資源簡介

(共75張PPT)
第六章
<<<
6.2　柱、錐、臺的體積
1.掌握柱體、錐體、臺體的體積計算公式，會利用它們求有關(guān)幾何體的體積.
2.掌握求幾何體體積的基本技巧.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
在初中我們學(xué)習(xí)了特殊的棱柱——正方體、長方體的體積公式的求法，那么對于一個一般的棱柱或棱錐、棱臺，它們的體積又如何來計算呢？
導(dǎo) 語
一、柱、錐、臺的體積公式
二、等體積法求幾何體體積
課時對點練
三、割補法求幾何體的體積
隨堂演練
內(nèi)容索引
柱、錐、臺的體積公式
一
提示　V正方體=a3(a為棱長)；
V長方體=abc(a，b，c分別為長方體的長、寬、高)或V長方體=Sh(S，h分別表示長方體的底面積和高).
正方體和長方體的體積公式分別是什么？
問題1
提示　沒有變化.因為改變前后書堆的底面積和高沒有變化.
取一些書堆放在桌面上(如圖所示)，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積的變化？
問題2
幾何體 體積公式
柱體 圓柱、棱柱 V柱體=____
S—柱體的底面積，h—柱體的高
錐體 圓錐、棱錐 V錐體=______
S—錐體的底面積，h—錐體的高
臺體 圓臺、棱臺 V臺體=________________________
S上，S下—臺體的上、下底面積，h—臺體的高
Sh
Sh
)h
　(1)(多選)圓柱的側(cè)面展開圖是長12 cm，寬8 cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是
A. B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
例 1
√
√
當(dāng)圓柱的高為8 cm時，V=π×
(cm3).
(2)已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，則圓臺的體積為　　　　.
224π
設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R=4r，高為h=4r，如圖.
∵母線長為10，
∴102=(4r)2+(4r-r)2，
解得r=2.
∴下底面半徑R=8，高h(yuǎn)=8，
∴V圓臺=)h=π(r2+rR+R2)h=224π.
求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關(guān)鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形列出方程并求解.
反
思
感
悟
　(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為
A.2 B.
C. D.π
跟蹤訓(xùn)練 1
√
設(shè)圓柱的底面半徑為r，
則圓錐的母線長為，
而它們的側(cè)面積相等，
所以2πr×，
即2，故r=3，
故圓錐的體積為π.
二
等體積法求幾何體體積
　如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點，F(xiàn)為CC1上一點，求三棱錐A1-D1EF的體積.
例 2
由題意可知，
∵a2，
又三棱錐F-A1D1E的高為CD=a，
∴a3，
∴a3.
本例中條件改為點F為CC1的中點，其他條件不變，如圖，求四棱錐A1-EBFD1的體積.
延伸探究
因為EB=BF=FD1=D1E=a，D1F∥EB，
所以四邊形EBFD1是菱形.
則△EFB≌△FED1.
因為三棱錐A1-EFB與三棱錐A1-FED1的高相等，
所以
.
又因為a2，
所以a3，
所以a3.
反
思
感
悟
等體積法是針對當(dāng)所給幾何體的體積不能直接套用公式或涉及的某一量(底面積或高)不易求解時，可以轉(zhuǎn)換一下幾何體中有關(guān)元素的相對位置進(jìn)行計算，該方法尤其適用于三棱錐的體積.
　一個封閉的正三棱柱容器，高為3，容器內(nèi)裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài))，將容器放倒(如圖乙，一個側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時水面與各棱的交點E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為
所在棱的中點，則圖甲中水面的高度為
A. B.
C.2 D.
跟蹤訓(xùn)練 2
√
因為E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱
的中點，
所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的體積
V=S梯形EFCB×3=S△ABC.
設(shè)圖甲中水面的高度為h，
則S△ABC×h=.
割補法求幾何體的體積
三
　如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF=2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積.
例 3
如圖，連接EB，EC，AC.
V四棱錐E-ABCD=×42×3=16.
∵AB=2EF，EF∥AB，
∴S△EAB=2S△BEF.
∴V三棱錐F-EBC=V三棱錐C-EFB=V三棱錐C-ABE
=V四棱錐E-ABCD=4.
∴多面體的體積V=V四棱錐E-ABCD+V三棱錐F-EBC=16+4=20.
反
思
感
悟
對于給出的一個不規(guī)則的幾何體求其體積時，不能直接套用公式，常常需要通過“割”或“補”化復(fù)雜圖形為已熟知的簡單幾何體，并作體積的加、減法，從而較快地找到解決問題的突破口.
　如圖，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，F(xiàn)C=4，AE=5.則此幾何體的體積為　　　　.
跟蹤訓(xùn)練 3
96
用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA'=BB'=CC'=8，所以V幾何體=×24×8=96.
1.知識清單：
(1)柱體、錐體、臺體的體積公式.
(2)等體積法、割補法求幾何體體積.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.
3.常見誤區(qū)：由于錐體與柱體體積計算公式混淆而出現(xiàn)錯誤.
隨堂演練
四
1.已知高為3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，如圖所示，則三棱錐B1-ABC的體積為
A. B.
C. D.
設(shè)三棱錐B1-ABC的高為h，
則.
√
1
2
3
4
2.如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為
A.5π B.6π
C.20π D.10π
√
1
2
3
4
1
2
3
4
用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5=20π，
故所求幾何體的體積為10π.
3.已知正六棱柱的側(cè)面積為72 cm2，高為6 cm，那么它的體積為　 　cm3.
設(shè)正六棱柱的底面邊長為x cm，
由題意得6x×6=72，所以x=2，
所以該正六棱柱的體積V=(cm3).
1
2
3
4
36
4.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是
_____寸.(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)
1
2
3
4
3
1
2
3
4
由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，
因為積水深9寸，所以水面半徑為
=3(寸).
課時對點練
五
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C A A
題號 11 12　 13 14 15
答案 D D C 1
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
如圖所示，分別過A，B作EF的垂線AG，BH，垂足分別為G，H.
連接DG，CH，容易求得EG=HF=.
所以AG=GD=BH=HC=，
S△AGD=S△BHC=××1=，
V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=×2+×1=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)圓柱底面半徑為r，其中0由題意可知△AO1D∽△AO2C，
則有==2，
所以AO1=2r，
設(shè)圓柱的高為h，h=4-2r，其側(cè)面積S=2πr(4-2r)=4π(-r2+2r)=4π，
整理得r2-2r+1=0，解得r=1.
當(dāng)r=1時，h=2，所以該圓柱的體積V=πr2h=2π.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
設(shè)點B到平面EMC的距離為h1，點D到平面EMC的距離為h2，連接MD，AC(圖略)，
因為M是AE的中點，
所以VM-ABCD=V，
所以VE-MBC=V-VE-MDC.
而VE-MBC=VB-EMC，VE-MDC=VD-EMC，
所以==.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
因為B，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而AB∥CD，且2AB=3CD，
所以=，即VE-MBC=VE-MDC，
又VE-MBC=V-VE-MDC，
所以VM-EBC=VE-MBC=V.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點S為棱A1B1上一動點，四棱錐S-ABCD的體積占正方體體積的
A. B.
C. D.不確定
令正方體棱長為a，則V正方體=a3，V四棱錐S-ABCD=a3，
∴V四棱錐S-ABCD=V正方體.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基礎(chǔ)鞏固
答案
2.將兩個棱長為10 cm的正方體熔化后鑄成一個底面邊長為5 cm的正四棱柱，則該正四棱柱的高為
A.8 cm B.80 cm
C.40 cm D. cm
設(shè)該正四棱柱的高為h cm，
根據(jù)題意，得5×5×h=2×103，
解得h=80.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
3.已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體的體積為
A. B.
C. D.π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個底面重合，體積相等的圓錐，如圖所示.每一個圓錐的底面半徑和高都為
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
4.設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且的值是
A. B.
C. D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑分別為R，r；高分別為H，h.
∵
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
5.已知體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是
A.54 B.54π
C.58 D.58π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
設(shè)上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設(shè)圓臺高為h1，
則52=πh1(r2+9r2+3r·r)，
∴πr2h1=12.
令原圓錐的高為h，
由相似知識得h1，
∴V原圓錐=×12=54.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
6.如圖所示，E，F(xiàn)分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BC，CD的中點，將其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三點重合，則所圍成的三棱錐的體積為
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
設(shè)點B，D，C重合于點P，如圖所示，
∵AB⊥BE，AD⊥DF，
∴AP⊥PE，AP⊥PF.
又PE，PF 平面PEF，PE∩PF=P，
∴AP⊥平面PEF，
即AP為三棱錐的高，
∴VA-PEF=S△CEF·AB=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
7.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
　
三棱錐D1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積，因為E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
.
8.如圖，圓錐形容器的高為2，圓錐內(nèi)水面的高為1.若將圓錐形容器倒置，水面高為h，則h=　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
設(shè)圓錐形容器的底面積為S，則未倒置前液面的面積為S，
∴水的體積V=S，
設(shè)倒置后液面的面積為S'，則，
∴S'=，
∴.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
9.如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，求該多面體的體積V.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
如圖所示，分別過A，B作EF的垂線AG，BH，垂足分別為G，H.
連接DG，CH，容易求得EG=HF=.
所以AG=GD=BH=HC=，
S△AGD=S△BHC=，
V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
10.已知圓錐的底面半徑為2，高為4.一個圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓周在圓錐的側(cè)面上，當(dāng)圓柱側(cè)面積為4π時，求該圓柱的體積.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
圓錐的軸截面如圖所示，
設(shè)圓柱底面半徑為r，
其中0由題意可知△AO1D∽△AO2C，
則有=2，
所以AO1=2r，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
設(shè)圓柱的高為h，h=4-2r，
其側(cè)面積S=2πr(4-2r)=4π(-r2+2r)=4π，
整理得r2-2r+1=0，解得r=1.
當(dāng)r=1時，h=2，
所以該圓柱的體積V=πr2h=2π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
11.已知正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則正四棱錐的體積為
A. B.
C.32 D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
綜合運用
答案
如圖，正四棱錐的高、斜高、底面邊心距組成Rt△POE，
∵OE=2，∠OPE=30°，
∴斜高PE==4，
∴PO=2，
∴V=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
12.沙漏就是古代利用機械原理設(shè)計的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道流到下部容器.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成，圓錐的底面圓的直徑和高均為8 cm，細(xì)沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的(細(xì)管長度忽略不計).若細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高為
A.2 cm B.
C. D. cm
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
由題意可知，開始時，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高H=，
底面圓的半徑r=，
故細(xì)沙的體積V=.
當(dāng)細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為4，
設(shè)高為H'，則，
解得H'=.
故此圓錐形沙堆的高為 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
13.(2024·天津)一個五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD=1，BE=2，CF=3，則該五面體的體積為
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
用一個完全相同的五面體HIJ-LMN(頂點與五面體ABC-DEF一一對應(yīng))與該五面體相嵌，
使得D，N；E，M；F，L重合，
因為AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，
AD=1，BE=2，CF=3，
則形成的新組合體為一個三棱柱，
該三棱柱的直截面DGK(與側(cè)棱垂直的截面)為邊長為1的等邊三角形，
側(cè)棱長l=1+3=2+2=3+1=4，
V五面體ABC-DEF=V三棱柱ABC-JIH=×4=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除平面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M-EFGH的體
積為　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
　
連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(圖略)，
∵E，H分別為AD1，CD1的中點，
∴EH∥AC，EH=AC.
∵F，G分別為B1A，B1C的中點，
∴FG∥AC，F(xiàn)G=AC，∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
又EG=HF，EH=HG，
∴四邊形EFGH為正方形.
又四棱錐M-EFGH的高為，
∴四棱錐M-EFGH的體積為.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
拓廣探究
15.如圖，PA是圓柱OO1的一條母線，AB是底面圓的一條直徑，C是底面圓周上一點，三棱錐P-ABC的體積與圓柱OO1的體積之比為1∶3π，則tan∠CAB=　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，∠CAB=θ，
由題意知∠ACB=90°，
可得S△ABC=AB·AC·sin∠CAB
=·2r·2rcos θ·sin θ=r2sin 2θ，
V三棱錐P-ABC=r2sin 2θ·h，V圓柱=S☉O·h=πr2h，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
∵，
∴sin 2θ=1，又0°<θ<90°，∴θ=45°，∴tan θ=1，
即tan∠CAB=1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
16.在四棱錐E-ABCD中，底面四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，2AB=3CD，M為AE的中點，設(shè)四棱錐E-ABCD的體積為V，那么三棱錐M-EBC的體積為多少？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
設(shè)點B到平面EMC的距離為h1，點D到平面EMC的距離為h2，連接MD，AC(圖略)，
因為M是AE的中點，所以VM-ABCD=V，
所以VE-MBC=V-VE-MDC.
而VE-MBC=VB-EMC，VE-MDC=VD-EMC，
所以.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
因為B，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而AB∥CD，且2AB=3CD，
所以VE-MDC，
又VE-MBC=V-VE-MDC，
所以VM-EBC=VE-MBC=V.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案6.2　柱、錐、臺的體積
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.掌握柱體、錐體、臺體的體積計算公式，會利用它們求有關(guān)幾何體的體積.2.掌握求幾何體體積的基本技巧.
一、柱、錐、臺的體積公式
問題1　正方體和長方體的體積公式分別是什么？
問題2　取一些書堆放在桌面上(如圖所示)，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積的變化？
知識梳理
幾何體 體積公式
柱體 圓柱、棱柱 V柱體=______ S—柱體的底面積，h—柱體的高
錐體 圓錐、棱錐 V錐體=______ S—錐體的底面積，h—錐體的高
臺體 圓臺、棱臺 V臺體=__________________ S上，S下—臺體的上、下底面積，h—臺體的高
例1　(1)(多選)圓柱的側(cè)面展開圖是長12 cm，寬8 cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是(　　)
A. B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
(2)已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，則圓臺的體積為　　　　.
反思感悟　求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關(guān)鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形列出方程并求解.
跟蹤訓(xùn)練1　(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為(　　)
A.2 B.
C. D.π
二、等體積法求幾何體體積
例2　如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點，F(xiàn)為CC1上一點，求三棱錐A1-D1EF的體積.
延伸探究　本例中條件改為點F為CC1的中點，其他條件不變，如圖，求四棱錐A1-EBFD1的體積.
反思感悟　等體積法是針對當(dāng)所給幾何體的體積不能直接套用公式或涉及的某一量(底面積或高)不易求解時，可以轉(zhuǎn)換一下幾何體中有關(guān)元素的相對位置進(jìn)行計算，該方法尤其適用于三棱錐的體積.
跟蹤訓(xùn)練2　一個封閉的正三棱柱容器，高為3，容器內(nèi)裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài))，將容器放倒(如圖乙，一個側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時水面與各棱的交點E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點，則圖甲中水面的高度為(　　)
A. B.
C.2 D.
三、割補法求幾何體的體積
例3　如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF=2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積.
反思感悟　對于給出的一個不規(guī)則的幾何體求其體積時，不能直接套用公式，常常需要通過“割”或“補”化復(fù)雜圖形為已熟知的簡單幾何體，并作體積的加、減法，從而較快地找到解決問題的突破口.
跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，F(xiàn)C=4，AE=5.則此幾何體的體積為　　　　.
1.知識清單：
(1)柱體、錐體、臺體的體積公式.
(2)等體積法、割補法求幾何體體積.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.
3.常見誤區(qū)：由于錐體與柱體體積計算公式混淆而出現(xiàn)錯誤.
1.已知高為3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，如圖所示，則三棱錐B1-ABC的體積為(　　)
A. B.
C. D.
2.如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為(　　)
A.5π B.6π
C.20π D.10π
3.已知正六棱柱的側(cè)面積為72 cm2，高為6 cm，那么它的體積為　　　　cm3.
4.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是　　　　寸.(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)
答案精析
問題1　V正方體=a3(a為棱長)；
V長方體=abc(a，b，c分別為長方體的長、寬、高)或V長方體=Sh(S，h分別表示長方體的底面積和高).
問題2　沒有變化.因為改變前后書堆的底面積和高沒有變化.
知識梳理
Sh　Sh
(S上+S下+)h
例1　(1)AB　[當(dāng)圓柱的高為8 cm時，V=π××8=(cm3)；當(dāng)圓柱的高為12 cm時，V=π××12=(cm3).]
(2)224π
解析　設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R=4r，高為h=4r，如圖.
∵母線長為10，
∴102=(4r)2+(4r-r)2，
解得r=2.
∴下底面半徑R=8，高h(yuǎn)=8，
∴V圓臺=(S上+S下+)h
=π(r2+rR+R2)h=224π.
跟蹤訓(xùn)練1　B　[設(shè)圓柱的底面半徑為r，
則圓錐的母線長為，
而它們的側(cè)面積相等，
所以2πr×=πr×，
即2=，故r=3，
故圓錐的體積為π×9×=3π.]
例2　解　由題意可知=，
∵=EA1·A1D1=a2，
又三棱錐F-A1D1E的高為CD=a，
∴=×a×a2=a3，
∴=a3.
延伸探究　解　因為EB=BF=FD1=D1E==a，D1F∥EB，
所以四邊形EBFD1是菱形.
則△EFB≌△FED1.
因為三棱錐A1-EFB與三棱錐A1-FED1的高相等，
所以=2=2.
又因為=EA1·AB=a2，
所以=a3，
所以=2=a3.
跟蹤訓(xùn)練2　D　[因為E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點，
所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的體積V=S梯形EFCB×3=S△ABC×3=S△ABC.
設(shè)圖甲中水面的高度為h，
則S△ABC×h=S△ABC，解得h=.]
例3　解　如圖，連接EB，EC，AC.
V四棱錐E-ABCD=×42×3=16.
∵AB=2EF，
EF∥AB，
∴S△EAB=2S△BEF.
∴V三棱錐F-EBC=V三棱錐C-EFB
=V三棱錐C-ABE
=V三棱錐E-ABC
=×V四棱錐E-ABCD=4.
∴多面體的體積V=V四棱錐E-ABCD+V三棱錐F-EBC
=16+4=20.
跟蹤訓(xùn)練3　96
解析　用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA'=BB'=CC'=8，所以V幾何體=V三棱柱=×S△ABC·AA'=×24×8=96.
隨堂演練
1.D　2.D　3.36　4.3作業(yè)54　柱、錐、臺的體積
(分值：100分)
單選題每小題5分，共45分
1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點S為棱A1B1上一動點，四棱錐S-ABCD的體積占正方體體積的(　　)
A. B.
C. D.不確定
2.將兩個棱長為10 cm的正方體熔化后鑄成一個底面邊長為5 cm的正四棱柱，則該正四棱柱的高為(　　)
A.8 cm B.80 cm
C.40 cm D. cm
3.已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　)
A. B.
C. D.π
4.設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且的值是(　　)
A. B.
C. D.2
5.已知體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是(　　)
A.54 B.54π
C.58 D.58π
6.如圖所示，E，F(xiàn)分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BC，CD的中點，將其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三點重合，則所圍成的三棱錐的體積為(　　)
A. B.
C. D.
7.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為　　　　.
8.如圖，圓錐形容器的高為2，圓錐內(nèi)水面的高為1.若將圓錐形容器倒置，水面高為h，則h=　　　　.
9.(10分)如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，求該多面體的體積V.
10.(12分)已知圓錐的底面半徑為2，高為4.一個圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓周在圓錐的側(cè)面上，當(dāng)圓柱側(cè)面積為4π時，求該圓柱的體積.
11.已知正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則正四棱錐的體積為(　　)
A. B.
C.32 D.
12.沙漏就是古代利用機械原理設(shè)計的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道流到下部容器.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成，圓錐的底面圓的直徑和高均為8 cm，細(xì)沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的(細(xì)管長度忽略不計).若細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高為(　　)
A.2 cm B.
C. D. cm
13.(2024·天津)一個五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD=1，BE=2，CF=3，則該五面體的體積為(　　)
A. B.
C. D.
14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除平面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M-EFGH的體積為　　　　.
15.如圖，PA是圓柱OO1的一條母線，AB是底面圓的一條直徑，C是底面圓周上一點，三棱錐P-ABC的體積與圓柱OO1的體積之比為1∶3π，則tan∠CAB=　　　　.
16.(13分)在四棱錐E-ABCD中，底面四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，2AB=3CD，M為AE的中點，設(shè)四棱錐E-ABCD的體積為V，那么三棱錐M-EBC的體積為多少？
答案精析
1.A　2.B　3.B　4.C　
5.A　[設(shè)上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設(shè)圓臺高為h1，
則52=πh1(r2+9r2+3r·r)，
∴πr2h1=12.令原圓錐的高為h，
由相似知識得=，
∴h=h1，
∴V原圓錐=π(3r)2×h
=3πr2×h1=×12=54.]
6.A　[設(shè)點B，D，C重合于點P，如圖所示，
∵AB⊥BE，
AD⊥DF，
∴AP⊥PE，
AP⊥PF.
又PE，PF 平面PEF，
PE∩PF=P，
∴AP⊥平面PEF，
即AP為三棱錐的高，
∴VA-PEF=S△PEF·AP
=S△CEF·AB
=××××1=.]
7.
8.
解析　設(shè)圓錐形容器的底面積為S，則未倒置前液面的面積為S，
∴水的體積V=×2S-×S×(2-1)=S，
設(shè)倒置后液面的面積為S'，
則=，
∴S'=，∴水的體積為V=S'h=，∴=S，解得h=.
9.解　如圖所示，分別過A，B作EF的垂線AG，BH，垂足分別為G，H.連接DG，CH，容易求得EG=HF=.
所以AG=GD=BH=HC=，
S△AGD=S△BHC=××1=，
V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC
=×2+×1=.
10.解　圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)圓柱底面半徑為r，
其中0由題意可知
△AO1D∽△AO2C，
則有==2，
所以AO1=2r，
設(shè)圓柱的高為h，h=4-2r，
其側(cè)面積S=2πr(4-2r)
=4π(-r2+2r)=4π，
整理得r2-2r+1=0，解得r=1.
當(dāng)r=1時，h=2，
所以該圓柱的體積V=πr2h=2π.
11.D　[如圖，正四棱錐的高、斜高、底面邊心距組成Rt△POE，
∵OE=2，∠OPE=30°，
∴斜高PE===4，
∴PO=2，
∴V=×4×4×2=.]
12.D　[由題意可知，開始時，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高H=×8=，
底面圓的半徑r=×4=，
故細(xì)沙的體積V=πr2H=π××=.
當(dāng)細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為4，設(shè)高為H'，則π×42×H'=，解得H'=.
故此圓錐形沙堆的高為 cm.]
13.C　[用一個完全相同的五面體HIJ-LMN(頂點與五面體ABC-DEF一一對應(yīng))與該五面體相嵌，
使得D，N；E，M；F，L重合，因為AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，
AD=1，BE=2，CF=3，
則形成的新組合體為一個三棱柱，
該三棱柱的直截面DGK(與側(cè)棱垂直的截面)為邊長為1的等邊三角形，
側(cè)棱長l=1+3=2+2=3+1=4，
V五面體ABC-DEF=V三棱柱ABC-JIH
=S△DGK·l=××1×1××4=.]
14.
解析　連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(圖略)，
∵E，H分別為AD1，CD1的中點，
∴EH∥AC，EH=AC.
∵F，G分別為B1A，B1C的中點，
∴FG∥AC，F(xiàn)G=AC，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
又EG=HF，EH=HG，∴四邊形EFGH為正方形.又四棱錐M-EFGH的高為，
∴四棱錐M-EFGH的體積為××=.
15.1
解析　設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，∠CAB=θ，
由題意知∠ACB=90°，
可得S△ABC=AB·AC·sin∠CAB
=·2r·2rcos θ·sin θ=r2sin 2θ，
V三棱錐P-ABC=·S△ABC·h=r2sin 2θ·h，
V圓柱=S☉O·h=πr2h，
∵=，
∴=，
∴sin 2θ=1，又0°<θ<90°，∴θ=45°，∴tan θ=1，即tan∠CAB=1.
16.解　設(shè)點B到平面EMC的距離為h1，點D到平面EMC的距離為h2，連接MD，AC(圖略)，
因為M是AE的中點，
所以VM-ABCD=V，
所以VE-MBC=V-VE-MDC.
而VE-MBC=VB-EMC，VE-MDC=VD-EMC，
所以==.
因為B，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而AB∥CD，且2AB=3CD，
所以=，即VE-MBC=VE-MDC，
又VE-MBC=V-VE-MDC，
所以VM-EBC=VE-MBC=V.

展開更多......

收起↑