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第六章
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5.1　直線與平面垂直
1.了解直線與平面垂直的定義，了解直線與平面所成角的概念，了解點到平面的距離和直線到平面的距離.
2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并會用定理證明相關(guān)問題.
3.掌握直線與平面垂直的判定定理，并會用定理判定線面垂直.
學(xué)習目標
天安門廣場上豎立的國旗桿與地面，直立在水平桌面上打開的書的書脊與桌面等都展示了直線與平面垂直的形象.那么，什么是直線與平面垂直呢？
導(dǎo) 語
一、直線與平面垂直的定義
二、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
課時對點練
三、直線與平面所成的角
隨堂演練
內(nèi)容索引
四、直線與平面垂直的判定定理
直線與平面垂直的定義
一
提示　垂直.
如圖，假設(shè)旗桿與地面的交點為點B，在陽光下觀察，直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC，隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，它們的位置關(guān)系如何？
問題1
提示　一條.
在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，將這一結(jié)論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？
問題2
1.直線與平面垂直的定義
定義 如果直線l與平面α內(nèi)的 直線都垂直，那么稱直線l
與平面α垂直
記法 l α
有關(guān)概念 直線l稱為平面α的 ，平面α稱為直線l的 ，它們唯一的公共點P稱為_____
任何一條
⊥
垂線
垂面
垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
2.從平面外一點作一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離稱為點到平面的距離，也就是點到平面垂線段的長.
　(多選)下列說法，正確的是
A.若直線l垂直于平面α，則直線l垂直于平面α內(nèi)任一直線
B.若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可
能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，則l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，則a∥α
例 1
√
√
由線面垂直的定義知，A正確；
當l⊥α時，l與α內(nèi)的直線相交或異面，但不會平行，故B錯誤；
C顯然正確；
D中，a可能在α內(nèi)，故D錯誤.
　若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l與α的位置關(guān)系是
A.直線l和平面α相互平行 B.直線l和平面α相互垂直
C.直線l在平面α內(nèi) D.不能確定
跟蹤訓(xùn)練 1
√
如圖，由圖可知l和α相互平行、垂直、相交(不垂直)以及l(fā)在平面α內(nèi)都有可能.
二
直線與平面垂直的性質(zhì)定理
提示　平行、相交或異面.
如果兩條直線同垂直于另一條直線，這兩條直線具有什么樣的位置關(guān)系？
問題3
1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線______
符號語言 a⊥α，b⊥α a∥b
圖形語言
平行
2.如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點到平面的距離就是這條直線到這個平面的距離；如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫作這兩個平行平面間的距離.
　如圖，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F(xiàn)是BE的中點，求證：DF∥平面ABC.
例 2
取AB的中點G，連接FG，CG，如圖可得FG∥AE，F(xiàn)G=AE.
因為CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，AE=2a，CD=a，
所以CD∥AE，
且CD=AE，
所以FG∥CD，F(xiàn)G=CD.
所以四邊形CDFG是平行四邊形，
所以DF∥CG.
又因為CG 平面ABC，DF 平面ABC，
所以DF∥平面ABC.
反
思
感
悟
(1)利用線線平行的定義：證明共面且無公共點.
(2)利用基本事實4：證明兩線同時平行于第三條直線.
(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行.
(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行.
證明線線平行的常用方法
　(1)(多選)直線a和b在正方體ABCD-A1B1C1D1的兩個不同平面內(nèi)，使a∥b成立的條件是
A.a和b垂直于正方體的同一個面
B.a和b在正方體兩個相對的面內(nèi)，且共面
C.a和b平行于同一條棱
D.a和b在正方體的兩個面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直
跟蹤訓(xùn)練 2
√
√
√
A中為直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用；
B中為面面平行的性質(zhì)；
C中為基本事實4的應(yīng)用；
D中若a，b為同一頂點處的兩條棱所在直線，且都與另一條棱垂直，則a與b垂直，不平行.
(2)已知直線l∩平面α=O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA=AB.若AC⊥平面α，垂足為C，BD⊥平面α，垂足為D，AC=1，則BD=　　　.
如圖，連接OD，
因為AC⊥平面α，BD⊥平面α，
所以AC∥BD，所以.
因為OA=AB，所以.
因為AC=1，所以BD=2.
2
直線與平面所成的角
三
對應(yīng) 圖形
斜線 一條直線與一個平面 ，但不與這個平面 ，這條直線稱為這個平面的斜線，如圖中________
斜足 斜線和平面的 ，如圖中_____
投影 過斜線上斜足以外的一點向平面作 ，過 和 的直線稱為斜線在這個平面上的投影，如圖中斜線PA在平面α上的投影為________
相交
垂直
直線PA
交點
點A
垂線
垂足
斜足
直線AO
對應(yīng)圖形
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，如圖中______
規(guī)定：一條直線垂直于平面，則它們所成的角是 ；一條直線與平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是 的角
取值范圍 設(shè)直線與平面所成的角為θ，則_____________
∠PAO
直角
0°
0°≤θ≤90°
　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直線A1B與平面ABCD所成角的大小為　　　；
例 3
45°
∵A1A⊥平面ABCD，∠A1BA為A1B與平面ABCD所成的角，易得∠A1BA=45°.
(2)直線AC1與平面ABCD所成角的余弦值為　　　；
∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1AC是直線AC1與平面ABCD所成的角，設(shè)正方體棱長為a，
則AC=a，
∴cos∠C1AC=.
(3)設(shè)AC的中點為O，則OD1與平面ABCD所成角的
正切值為　　　.
∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1OD是直線OD1與平面ABCD所成的角，
設(shè)正方體棱長為a，
則DD1=a，OD=a，
∴tan∠D1OD=.
反
思
感
悟
(1)找角：斜線與斜線在平面內(nèi)的投影所成的角；
(2)計算：通常在垂線段、斜線和投影所組成的直角三角形中計算.
求斜線與平面所成角的步驟
　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為
A. B.
C. D.
跟蹤訓(xùn)練 3
√
畫出圖形，
如圖，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，
在三棱錐D-ACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直
得點D在底面ACD1內(nèi)的投影為等邊△ACD1的垂心即中心H，連接D1H，DH，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角，
設(shè)正方體的棱長為a，
則cos∠DD1H=.
直線與平面垂直的判定定理
四
如果一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，這條直線和平面具有什么樣的位置關(guān)系？
提示　平行、相交或在平面內(nèi).
問題4
如圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).觀察并思考：折痕AD
提示　折痕AD與桌面不垂直，因為AD與BD，CD都不垂直.如圖，折痕AD是BC邊上的高時，AD與桌面所在平面α垂直，這時，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD，CD都垂直.
問題5
與桌面垂直嗎？為什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面α垂直？
文字語言 如果一條直線與一個平面內(nèi)的 垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言 a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b=A l⊥α
圖形語言
兩條相交直線
　(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC與BD交于點O，求證：A1O⊥平面MBD.
例 4
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，
又AA1∩AC=A，AA1，AC 平面AA1O，
∴BD⊥平面AA1O，A1O 平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
設(shè)正方體的棱長為2，連接OM，A1M(圖略)，
則A1O=，A1M=3，
∴A1O2+OM2=A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD=O，OM，BD 平面MBD，
∴A1O⊥平面MBD.
(2)如圖，在四面體P-ABC中，已知BC=6，PC=10，PB=2
，點E在線段AB上，且EF⊥PB.求證：PB⊥平面CEF.
在△PCB中，
∵PC=10，BC=6，
PB=2，
∴PC2+BC2=PB2，
∴△PCB為直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC=PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF=F，EF，CF 平面CEF，
∴PB⊥平面CEF.
反
思
感
悟
(1)由線線垂直證明線面垂直：
①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直.
(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
證明線面垂直的方法
　如圖，AB為☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足.
(1)求證：AN⊥平面PBM；
跟蹤訓(xùn)練 4
∵AB為☉O的直徑，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，
BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM=A，
PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，
且BM∩PM=M，
BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
由(1)知AN⊥平面PBM，
∵PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
∵AQ⊥PB，AN∩AQ=A，
AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，
∴PB⊥NQ.
1.知識清單：
(1)直線與平面垂直的定義.
(2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理.
(3)直線與平面垂直的判定定理.
(4)直線與平面所成的角.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化思想.
3.常見誤區(qū)：忽略判定定理中在平面內(nèi)找的兩條直線必須是相交直線.
隨堂演練
五
1.(多選)下列能保證一條直線與一個平面垂直的是
A.該直線垂直于三角形的兩邊
B.該直線垂直于梯形的兩邊
C.該直線垂直于圓的兩條直徑
D.該直線垂直于正六邊形的兩條邊
由線面垂直的判定定理知，直線垂直于選項A，C中圖形所在的平面，對于選項B，D中圖形的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直.
√
1
2
3
4
√
2.若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，OB，OC 平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
√
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3
4
3.若點A，B在平面α的同側(cè)，且點A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為
A.4 B.3 C.2 D.1
如圖，∵AC⊥α，BD⊥α，
∴AC∥BD，
又AC=3，BD=5，EF為中位線，EF∥AC，
∴EF⊥α，EF=(AC+BD)=4.
√
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2
3
4
4.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，則直線PB與平面ABC所成的角的度數(shù)為　　　.
因為PA⊥平面ABC，所以斜線PB在平面ABC上的投影為AB，所以∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP=90°，PA=AB，所以∠PBA=45°，即直線PB與平面ABC所成的角等于45°.
1
2
3
4
45°
課時對點練
六
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C BCD C A B D 垂直 30°
題號 11 12　 13 14 15
答案 B A BC 30° 2　3
答案
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9.
如圖所示，連接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC
平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可證BD1⊥B1C，
答案
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9.
又AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
答案
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10.
(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BDE，BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE.
答案
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(2)如圖所示，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直線AE在平面BDE上的投影，
∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，DE=DA=2，
∴EA==2，AO=，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO==，
∴∠AEO=30°，
即AE與平面BDE所成的角為30°.
16.
答案
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(1)如圖所示，連接AC，交BD于點O，連接QO，
因為底面ABCD是矩形，
所以O(shè)為AC的中點，
又點Q是PC的中點，
∴PA∥QO，
又PA 平面BDQ，QO 平面BDQ，
∴PA∥平面BDQ.
16.
答案
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(2)∵PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PD⊥AB，
又AD⊥AB，PD∩AD=D，AD，PD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
∴直線PF與平面PAD所成的角即為∠APF=30°，
∵AP==4，
∴AF=APtan 30°=，
16.
答案
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∴當AB≥時，在線段AB上存在點F，使得直線PF
與平面PAD所成的角為30°，
此時AF=；
當01.已知△ABC，若直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則l，m的位置關(guān)系是
A.相交 B.異面
C.平行 D.不確定
依題意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，
∴l(xiāng)∥m.
√
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基礎(chǔ)鞏固
答案
2.(多選)下列說法正確的有
A.如果一條直線垂直于平面內(nèi)的四條直線，那么這條直線和這個平面垂直
B.過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直
C.如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的
平面
D.過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi)
√
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16
√
√
答案
3.如圖，α，β是兩個不同的平面，A，C是平面α上兩個不同的點，B是平面β上的點，α∩β=l，且AB⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的位置關(guān)系是
A.異面 B.平行
C.垂直 D.不確定
∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，
又∵BC⊥β，l β，∴BC⊥l，
又AB∩BC=B，AB，BC 平面ABC，
∴l(xiāng)⊥平面ABC，又AC 平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC.
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答案
4.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均相等，且側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面ABC所成的角為
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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√
答案
取BC的中點E，連接AE，DE(圖略)，
由題意知DE⊥平面ABC，即∠DAE為AD與平面ABC所成的角，
設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長為2，
則DE=1，AE=，
所以∠DAE=30°.
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答案
5.如圖所示，定點A和B都在平面α內(nèi)，定點P α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.無法確定
易證AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，
所以AC⊥BC.
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答案
6.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，D是A1B1的中點，點F在BB1上，記B1F=λBF，若AB1⊥平面C1DF，則實數(shù)λ的值為
A. B.
C. D.1
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答案
因為C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，
又AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1，
作DF⊥AB1交BB1于點F，
因為C1D∩DF=D，C1D，DF 平面C1DF，
所以AB1⊥平面C1DF，
在矩形A1B1BA中，連接A1B，因為AB=A1A，
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答案
所以四邊形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，
所以DF∥A1B，
又D為A1B1的中點，
所以F為BB1的中點，即B1F=BF，所以λ=1.
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答案
7.已知空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC，BD的位置關(guān)系是　　　.
如圖，取BD的中點O，
連接AO，CO，
則BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO=O，AO，CO 平面AOC，
∴BD⊥平面AOC，又AC 平面AOC，∴BD⊥AC.
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垂直
答案
8.在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥平面ABCD，PA=1，則PC與平面ABCD所成的角是　　　　.
由題意知∠PCA為PC與平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中，tan∠PCA=，
∴∠PCA=30°.
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30°
答案
9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的點，F(xiàn)是AC上的點，且EF與直線AC，A1D都垂直相交.求證：EF∥BD1.
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答案
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如圖所示，連接AB1，B1C，BD，B1D1，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可證BD1⊥B1C，
答案
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又AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
答案
10.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE=DA=2.
(1)求證：AC⊥平面BDE；
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∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BDE，BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE.
答案
(2)求AE與平面BDE所成的角的大小.
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答案
如圖所示，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直線AE在平面BDE上的投影，
∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，DE=DA=2，
∴EA=，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO=，
∴∠AEO=30°，
即AE與平面BDE所成的角為30°.
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答案
11.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有
A.AG⊥△EFH所在平面
B.AH⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
√
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綜合運用
根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，可推出AH⊥平面EFH.
答案
12.在四面體P-ABC中，若PA=PB=PC，則點P在平面ABC上的投影一定是△ABC的
A.外心 B.內(nèi)心
C.垂心 D.重心
√
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答案
如圖，設(shè)點P在平面ABC上的投影為點O，連接OP，則PO⊥平面ABC，
連接OA，OB，OC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
又PA=PB=PC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA=OB=OC，
∴O為△ABC的外心.
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答案
13.(多選)已知四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等，且M，N分別是棱PD，BC的中點，則
A.MN∥PB B.MN∥平面PAB
C.MN⊥PA D.MN⊥平面PAD
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√
答案
對于A，因為PB 平面PBC，N∈平面PBC，N 直線PB，M 平面PBC，所以MN與PB是異面直線，故A錯誤；
對于B，取E為PA的中點，連接ME，BE(圖略)，所以EM∥AD，EM=AD，
又BN∥AD，BN=AD，
所以BN∥EM，BN=EM，
即四邊形BNME為平行四邊形，所以MN∥BE，
因為BE 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB，故B正確；
對于C，因為PB=AB，E為PA的中點，所以BE⊥PA，因為MN∥BE，所以MN⊥PA，故C正確；
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答案
對于D，若MN⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以MN⊥AD，
因為四棱錐P-ABCD的所有棱長相等，所以底面ABCD是正方形，取F為AD的中點，連接MF，NF(圖略)，所以NF⊥AD，因為MN∩NF=N，MN，NF 平面MNF，所以AD⊥平面MNF，
又MF 平面MNF，所以MF⊥AD，
又MF∥PA，
所以PA⊥AD，這與△PAD為等邊三角形，∠PAD=60°矛盾，故MN不垂直于平面PAD，故D錯誤.
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答案
14.一條與平面α相交的線段AB，其長度為10 cm，兩端點A，B到平面α的距離分別是3 cm，2 cm，則線段AB與平面α所成的角的大小是　　　　.
如圖，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分別為C，D，則AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB相交于點O，AB=10 cm，AC=3 cm，BD=2 cm，則AO=6 cm，BO=4 cm，
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30°
∴∠AOC=∠BOD=30°，即線段AB與平面α所成的角的大小為30°.
答案
拓廣探究
15.已知四邊形ABCD是正方形，將△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，點G為△D1AC的重心，點E在線段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A.若CE=λEB，則λ=　 　，直線GB與平面D1AC所成角的正切值為　 　.
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答案
如圖所示，延長CG交AD1于點F，連接BF，則F為AD1的中點，如圖所示，
因為GE∥平面D1AB，GE 平面CBF，平面CBF∩平面D1AB=BF，
所以GE∥BF，
因為點G為△D1AC的重心，
所以CG=2GF，
所以CE=2EB，λ=2.
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答案
取CA的中點O，連接OB，GB，GO，OD1，則OB⊥AC，
設(shè)正方形ABCD的邊長為2，
因為GE∥BF，GE⊥D1A，所以BF⊥D1A，
又F為AD1的中點，
所以AB=D1B=2，
在Rt△ABC中，AC=2
，
同理可得，D1O=，
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答案
因為D1O2+OB2=D1B2，所以O(shè)B⊥D1O，
又AC∩D1O=O，
AC，D1O 平面D1AC，
所以O(shè)B⊥平面D1AC，
則GO為GB在平面D1AC內(nèi)的射影，
所以∠OGB為直線GB與平面D1AC所成的角，
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答案
在Rt△OGB中，GO=，
tan∠OGB==3.
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答案
16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，AD=PD=4，點Q是PC的中點.
(1)求證：PA∥平面BDQ；
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答案
如圖所示，連接AC，交BD于點O，連接QO，
因為底面ABCD是矩形，
所以O(shè)為AC的中點，
又點Q是PC的中點，
∴PA∥QO，
又PA 平面BDQ，QO 平面BDQ，
∴PA∥平面BDQ.
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答案
(2)在線段AB上是否存在點F，使得直線PF與平面PAD所成的角為30°？若存在，求出AF的長，若不存在，請說明理由.
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答案
∵PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PD⊥AB，
又AD⊥AB，PD∩AD=D，AD，PD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
∴直線PF與平面PAD所成的角即為∠APF=30°，
∵AP=，
∴AF=APtan 30°=，
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答案
∴當AB≥時，在線段AB上存在點F，
使得直線PF與平面PAD所成的角為30°，
此時AF=；
當01
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答案5.1　直線與平面垂直
[學(xué)習目標]　1.了解直線與平面垂直的定義，了解直線與平面所成角的概念，了解點到平面的距離和直線到平面的距離.2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并會用定理證明相關(guān)問題.3.掌握直線與平面垂直的判定定理，并會用定理判定線面垂直.
一、直線與平面垂直的定義
問題1　如圖，假設(shè)旗桿與地面的交點為點B，在陽光下觀察，直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC，隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，它們的位置關(guān)系如何？
問題2　在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，將這一結(jié)論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？
知識梳理
1.直線與平面垂直的定義
定義 如果直線l與平面α內(nèi)的__________直線都垂直，那么稱直線l與平面α垂直
記法 l_____α
有關(guān)概念 直線l稱為平面α的__________，平面α稱為直線l的__________，它們唯一的公共點P稱為__________
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
2.從平面外一點作一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離稱為點到平面的距離，也就是點到平面垂線段的長.
例1　(多選)下列說法，正確的是(　　)
A.若直線l垂直于平面α，則直線l垂直于平面α內(nèi)任一直線
B.若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，則l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，則a∥α
跟蹤訓(xùn)練1　若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l與α的位置關(guān)系是(　　)
A.直線l和平面α相互平行
B.直線l和平面α相互垂直
C.直線l在平面α內(nèi)
D.不能確定
二、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
問題3　如果兩條直線同垂直于另一條直線，這兩條直線具有什么樣的位置關(guān)系？
提示　平行、相交或異面.
知識梳理
1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線__________
符號語言 a⊥α，b⊥α a∥b
圖形語言
2.如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點到平面的距離就是這條直線到這個平面的距離；如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫作這兩個平行平面間的距離.
例2　如圖，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F(xiàn)是BE的中點，
求證：DF∥平面ABC.
反思感悟　證明線線平行的常用方法
(1)利用線線平行的定義：證明共面且無公共點.
(2)利用基本事實4：證明兩線同時平行于第三條直線.
(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行.
(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)直線a和b在正方體ABCD-A1B1C1D1的兩個不同平面內(nèi)，使a∥b成立的條件是(　　)
A.a和b垂直于正方體的同一個面
B.a和b在正方體兩個相對的面內(nèi)，且共面
C.a和b平行于同一條棱
D.a和b在正方體的兩個面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直
(2)已知直線l∩平面α=O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA=AB.若AC⊥平面α，垂足為C，BD⊥平面α，垂足為D，AC=1，則BD=　　　　.
三、直線與平面所成的角
知識梳理
對應(yīng) 圖形
斜線 一條直線與一個平面__________，但不與這個平面__________，這條直線稱為這個平面的斜線，如圖中__________
斜足 斜線和平面的__________，如圖中__________
投影 過斜線上斜足以外的一點向平面作____，過_____和______的直線稱為斜線在這個平面上的投影，如圖中斜線PA在平面α上的投影為__________
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，如圖中__________ 規(guī)定：一條直線垂直于平面，則它們所成的角是__________；一條直線與平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是__________的角
取值范圍 設(shè)直線與平面所成的角為θ，則__________
例3　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直線A1B與平面ABCD所成角的大小為　　　　；
(2)直線AC1與平面ABCD所成角的余弦值為　　　　；
(3)設(shè)AC的中點為O，則OD1與平面ABCD所成角的正切值為　　　　.
反思感悟　求斜線與平面所成角的步驟
(1)找角：斜線與斜線在平面內(nèi)的投影所成的角；
(2)計算：通常在垂線段、斜線和投影所組成的直角三角形中計算.
跟蹤訓(xùn)練3　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
四、直線與平面垂直的判定定理
問題4　如果一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，這條直線和平面具有什么樣的位置關(guān)系？
問題5　如圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).觀察并思考：折痕AD與桌面垂直嗎？為什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面α垂直？
知識梳理
文字語言 如果一條直線與一個平面內(nèi)的__________垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言 a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b=A l⊥α
圖形語言
例4　(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC與BD交于點O，求證：A1O⊥平面MBD.
(2)如圖，在四面體P-ABC中，已知BC=6，PC=10，PB=2，點E在線段AB上，且EF⊥PB.求證：PB⊥平面CEF.
反思感悟　證明線面垂直的方法
(1)由線線垂直證明線面垂直：
①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直.
(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
跟蹤訓(xùn)練4　如圖，AB為☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足.
(1)求證：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
1.知識清單：
(1)直線與平面垂直的定義.
(2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理.
(3)直線與平面垂直的判定定理.
(4)直線與平面所成的角.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化思想.
3.常見誤區(qū)：忽略判定定理中在平面內(nèi)找的兩條直線必須是相交直線.
1.(多選)下列能保證一條直線與一個平面垂直的是(　　)
A.該直線垂直于三角形的兩邊
B.該直線垂直于梯形的兩邊
C.該直線垂直于圓的兩條直徑
D.該直線垂直于正六邊形的兩條邊
2.若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(　　)
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
3.若點A，B在平面α的同側(cè)，且點A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
4.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，則直線PB與平面ABC所成的角的度數(shù)為　　　　.
答案精析
問題1　垂直.
問題2　一條.
知識梳理
1.任何一條　⊥　垂線　垂面　垂足
例1　AC　[由線面垂直的定義知，A正確；當l⊥α時，l與α內(nèi)的直線相交或異面，但不會平行，故B錯誤；C顯然正確；D中，a可能在α內(nèi)，故D錯誤.]
跟蹤訓(xùn)練1　D　[如圖，由圖可知l和α相互平行、垂直、相交(不垂直)以及l(fā)在平面α內(nèi)都有可能.]
問題3　平行、相交或異面.
知識梳理
1.平行
例2　證明　取AB的中點G，連接FG，CG，如圖可得FG∥AE，F(xiàn)G=AE.
因為CD⊥平面ABC，
AE⊥平面ABC，
AE=2a，
CD=a，
所以CD∥AE，
且CD=AE，
所以FG∥CD，
FG=CD.
所以四邊形CDFG是平行四邊形，
所以DF∥CG.
又因為CG 平面ABC，
DF 平面ABC，
所以DF∥平面ABC.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)ABC　[A中為直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用；B中為面面平行的性質(zhì)；C中為基本事實4的應(yīng)用；D中若a，b為同一頂點處的兩條棱所在直線，且都與另一條棱垂直，則a與b垂直，不平行.]
(2)2
解析　如圖，
連接OD，
因為AC⊥平面α，BD⊥平面α，
所以AC∥BD，
所以=.
因為OA=AB，所以=.
因為AC=1，所以BD=2.
知識梳理
相交　垂直　直線PA　交點　點A
垂線　垂足　斜足　直線AO　∠PAO　直角　0°　0°≤θ≤90°
例3　(1)45°　(2)　(3)
解析　(1)∵A1A⊥平面ABCD，∠A1BA為A1B與平面ABCD所成的角，易得∠A1BA=45°.
(2)∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1AC是直線AC1與平面ABCD所成的角，設(shè)正方體棱長為a，
則AC=a，AC1=a，
∴cos∠C1AC==.
(3)∵D1D⊥平面ABCD，
∴∠D1OD是直線OD1與平面ABCD所成的角，
設(shè)正方體棱長為a，
則DD1=a，OD=a，
∴tan∠D1OD==.
跟蹤訓(xùn)練3　D　[畫出圖形，
如圖，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，
在三棱錐D-ACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點D在底面ACD1內(nèi)的投影為等邊△ACD1的垂心即中心H，連接D1H，DH，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角，設(shè)正方體的棱長為a，
則cos∠DD1H==.]
問題4　平行、相交或在平面內(nèi).
問題5　折痕AD與桌面不垂直，因為AD與BD，CD都不垂直.如圖，折痕AD是BC邊上的高時，AD與桌面所在平面α垂直，這時，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD，CD都垂直.
知識梳理
兩條相交直線
例4　(1)證明　∵四邊形ABCD為正方形，
∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，
又AA1∩AC=A，AA1，
AC 平面AA1O，
∴BD⊥平面AA1O，
A1O 平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
設(shè)正方體的棱長為2，連接OM，
A1M(圖略)，
則A1O=，OM=，A1M=3，
∴A1O2+OM2=A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD=O，OM，
BD 平面MBD，
∴A1O⊥平面MBD.
(2)證明　在△PCB中，
∵PC=10，BC=6，
PB=2，CF=，
∴PC2+BC2=PB2，
∴△PCB為直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC=PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF=F，
EF，CF 平面CEF，
∴PB⊥平面CEF.
跟蹤訓(xùn)練4　證明　(1)∵AB為☉O的直徑，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，
BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM=A，
PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，
且BM∩PM=M，
BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
∵PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
∵AQ⊥PB，AN∩AQ=A，
AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
隨堂演練
1.AC　2.C　3.A　4.45°作業(yè)51　直線與平面垂直
(分值：100分)
單選題每小題5分，共35分；多選題每小題6分，共12分
1.已知△ABC，若直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則l，m的位置關(guān)系是(　　)
A.相交 B.異面
C.平行 D.不確定
2.(多選)下列說法正確的有(　　)
A.如果一條直線垂直于平面內(nèi)的四條直線，那么這條直線和這個平面垂直
B.過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直
C.如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面
D.過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi)
3.如圖，α，β是兩個不同的平面，A，C是平面α上兩個不同的點，B是平面β上的點，α∩β=l，且AB⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的位置關(guān)系是(　　)
A.異面 B.平行
C.垂直 D.不確定
4.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均相等，且側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面ABC所成的角為(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.如圖所示，定點A和B都在平面α內(nèi)，定點P α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為(　　)
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.無法確定
6.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，D是A1B1的中點，點F在BB1上，記B1F=λBF，若AB1⊥平面C1DF，則實數(shù)λ的值為(　　)
A. B.
C. D.1
7.已知空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC，BD的位置關(guān)系是　　　　　.
8.在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥平面ABCD，PA=1，則PC與平面ABCD所成的角是　　　　.
9.(10分)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的點，F(xiàn)是AC上的點，且EF與直線AC，A1D都垂直相交.求證：EF∥BD1.
10.(11分)如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE=DA=2.
(1)求證：AC⊥平面BDE；(5分)
(2)求AE與平面BDE所成的角的大小.(6分)
11.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有(　　)
A.AG⊥△EFH所在平面
B.AH⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
12.在四面體P-ABC中，若PA=PB=PC，則點P在平面ABC上的投影一定是△ABC的(　　)
A.外心 B.內(nèi)心
C.垂心 D.重心
13.(多選)已知四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等，且M，N分別是棱PD，BC的中點，則(　　)
A.MN∥PB
B.MN∥平面PAB
C.MN⊥PA
D.MN⊥平面PAD
14.一條與平面α相交的線段AB，其長度為10 cm，兩端點A，B到平面α的距離分別是3 cm，2 cm，則線段AB與平面α所成的角的大小是　　　　.
15.已知四邊形ABCD是正方形，將△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，點G為△D1AC的重心，點E在線段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A.若CE=λEB，則λ=　　　　，直線GB與平面D1AC所成角的正切值為　　　　.
16.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，AD=PD=4，點Q是PC的中點.
(1)求證：PA∥平面BDQ；(5分)
(2)在線段AB上是否存在點F，使得直線PF與平面PAD所成的角為30°？若存在，求出AF的長，若不存在，請說明理由.(7分)
答案精析
1.C　2.BCD　3.C　4.A　5.B
6.D　[因為C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，
又AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1，
作DF⊥AB1交BB1于點F，
因為C1D∩DF=D，C1D，
DF 平面C1DF，
所以AB1⊥平面C1DF，
在矩形A1B1BA中，連接A1B，因為AB=A1A，
所以四邊形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，
又D為A1B1的中點，
所以F為BB1的中點，即B1F=BF，所以λ=1.]
7.垂直
8.30°
解析　由題意知∠PCA為PC與平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中，tan∠PCA===，
∴∠PCA=30°.
9.證明　如圖所示，連接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，
BD∩DD1=D，
BD，DD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可證BD1⊥B1C，
又AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
10.(1)證明　∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BDE，BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)解　如圖所示，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直線AE在平面BDE上的投影，
∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，DE=DA=2，
∴EA==2，AO=，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO==，
∴∠AEO=30°，
即AE與平面BDE所成的角為30°.
11.B
12.A　[如圖，設(shè)點P在平面ABC上的投影為點O，連接OP，則PO⊥平面ABC，
連接OA，OB，OC，
∴PO⊥OA，
PO⊥OB，
PO⊥OC，
又PA=PB=PC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA=OB=OC，
∴O為△ABC的外心.]
13.BC　[對于A，因為PB 平面PBC，N∈平面PBC，N 直線PB，M 平面PBC，所以MN與PB是異面直線，故A錯誤；
對于B，取E為PA的中點，連接ME，BE(圖略)，所以EM∥AD，EM=AD，又BN∥AD，BN=AD，
所以BN∥EM，BN=EM，
即四邊形BNME為平行四邊形，所以MN∥BE，
因為BE 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB，故B正確；
對于C，因為PB=AB，E為PA的中點，所以BE⊥PA，因為MN∥BE，所以MN⊥PA，故C正確；
對于D，若MN⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以MN⊥AD，
因為四棱錐P-ABCD的所有棱長相等，所以底面ABCD是正方形，取F為AD的中點，連接MF，NF(圖略)，所以NF⊥AD，因為MN∩NF=N，MN，NF 平面MNF，
所以AD⊥平面MNF，
又MF 平面MNF，所以MF⊥AD，
又MF∥PA，
所以PA⊥AD，這與△PAD為等邊三角形，∠PAD=60°矛盾，故MN不垂直于平面PAD，故D錯誤.]
14.30°
解析　如圖，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分別為C，D，則AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB相交于點O，
AB=10 cm，AC=3 cm，BD=2 cm，則AO=6 cm，BO=4 cm，
∴∠AOC=∠BOD=30°，即線段AB與平面α所成的角的大小為30°.
15.2　3
解析　如圖所示，
延長CG交AD1于點F，連接BF，則F為AD1的中點，如圖所示，
因為GE∥平面D1AB，GE 平面CBF，平面CBF∩平面D1AB=BF，
所以GE∥BF，
因為點G為△D1AC的重心，
所以CG=2GF，
所以CE=2EB，λ=2.
取CA的中點O，連接OB，GB，GO，OD1，
則OB⊥AC，
設(shè)正方形ABCD的邊長為2，
因為GE∥BF，GE⊥D1A，
所以BF⊥D1A，
又F為AD1的中點，
所以AB=D1B=2，
在Rt△ABC中，AC=2，
OB=AC=，
同理可得，D1O=，
因為D1O2+OB2=D1B2，
所以O(shè)B⊥D1O，
又AC∩D1O=O，
AC，D1O 平面D1AC，
所以O(shè)B⊥平面D1AC，
則GO為GB在平面D1AC內(nèi)的射影，
所以∠OGB為直線GB與平面D1AC所成的角，
在Rt△OGB中，GO=D1O=，
tan∠OGB==3.
16.(1)證明　如圖所示，連接AC，交BD于點O，連接QO，
因為底面ABCD是矩形，
所以O(shè)為AC的中點，
又點Q是PC的中點，
∴PA∥QO，
又PA 平面BDQ，QO 平面BDQ，
∴PA∥平面BDQ.
(2)解　∵PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PD⊥AB，
又AD⊥AB，PD∩AD=D，
AD，PD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
∴直線PF與平面PAD所成的角即為∠APF=30°，
∵AP==4，
∴AF=APtan 30°=，
∴當AB≥時，在線段AB上存在點F，使得直線PF與平面PAD所成的角為30°，
此時AF=；
當0

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