資源簡介

(共69張PPT)
第六章
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6.3　球的表面積和體積
1.了解球的表面積與體積公式，并能求球的表面積和體積.
2.掌握球的截面問題及切、接問題的相關計算.
學習目標
牟合方蓋是一種幾何體，是兩個等半徑圓柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因為像是兩個方形的蓋子合在一起，所以被稱作“牟合方蓋”.它也是我國古代數學家劉徽發現的一種用于計算球體體積的方式，他本希望用牟合方蓋來證實《九章算術》的公式有錯誤，雖然最終并沒有實現，但是這個發現有著重要的意義.二百多年后，中國偉大的數學家祖沖之和他的兒子祖暅繼承了劉徽的想法，利用“牟合方蓋”徹底地解決了球體體積公式的問題.“牟合方蓋”的提出，充分體現了古人豐富的想象能力，以及為解決問題建立模型的智慧.劉徽是1 700多年前的人，祖氏父子是1 500多年前的人，以千年前的社會知識水平，思考這種問題，簡直令人嘆為觀止，這種智慧的光芒，震古爍今.
導 語
一、球的表面積與體積
二、球的截面
課時對點練
三、與球有關的切、接問題
隨堂演練
內容索引
球的表面積與體積
一
球的表面積與體積公式
條件 球的半徑為R
表面積公式 S=______
體積公式 V=______
4πR2
πR3
　(1)已知球的表面積為16π，求它的體積；
例 1
設球的半徑為r，則由已知得4πr2=16π，
所以r=2，
所以球的體積V=.
(2)已知球的體積為，求它的表面積.
設球的半徑為R，則由已知得，
所以R=4，
所以球的表面積S=4πR2=4π×42=64π.
(1)關鍵：把握住球的表面積公式S球=4πR2，球的體積公式V球=πR3是計算球的表面積和體積的關鍵，半徑與球心是確定球的條件，把握住公式，球的體積與表面積計算的相關題目也就迎刃而解了.
(2)兩個結論：①兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑比的平方；②兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方.
求球的表面積與體積的一個關鍵和兩個結論
反
思
感
悟
設球的半徑為R，體積擴大到原來的27倍后，其半徑為R'.
則V=πR3，
∴R'=3R.∴S'=4πR'2=36πR2，又S=4πR2，
∴S'=9S.
　若一個球的體積擴大到原來的27倍，則它的表面積擴大到原來的
A.3倍 B.3
C. D.倍
跟蹤訓練 1
√
二
球的截面
用一個平面α去截半徑為R的球O.
(1)若平面α經過球心O，則截線是以球心O為圓心
的 ，稱為球的 .
(2)若平面α不經過球心O，如圖，不妨設OO'⊥α
于點O'，記OO'=d，對于平面與球面的任意一個公共點P，都滿足OO'⊥O'P，所以O'P=為半徑的圓，稱為球的小圓.
圓
大圓
　已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=18，BC=24，AC=30，求球的半徑.
例 2
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，B=90°.
∵球心O在截面△ABC的投影O'為截面圓的圓心，
即是Rt△ABC的外接圓的圓心，
∴斜邊AC為截面圓O'的直徑(如圖所示).
設O'C=r，OC=R，則球的半徑為R，截面圓半徑為r，
在Rt△O'CO中，
由題設知sin∠O'CO==，
∴∠O'CO=30°，∴，
即R=r， ①
又2r=AC=30，∴r=15，代入①得R=10.
∴球的半徑為10.
反
思
感
悟
(1)有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的問題.
(2)解題時要注意借助球的半徑R，截面圓的半徑r，球心到截面的距離d構成的直角三角形，即R2=d2+r2.
　球心到過球面上A，B，C三點的截面的距離是球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球的體積為
A. B.
C. D.
跟蹤訓練 2
√
因為AB=BC=CA=2，
所以△ABC外接圓的半徑r=.
設球的半徑為R，
則R2-，
所以球的體積V=.
與球有關的切、接問題
三
1.球的切線：與圓和直線相切類似，當直線與球有唯一交點時，稱直線與球相切，這一交點稱為直線與球的切點，過球外一點可以作無數多條球的切線.
2.幾何體的外接球：球面經過多面體的所有頂點的球，叫做多面體的外接球；球面經過旋轉體的底面圓周和頂點(如果有頂點的話)的球，叫做旋轉體的外接球.
3.幾何體的內切球：與多面體(旋轉體)的各個面都相切的球，叫做多面體(旋轉體)的內切球.
　(1)將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為
A. B. C. D.
例 3
√
由題意知，此球是正方體的內切球，根據其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長相等，故可得球的直徑為2，故球的半徑為1，其體積是.
(2)長方體的共頂點的三個側面面積分別為，則它的外接球表面積為　　　.
設長方體共頂點的三條棱長分別為a，b，c，
則
∴外接球半徑為，
∴外接球表面積為4π×=9π.
9π
1.本例(2)條件改為在三棱錐A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，且AB=，CD=2，求它的外接球的體積.
延伸探究
由CD2=AC2+AD2，得AC⊥AD.
又AB⊥AC，AB⊥AD，
∴可以以AB，AC，AD為棱補形為長方體，
長方體的外接球即為三棱錐A-BCD的外接球，
其半徑為，
∴外接球的體積為.
2.本例(2)條件改為已知正四面體的棱長為，求該正四面體的外接球的表面積.
正四面體可看作由正方體的各面對角線圍成，
由正四面體的棱長為知，正方體的棱長為1，
則正方體的外接球就是此正四面體的外接球，正方體的外接球直徑等于正方體的體對角線，
所以正四面體的外接球的半徑為.
所以外接球的表面積為4π×=3π.
反
思
感
悟
(1)正方體的內切球：球的半徑為r1=(a為正方體的棱長).
(2)與正方體的各條棱相切的球：球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有r2=a(a為正方體的棱長).
(3)長方體的外接球：長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3=.
1.知識清單：
(1)球的表面積與體積.
(2)球的截面.
(3)與球有關的切、接問題.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：幾何體的外接球與內切球易混淆而致誤.
隨堂演練
四
1.半徑為1的球的體積是
A.4π B.
C. D.
因為球的半徑為1，
所以球的體積V=.
√
1
2
3
4
2.把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為
A.R B.2R
C.3R D.4R
設圓柱的高為h，
則πR2h=3×πR3，解得h=4R.
√
1
2
3
4
3.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為
A. B.
C. D.π
√
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1
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3
4
如圖，設截面圓的圓心為O'，
M為截面圓上任一點，
則OO'=，O'M=1.
∴OM=.
即球的半徑為
π.
4.正方體的內切球與其外接球的體積之比為
A.1∶ B.
C. D.1∶9
√
1
2
3
4
設正方體的棱長為a，則其內切球的半徑為，
∴V內=
，
∴V內∶V外=1∶3.
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4
課時對點練
五
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C C C 72
題號 11 12　 13 14 15
答案 D C 6π
答案
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9.
該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.
該組合體的體積V=πr3+πr2l
=π×13+π×12×3=.
答案
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10.
如圖所示，CD是截面圓的直徑.
∴·π=π，
即CD=2，
設球O的半徑為R，∵AH∶HB=1∶2，
∴AH=×2R=R，∴OH=R-R=R，
由OD2=OH2+HD2，得R2=R2+1，
∴R2=，∴S球=4πR2=π.
答案
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16.
如圖①，過點C作CO1⊥AB于點O1，旋轉后得到的幾何體如圖②所示，由已知得∠BCA=90°，
∵∠BAC=30°，AB=2R，
∴AC=R，BC=R，CO1=R.
∴S球=4πR2，
=π×R×R=πR2，=π×R×R=πR2，
∴S幾何體表=S球++=4πR2+πR2+πR2=πR2.
答案
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①　　　　　 ②
16.
又∵V球=πR3，
=·AO1·π·C=πR2·AO1，
=·BO1·π·C=πR2·BO1，
∴V幾何體=V球-(+)=πR3.
答案
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①　　　　　 ②
1.若球的體積是，則此球的表面積是
A.12π B.16π
C. D.
設球的半徑為R，
則由已知得，解得R=2，
故球的表面積為4πR2=16π.
√
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基礎鞏固
答案
2.三個球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大的球的體積是其他兩個球的體積之和的
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
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答案
設三個球的半徑由小到大依次為r1，r2，r3，
則r1∶r2∶r3=1∶2∶3，
∴V3=，
V1+V2=，
∴V3=3(V1+V2).
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答案
3.設正方體的表面積為24 cm2，一個球內切于該正方體，那么這個球的體積是
A. B.π cm3
C. D.π cm3
由正方體的表面積為24 cm2，得正方體的棱長為2 cm，故這個球的直徑為2 cm，故這個球的體積為π cm3.
√
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答案
4.圓柱形容器內盛有高度為6 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示.
則球的半徑是
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
設球的半徑為r cm，則由3V球+V水=V柱，可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r，解得r=3.
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答案
5.一平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個圓面的距離是4 cm，則該球的體積是
A. B. cm3
C. D. cm3
√
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答案
如圖，根據題意知，OO1=4 cm，O1A=3 cm，
∴OA=R==5(cm)，
故球的體積V=πR3=(cm3).
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答案
6.用到球心的距離為1的平面去截球，以所得截面為底面，球心為頂點的圓錐體積為，則球的表面積為
A.16π B.32π C.36π D.48π
設球的半徑為R，圓錐的底面半徑為r，因為球心到截面的距離為1，所以有r2=R2-1，
則圓錐體積V=，解得R=3，故球的表面積為4πR2=36π.
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答案
7.兩個球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為　　　.
設大、小兩球半徑分別為R，r，
則所以
所以體積和為.
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答案
　
8.若長方體的頂點都在半徑為3的球面上，則該長方體表面積的最大值為　　　.
設長方體從同一頂點出發的三條棱長分別為a，b，c，即長方體的表面積為S=2ab+2ac+2bc，
又由于2ab+2ac+2bc≤a2+b2+a2+c2+b2+c2=2(a2+b2+c2)，
當且僅當a=b=c時取等號，
而a2+b2+c2=36，
所以該長方體表面積的最大值為72.
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答案
72
9.某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r=1，l=3，試求該組合體的表面積和體積.
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答案
該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.
該組合體的體積V=πr3+πr2l=.
10.已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，求球O的表面積.
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答案
如圖所示，CD是截面圓的直徑.
∴·π=π，即CD=2，
設球O的半徑為R，
∵AH∶HB=1∶2，
∴AH=R，
∴OH=R-R，
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答案
由OD2=OH2+HD2，
得R2=R2+1，
∴R2=π.
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11.我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術”相當于給出
了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈，
根據“開立圓術”的方法求得的球的體積約為
A. B.
C. D.
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綜合運用
答案
由題意，得r=，
所以，
解得V≈.
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12.已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π，則這兩個截面間的距離為
A.1 B.7
C.1或7 D.8
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答案
由題意得兩平行截面圓的半徑分別為3和4.若兩個平行截面在球心同側，如圖①，
則兩個截面間的距離為=1；
若兩個平行截面在球心異側，如圖②，
則兩個截面間的距離為=7.
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答案
13.在三棱錐A-BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，則該三棱錐外接球的表面積為　 　.
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答案
6π
在三棱錐A-BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，補成長方體，兩者有相同的外接球，長方體的體對角線就是球的直徑.
∵側棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，
∴，，
∴AB=，
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答案
∴球的直徑為，
∴球的半徑為，
∴三棱錐外接球的表面積為4π×=6π.
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答案
14.如圖，圓錐型容器內盛有水，水深3 dm，水面直徑為2 dm，放入一個鐵球后，水恰好把鐵球淹沒，則該鐵球的體積為　　　　dm3.
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答案
　
如圖，設鐵球的半徑為r，則放入鐵球后水深為3r，上底面半徑為r)2·3r=3πr3.
原來水的體積為)2·3=3π，
鐵球的體積為πr3，
則3π+πr3=3πr3，
解得r3=，
所以鐵球的體積V=.
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答案
拓廣探究
15.將一個長、寬分別為a，b(0存在最小值，則的取值范圍是　　　　.
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答案
　
設切去正方形的邊長為x，x∈，
則該長方體外接球半徑的平方r2=
，
解得>1，
故.
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答案
16.如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積和體積.(其中∠BAC=30°)
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答案
如圖①，過點C作CO1⊥AB于點O1，旋轉后得到的幾何體如圖②所示，由已知得∠BCA=90°，
∵∠BAC=30°，AB=2R，
∴AC=R.
∴S球=4πR2，
πR2，
πR2，
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答案
①　　　　　 ②
∴S幾何體表=S球+
=4πR2+πR2.
又∵V球=πR3，
πR2·AO1，
πR2·BO1，
∴V幾何體=V球-(πR3.
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答案
①　　　　　 ②6.3　球的表面積和體積
[學習目標]　1.了解球的表面積與體積公式，并能求球的表面積和體積.2.掌握球的截面問題及切、接問題的相關計算.
一、球的表面積與體積
知識梳理
球的表面積與體積公式
條件 球的半徑為R
表面積公式 S=________
體積公式 V=________
例1　(1)已知球的表面積為16π，求它的體積；
(2)已知球的體積為，求它的表面積.
反思感悟　求球的表面積與體積的一個關鍵和兩個結論
(1)關鍵：把握住球的表面積公式S球=4πR2，球的體積公式V球=πR3是計算球的表面積和體積的關鍵，半徑與球心是確定球的條件，把握住公式，球的體積與表面積計算的相關題目也就迎刃而解了.
(2)兩個結論：①兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑比的平方；②兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方.
跟蹤訓練1　若一個球的體積擴大到原來的27倍，則它的表面積擴大到原來的(　　)
A.3倍 B.3
C. D.倍
二、球的截面
知識梳理
用一個平面α去截半徑為R的球O.
(1)若平面α經過球心O，則截線是以球心O為圓心的________，稱為球的________.
(2)若平面α不經過球心O，如圖，不妨設OO'⊥α于點O'，記OO'=d，對于平面與球面的任意一個公共點P，都滿足OO'⊥O'P，所以O'P=為半徑的圓，稱為球的小圓.
例2　已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=18，BC=24，AC=30，求球的半徑.
反思感悟　(1)有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的問題.
(2)解題時要注意借助球的半徑R，截面圓的半徑r，球心到截面的距離d構成的直角三角形，即R2=d2+r2.
跟蹤訓練2　球心到過球面上A，B，C三點的截面的距離是球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球的體積為(　　)
A. B.
C. D.
三、與球有關的切、接問題
知識梳理
1.球的切線：與圓和直線相切類似，當直線與球有唯一交點時，稱直線與球相切，這一交點稱為直線與球的切點，過球外一點可以作無數多條球的切線.
2.幾何體的外接球：球面經過多面體的所有頂點的球，叫做多面體的外接球；球面經過旋轉體的底面圓周和頂點(如果有頂點的話)的球，叫做旋轉體的外接球.
3.幾何體的內切球：與多面體(旋轉體)的各個面都相切的球，叫做多面體(旋轉體)的內切球.
例3　(1)將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為(　　)
A. B.
C. D.
(2)長方體的共頂點的三個側面面積分別為，則它的外接球表面積為　　　　.
延伸探究
1.本例(2)條件改為在三棱錐A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，且AB=，CD=2，求它的外接球的體積.
2.本例(2)條件改為已知正四面體的棱長為，求該正四面體的外接球的表面積.
反思感悟　(1)正方體的內切球：球的半徑為r1=(a為正方體的棱長).
(2)與正方體的各條棱相切的球：球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有r2=a(a為正方體的棱長).
(3)長方體的外接球：長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3=.
1.知識清單：
(1)球的表面積與體積.
(2)球的截面.
(3)與球有關的切、接問題.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：幾何體的外接球與內切球易混淆而致誤.
1.半徑為1的球的體積是(　　)
A.4π B.
C. D.
2.把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為(　　)
A.R B.2R
C.3R D.4R
3.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　)
A. B.
C. D.π
4.正方體的內切球與其外接球的體積之比為(　　)
A.1∶ B.
C. D.1∶9
答案精析
知識梳理
4πR2　πR3
例1　解　(1)設球的半徑為r，
則由已知得4πr2=16π，
所以r=2，
所以球的體積V=πr3=.
(2)設球的半徑為R，
則由已知得πR3=，
所以R=4，
所以球的表面積S=4πR2=4π×42=64π.
跟蹤訓練1　C　[設球的半徑為R，體積擴大到原來的27倍后，其半徑為R'.則V=πR3，V'=πR'3=27V=27×πR3，
∴R'=3R.∴S'=4πR'2=36πR2，
又S=4πR2，∴S'=9S.]
知識梳理
(1)圓　大圓　(2)O'
例2　解　∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，B=90°.
∵球心O在截面△ABC的投影O'為截面圓的圓心，即是Rt△ABC的外接圓的圓心，
∴斜邊AC為截面圓O'的直徑(如圖所示).
設O'C=r，OC=R，則球的半徑為R，截面圓半徑為r，
在Rt△O'CO中，
由題設知sin∠O'CO==，
∴∠O'CO=30°，∴=cos 30°=，
即R=r， ①
又2r=AC=30，
∴r=15，代入①得R=10.
∴球的半徑為10.
跟蹤訓練2　D　[因為AB=BC=CA=2，
所以△ABC外接圓的半徑r=.
設球的半徑為R，
則R2-=，所以R=，
所以球的體積V=πR3=.]
例3　(1)A　[由題意知，此球是正方體的內切球，根據其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長相等，故可得球的直徑為2，故球的半徑為1，其體積是×π×13=.]
(2)9π
解析　設長方體共頂點的三條棱長分別為a，b，c，
則解得
∴外接球半徑為=，
∴外接球表面積為4π×=9π.
延伸探究
1.解　由CD2=AC2+AD2，
得AC⊥AD.
又AB⊥AC，AB⊥AD，
∴可以以AB，AC，AD為棱補形為長方體，長方體的外接球即為三棱錐A-BCD的外接球，
其半徑為=，
∴外接球的體積為×=.
2.解　正四面體可看作由正方體的各面對角線圍成，
由正四面體的棱長為知，正方體的棱長為1，
則正方體的外接球就是此正四面體的外接球，正方體的外接球直徑等于正方體的體對角線，
所以正四面體的外接球的半徑為.
所以外接球的表面積為4π×=3π.
隨堂演練
1.B　2.D　3.B　4.C作業55　球的表面積和體積
(分值：100分)
單選題每小題5分，共40分
1.若球的體積是，則此球的表面積是(　　)
A.12π B.16π
C. D.
2.三個球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大的球的體積是其他兩個球的體積之和的(　　)
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
3.設正方體的表面積為24 cm2，一個球內切于該正方體，那么這個球的體積是(　　)
A. B.π cm3
C. D.π cm3
4.圓柱形容器內盛有高度為6 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示.則球的半徑是(　　)
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
5.一平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個圓面的距離是4 cm，則該球的體積是(　　)
A. B. cm3
C. D. cm3
6.用到球心的距離為1的平面去截球，以所得截面為底面，球心為頂點的圓錐體積為，則球的表面積為(　　)
A.16π B.32π
C.36π D.48π
7.兩個球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為　　　　.
8.若長方體的頂點都在半徑為3的球面上，則該長方體表面積的最大值為　　　　.
9.(10分)某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r=1，l=3，試求該組合體的表面積和體積.
10.(12分)已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，求球O的表面積.
11.我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈，根據“開立圓術”的方法求得的球的體積約為(　　)
A. B.
C. D.
12.已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π，則這兩個截面間的距離為(　　)
A.1 B.7
C.1或7 D.8
13.在三棱錐A-BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，則該三棱錐外接球的表面積為　　　　.
14.如圖，圓錐型容器內盛有水，水深3 dm，水面直徑為2 dm，放入一個鐵球后，水恰好把鐵球淹沒，則該鐵球的體積為　　　　dm3.
15.將一個長、寬分別為a，b(016.(13分)如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積和體積.(其中∠BAC=30°)
答案精析
1.B　2.C　3.D　4.C　5.C
6.C　[設球的半徑為R，圓錐的底面半徑為r，因為球心到截面的距離為1，所以有r2=R2-1，則圓錐體積V=×1×(R2-1)π=，解得R=3，故球的表面積為4πR2=36π.]
7.
8.72
解析　設長方體從同一頂點出發的三條棱長分別為a，b，c，即長方體的表面積為S=2ab+2ac+2bc，
又由于2ab+2ac+2bc≤a2+b2+a2+c2+b2+c2
=2(a2+b2+c2)，當且僅當a=b=c時取等號，
而a2+b2+c2=36，
所以該長方體表面積的最大值為72.
9.解　該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.
該組合體的體積V=πr3+πr2l
=π×13+π×12×3=.
10.解　如圖所示，CD是截面圓的直徑.
∴·π=π，
即CD=2，
設球O的半徑為R，
∵AH∶HB=1∶2，
∴AH=×2R=R，
∴OH=R-R=R，
由OD2=OH2+HD2，
得R2=R2+1，
∴R2=，∴S球=4πR2=π.
11.D
12.C　[由題意得兩平行截面圓的半徑分別為3和4.若兩個平行截面在球心同側，如圖①，
則兩個截面間的距離為-=1；
若兩個平行截面在球心異側，如圖②，
則兩個截面間的距離為+=7.]
13.6π
解析　在三棱錐A-BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，補成長方體，兩者有相同的外接球，長方體的體對角線就是球的直徑.
∵側棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，∴AB·AC=，
AD·AC=，AB·AD=，
∴AB=，AC=1，AD=，
∴球的直徑為=，
∴球的半徑為，∴三棱錐外接球的表面積為4π×=6π.
14.
解析　如圖，設鐵球的半徑為r，則放入鐵球后水深為3r，上底面半徑為r，此時鐵球與水的體積和為·π·(r)2·3r
=3πr3.
原來水的體積為·π·()2·3=3π，
鐵球的體積為πr3，
則3π+πr3=3πr3，
解得r3=，
所以鐵球的體積V=×=.
15.
解析　設切去正方形的邊長為x，x∈，
則該長方體外接球半徑的平方r2=[(a-2x)2+(b-2x)2+x2]
=[9x2-4(a+b)x+a2+b2]，在x∈存在最小值時，
必有<，
解得<，又01，
故的取值范圍是.
16.解　如圖①，過點C作CO1⊥AB于點O1，旋轉后得到的幾何體如圖②所示，由已知得∠BCA=90°，
①　 　　　　　②
∵∠BAC=30°，AB=2R，
∴AC=R，BC=R，CO1=R.
∴S球=4πR2，
=π×R×R=πR2，
=π×R×R=πR2，
∴S幾何體表=S球++
=4πR2+πR2+πR2=πR2.
又∵V球=πR3，
=·AO1·π·C=πR2·AO1，
=·BO1·π·C=πR2·BO1，
∴V幾何體=V球-(+)=πR3.

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