臺補成四棱錐S-ABCD，
連接AC，BD交于點O，A1C1，B1D1交于點O1，連接SO，
由題意及棱臺的結構特征可知，點O1在線段SO上.
因為AB=2，A1B1=1，
所以△SA1B1與△SAB的相似比為1∶2，
所以SA=2AA1=2，
故SO=，
即該四棱臺的高為.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由于四棱臺的上、下底面都是正方形，
則該四棱臺外接球的球心在OO1上，連接OB1，
在四邊形B1BOO1中，OO1=，
則OB1==OB，
即點O到點B的距離與點O到點B1的距離相等，
同理，點O到點A，A1，C，C1，D，D1的距離均為，
所以O為該四棱臺外接球的球心，且外接球的半徑r=，
故該四棱臺外接球的體積V=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案培優課　與球有關的內切、外接問題
[學習目標]　1.掌握簡單幾何體的外接球問題的求解方法.2.會求特殊幾何體的內切球的相關問題.
一、直接法
例1　(1)一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，一個底面的周長為3，則這個球的體積為　　　　.
(2)在三棱錐A-BCD中，側棱長均為2的等邊三角形，則該三棱錐外接球的體積為　　　　.
反思感悟　找幾何體的外接球球心，即找點O，使點O與幾何體各頂點的距離相等.正棱錐的外接球球心在底面的垂線上，直棱柱的外接球球心為上、下底面外心所連線段的中點.
跟蹤訓練1　正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　)
A. B.16π
C.9π D.
二、構造法
例2　三棱錐A-BCD的四個面都是直角三角形，且側棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且V三棱錐A-BCD=，則該三棱錐A-BCD外接球的體積為　　　　.
延伸探究　若把條件改為三棱錐A-BCD的三個面是直角三角形，且側棱AB垂直于底面BCD，BC⊥BD，AB=BC=2，且V三棱錐A-BCD=，則該三棱錐A-BCD外接球的體積為　　　　.
反思感悟　構造法的解題策略
(1)側面為直角三角形的四面體或正四面體，或對棱均相等的模型，可以放到正方體或長方體中去求解.
①若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示.
②若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示.
③正四面體P-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長a=，如圖3所示.
④若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示.
(2)將直三棱錐補成三棱柱求解.
跟蹤訓練2　“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種阿基米德多面體.已知AB=1，則關于圖中的半正多面體，下列說法正確的有(　　)
A.該半正多面體的體積為
B.該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為
C.該半正多面體外接球的表面積為8π
D.該半正多面體的表面積為6+2
三、尋求軸截面圓半徑法
例3　已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為(　　)
A. B.
C. D.
反思感悟　與球截面有關的解題策略
(1)定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑.
(2)作截面：選準最佳角度作出截面，達到空間問題平面化的目的.
跟蹤訓練3　已知四棱錐P-ABCD的側棱長均相等，其各個頂點都在球O的球面上，AB=BC，∠ABC=90°，AD=2，則球O的表面積為(　　)
A.25π B.
C. D.
四、確定球心的位置法
例4　在三棱錐A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為　　　　.
反思感悟　對于一般的幾何體來說，解決外接球問題，關鍵是找到球心.由外接球定義，其球心在過每個面的多邊形的外心且與該面垂直的直線上.
跟蹤訓練4　已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，其中較大圓錐的體積是較小圓錐的體積的3倍，若這兩個圓錐的體積之和為4π，則球的體積為　　　　.
五、等體積法求內切球問題
例5　各棱長均為的四面體內有一內切球，求該球的體積.
延伸探究　求本例所給四面體外接球的表面積.
反思感悟　求幾何體的內切球問題的關鍵是把幾何體分割成以球心為頂點，各個面為底面的棱錐，這些棱錐的高的大小恰好是內切球半徑的大小.
跟蹤訓練5　已知正方形ABCD的邊長為2，E為邊AB的中點，F為邊BC的中點，將△AED，△DCF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點重合于點P，則三棱錐P-DEF的外接球與內切球的表面積的比值為(　　)
A.6 B.12
C.24 D.30
1.知識清單：
(1)掌握簡單幾何體的外接球問題的求解方法.
(2)會求特殊幾何體的內切球的相關問題.
2.方法歸納：直接法、構造空間幾何體法、截面圓法、確定球心的位置法、定義法、等體積法.
3.常見誤區：球心位置的確定、空間幾何體的構造.
1.底面半徑為，母線長為2的圓錐的外接球O的表面積為(　　)
A.6π B.12π
C.8π D.16π
2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，則該三棱柱的外接球的體積為(　　)
A. B.
C. D.20π
3.已知四面體SABC的所有棱長為2，球O1是其內切球.若在該四面體中再放入一個球O2，使其與平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，則球O2與球O1的半徑的比值為(　　)
A. B.
C. D.
4.已知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上底面面積為12，其內切球體積為36π，則該正四棱臺的表面積為　　　　　.
答案精析
例1　(1)
解析　設正六棱柱的底面邊長為x，高為h，
則有∴
∴正六棱柱的底面外接圓的半徑r=，
球心到底面的距離d=.
∴外接球的半徑R==1.∴V球=.
(2)
解析　由題意知該三棱錐為正三棱錐，如圖所示，O為底面△BCD的中心且AO垂直于底面△BCD，O'在線段AO上，O'為外接球球心，
令O'A=O'D=R，
∵OD=DE=×2×=2，AD=2，
∴AO==4，
∴OO'=4-R，
又OO'2+OD2=O'D2，
∴(4-R)2+4=R2，解得R=，
∴V球=πR3=.
跟蹤訓練1　A　[如圖，設球心為O，半徑為r，AE=，OE=4-r，則在Rt△AOE中，(4-r)2+()2=r2(或(r-4)2+()2=r2)，解得r=，
∴該球的表面積為4πr2=4π×=.]
例2　4π
解析　因為AB⊥BC，BC⊥CD，構造如圖所示的長方體，
則AD為三棱錐A-BCD的外接球的直徑.設外接球的半徑為R.
∵V三棱錐A-BCD=××BC×CD×AB=×2×CD×2=，
∴CD=2，∴該長方體為正方體，
∴AD=2，∴R=，
故外接球的體積為V=πR3=4π.
延伸探究　4π
解析　因為AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD，
構造如圖所示的長方體，
則AE為三棱錐A-BCD的外接球的直徑，
設外接球的半徑為R.
V三棱錐A-BCD=××BC×BD×AB
=×2×BD×2=，
∴BD=2，∴該長方體為正方體，
∴AE=2，∴R=，
∴外接球的體積為V=πR3=4π.
跟蹤訓練2　D　[如圖，因為AB=1，
所以該半正多面體是由棱長為的正方體沿各棱中點截去八個三棱錐所得到的，
所以該半正多面體的體積V=()3-8××××=，故A錯誤；
根據該半正多面體的對稱性可知，過A，B，C三點的截面為正六邊形ABCFED，
又AB=1，所以正六邊形的面積S=6××1×1×=，故B錯誤；
根據該半正多面體的對稱性可知，該半正多面體的外接球的球心為正方體的中心，
即正六邊形ABCFED的中心，故半徑R=1，
所以該半正多面體外接球的表面積為S=4πR2=4π×12=4π，故C錯誤；
因為該半正多面體的八個面為正三角形、六個面為正方形，棱長皆為1，
所以其表面積為8××1×1×+6×12=6+2，故D正確.]
例3　A　[如圖所示，因為AC⊥BC，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB=.連接OO1，
則OO1⊥平面ABC，
OO1===，
所以三棱錐O-ABC的體積V=S△ABC·OO1=××1×1×=.]
跟蹤訓練3　A　[如圖，設點P在底面的射影為H，
∵四棱錐P-ABCD的側棱長均相等，
∴HA=HB=HC=HD，
∴A，B，C，D四點共圓.
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ADC=90°.
∵AD=2，CD=2，
∴AC=4，∴AB=BC=2.
∵三棱錐P-ABC的體積為，
∴S△ABC·PH=，∴PH=4，
設球O的半徑為R，
∴(4-R)2+22=R2，
解得R=，則球O的表面積
S=4πR2=25π.]
例4　16π
解析　由∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，
根據余弦定理可得AC=AD=2，則AC⊥BC，
AD⊥BD，又在Rt△BAC，Rt△BAD中，E為斜邊AB中點，所以到各點的距離相等，則三棱錐A-BCD外接球的直徑為AB=4，故三棱錐A-BCD外接球的表面積為4π·=16π.
跟蹤訓練4　
解析　如圖，設圓錐S1O1與圓錐S2O1公共底面的圓心為O1，
兩圓錐公共底面圓周上一點為A，
底面半徑r=O1A，
設球心為O，
球的半徑R=OA，
由=πr2S1O1，
=πr2S2O1，
又==3，
即=3，
即S2O1=3S1O1，
又S2O1+S1O1=2R，
所以S1O1=R，S2O1=R，
所以OO1=R，
又+r2=R2，
所以r=R，
又+=πr2S1O1+πr2S2O1=4π，
即π××R+π××R=4π，
解得R=2，
所以V=πR3=π×23=，
即球的體積為.
例5　解　如圖，在四面體S-ABC中，取底面△ABC的中心為O1，連接SO1，O1A，則SO1⊥O1A.
∵AO1=××=1，
∴SO1=，
∴四面體的體積V=××()2×=.
設內切球球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，
∴VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC
=S表·r=×4××()2×r
=r=，∴r=，
∴球的體積V球=r3=×=π.
延伸探究　解　設外接球半徑為R，由上述例題解題過程可知，
R=OS=SO1-OO1=SO1-r
==，
∴外接球的表面積
S球=4πR2=4π×=.
跟蹤訓練5　C　[如圖①，依題意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，
所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如圖②.
所以在三棱錐P-DEF中，PD，PE，PF兩兩垂直，且PE=PF=1，PD=2，
所以三棱錐P-DEF的外接球即為以PD，PE，PF為相鄰三條棱的長方體的外接球，
所以三棱錐P-DEF的外接球半徑R滿足2R==，
所以R=，
則其外接球的表面積為4πR2=6π.
因為三棱錐P-DEF的表面積為正方形ABCD的面積，
所以S表=2×2=4，
V三棱錐P-DEF=××1×1×2=.
設三棱錐P-DEF的內切球的半徑為r，
所以由S表·r=V三棱錐P-DEF，
解得r=，
所以內切球的表面積為4πr2=，
所以三棱錐P-DEF的外接球與內切球的表面積的比值為=24.]
隨堂演練
1.D　2.B　3.D　4.312作業56　與球有關的內切、外接問題
(分值：70分)
一、單項選擇題(每小題5分，共20分)
1.一個正方體的八個頂點都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為(　　)
A.8 B.8
C. D.
2.在正三棱錐S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，△ABC的邊長為2，則該正三棱錐外接球的表面積為(　　)
A.4π B.6π
C.8π D.9π
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=6，則其外接球的體積為(　　)
A.28π B.π
C. D.π
4.將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內切球的體積為(　　)
A. B.
C. D.2π
二、多項選擇題(每小題6分，共12分)
5.用一個平面去截棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列結論中正確的是(　　)
A.若該平面過點A，C，B1，則截面的周長為6
B.若該平面過點A，C，B1，則截得的兩個幾何體的外接球體積相等
C.若該平面過點A，D，B1，則截得的兩個幾何體的表面積均為3+
D.若該平面過點D，B1，則其截正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的截面面積不是定值
6.下列關于三棱柱ABC-A1B1C1的命題，正確的是(　　)
A.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有外接球
B.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有內切球
C.若正三棱柱ABC-A1B1C1有一個半徑為1的內切球，則該三棱柱的體積為6
D.若直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心在一個側面上，則該三棱柱的底面是直角三角形
三、填空題(每小題5分，共10分)
7.各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是　　　　.
8.已知A，B，C，D為球O的球面上四個點，且滿足AB=4，BC=3，CD=4，AB⊥平面BCD，則球O的表面積的最小值為　　　　　.
四、解答題(共28分)
9.(13分)一塊邊長為20 cm的正方形鐵皮按如圖1所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，如圖2.
圖1　　　　　　　　　圖2
(1)試把容器的容積V表示成底邊邊長x的函數；(6分)
(2)當x=12 cm時，求此容器的內切球(與四個側面和底面均相切的球)的半徑r.(7分)
10.(15分)在上、下底面均為正方形的四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=BB1=CC1=DD1=，AB=2，A1B1=1.
(1)求該四棱臺的表面積；(5分)
(2)求該四棱臺外接球的體積.(10分)
答案精析
1.A　2.B　3.D　4.A
5.BC　[若該平面過點A，C，B1，則截面為正三角形ACB1，其邊長為，則截面的周長為3，A錯誤；
若該平面過點A，C，B1，則截得的兩個幾何體的外接球均為正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球，故外接球體積相等，B正確；
當該平面過點A，D，B1時，截面為AB1C1D，則截得的兩個幾何體為相同的三棱柱，且三棱柱的表面積均為2×12+2××12+1×=3+，C正確；
若該平面過點D，B1，則其過正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球球心，所以截外接球所得的截面面積是定值，D錯誤.]
6.ACD　[對于A，取連接直三棱柱上、下底面三角形外心的線段的中點O，則點O到直三棱柱各個頂點的距離均為，其中r為底面三角形外接圓半徑，h為直三棱柱的高，
∴點O即為直三棱柱的外接球球心，A正確；
對于B，若直三棱柱有內切球，則其高等于直徑，底面內切圓半徑等于內切球半徑，即底面內切圓半徑需為直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B錯誤；
對于C，若正三棱柱的內切球半徑為1，則正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為3，
設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，則=3，解得a=2，
∴該正三棱柱的體積V=×××2=6，C正確；
對于D，若外接球球心在直三棱柱的側面上，則球心為該側面的中心，其到底面三角形各頂點的距離相等，
∴球心在底面上的射影到底面三角形三個頂點的距離也相等，
又該側面中心在底面的投影在底面三角形的一條邊上，∴該投影為底面三角形一條邊的中點，且到另一頂點的距離為該邊長的一半，
∴該底面三角形為直角三角形，D正確.]
7.24π
8.32π
解析　如圖，
以△BCD為底，AB為高補成直三棱柱BCD-AEF，O1，O2分別為△BCD，△AEF的外心，
易知球心O即為O1O2中點，
設球的半徑為R，△BCD外接圓半徑為r，
則R2=r2+4，由正弦定理可知2r=≥=4，
當且僅當BD=時取等號.
∴rmin=2，∴Rmin=2.
∴Smin=4π=32π.
9.解　(1)如圖，在Rt△EOF中，EF=10，OF=x，
則EO
=，
∴V=x2，
0(2)方法一　設正四棱錐的內切球球心為P，且與底面相切于點O，與側面相切于斜高ΕF于點Q，
則PO=PQ=r，
∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，
則EQ=4，
又EP=8-r，
∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2得r2+42=(8-r)2，
解得r=3.
方法二　當x=12時，由(1)知V=×122×=384，
正四棱錐的表面積S=4××12×10+122=384，
由等體積法可得V=Sr，
即r==3.
10.解　(1)在等腰梯形DCC1D1中，過點C1作C1H⊥DC，垂足為H，
易求CH=，C1H=，
則四棱臺的表面積S=S上底+S下底+S側=1+4+4××=5+3.
(2)如圖，將該棱臺補成四棱錐S-ABCD，
連接AC，BD交于點O，
A1C1，B1D1交于點O1，連接SO，
由題意及棱臺的結構特征可知，點O1在線段SO上.
因為AB=2，A1B1=1，
所以△SA1B1與△SAB的相似比為1∶2，
所以SA=2AA1=2，AO=，
故SO=，OO1=，
即該四棱臺的高為.
由于四棱臺的上、下底面都是正方形，
則該四棱臺外接球的球心在OO1上，連接OB1，
在四邊形B1BOO1中，OO1=，B1O1=，
則OB1==OB，
即點O到點B的距離與點O到點B1的距離相等，
同理，點O到點A，A1，C，C1，D，D1的距離均為，
所以O為該四棱臺外接球的球心，且外接球的半徑r=，
故該四棱臺外接球的體積V=πr3=.

展開更多......

收起↑