資源簡介

(共78張PPT)
第六章
<<<
6.1　柱、錐、臺的側面
展開與面積
1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的側面積的求法.
2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式；能運用柱體、錐體、臺體的側面積公式進行計算和解決有關實際問題.
3.培養空間想象能力和思維能力.
學習目標
復習回顧
1.矩形面積公式：S=ab.
2.三角形面積公式：S=ah.
3.正三角形面積公式：S=a2.
4.圓面積公式：S=πr2.
5.圓周長公式：S=2πr.
6.扇形面積公式：S=lr.
7.梯形面積公式：S=(a+b)h.
導 語
一、圓柱、圓錐、圓臺的側面積
二、直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積
課時對點練
三、組合體的表面積
隨堂演練
內容索引
圓柱、圓錐、圓臺的側面積
一
提示　圓柱的側面展開圖是矩形(如圖所示)，長是圓柱底面圓周長，寬是圓柱的高(母線).設圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S圓柱側=2πrl.
如何根據圓柱的展開圖，求圓柱的側面積？
問題1
提示　如圖，圓錐的側面展開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓周長.
設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，
則S圓錐側=×2πrl=πrl.
如何根據圓錐的展開圖，求圓錐的側面積？
問題2
幾何體 圖形 側面積公式
旋轉體 圓柱 S圓柱側=______
圓錐 S圓錐側=_____
2πrl
πrl
幾何體 圖形 側面積公式
旋轉體 圓臺 S圓臺側=_________
π(r1+r2)l
(1)圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的關系
S圓柱側=2πrl S圓臺側=π(r+r')l S圓錐側=πrl(其中r'和r
分別是圓臺上、下底面的半徑).
(2)圓柱、圓錐、圓臺的表面積等于側面積加上底面的面積.
注 意 點
<<<
　如圖所示，△ABC的三邊長分別是AC=3，BC=4，AB=5，作CD⊥AB，垂足為點D.以AB所在直線為旋轉軸，將此三角形旋轉一周，求所得旋轉體的表面積.
例 1
在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5，知AC2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC.所以CD=，
記r=，
那么△ABC以AB所在直線為旋轉軸旋轉所得的旋轉體
是兩個同底的圓錐，且底面半徑r=，
母線長分別是AC=3，BC=4，
所以S表=πr·(AC+BC)=π×π.
所以旋轉體的表面積是π.
(1)圓柱、圓錐、圓臺的相關幾何量都集中體現在軸截面上，因此準確把握軸截面中的相關量及其關系是求解旋轉體表面積的關鍵.
(2)表面積是側面積與底面圓的面積之和.
旋轉體的側面積
反
思
感
悟
　(1)若圓柱的側面展開圖是邊長分別為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為
A.6π(4π+3)
B.8π(3π+1)
C.6π(4π+3)或8π(3π+1)
D.6π(4π+1)或8π(3π+2)
跟蹤訓練 1
√
由題意得，
圓柱的側面積S側=6π×4π=24π2.
①當以邊長為6π的邊為母線時，4π為圓柱底面周長，設底面半徑為r，則2πr=4π，
即r=2，所以S底=4π，
所以S表=S側+2S底=24π2+8π=8π(3π+1).
②當以邊長為4π的邊為母線時，6π為圓柱底面周長，設底面半徑為r，則2πr=6π，即r=3，
所以S底=9π，
所以S表=S側+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).
(2)圓錐的中截面(過圓錐高的中點且平行于底面的截面)把圓錐側面分成兩部分，則這兩部分側面積的比為
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
√
如圖所示，PB為圓錐的母線，O1，O2分別為截面與底面的圓心.
因為O1為PO2的中點，
所以，
所以PA=AB，O2B=2O1A.
又因為S圓錐側=π·O1A·PA，S圓臺側=π·(O1A+O2B)·AB，
則.
故這兩部分側面積的比為1∶3.
二
直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積
提示　利用展開圖，如圖.
在初中已經學過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的表面積怎樣得到的嗎？
問題3
提示　展開圖如圖所示；首先需求出各個展開圖中的每部分平面圖形的面積，然后求和即可.
類比圓柱、圓錐、圓臺，直棱柱、正棱錐、正棱臺的展開圖是怎么樣的？如何求棱柱、棱錐、棱臺的表面積？
問題4
幾何體 側面展開圖 側面積公式
直棱柱 S直棱柱側=ch
c—底面周長
h—高
正棱錐 S正棱錐側=ch'
c—底面周長
h'—斜高
幾何體 側面展開圖 側面積公式
正棱臺 S正棱臺側=(c1+c2)h'
c1，c2—上、下底面周長
h'—斜高
正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(a(1)若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺的側面積；
例 2
如圖所示，設O1，O分別為上、下底面的中心，過C1作C1E⊥AC于E，過E作EF⊥BC于F，連接C1F，則C1F為正四棱臺的斜高.
由題意知∠C1CO=45°，
CE=CO-EO=CO-C1O1=(b-a).
在Rt△C1CE中，C1E=CE=(b-a)，
又EF=CE·sin 45°=(b-a)，
∴C1F=
=(b-a).
∴S側=(b2-a2).
(2)若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高.
∵S側=S底，S底=a2+b2，
∴4·(a+b)·h斜=a2+b2，
∴h斜=.
又EF=.
反
思
感
悟
(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積求法
①多面體的表面積是各個面的面積之和；
②棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側面積與各自底面積的和.
(2)求解正棱臺的表面積時注意棱臺的四個基本量：底面邊長、高、斜高、側棱，并注意兩個直角梯形的應用
①高，側棱，上、下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形；
②高，斜高，上、下底面邊心距所成的直角梯形.
∵四棱錐S-ABCD的各棱長均為5，
∴各側面都是全等的正三角形.
設E為AB的中點，連接SE(圖略)，則SE⊥AB，
∴S側=4S△SAB=4×
+1).
　已知棱長均為5，四邊形ABCD為正方形的四棱錐S-ABCD如圖所示，求它的側面積、表面積.
跟蹤訓練 2
組合體的表面積
三
　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD內，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求此旋轉體的表面積.
例 3
如圖所示，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構成的.在直角梯形ABCD中，AD=a，BC=2a，
AB=(2a-a)tan 60°=a，DC==2a，
又DD'=DC=2a，
則S表=S圓柱表+S圓錐側-S圓錐底
=2π·2a·a+2π·(2a)2+π·a·2a-π·a2=(9+4)πa2.
(1)對于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對組合體表面積的影響.
(2)對于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構成的組合體，要注意新產生的截面和原幾何體表面的變化.
反
思
感
悟
　如圖是一種機器零件，零件下面是六棱柱(底面是正六邊形，側面是全等的矩形)，上面是圓柱(尺寸如圖，單位：mm).電鍍這種零件需要用鋅，已知每平方米用鋅0.11 kg，問電鍍10 000個零件需要鋅多少kg(結果精確到0.01 kg)？(參考數據：π≈3.14，≈1.732)
跟蹤訓練 3
∵圓柱的側面積S1=π×6×25=150π≈471(mm2)，
棱柱的表面積S2=12×5×6+2×6×
≈1 108.224(mm2)，
∴該機器零件的表面積S=S1+S2=1 579.224(mm2).
則10 000個零件的表面積為15 792 240 mm2=15.792 24 m2.
∴需要鋅的質量為15.792 24×0.11≈1.74(kg).
故電鍍10 000個零件需要鋅1.74 kg.
1.知識清單：
(1)圓柱、圓錐、圓臺的側面積與表面積.
(2)直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積與表面積.
(3)組合體的表面積.
2.方法歸納：公式法.
3.常見誤區：對于組合體的表面積易重復計算拼接面.
隨堂演練
四
1.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是
A.4π B.3π
C.2π D.π
底面圓半徑為1，高為1，側面積S=2πrh=2π×1×1=2π.
1
2
3
4
√
2.已知正四棱錐的底面邊長為8，側棱長為，則正四棱錐的側面積為
A.48 B.64
C.80 D.120
√
1
2
3
4
3.若圓臺的高是12，母線長為13，兩底面半徑之比為8∶3，則該圓臺的表面積為　　　　.
設圓臺上底面與下底面的半徑分別為r，R，
由勾股定理可得R-r==5.
∵r∶R=3∶8，
∴r=3，R=8.
S側=π(R+r)l=π(3+8)×13=143π，
則表面積為143π+π×32+π×82=216π.
1
2
3
4
216π
4.已知一個正四棱柱的對角線的長是9 cm，表面積等于144 cm2，則這個棱柱的側面積為　　 　　cm2.
設底面邊長、側棱長分別為a cm，l cm，
則解得
∴S側=4×4×7=112(cm2)或S側=4×6×3=72(cm2).
1
2
3
4
112或72
課時對點練
五
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D C A 96+6π
題號 11 12　 13 14 15
答案 B B -1 36 20　224π
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
由題意，需貼瓷磚的部分為正四棱柱與正四棱臺的側面積.
S正四棱柱側=4×40×80=12 800(平方厘米)，正四棱臺的斜高h'
==5(厘米)，
S正四棱臺側=4××5≈1 559(平方厘米)，
故需要瓷磚的面積為12 800+1 559=14 359(平方厘米).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
(1)以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體是圓臺，
其上底面半徑是4 cm，下底面半徑是16 cm，
母線DC==13(cm)，
所以該幾何體的表面積為π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
(2)以BC所在直線為軸旋轉一周所得幾何體是圓柱和圓錐的組合體，
如圖所示，其中圓錐的高為16-4=12(cm)，
由(1)可知圓錐的母線DC為13 cm，
又圓柱的母線AD為4 cm.
故該幾何體的表面積為2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
設正三棱錐底面邊長為a，斜高為h'，
如圖所示，過O作OE⊥AB，垂足為E，連接SE，
則SE⊥AB，且SE=h'.
因為S側=2S底，
所以3××a×h'=a2×2，所以a=h'.
因為SO⊥OE，所以SO2+OE2=SE2.
所以32+=h'2，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
所以h'=2，所以a=h'=6.
所以S底=a2=×62=9，
所以S側=2S底=18.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.已知某長方體同一頂點上的三條棱長分別為1，2，3，則該長方體的表面積為
A.22 B.20
C.10 D.11
所求長方體的表面積S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基礎鞏固
答案
2.若一個圓錐的表面積為πa m2，且它的側面展開圖是一個半圓面，則圓錐的底面半徑為
A. B. m
C. D. m
設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，
則.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
3.圓柱的一個底面積是S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是
A.4πS B.2πs
C.πS D.πS
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
設底面半徑為r，則πr2=S，
∴r=，
∴底面周長為2πr=2π，
又側面展開圖為一個正方形，
∴側面積是=4πS.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
4.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為7，若圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為
A.7 B.6
C.5 D.3
設圓臺較小底面的半徑為r，
則另一底面半徑為3r，
S側=π(r+3r)×7=84π，∴r=3.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為
A.1∶1
B.1∶
C.1∶
D.1∶2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
設正方體棱長為a，
由題意知，三棱錐的各面都是正三角形，
其表面積為4a2.
正方體的表面積為6a2，
∴三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
6.正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則該正四棱錐的側面積為
A.32 B.48
C.64 D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，連接AC，BD交于點O，連接PO，取BC的中點E，連接PE，OE，易知PO為正四棱錐P-ABCD的高，PE為斜高，
則OE=
×4×4=32.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
7.如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
96+6π
由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積加上圓柱的側面積，同時減去圓柱的兩個底面的面積，即S=6×42+4×2π-2π×12=96+6π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
8.某正四棱錐的側棱與底面的夾角為45°，則該正四棱錐的一個側面的面積與底面積的比值為　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
　
如圖，PO是正四棱錐P-ABCD的高，
設底面邊長為a，
則底面積S1=a2，
因為正四棱錐的側棱與底面的夾角為45°，
所以∠PAO=45°，
又AO=a，
所以PA=a=a，
所以PA=PB=AB，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
所以△PAB是正三角形，
其面積S2=a2，
所以該正四棱錐的一個側面的面積與底面積的
比值為.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
9.如圖是一個煙囪的直觀圖(圖中數據的單位為厘米)，它的下部是個正四
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
棱臺形物體，上部是一個正四棱柱形物體(下底面與四棱臺形物體的上底面重合).為防止雨水的侵蝕，同時使煙囪更美觀，現要在煙囪外部粘貼瓷磚，請你計算需要多少平方厘米的瓷磚？(結果精確到1平方厘米，可用計算工具)
由題意，需貼瓷磚的部分為正四棱柱與正四棱臺的側面積.
S正四棱柱側=4×40×80=12 800(平方厘米)，正四棱臺的斜高h'=(厘米)，
S正四棱臺側=4×≈1 559(平方厘米)，
故需要瓷磚的面積為12 800+1 559=14 359(平方厘米).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
10.如圖所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC
=90°，AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm，求：
(1)以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的表面積；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體是圓臺，
其上底面半徑是4 cm，下底面半徑是16 cm，
母線DC==13(cm)，
所以該幾何體的表面積為π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
(2)以BC所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的表面積.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
以BC所在直線為軸旋轉一周所得幾何體是圓柱和圓錐的組合體，
如圖所示，其中圓錐的高為16-4=12(cm)，
由(1)可知圓錐的母線DC為13 cm，
又圓柱的母線AD為4 cm.
故該幾何體的表面積為2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).
11.將表面積為36π的圓錐沿母線將其側面展開，得到一個圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為
A.18 B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
綜合運用
答案
設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，
則πr2+πrl=36π，化為r2+rl=36， ①
2πr=l·，可得l=3r， ②
聯立①②，解得r=3，l=9，h=，
該圓錐軸截面的面積為=18.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
12.在《九章算術》中，將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”.現有一個羨除如圖所示，DA⊥平面ABFE，四邊形ABFE，CDEF均為等腰梯形，四邊形ABCD為正方形，AB∥EF，AB=2，EF=6，點F到平面ABCD的距離為2，則這個羨除的
表面積為
A.10+12 B.
C.12+14 D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
因為DA⊥平面ABFE，DA 平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面ABFE，
根據面面垂直的性質定理，
得點F到平面ABCD的距離為F到AB的距離，
所以等腰梯形ABFE的高為2，
腰AE=，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
因為四邊形ABCD為正方形，且AB=2，
所以DE=，
等腰梯形CDEF的高為，
所以該羨除的表面積為2×2+.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
13.已知圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內接圓柱的高和圓柱的底面半徑也相等，則圓柱的表面積和圓錐的表面積的比值為　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
-1
如圖所示，設圓柱和圓錐的底面半徑分別是r，R，
則有，
即，
所以R=2r，圓錐的母線長l=R.
所以=-1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
14.有一塔形幾何體由3個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為2，則該塔形幾何體的表面積(含最底層正方體的底面面積)為　　　.
易知由下向上三個正方體的棱長依次為2，，1，
∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36.
∴該幾何體的表面積為36.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
36
拓廣探究
15.把底面半徑為8 cm的圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓錐本身滾動了2.5周，則圓錐的母線長為　　　cm，表面積等于　　 　cm2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
20
224π
設圓錐的母線長為l，如圖，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積S=πl2.又圓錐的側面積S圓錐側=πrl=8πl.
∵圓錐在平面內轉到原位置時，圓錐本身滾動了
2.5周，
∴πl2=2.5×8πl，∴l=20 (cm).
圓錐的表面積S=S圓錐側+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
16.正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，它的高SO=3，求此正三棱錐的側面積.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
設正三棱錐底面邊長為a，斜高為h'，
如圖所示，過O作OE⊥AB，垂足為E，連接SE，
則SE⊥AB，且SE=h'.
因為S側=2S底，
所以3×h'.
因為SO⊥OE，所以SO2+OE2=SE2.
所以32+=h'2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
所以h'=2h'=6.
所以S底=，
所以S側=2S底=18.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案6.1　柱、錐、臺的側面展開與面積
[學習目標]　1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的側面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式；能運用柱體、錐體、臺體的側面積公式進行計算和解決有關實際問題.3.培養空間想象能力和思維能力.
一、圓柱、圓錐、圓臺的側面積
問題1　如何根據圓柱的展開圖，求圓柱的側面積？
問題2　如何根據圓錐的展開圖，求圓錐的側面積？
知識梳理
幾何體 圖形 側面積公式
旋轉體 圓柱 S圓柱側=_______
圓錐 S圓錐側=_______
圓臺 S圓臺側=_______
例1　如圖所示，△ABC的三邊長分別是AC=3，BC=4，AB=5，作CD⊥AB，垂足為點D.以AB所在直線為旋轉軸，將此三角形旋轉一周，求所得旋轉體的表面積.
反思感悟　旋轉體的側面積
(1)圓柱、圓錐、圓臺的相關幾何量都集中體現在軸截面上，因此準確把握軸截面中的相關量及其關系是求解旋轉體表面積的關鍵.
(2)表面積是側面積與底面圓的面積之和.
跟蹤訓練1　(1)若圓柱的側面展開圖是邊長分別為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為(　　)
A.6π(4π+3)
B.8π(3π+1)
C.6π(4π+3)或8π(3π+1)
D.6π(4π+1)或8π(3π+2)
(2)圓錐的中截面(過圓錐高的中點且平行于底面的截面)把圓錐側面分成兩部分，則這兩部分側面積的比為(　　)
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
二、直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積
問題3　在初中已經學過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的表面積怎樣得到的嗎？
問題4　類比圓柱、圓錐、圓臺，直棱柱、正棱錐、正棱臺的展開圖是怎么樣的？如何求棱柱、棱錐、棱臺的表面積？
知識梳理
幾何體 側面展開圖 側面積公式
直棱柱 S直棱柱側=ch c—底面周長 h—高
正棱錐 S正棱錐側=ch' c—底面周長 h'—斜高
正棱臺 S正棱臺側=(c1+c2)h' c1，c2—上、下底面周長 h'—斜高
例2　正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(a(1)若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺的側面積；
(2)若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高.
反思感悟　(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積求法
①多面體的表面積是各個面的面積之和；
②棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側面積與各自底面積的和.
(2)求解正棱臺的表面積時注意棱臺的四個基本量：底面邊長、高、斜高、側棱，并注意兩個直角梯形的應用
①高，側棱，上、下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形；
②高，斜高，上、下底面邊心距所成的直角梯形.
跟蹤訓練2　已知棱長均為5，四邊形ABCD為正方形的四棱錐S-ABCD如圖所示，求它的側面積、表面積.
三、組合體的表面積
例3　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD內，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求此旋轉體的表面積.
反思感悟　(1)對于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對組合體表面積的影響.
(2)對于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構成的組合體，要注意新產生的截面和原幾何體表面的變化.
跟蹤訓練3　如圖是一種機器零件，零件下面是六棱柱(底面是正六邊形，側面是全等的矩形)，上面是圓柱(尺寸如圖，單位：mm).電鍍這種零件需要用鋅，已知每平方米用鋅0.11 kg，問電鍍10 000個零件需要鋅多少kg(結果精確到0.01 kg)？(參考數據：π≈3.14，≈1.732)
1.知識清單：
(1)圓柱、圓錐、圓臺的側面積與表面積.
(2)直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積與表面積.
(3)組合體的表面積.
2.方法歸納：公式法.
3.常見誤區：對于組合體的表面積易重復計算拼接面.
1.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是(　　)
A.4π B.3π
C.2π D.π
2.已知正四棱錐的底面邊長為8，側棱長為，則正四棱錐的側面積為(　　)
A.48 B.64
C.80 D.120
3.若圓臺的高是12，母線長為13，兩底面半徑之比為8∶3，則該圓臺的表面積為　　　　.
4.已知一個正四棱柱的對角線的長是9 cm，表面積等于144 cm2，則這個棱柱的側面積為　　　　cm2.
答案精析
問題1　圓柱的側面展開圖是矩形(如圖所示)，長是圓柱底面圓周長，寬是圓柱的高(母線).設圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S圓柱側=2πrl.
問題2　如圖，圓錐的側面展開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓周長.設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，
則S圓錐側=×2πrl=πrl.
知識梳理
2πrl　πrl　π(r1+r2)l
例1　解　在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5，知AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC.所以CD=，
記r=，
那么△ABC以AB所在直線為旋轉軸旋轉所得的旋轉體是兩個同底的圓錐，且底面半徑r=，
母線長分別是AC=3，BC=4，
所以S表=πr·(AC+BC)=π××(3+4)=π.
所以旋轉體的表面積是π.
跟蹤訓練1　(1)C　[由題意得，
圓柱的側面積S側=6π×4π=24π2.
①當以邊長為6π的邊為母線時，4π為圓柱底面周長，設底面半徑為r，則2πr=4π，
即r=2，所以S底=4π，
所以S表=S側+2S底=24π2+8π=8π(3π+1).
②當以邊長為4π的邊為母線時，6π為圓柱底面周長，設底面半徑為r，則2πr=6π，即r=3，
所以S底=9π，
所以S表=S側+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).]
(2)C　[如圖所示，PB為圓錐的母線，O1，O2分別為截面與底面的圓心.
因為O1為PO2的中點，
所以===，
所以PA=AB，O2B=2O1A.
又因為S圓錐側=π·O1A·PA，
S圓臺側=π·(O1A+O2B)·AB，
則==.
故這兩部分側面積的比為1∶3.]
問題3　利用展開圖，如圖.
問題4　展開圖如圖所示；首先需求出各個展開圖中的每部分平面圖形的面積，然后求和即可.
例2　解　(1)如圖所示，設O1，O分別為上、下底面的中心，過C1作C1E⊥AC于E，過E作EF⊥BC于F，連接C1F，則C1F為正四棱臺的斜高.
由題意知∠C1CO=45°，
CE=CO-EO=CO-C1O1=(b-a).
在Rt△C1CE中，C1E=CE=(b-a)，
又EF=CE·sin 45°=(b-a)，
∴C1F=
==(b-a).
∴S側=(4a+4b)·(b-a)=(b2-a2).
(2)∵S側=S底，S底=a2+b2，
∴4·(a+b)·h斜=a2+b2，
∴h斜=.
又EF=，
∴h==.
跟蹤訓練2　解　∵四棱錐S-ABCD的各棱長均為5，
∴各側面都是全等的正三角形.
設E為AB的中點，連接SE(圖略)，則SE⊥AB，
∴S側=4S△SAB=4×AB×SE=2×5× =25，S表=S側+S底=25+25=25(+1).
例3　解　如圖所示，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構成的.在直角梯形ABCD中，AD=a，BC=2a，
AB=(2a-a)tan 60°=a，
DC==2a，
又DD'=DC=2a，
則S表=S圓柱表+S圓錐側-S圓錐底
=2π·2a·a+2π·(2a)2+π·a·2a-π·a2
=(9+4)πa2.
跟蹤訓練3　解　∵圓柱的側面積
S1=π×6×25=150π≈471(mm2)，
棱柱的表面積S2=12×5×6+2×6××12×12×≈1 108.224(mm2)，
∴該機器零件的表面積S=S1+S2=1 579.224(mm2).
則10 000個零件的表面積為
15 792 240 mm2=15.792 24 m2.
∴需要鋅的質量為15.792 24×0.11≈1.74(kg).
故電鍍10 000個零件需要鋅1.74 kg.
隨堂演練
1.C　2.C　3.216π　4.112或72作業53　柱、錐、臺的側面展開與面積
(分值：100分)
單選題每小題5分，共40分
1.已知某長方體同一頂點上的三條棱長分別為1，2，3，則該長方體的表面積為(　　)
A.22 B.20
C.10 D.11
2.若一個圓錐的表面積為πa m2，且它的側面展開圖是一個半圓面，則圓錐的底面半徑為(　　)
A. B. m
C. D. m
3.圓柱的一個底面積是S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是(　　)
A.4πS B.2πs
C.πS D.πS
4.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為7，若圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(　　)
A.7 B.6
C.5 D.3
5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為(　　)
A.1∶1
B.1∶
C.1∶
D.1∶2
6.正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則該正四棱錐的側面積為(　　)
A.32 B.48
C.64 D.
7.如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為　　　　.
8.某正四棱錐的側棱與底面的夾角為45°，則該正四棱錐的一個側面的面積與底面積的比值為　　　　.
9.(10分)如圖是一個煙囪的直觀圖(圖中數據的單位為厘米)，它的下部是個正四棱臺形物體，上部是一個正四棱柱形物體(下底面與四棱臺形物體的上底面重合).為防止雨水的侵蝕，同時使煙囪更美觀，現要在煙囪外部粘貼瓷磚，請你計算需要多少平方厘米的瓷磚？(結果精確到1平方厘米，可用計算工具)
10.(12分)如圖所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC=90°，AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm，求：
(1)以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的表面積；(6分)
(2)以BC所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的表面積.(6分)
11.將表面積為36π的圓錐沿母線將其側面展開，得到一個圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為(　　)
A.18 B.
C. D.
12.在《九章算術》中，將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”.現有一個羨除如圖所示，DA⊥平面ABFE，四邊形ABFE，CDEF均為等腰梯形，四邊形ABCD為正方形，AB∥EF，AB=2，EF=6，點F到平面ABCD的距離為2，則這個羨除的表面積為(　　)
A.10+12 B.
C.12+14 D.
13.已知圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內接圓柱的高和圓柱的底面半徑也相等，則圓柱的表面積和圓錐的表面積的比值為　　　　.
14.有一塔形幾何體由3個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為2，則該塔形幾何體的表面積(含最底層正方體的底面面積)為　　　　.
15.把底面半徑為8 cm的圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓錐本身滾動了2.5周，則圓錐的母線長為　　　cm，表面積等于　　　cm2.
16.(13分)正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，它的高SO=3，求此正三棱錐的側面積.
答案精析
1.A　2.B　3.A　4.D　5.C
6.A　[如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，連接AC，BD交于點O，連接PO，取BC的中點E，連接PE，OE，易知PO為正四棱錐P-ABCD的高，PE為斜高，
則OE=PE，因為OE=AB=2，所以PE=4，則S側=4××4×4=32.]
7.96+6π
解析　由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積加上圓柱的側面積，同時減去圓柱的兩個底面的面積，即S=6×42+4×2π-2π×12=96+6π.
8.
解析　如圖，PO是正四棱錐P-ABCD的高，
設底面邊長為a，
則底面積S1=a2，
因為正四棱錐的側棱與底面的夾角為45°，
所以∠PAO=45°，
又AO=a，
所以PA=×a=a，
所以PA=PB=AB，
所以△PAB是正三角形，
其面積S2=a2，
所以該正四棱錐的一個側面的面積與底面積的比值為==.
9.解　由題意，需貼瓷磚的部分為正四棱柱與正四棱臺的側面積.
S正四棱柱側=4×40×80=12 800(平方厘米)，正四棱臺的斜高h'
==5(厘米)，
S正四棱臺側=4××5≈1 559(平方厘米)，
故需要瓷磚的面積為12 800+1 559=14 359(平方厘米).
10.解　(1)以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體是圓臺，
其上底面半徑是4 cm，下底面半徑是16 cm，母線DC==13(cm)，所以該幾何體的表面積為π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
(2)以BC所在直線為軸旋轉一周所得幾何體是圓柱和圓錐的組合體，
如圖所示，
其中圓錐的高為16-4=12(cm)，
由(1)可知圓錐的母線DC為13 cm，
又圓柱的母線AD為4 cm.
故該幾何體的表面積為2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).
11.B　[設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，
則πr2+πrl=36π，化為r2+rl=36， ①
2πr=l·，可得l=3r， ②
聯立①②，解得r=3，l=9，h==6，
該圓錐軸截面的面積為×2r×h=rh=3×6=18.]
12.B　[因為DA⊥平面ABFE，
DA 平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面ABFE，
根據面面垂直的性質定理，
得點F到平面ABCD的距離為F到AB的距離，
所以等腰梯形ABFE的高為2，
腰AE==2，
因為四邊形ABCD為正方形，且AB=2，
所以DE==2，
等腰梯形CDEF的高為=2，
所以該羨除的表面積為
2×2+×(2+6)×2+×(2+6)×2+2××2×2=12+12.]
13.-1
解析　如圖所示，設圓柱和圓錐的底面半徑分別是r，R，
則有=，
即=，
所以R=2r，圓錐的母線長l=R.
所以=
=
===-1.
14.36
解析　易知由下向上三個正方體的棱長依次為2，，1，
∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36.∴該幾何體的表面積為36.
15.20　224π
解析　設圓錐的母線長為l，如圖，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積S=πl2.又圓錐的側面積S圓錐側=πrl=8πl.
∵圓錐在平面內轉到原位置時，圓錐本身滾動了2.5周，
∴πl2=2.5×8πl，∴l=20 (cm).
圓錐的表面積S=S圓錐側+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).
16.解　設正三棱錐底面邊長為a，斜高為h'，
如圖所示，過O作OE⊥AB，垂足為E，連接SE，
則SE⊥AB，且SE=h'.
因為S側=2S底，
所以3××a×h'=a2×2，
所以a=h'.
因為SO⊥OE，所以SO2+OE2=SE2.
所以32+=h'2，
所以h'=2，所以a=h'=6.
所以S底=a2=×62=9，
所以S側=2S底=18.

展開更多......

收起↑