資源簡介

(共79張PPT)
第六章
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4.2　平面與平面平行
1.理解并掌握平面與平面平行的性質定理.
2.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.
學習目標
上海世界博覽會的中國國家館被永久保留.中國國家館表達了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化的精神與氣質，展館共分三層，這三層給人以平行平面的感覺.
導 語
一、平面與平面平行的性質定理
二、平面與平面平行的判定定理
課時對點練
三、線面平行、面面平行的應用
隨堂演練
內容索引
平面與平面平行的性質定理
一
提示　平行.
若兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線與另一個平面有什么位置關系？
問題1
提示　平行或異面.
若兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線與另一個平面的直線有什么位置關系？
問題2
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線______
符號語言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b _________
圖形語言
平行
a∥b
夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等.
注 意 點
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　(1)如圖所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點，D'是B'C'的中點，設平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，試判斷直線a，b的位置關系，并證明.
例 1
直線a與b平行.證明如下：
連接DD'(圖略).
∵平面ABC∥平面A'B'C'，
平面A'D'B∩平面ABC=a，
平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D'，
∴A'D'∥a.
同理可證AD∥b.
∵D是BC的中點，D'是B'C'的中點，BC綊B'C'，
∴BD綊B'D'，
∴四邊形BB'D'D是平行四邊形，
∴DD'綊BB'.
又BB'綊AA'，∴DD'綊AA'，
∴四邊形AA'D'D為平行四邊形，
∴A'D'∥AD，∴a∥b.
(2)如圖，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS=8，BS=20，CD=15，求SC的長.
設AB，CD都在平面γ上，
因為γ∩α=AC，γ∩β=BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，
所以，
即，
所以SC=10.
　若將本例(2)改為點S在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長.
延伸探究
設AB，CD確定平面γ，γ∩α=AC，γ∩β=BD.
因為α∥β，所以AC∥BD，
所以△ACS∽△BDS，
所以.
設CS=x，則，
所以x=，
即CS=.
應用平面與平面平行性質定理的基本步驟
反
思
感
悟
二
平面與平面平行的判定定理
提示　平行或相交.
一個平面內的一條直線與另一個平面平行，則這兩個平面有什么位置關系？
問題3
提示　平行或相交.
一個平面內的無數條直線與另一個平面平行，則這兩個平面有什么位置關系？
問題4
文字語言 如果一個平面內的 與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 a α，b α，a∩b=A，a∥β，b∥β α∥β
圖形語言
兩條相交直線
　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點.
求證：(1)B，C，H，G四點共面；
例 2
∵GH是△A1B1C1的中位線，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四點共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
∵E，F分別為AB，AC的中點，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G=EB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
反
思
感
悟
應用平面與平面平行的判定定理，解答問題時一定要注意判定定理所需要的條件中與已知平面平行的兩條直線必須是相交的.
　如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.
跟蹤訓練 1
∵E，G分別是PC，BC的中點，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分別是PC，PD的中點，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
線面平行、面面平行的應用
三
　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點.
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
例 3
∵E，F分別為B1C1，A1B1的中點，
∴EF∥A1C1.
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G.
又F，G分別為A1B1，AB的中點，
∴A1F=BG，A1F∥BG，
∴四邊形A1GBF為平行四邊形，∴BF∥A1G.
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF=F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)若平面A1C1G∩BC=H，求證：H為BC的中點.
∵平面A1C1G與平面ABC有公共點G，
且平面A1C1G∩BC=H，
∴平面A1C1G∩平面ABC=GH.
又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1，∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.
∵G為AB的中點，∴H為BC的中點.
反
思
感
悟
(1)證明線面平行的兩種方法：一是由線線平行推出線面平行；二是由面面平行推出線面平行.
(2)線線平行、線面平行、面面平行三者之間可以相互轉化，要注意轉化思想的靈活運用.
　如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，N是PM與DE的交點，求證：NF∥CM.
跟蹤訓練 2
因為D，E分別是PA，PB的中點，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，又DE∩DF=D，
DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PMC∩平面DEF=NF，
平面PMC∩平面ABC=CM，
所以NF∥CM.
1.知識清單：
(1)平面與平面平行的性質定理.
(2)平面與平面平行的判定定理.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：判定平面與平面平行的條件不充分.
隨堂演練
四
1.下列命題正確的是
A.一個平面內兩條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
B.如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面
平行
C.平行于同一直線的兩個平面一定互相平行
D.如果一個平面內的無數多條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平
面平行
√
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如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，即兩個平面沒有公共點，則兩平面平行.
2.已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，則直線m與n的關系是
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行或異面
∵α∥β，∴α與β無公共點，
又m α，n β，∴m與n無公共點，
∴m與n平行或異面.
√
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3.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是
A.異面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
因為平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1=A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC=DE，所以A1B1∥DE.又因為A1B1∥AB，所以DE∥AB.
√
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4.如圖所示，P是△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A'，B'，C'，
若PA'∶AA'=2∶3，則S△A'B'C'∶S△ABC=　　　.
∵平面α∥平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為A'B'，AB，
∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，A'C'∥AC，
易得△ABC∽△A'B'C'，S△A'B'C'∶S△ABC=.
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課時對點練
五
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C B B A BCD 平行四邊形
題號 8 11 12　 13 14 15
答案 C AC 等腰梯形　 M在線段FH上
答案
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9.
因為點F為CD的中點，點H為PD的中點，
所以FH∥PC，
又FH 平面PCE，PC 平面PCE，
所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE=CF，
所以四邊形AECF為平行四邊形，所以AF∥CE，
又AF 平面PCE，CE 平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF=F，
所以平面AFH∥平面PCE.
答案
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10.
因為BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，
平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，所以EC∥A1D.
答案
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16.
如圖，設N為A1B1的中點，連接MN，AN，AC，CM，
則四邊形MNAC為所求的平面圖形.
因為M，N，E，F均為所在棱的中點，
所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，
所以AN∥平面DEF，
答案
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16.
又MN∩AN=N，MN，AN 平面MNAC，
所以平面MNAC∥平面DEF.
易知MN∥AC，四邊形MNAC為梯形，
且MN=AC=2，
又AN=MC==2，所以梯形MNAC為等腰梯形，過點M作MP⊥AC于點P，PC==，
所以MP==，
所以S梯形MNAC=×(2+4)×=6.
答案
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1.已知α，β是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面α與平面β平行的是
A.平面α內有一條直線與平面β平行
B.平面α內有兩條直線與平面β平行
C.平面α內有一條直線與平面β內的一條直線平行
D.平面α與平面β無公共點
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基礎鞏固
答案
選項A，C不正確，因為兩個平面可能相交；
選項B不正確，因為平面α內的這兩條直線必須相交才能得到平面α與平面β平行；
由平面與平面平行的定義知，D正確.
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答案
2.設α，β表示兩個不同平面，m表示一條直線，下列命題正確的是
A.若m∥α，α∥β，則m∥β
B.若m∥α，m∥β，則α∥β
C.若m α，α∥β，則m∥β
D.若m α，m∥β，則α∥β
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答案
若m∥α，α∥β，則m∥β或m β，A不正確；
若m∥α，m∥β，則α∥β或α，β相交，B不正確；
若m α，α∥β，可得m，β沒有公共點，即m∥β，C正確；
若m α，m∥β，則α∥β或α，β相交，D不正確.
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答案
3.下列四個正方體圖形中，A，B，C為所在棱的中點，D，E，F為正方體的頂點，則能得出平面ABC∥平面DEF的是
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B中，可證AB∥DE，BC∥DF，又DE，DF 平面DEF，故可以證明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC=B，且AB，BC 平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF.
√
答案
4.如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀為
A.梯形
B.平行四邊形
C.可能是梯形也可能是平行四邊形
D.矩形
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答案
因為平面ABFE∥平面CGHD，且平面EFGH∩平面ABFE=EF，平面EFGH∩平面CGHD=GH，根據平面與平面平行的性質定理可知EF∥GH，同理可證明EH∥FG.
所以四邊形EFGH為平行四邊形.
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答案
5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點E在棱A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，則AF的長為
A.1 B.1.5
C.2 D.3
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答案
∵平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1=A1F，
平面BC1E∩平面ABB1A1=BE，
∴A1F∥BE，又A1E∥FB，
∴四邊形A1FBE為平行四邊形，
∴FB=A1E=3-1=2，
∴AF=1.
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答案
6.(多選)如圖是某正方體的平面展開圖(表面朝下).關于這個正方體，有以下判斷，其中正確的是
A.BM∥DE
B.CN∥平面AF
C.平面BDM∥平面AFN
D.平面BDE∥平面NCF
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答案
以平面ABCD為下底面還原正方體，如圖，
則易判定B，C，D正確.
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答案
7.如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是　 　　　.
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平行四邊形
由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得.
答案
8.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1
平行的平面交AB于M，交BC于N，則=　　　.
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答案
∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性質定理可得
EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E為BB1的中點，
∴M，N分別為BA，BC的中點，
∴MN=.
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答案
9.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，E，F，H分別為AB，CD，PD的中點，求證：平面AFH∥平面PCE.
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因為點F為CD的中點，點H為PD的中點，
所以FH∥PC，
又FH 平面PCE，PC 平面PCE，
所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE=CF，
所以四邊形AECF為平行四邊形，
所以AF∥CE，
答案
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又AF 平面PCE，CE 平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF=F，
所以平面AFH∥平面PCE.
答案
10.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E.求證：EC∥A1D.
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因為BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，
所以EC∥A1D.
答案
11.已知a，b，c，d是四條直線，α，β是兩個不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，則α與β的位置關系是
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.以上都不對
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綜合運用
答案
根據圖①和圖②可知α與β平行或相交.
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答案
12.(多選)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分別為線段AB，A1B1，AA1的中點，下列說法正確的是
A.平面AC1F∥平面B1CE
B.直線FG∥平面B1CE
C.直線CG與BF異面
D.直線C1F與平面CGE相交
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答案
對于A，在三棱柱ABC-A1B1C1中，
E，F，G分別為線段AB，A1B1，AA1的中點，
所以B1E∥AF，又AF 平面AC1F，B1E 平面AC1F，
所以B1E∥平面AC1F，
同理可證CE∥平面AC1F，
又B1E∩CE=E，B1E，CE 平面B1CE，
所以平面AC1F∥平面B1CE，所以A正確；
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答案
對于B，因為F，G分別是線段A1B1，AA1的中點，
所以FG∥AB1，AB1∩B1E=B1，所以FG與B1E相交，所以直線FG與平面B1CE相交，所以B錯誤；
對于C，CG與BF不同在任何一個平面內，所以CG與BF是異面直線，所以C正確；
對于D，因為CE∥C1F，CE 平面CGE，
C1F 平面CGE，
所以直線C1F∥平面CGE，所以D錯誤.
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答案
13.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中點，過C1，B，
M作正方體的截面，則這個截面的形狀是　 　　　，截面的面積是　　.
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等腰梯形
　
答案
如圖，取AA1的中點N，連接MN，NB，MC1，BC1，AD1，
因為MN∥AD1，AD1∥BC1，
故MN∥BC1，
且MN=.
則截面MNBC1為梯形，
又BN=C1M=，故梯形MNBC1為等腰梯形，
易得梯形的高為，
所以梯形的面積為.
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答案
14.已知直線l與平面α，β，γ依次交于點A，B，C，直線m與平面α，β，γ依次交于點D，E，F，若α∥β∥γ，AB=EF=3，BC=4，則DE=　　　.
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答案
如圖，連接CD交平面β于點G，連接EG，BG，AD，CF，
設l與CD確定的平面為α1，
因為α∩α1=AD，β∩α1=BG，
且α∥β，所以AD∥BG，
所以，
同理可得，GE∥CF，，
所以，
所以DE=.
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答案
拓廣探究
15.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH上及其內部運動，則M滿足　　　　　　　時，有MN∥平面B1BDD1.
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M在線段FH上
答案
如圖，連接HN，FH，FN.
則HN∥BD，FH∥D1D，
∵HN∥BD，HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，
∴HN∥平面B1BDD1，同理HF∥平面B1BDD1，
又∵HN∩HF=H，HN，HF 平面FHN，
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵點M在四邊形EFGH上及其內部運動，
∴M∈FH.
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答案
16.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，BB1=2，點E，F，M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點，過點M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個平面圖形.在圖中，畫出這個平面圖形，并求出這個平面圖形的面積(不必說明畫法與理由).
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答案
如圖，設N為A1B1的中點，連接MN，AN，AC，CM，
則四邊形MNAC為所求的平面圖形.
因為M，N，E，F均為所在棱的中點，
所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，
所以AN∥平面DEF，
又MN∩AN=N，MN，AN 平面MNAC，
所以平面MNAC∥平面DEF.
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答案
易知MN∥AC，四邊形MNAC為梯形，
且MN=，
又AN=MC=，
所以梯形MNAC為等腰梯形，
過點M作MP⊥AC于點P，PC=，
所以MP=，
所以S梯形MNAC=.
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答案4.2　平面與平面平行
[學習目標]　1.理解并掌握平面與平面平行的性質定理.2.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.
一、平面與平面平行的性質定理
問題1　若兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線與另一個平面有什么位置關系？
問題2　若兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線與另一個平面的直線有什么位置關系？
知識梳理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線____
符號語言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b ____
圖形語言
例1　(1)如圖所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點，D'是B'C'的中點，設平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，試判斷直線a，b的位置關系，并證明.
(2)如圖，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS=8，BS=20，CD=15，求SC的長.
延伸探究　若將本例(2)改為點S在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長.
反思感悟　應用平面與平面平行性質定理的基本步驟
二、平面與平面平行的判定定理
問題3　一個平面內的一條直線與另一個平面平行，則這兩個平面有什么位置關系？
問題4　一個平面內的無數條直線與另一個平面平行，則這兩個平面有什么位置關系？
知識梳理
文字語言 如果一個平面內的________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 a α，b α，a∩b=A，a∥β，b∥β α∥β
圖形語言
例2　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點.
求證：(1)B，C，H，G四點共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
反思感悟　應用平面與平面平行的判定定理，解答問題時一定要注意判定定理所需要的條件中與已知平面平行的兩條直線必須是相交的.
跟蹤訓練1　如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.
三、線面平行、面面平行的應用
例3　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點.
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC=H，求證：H為BC的中點.
反思感悟　(1)證明線面平行的兩種方法：一是由線線平行推出線面平行；二是由面面平行推出線面平行.
(2)線線平行、線面平行、面面平行三者之間可以相互轉化，要注意轉化思想的靈活運用.
跟蹤訓練2　如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，N是PM與DE的交點，求證：NF∥CM.
1.知識清單：
(1)平面與平面平行的性質定理.
(2)平面與平面平行的判定定理.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：判定平面與平面平行的條件不充分.
1.下列命題正確的是(　　)
A.一個平面內兩條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
B.如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
C.平行于同一直線的兩個平面一定互相平行
D.如果一個平面內的無數多條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
2.已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，則直線m與n的關系是(　　)
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行或異面
3.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是(　　)
A.異面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
4.如圖所示，P是△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，則S△A'B'C'∶S△ABC=　　　　.
答案精析
問題1　平行.
問題2　平行或異面.
知識梳理
平行　a∥b
例1　(1)證明　直線a與b平行.
證明如下：
連接DD'(圖略).
∵平面ABC∥平面A'B'C'，
平面A'D'B∩平面ABC=a，
平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D'，
∴A'D'∥a.
同理可證AD∥b.
∵D是BC的中點，D'是B'C'的中點，BC綊B'C'，
∴BD綊B'D'，
∴四邊形BB'D'D是平行四邊形，
∴DD'綊BB'.
又BB'綊AA'，∴DD'綊AA'，
∴四邊形AA'D'D為平行四邊形，
∴A'D'∥AD，∴a∥b.
(2)解　設AB，CD都在平面γ上，
因為γ∩α=AC，γ∩β=BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，
所以=，即=，
所以SC=10.
延伸探究　解　設AB，CD確定平面γ，γ∩α=AC，γ∩β=BD.
因為α∥β，所以AC∥BD，
所以△ACS∽△BDS，
所以=.
設CS=x，則=，
所以x=，即CS=.
問題3　平行或相交.
問題4　平行或相交.
知識梳理
兩條相交直線
例2　證明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位線，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四點共面.
(2)∵E，F分別為AB，AC的中點，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，
BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G=EB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，
GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E，A1E，
EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
跟蹤訓練1　證明　∵E，G分別是PC，BC的中點，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，
PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分別是PC，PD的中點，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，
AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG=E，
EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
例3　證明　(1)∵E，F分別為B1C1，A1B1的中點，
∴EF∥A1C1.
∵A1C1 平面A1C1G，
EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G.
又F，G分別為A1B1，AB的中點，
∴A1F=BG，A1F∥BG，
∴四邊形A1GBF為平行四邊形，
∴BF∥A1G.
∵A1G 平面A1C1G，
BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF=F，EF，
BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面A1C1G與平面ABC有公共點G，
且平面A1C1G∩BC=H，
∴平面A1C1G∩平面ABC=GH.
又平面ABC∥平面A1B1C1，
平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1，
∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.
∵G為AB的中點，
∴H為BC的中點.
跟蹤訓練2　證明　因為D，E分別是PA，PB的中點，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，又DE∩DF=D，
DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PMC∩平面DEF=NF，
平面PMC∩平面ABC=CM，
所以NF∥CM.
隨堂演練
1.B　2.D　3.B　4.作業50　平面與平面平行
(分值：100分)
單選題每小題5分，共30分；多選題每小題6分，共12分
1.已知α，β是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面α與平面β平行的是(　　)
A.平面α內有一條直線與平面β平行
B.平面α內有兩條直線與平面β平行
C.平面α內有一條直線與平面β內的一條直線平行
D.平面α與平面β無公共點
2.設α，β表示兩個不同平面，m表示一條直線，下列命題正確的是(　　)
A.若m∥α，α∥β，則m∥β
B.若m∥α，m∥β，則α∥β
C.若m α，α∥β，則m∥β
D.若m α，m∥β，則α∥β
3.下列四個正方體圖形中，A，B，C為所在棱的中點，D，E，F為正方體的頂點，則能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　)
4.如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀為(　　)
A.梯形
B.平行四邊形
C.可能是梯形也可能是平行四邊形
D.矩形
5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點E在棱A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，則AF的長為(　　)
A.1 B.1.5
C.2 D.3
6.(多選)如圖是某正方體的平面展開圖(表面朝下).關于這個正方體，有以下判斷，其中正確的是(　　)
A.BM∥DE
B.CN∥平面AF
C.平面BDM∥平面AFN
D.平面BDE∥平面NCF
7.如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是　　　　.
8.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，則=　　　　.
9.(10分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，E，F，H分別為AB，CD，PD的中點，求證：平面AFH∥平面PCE.
10.(11分)如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E.求證：EC∥A1D.
11.已知a，b，c，d是四條直線，α，β是兩個不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，則α與β的位置關系是(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.以上都不對
12.(多選)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分別為線段AB，A1B1，AA1的中點，下列說法正確的是(　　)
A.平面AC1F∥平面B1CE
B.直線FG∥平面B1CE
C.直線CG與BF異面
D.直線C1F與平面CGE相交
13.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中點，過C1，B，M作正方體的截面，則這個截面的形狀是　　　　　　，截面的面積是　　　　.
14.已知直線l與平面α，β，γ依次交于點A，B，C，直線m與平面α，β，γ依次交于點D，E，F，若α∥β∥γ，AB=EF=3，BC=4，則DE=　　　　.
15.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH上及其內部運動，則M滿足　　　　　　　　　時，有MN∥平面B1BDD1.
16.(12分)如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，BB1=2，點E，F，M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點，過點M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個平面圖形.在圖中，畫出這個平面圖形，并求出這個平面圖形的面積(不必說明畫法與理由).
答案精析
1.D　2.C　3.B　4.B
5.A　[∵平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1=A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1=BE，
∴A1F∥BE，又A1E∥FB，
∴四邊形A1FBE為平行四邊形，
∴FB=A1E=3-1=2，
∴AF=1.]
6.BCD
7.平行四邊形
解析　由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得.
8.
解析　∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性質定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E為BB1的中點，
∴M，N分別為BA，BC的中點，
∴MN=AC，即=.
9.證明　因為點F為CD的中點，點H為PD的中點，
所以FH∥PC，
又FH 平面PCE，PC 平面PCE，
所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE=CF，
所以四邊形AECF為平行四邊形，
所以AF∥CE，
又AF 平面PCE，CE 平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF=F，
所以平面AFH∥平面PCE.
10.證明　因為BE∥AA1，
AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，
平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，
所以EC∥A1D.
11.C
12.AC　[對于A，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分別為線段AB，A1B1，AA1的中點，
所以B1E∥AF，又AF 平面AC1F，B1E 平面AC1F，
所以B1E∥平面AC1F，
同理可證CE∥平面AC1F，
又B1E∩CE=E，
B1E，CE 平面B1CE，
所以平面AC1F∥平面B1CE，所以A正確；
對于B，因為F，G分別是線段A1B1，AA1的中點，
所以FG∥AB1，AB1∩B1E=B1，所以FG與B1E相交，所以直線FG與平面B1CE相交，所以B錯誤；
對于C，CG與BF不同在任何一個平面內，所以CG與BF是異面直線，所以C正確；
對于D，因為CE∥C1F，CE 平面CGE，
C1F 平面CGE，所以直線C1F∥平面CGE，所以D錯誤.]
13.等腰梯形　
解析　如圖，取AA1的中點N，連接MN，NB，MC1，BC1，AD1，
因為MN∥AD1，AD1∥BC1，
故MN∥BC1，
且MN=BC1=.
則截面MNBC1為梯形，
又BN=C1M=，故梯形MNBC1為等腰梯形，易得梯形的高為，
所以梯形的面積為×(+2)×=.
14.
解析　如圖，連接CD交平面β于點G，連接EG，BG，AD，CF，
設l與CD確定的平面為α1，
因為α∩α1=AD，
β∩α1=BG，
且α∥β，所以AD∥BG，
所以=，
同理可得，GE∥CF，=，
所以=，
所以DE===.
15.M在線段FH上
解析　如圖，連接HN，FH，FN.則HN∥BD，FH∥D1D，
∵HN∥BD，HN 平面B1BDD1，
BD 平面B1BDD1，
∴HN∥平面B1BDD1，
同理HF∥平面B1BDD1，
又∵HN∩HF=H，
HN，HF 平面FHN，
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵點M在四邊形EFGH上及其內部運動，∴M∈FH.
16.解　如圖，設N為A1B1的中點，連接MN，AN，AC，CM，
則四邊形MNAC為所求的平面圖形.
因為M，N，E，F均為所在棱的中點，
所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，
DE 平面DEF，
所以AN∥平面DEF，
又MN∩AN=N，
MN，AN 平面MNAC，
所以平面MNAC∥平面DEF.
易知MN∥AC，四邊形MNAC為梯形，
且MN=AC=2，
又AN=MC==2，所以梯形MNAC為等腰梯形，過點M作MP⊥AC于點P，
PC==，
所以MP==，
所以S梯形MNAC=×(2+4)×=6.

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