資源簡介

(共88張PPT)
第六章
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5.2　平面與平面垂直
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角.
2.掌握兩個平面互相垂直的概念.
3.掌握平面與平面垂直的性質定理，并能利用面面垂直的性質定理證明一些簡單的問題.
4.掌握平面與平面垂直的判定定理，能用定義和定理判定面面垂直.
學習目標
現在建筑師傅在砌墻時，一般不用傳統的鉛錘了，而是采用砌墻紅外線儀.該儀器操作方便，測量精確，堪稱砌墻“神器”.如圖所示，砌墻時，將該儀器吊放在屋頂，調整好位置和角度，打開儀器后會自動產生橫線和豎線，建筑師傅只需順著光線操
導 語
作，這樣就能保證墻是垂直于地面的.本節課我們就來研究其中涉及的數學原理吧！
一、二面角的概念
二、平面與平面垂直的定義
課時對點練
三、平面與平面垂直的性質定理
隨堂演練
內容索引
四、平面與平面垂直的判定定理
二面角的概念
一
提示　前面所學的角是由共頂點的兩條射線構成，這個角由兩個半平面和兩半平面的交線構成.
觀察教室內門與墻面，當門繞著門軸旋轉時，從直觀上我們看到門所在的平面與墻面形成了一個“角”，這個“角”與前面我們學習的角有何不同？
問題1
1.半平面：一個平面內的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為半平面.
定義 從一條直線出發的 所組成的圖形
相關概念 ①這條直線稱為二面角的 ；
②這兩個半平面稱為二面角的____
畫法
記法 二面角 或________
2.二面角的概念
兩個半平面
棱
面
α-l-β
α-AB-β
定義 以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作________
棱的兩條射線，這兩條射線的 稱為二面角的平面角
圖形
符號 ∠AOB是二面角α-l-β的平面角
范圍 0°≤∠AOB≤180°
3.二面角的平面角
垂直于
夾角
(1)二面角是一個空間圖形，而二面角的平面角是平面圖形.
(2)二面角的平面角的大小由二面角的兩個半平面的位置唯一確定，與棱上點的位置無關.
注 意 點
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二
平面與平面垂直的定義
1.定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是 ，就說這兩個平面互相垂直.
2.畫法：
3.記作： .
直二面角
α⊥β
　(1)從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F為垂足，若∠EPF=60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不確定
例 1
√
如圖所示，過PE，PF作一個平面γ與二面角α-l-β的棱交于點O，連接OE，OF.
因為PE⊥α，PF⊥β，
所以PE⊥l，PF⊥l，
所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，
則∠EOF為α-l-β的平面角，且它與∠EPF相等或互補，
故二面角α-l-β的平面角的大小為60°或120°，故選C.
(2)如圖，AB是☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小.
∵AB是☉O的直徑，且點C在圓周上，
∴AC⊥BC.
由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
得PA⊥BC.
又∵PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，
∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA=AC，PA⊥AC，知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA=45°，
即二面角P-BC-A的大小是45°.
求二面角的平面角的大小的步驟
反
思
感
悟
　(1)(多選)下列命題中，正確的是
A.兩個相交平面組成的圖形叫作二面角
B.異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這
個二面角的平面角相等或互補
C.二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成的角
的最小角
D.二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系
跟蹤訓練 1
√
√
由二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，所以A錯誤；
由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故B正確；
C中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故C錯誤；
由定義知D正確.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AB=2AA1，若D為AB的中點，求二面角A1-CD-C1的平面角.
如圖所示，設D1為A1B1的中點，連接DD1，則DD1∥AA1∥CC1，故DD1 平面DC1C.
由AC=BC，D為AB的中點，得CD⊥AB.
又CD⊥AA1，且AB∩AA1=A，AB，
AA1 平面A1ABB1，
故CD⊥平面A1ABB1，
故CD⊥A1D，CD⊥DD1，
所以∠A1DD1為二面角A1-CD-C1的平面角.
因為AB=2AA1，
所以∠A1DD1=45°.
平面與平面垂直的性質定理
三
當直線與平面垂直時，過此直線可作無數個平面，那么這些平面與已知平面有何關系？
提示　垂直關系.
問題2
若要判斷兩平面是否垂直，根據上述問題能否得出一個方法？
提示　可以，只需在一平面內找一直線垂直于另一平面即可.
問題3
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的 ，那么這條直線與另一個平面______
符號語言 α⊥β，α∩β=MN， ，AB⊥MN AB⊥α
圖形語言
交線
垂直
AB β
　如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.
例 2
如圖，在平面PAB內，
作AD⊥PB于點D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC=PB，AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD=A，PA，AD 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
反
思
感
悟
利用面面垂直的性質定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：
(1)兩個平面垂直.
(2)直線必須在其中一個平面內.
(3)直線必須垂直于它們的交線.
　如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，且平面AB1C⊥平面BB1C1C，求證：BC1⊥AB1.
跟蹤訓練 2
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
因為BC=CC1，
所以四邊形BB1C1C為正方形，
所以B1C⊥BC1.
因為平面AB1C⊥平面BB1C1C，
平面AB1C∩平面BB1C1C=B1C，BC1 平面BB1C1C，
所以BC1⊥平面AB1C.
因為AB1 平面AB1C，
所以BC1⊥AB1.
平面與平面垂直的判定定理
四
教室內的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直.在黑板上任意畫一條直線與地面垂直嗎？
提示　不一定，也可能平行、相交(不垂直).
問題4
怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直？
提示　只要保證所畫的線與兩面的交線垂直即可.
問題5
文字語言 如果一個平面過另一個平面的 ，那么這兩個平面垂直
符號語言 l⊥β， α⊥β
圖形語言
垂線
l α
　如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PC⊥平面ABCD，
求證：平面PDB⊥平面PAC.
例 3
∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PDB，
∴平面PDB⊥平面PAC.
反
思
感
悟
(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角.
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直.
證明平面與平面垂直的方法
　如圖，已知在三棱錐S-ABC中，側棱SA=SB=SC，∠ABC=90°，求證：平面ABC⊥平面ASC.
跟蹤訓練 3
如圖，作SH⊥AC交AC于點H，連接BH，
∵SA=SC，∴AH=HC.
在Rt△ABC中，H是AC的中點，
∴BH=AC=AH，
又SH=SH，SA=SB，
∴△SAH≌△SBH(SSS)，
∴SH⊥BH，
又AC∩BH=H，AC，BH 平面ABC，
∴SH⊥平面ABC，又SH 平面ASC，
∴平面ABC⊥平面ASC.
1.知識清單：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面與平面垂直的性質定理.
(3)平面與平面垂直的判定定理.
2.方法歸納：轉化法.
3.常見誤區：面面垂直性質定理中在其中一個面內作交線的垂線，與另一個平面垂直.
隨堂演練
五
1.對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是
A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β=m，n α
C.m∥n，n⊥β，m α D.m∥n，m⊥α，n⊥β
∵n⊥β，m∥n，
∴m⊥β，
又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.
√
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4
2.在正方體ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-D的大小是
A.30° B.45°
C.60° D.90°
如圖，由正方體的性質易知AB⊥平面ADD'A'，
則AB⊥AD，AB⊥AD'，
則∠D'AD為二面角D'-AB-D的平面角，
又因為四邊形ADD'A'為正方形，
所以∠D'AD=45°，
即二面角D'-AB-D的大小是45°，故選B.
√
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3.在三棱錐A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有
A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ADC⊥平面BCD
C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADB
如圖，因為AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD=C，
BC，CD 平面BCD，
所以AD⊥平面BCD，
又AD 平面ADC，
所以平面ADC⊥平面BCD.
√
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4.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC=90°，PA=1，AB=2，則PB=______.
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∠PAC=90°，PA 平面PAC，
∴PA⊥平面ABC，
又AB 平面ABC，∴PA⊥AB，
∴PB=.
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課時對點練
六
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C ABC BC 5　13
題號 11 12　 13 14 15
答案 C A D DM⊥PC(或BM⊥PC等)
答案
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9.
由長方體的性質可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BM.
又CC1=2，M為CC1的中點，
所以C1M=CM=1.
在Rt△B1C1M中，B1M==，
同理BM==，
答案
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9.
又B1B=2，
所以B1M2+BM2=B1B2，
從而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M=B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M，
因為BM 平面ABM，
所以平面ABM⊥平面A1B1M.
答案
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10.
(1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，
又BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG=G，AD，PG 平面PAD，
∴BG⊥平面PAD.
答案
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10.
(2)由(1)可知，BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG=G，BG，PG 平面PBG，
∴AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
答案
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16.
取CD的中點E，連接PE，BE，BD，如圖.
由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形.
因為E是CD的中點，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因為PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A，PA，AB 平面PAB，所以BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
所以當E為CD的中點時，平面PBE⊥平面PAB.
答案
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1.下列命題正確的是
A.平面α內的一條直線a垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β
B.若平面α⊥β，則α內的直線垂直于平面β
C.若平面α⊥β，且α∩β=l，則過α內一點P與l垂直的直線垂直于平面β
D.若直線a與平面α內的無數條直線都垂直，則不能說一定有a⊥α
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基礎鞏固
答案
A項，平面α內的一條直線a垂直于平面β內的任意一條直線，則α⊥β，故A錯誤；
B項，由面面垂直的性質定理知，只有垂直于交線的直線才垂直于另一個平面，故B錯誤；
C項，平面α⊥β，且α∩β=l，則過α內一點P與l垂直的直線，只有當此直線在α內時才垂直于β，故C錯誤；
D項，a與平面α內的任意一條直線都垂直可以推出a⊥α，故D正確.
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答案
2.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法中正確的是
A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β
B.若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥β
C.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β
D.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β
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答案
∵m∥α，m∥n，
∴n∥α或n α，
又n⊥β，∴α⊥β.
3.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，AD=DB，則
A.PD 平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD與平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
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答案
因為PA=PB，AD=DB，所以PD⊥AB.
又因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD 平面PAB，
所以PD⊥平面ABC.
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答案
4.如圖所示，將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，使得∠B'AC=60°，則這個二面角的大小是
A.30° B.60°
C.90° D.120°
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答案
因為AD是等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高，所以
BD=DC=AC，所以B'D⊥AD，
CD⊥AD，因此∠B'DC是所求二面角的平面角.
因為∠B'AC=60°，AB'=AC.
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答案
所以△B'AC是等邊三角形，因此B'C=AB'=AC，所以在△B'DC中，有B'D2+DC2=B'C2，
所以∠B'DC=90°.
5.(多選)如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列說法正確的有
A.平面PAD⊥平面PAB
B.平面PAD⊥平面PCD
C.平面PBC⊥平面PAB
D.平面PBC⊥平面PCD
由題意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，
∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故選ABC.
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答案
√
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6.(多選)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD∶BC∶AB
=2∶3∶4，E，F分別是AB，CD的中點.將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折.給出四個結論，在翻折的過程中，
可能成立的結論是
A.DF⊥BC
B.BD⊥FC
C.平面BDF⊥平面BCF
D.平面DCF⊥平面BCF
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答案
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對于A，因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，故A不可能成立；
對于B，如圖，設點D在平面BCF上的投影為點P，當BP⊥FC時，有BD⊥FC.而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使條件滿足，故B可能成立；
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答案
對于C，當點P落在BF上時，DP 平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，
故C可能成立；
對于D，因為點D的投影不可能在FC上，故D不可能成立.
7.已知正三棱錐S-ABC的所有棱長均為2，則側面與底面所成二面角的余弦值為　　　.
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答案
　
如圖，取BC的中點E，連接SE，AE，
∵SB=SC=AB=AC，
∴SE⊥BC，AE⊥BC，
∴∠SEA即為所求二面角的平面角，
∵SA=2，SE=AE=，
∴cos∠SEA=.
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答案
8.如圖，已知平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB=4 cm，AC，BD分別在平面α和平面β內，它們都垂直于交線AB，并且AC=3 cm，BD=12 cm，則BC=　　　cm，CD=　　　cm.
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答案
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因為α⊥β，α∩β=AB，BD⊥AB，
所以BD⊥平面α.因為BC 平面α，所以BD⊥BC，在Rt△BAC中，BC=
=13(cm).
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答案
9.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點.求證：平面ABM⊥平面A1B1M.
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由長方體的性質可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BM.
又CC1=2，M為CC1的中點，
所以C1M=CM=1.
在Rt△B1C1M中，B1M=，
同理BM=，
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又B1B=2，
所以B1M2+BM2=B1B2，從而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M=B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M，
因為BM 平面ABM，
所以平面ABM⊥平面A1B1M.
10.如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形，△PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點.求證：
(1)BG⊥平面PAD；
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答案
由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PG 平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，又BG 平面ABCD，
∴PG⊥BG.
又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG=G，AD，PG 平面PAD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)AD⊥PB.
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答案
由(1)可知，BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG=G，BG，PG 平面PBG，
∴AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于
A. B.
C. D.
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綜合運用
答案
如圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，則∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角，
設A1A=a，則AO=a，
所以tan∠A1OA=.
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答案
12.如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為.過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足
為A'，B'，則AB∶A'B'等于
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
√
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答案
由已知條件可知∠BAB'=，
設AB=2a，則BB'=2asin a，
A'B=2acos a，
∴在Rt△BB'A'中，得A'B'=a，
∴AB∶A'B'=2∶1.
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答案
13.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，則下列結論正確的是
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直線BC∥平面PAE
D.直線PD與平面ABC所成的角為45°
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答案
∵PA⊥平面ABC，
∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角.
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD=2AB，
∴tan∠ADP==1，
∴直線PD與平面ABC所成的角為45°.
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答案
14.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足　　 　　時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)
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答案
DM⊥PC(或BM⊥PC等)
由題意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴PA⊥BD.
又PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有DM∩BD=D(或BM∩BD=B)，DM，BD 平面MBD(或BM，BD 平面MBD)，
即有PC⊥平面MBD，
而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
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答案
拓廣探究
15.如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC(除端點外)上一動點.現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB，垂足為K.設AK=t，則實數t的取值范圍
是　 　　.
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答案
過點K作KM⊥AF于點M，連接DM.
∵平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，
DK⊥AB，DK 平面ABD，
∴DK⊥平面ABC，
∵AF 平面ABC，∴DK⊥AF.
∵MK⊥AF，DK∩MK=K，
∴AF⊥平面DMK.
∵DM 平面DMK，
∴AF⊥DM.
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答案
與折前的圖形對比，可知折前的平面圖形中D，M，K三點共線，且DK⊥AF，
∴△DAK∽△FDA，∴，
即，
∴t=.
∵DF∈(1，2)，∴t∈.
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答案
16.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥底面ABCD.在CD上確定一點E，使得平面PBE⊥平面PAB.
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答案
取CD的中點E，連接PE，BE，BD，如圖.
由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等邊三角形.
因為E是CD的中點，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因為PA⊥平面ABCD，
BE 平面ABCD，
所以PA⊥BE.
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答案
而PA∩AB=A，PA，AB 平面PAB，所以BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
所以當E為CD的中點時，平面PBE⊥平面PAB.
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答案5.2　平面與平面垂直
[學習目標]　1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角.
2.掌握兩個平面互相垂直的概念.3.掌握平面與平面垂直的性質定理，并能利用面面垂直的性質定理證明一些簡單的問題.4.掌握平面與平面垂直的判定定理，能用定義和定理判定面面垂直.
一、二面角的概念
問題1　觀察教室內門與墻面，當門繞著門軸旋轉時，從直觀上我們看到門所在的平面與墻面形成了一個“角”，這個“角”與前面我們學習的角有何不同？
知識梳理
1.半平面：一個平面內的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為半平面.
2.二面角的概念
定義 從一條直線出發的______________所組成的圖形
相關概念 ①這條直線稱為二面角的_______； ②這兩個半平面稱為二面角的_______
畫法
記法 二面角_______或_______
3.二面角的平面角
定義 以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作_______棱的兩條射線，這兩條射線的_______稱為二面角的平面角
圖形
符號 ∠AOB是二面角α-l-β的平面角
范圍 0°≤∠AOB≤180°
二、平面與平面垂直的定義
知識梳理
1.定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是_______，就說這兩個平面互相垂直.
2.畫法：
3.記作：_______.
例1　(1)從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F為垂足，若∠EPF=60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是(　　)
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不確定
(2)如圖，AB是☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小.
反思感悟　求二面角的平面角的大小的步驟
跟蹤訓練1　(1)(多選)下列命題中，正確的是(　　)
A.兩個相交平面組成的圖形叫作二面角
B.異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補
C.二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成的角的最小角
D.二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AB=2AA1，若D為AB的中點，求二面角A1-CD-C1的平面角.
三、平面與平面垂直的性質定理
問題2　當直線與平面垂直時，過此直線可作無數個平面，那么這些平面與已知平面有何關系？
問題3　若要判斷兩平面是否垂直，根據上述問題能否得出一個方法？
知識梳理
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的_______，那么這條直線與另一個平面_______
符號語言 α⊥β，α∩β=MN，_______，AB⊥MN AB⊥α
圖形語言
例2　如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.
反思感悟　利用面面垂直的性質定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：
(1)兩個平面垂直.
(2)直線必須在其中一個平面內.
(3)直線必須垂直于它們的交線.
跟蹤訓練2　如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，且平面AB1C⊥平面BB1C1C，求證：BC1⊥AB1.
四、平面與平面垂直的判定定理
問題4　教室內的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直.在黑板上任意畫一條直線與地面垂直嗎？
問題5　怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直？
知識梳理
文字語言 如果一個平面過另一個平面的_______，那么這兩個平面垂直
符號語言 l⊥β，_______ α⊥β
圖形語言
例3　如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.
反思感悟　證明平面與平面垂直的方法
(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角.
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直.
跟蹤訓練3　如圖，已知在三棱錐S-ABC中，側棱SA=SB=SC，∠ABC=90°，求證：平面ABC⊥平面ASC.
1.知識清單：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面與平面垂直的性質定理.
(3)平面與平面垂直的判定定理.
2.方法歸納：轉化法.
3.常見誤區：面面垂直性質定理中在其中一個面內作交線的垂線，與另一個平面垂直.
1.對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是(　　)
A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β=m，n α
C.m∥n，n⊥β，m α D.m∥n，m⊥α，n⊥β
2.在正方體ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-D的大小是(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.在三棱錐A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有(　　)
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ADC⊥平面BCD
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ABC⊥平面ADB
4.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC=90°，PA=1，AB=2，則PB=_________.
答案精析
問題1　前面所學的角是由共頂點的兩條射線構成，這個角由兩個半平面和兩半平面的交線構成.
知識梳理
2.兩個半平面　棱　面　α-l-β
α-AB-β
3.垂直于　夾角
知識梳理
1.直二面角
3.α⊥β
例1　(1)C　[如圖所示，過PE，PF作一個平面γ與二面角α-l-β的棱交于點O，連接OE，OF.
因為PE⊥α，PF⊥β，
所以PE⊥l，PF⊥l，
所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，
則∠EOF為α-l-β的平面角，且它與∠EPF相等或互補，
故二面角α-l-β的平面角的大小為60°或120°，故選C.]
(2)解　∵AB是☉O的直徑，
且點C在圓周上，
∴AC⊥BC.
由已知PA⊥平面ABC，
BC 平面ABC，
得PA⊥BC.
又∵PA∩AC=A，PA，
AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，
∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA=AC，PA⊥AC，
知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA=45°，
即二面角P-BC-A的大小是45°.
跟蹤訓練1　(1)BD　[由二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，所以A錯誤；由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故B正確；C中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故C錯誤；由定義知D正確.]
(2)解　如圖所示，設D1為A1B1的中點，連接DD1，則DD1∥AA1∥CC1，故DD1 平面DC1C.
由AC=BC，D為AB的中點，
得CD⊥AB.
又CD⊥AA1，且AB∩AA1=A，
AB，AA1 平面A1ABB1，
故CD⊥平面A1ABB1，
故CD⊥A1D，CD⊥DD1，
所以∠A1DD1為二面角A1-CD-C1的平面角.
因為AB=2AA1，
所以∠A1DD1=45°.
問題2　垂直關系.
問題3　可以，只需在一平面內找一直線垂直于另一平面即可.
知識梳理
交線　垂直　AB β
例2　證明　如圖，在平面PAB內，作AD⊥PB于點D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC=PB，
AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，
BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD=A，
PA，AD 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
跟蹤訓練2　證明　在直三棱柱
ABC-A1B1C1中，
因為BC=CC1，
所以四邊形BB1C1C為正方形，
所以B1C⊥BC1.
因為平面AB1C⊥平面BB1C1C，
平面AB1C∩平面BB1C1C=B1C，
BC1 平面BB1C1C，
所以BC1⊥平面AB1C.
因為AB1 平面AB1C，
所以BC1⊥AB1.
問題4　不一定，也可能平行、相交(不垂直).
問題5　只要保證所畫的線與兩面的交線垂直即可.
知識梳理
垂線　l α
例3　證明　∵PC⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
又PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PDB，
∴平面PDB⊥平面PAC.
跟蹤訓練3　證明　如圖，作SH⊥AC交AC于點H，連接BH，
∵SA=SC，
∴AH=HC.
在Rt△ABC中，
H是AC的中點，
∴BH=AC=AH，
又SH=SH，SA=SB，
∴△SAH≌△SBH(SSS)，
∴SH⊥BH，
又AC∩BH=H，AC，BH 平面ABC，
∴SH⊥平面ABC，又SH 平面ASC，
∴平面ABC⊥平面ASC.
隨堂演練
1.C　2.B　3.B　4.作業52　平面與平面垂直
(分值：100分)
單選題每小題5分，共35分；多選題每小題6分，共12分
1.下列命題正確的是(　　)
A.平面α內的一條直線a垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β
B.若平面α⊥β，則α內的直線垂直于平面β
C.若平面α⊥β，且α∩β=l，則過α內一點P與l垂直的直線垂直于平面β
D.若直線a與平面α內的無數條直線都垂直，則不能說一定有a⊥α
2.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法中正確的是(　　)
A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β
B.若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥β
C.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β
D.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β
3.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，AD=DB，則(　　)
A.PD 平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD與平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
4.如圖所示，將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，使得∠B'AC=60°，則這個二面角的大小是(　　)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
5.(多選)如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列說法正確的有(　　)
A.平面PAD⊥平面PAB
B.平面PAD⊥平面PCD
C.平面PBC⊥平面PAB
D.平面PBC⊥平面PCD
6.(多選)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD∶BC∶AB=2∶3∶4，E，F分別是AB，CD的中點.將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折.給出四個結論，在翻折的過程中，可能成立的結論是(　　)
A.DF⊥BC
B.BD⊥FC
C.平面BDF⊥平面BCF
D.平面DCF⊥平面BCF
7.已知正三棱錐S-ABC的所有棱長均為2，則側面與底面所成二面角的余弦值為　　　　.
8.如圖，已知平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB=4 cm，AC，BD分別在平面α和平面β內，它們都垂直于交線AB，并且AC=3 cm，BD=12 cm，則BC=　　　cm，CD=　　　　cm.
9.(10分)如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點.求證：平面ABM⊥平面A1B1M.
10.(11分)如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形，△PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點.求證：
(1)BG⊥平面PAD；(6分)
(2)AD⊥PB.(5分)
11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于(　　)
A. B.
C. D.
12.如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為.過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'，B'，則AB∶A'B'等于(　　)
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
13.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，則下列結論正確的是(　　)
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直線BC∥平面PAE
D.直線PD與平面ABC所成的角為45°
14.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足　　　　時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)
15.如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC(除端點外)上一動點.現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB，垂足為K.設AK=t，則實數t的取值范圍是　　　　.
16.(12分)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥底面ABCD.在CD上確定一點E，使得平面PBE⊥平面PAB.
答案精析
1.D　2.C　3.B　4.C　5.ABC
6.BC　[對于A，因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，故A不可能成立；
對于B，如圖，設點D在平面BCF上的投影為點P，當BP⊥FC時，有BD⊥FC.而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使條件滿足，故B可能成立；
對于C，當點P落在BF上時，DP 平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，故C可能成立；
對于D，因為點D的投影不可能在FC上，故D不可能成立.]
7.
8.5　13
解析　因為α⊥β，α∩β=AB，BD⊥AB，所以BD⊥平面α.
因為BC 平面α，所以BD⊥BC，
在Rt△BAC中，BC===5(cm)，
在Rt△DBC中，CD===13(cm).
9.證明　由長方體的性質可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BM.
又CC1=2，M為CC1的中點，
所以C1M=CM=1.
在Rt△B1C1M中，
B1M==，
同理BM==，
又B1B=2，
所以B1M2+BM2=B1B2，
從而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M，
因為BM 平面ABM，
所以平面ABM⊥平面A1B1M.
10.證明　(1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，
又BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG=G，AD，PG 平面PAD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知，BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG=G，BG，PG 平面PBG，
∴AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
11.C　[如圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，則∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角，
設A1A=a，
則AO=a，
所以tan∠A1OA==.]
12.A　[由已知條件可知∠BAB'=，∠ABA'=，
設AB=2a，則BB'=2asin =a，
A'B=2acos =a，
∴在Rt△BB'A'中，得A'B'=a，
∴AB∶A'B'=2∶1.]
13.D　[∵PA⊥平面ABC，
∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角.
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴AD=2AB，
∴tan∠ADP===1，
∴直線PD與平面ABC所成的角為45°.]
14.DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析　由題意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴PA⊥BD.又PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有DM∩BD=D(或BM∩BD=B)，DM，BD 平面MBD(或BM，BD 平面MBD)，
即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
15.
解析　過點K作KM⊥AF于點M，連接DM.
∵平面ABD⊥平面ABC，
平面ABD∩平面ABC=AB，
DK⊥AB，DK 平面ABD，
∴DK⊥平面ABC，
∵AF 平面ABC，∴DK⊥AF.
∵MK⊥AF，DK∩MK=K，
∴AF⊥平面DMK.
∵DM 平面DMK，
∴AF⊥DM.
與折前的圖形對比，可知折前的平面圖形中D，M，K三點共線，且DK⊥AF，
∴△DAK∽△FDA，∴=，
即=，∴t=.
∵DF∈(1，2)，∴t∈.
16.解　取CD的中點E，連接PE，BE，BD，如圖.
由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等邊三角形.
因為E是CD的中點，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因為PA⊥平面ABCD，
BE 平面ABCD，
所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A，PA，AB 平面PAB，所以BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
所以當E為CD的中點時，
平面PBE⊥平面PAB.

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