資源簡介

(共47張PPT)
4.1.2
第六章
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直線與平面平行的綜合應用
1.線面平行性質與判定定理的綜合應用.
2.掌握線面平行中的探索性問題.
學習目標
一、線面平行性質與判定定理的綜合應用
二、線面平行中的探索性問題
課時對點練
隨堂演練
內容索引
線面平行性質與判定定理的綜合應用
一
　已知α∩β=l，a∥α，a∥β，求證：a∥l.
例 1
如圖，過a作平面γ交平面α于b.
因為a∥α，所以a∥b，
過a作平面ε交平面β于c.
因為a∥β，所以a∥c，所以b∥c.
又b β且c β，所以b∥β.
因為b α且α∩β=l，
所以b∥l.
又a∥b，所以a∥l.
　若本例中條件改為“α∩β=l，γ∩β=m，γ∩α=n，且l∥m”，試判斷直線m，n的位置關系，并說明你的理由.
延伸探究
m∥n，證明如下：
如圖，因為l∥m，m γ，l γ，
所以l∥γ.
又l α，α∩γ=n，所以l∥n.
所以m∥n.
判定定理與性質定理常常交替使用，即先通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出線線平行，復雜的題目還可以繼續推下去，我們可稱它為平行鏈，如下：
線線平行 線面平行 線線平行.
線線、線面的轉化
反
思
感
悟
　如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面ABC外一點，E，F分別是PA，PC的中點.記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明.
跟蹤訓練 1
直線l∥平面PAC，證明如下：
因為E，F分別是PA，PC的中點，所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，
所以EF∥l.
因為l 平面PAC，EF 平面PAC，
所以l∥平面PAC.
二
線面平行中的探索性問題
　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論.
例 2
存在.證明如下：
如圖，取線段AB的中點為M，
連接A1M，MC，A1C，AC1，
設O為A1C，AC1的交點.
由已知得，O為AC1的中點，
連接MD，OE，OM，
則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，
所以MD∥AC且MD=AC，OE∥AC且OE=AC，
因此MD∥OE且MD=OE.
從而四邊形MDEO為平行四邊形，
則DE∥MO.
因為直線DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，
所以直線DE∥平面A1MC.
即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，
使直線DE∥平面A1MC.
反
思
感
悟
對線面平行探索可先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明.證明線面平行的關鍵是找線線平行，注意利用所給幾何體中隱含的線線位置關系，當題目中有中點時，一般考慮先探索中點，再用中位線定理找平行關系.
　如圖是一個以△A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為△ABC.已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在邊AB上是否存在一點O，使得OC∥平面A1B1C1？
跟蹤訓練 2
存在.如圖，取AB的中點O，連接OC.
作OD∥AA1交A1B1于點D，連接C1D，則OD∥BB1∥CC1.
因為O是AB的中點，
所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1，
則四邊形ODC1C是平行四邊形，所以OC∥C1D.
又C1D 平面A1B1C1，且OC 平面A1B1C1，
所以OC∥平面A1B1C1，
即在邊AB上存在一點O(AB的中點)，使得OC∥平面A1B1C1.
1.知識清單：
(1)線面平行性質與判定定理的綜合應用.
(2)線面平行中的探索性問題.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：在探索性問題中易漏結論.
隨堂演練
四
1.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.
求證：(1)EH∥平面BCD；
1
2
∵EH為△ABD的中位線，
∴EH∥BD.
∵EH 平面BCD，BD 平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
(2)BD∥平面EFGH.
1
2
∵BD∥EH，BD 平面EFGH，
EH 平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
2.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是SA上一點，試求點E的位置，使SC∥平面EBD，并證明.
1
2
點E的位置是棱SA的中點.
證明：取SA的中點E，連接EB，ED，AC，
設AC與BD的交點為O，連接EO(圖略).
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點O是AC的中點.
又E是SA的中點，∴OE是△SAC的中位線.
∴OE∥SC.
∵SC 平面EBD，OE 平面EBD，∴SC∥平面EBD.
故E的位置為棱SA的中點.
1
2
課時對點練
五
答案
1
2
3
4
5
1.
連接MO(圖略).
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點.
又∵M是PC的中點，
∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM=GH，∴AP∥GH.
2.
(1)因為BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AD∥BC，
又BC 平面PBC，AD 平面PBC，
則AD∥平面PBC.
(2)如圖，取PA的中點F，連接EF，BF，易得EF∥AD，
且EF=AD，
由(1)知AD∥BC且BC=AD，
則EF∥BC且EF=BC，則四邊形BCEF為平行四邊形，則CE∥BF，
又BF 平面PAB，CE 平面PAB，則CE∥平面PAB.
答案
1
2
3
4
5
3.
如圖，取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3FC，連接OP，OF，FQ.
因為AQ=3QC，
所以QF∥AD，且QF=AD.
因為點O，P分別為BD，BM的中點，
所以OP為△BDM的中位線，
所以OP∥DM且OP=DM.
答案
1
2
3
4
5
3.
又點M為AD的中點，
所以OP∥AD且OP=AD.
從而OP∥QF且OP=QF，
所以四邊形OPQF為平行四邊形，故PQ∥OF.
又PQ 平面BCD，OF 平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
答案
1
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5
4.
M是AC的中點.
若MB∥平面AEF，過F，B，M作平面FBMN交AE于N，連接MN，NF，如圖所示.因為BF∥平面AA1C1C，BF 平面FBMN，
平面FBMN∩平面AA1C1C=MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，
平面FBMN∩平面AEF=FN，
所以MB∥FN，
答案
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5
4.
所以BFNM是平行四邊形，
所以MN∥BF，MN=BF=1.
而EC∥FB，EC=2FB=2，
所以MN∥EC，MN=EC=1，
故MN是△ACE的中位線.
所以M是AC的中點時，MB∥平面AEF.
答案
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5
5.
(1)取PA中點G，連接BG，EG，如圖，
在△PAD中，因為E，G分別為所在邊的中點，
所以EG∥AD，且EG=AD，
又因為底面ABCD為平行四邊形，F為BC的中點，
所以BF∥AD，且BF=AD，
所以EG∥BF，且EG=BF，
所以四邊形BFEG為平行四邊形，
所以EF∥BG，因為EF 平面PAB，BG 平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
答案
1
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4
5
5.
(2)連接BD，交AC于H，連接EH，如圖，
因為PB∥平面ACE，PB 平面PBD，
平面PBD∩平面ACE=EH，
所以PB∥EH，
在△PBD中，H為BD中點，
所以E為PD中點.
答案
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5
1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.
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基礎鞏固
答案
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5
連接MO(圖略).
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點.
又∵M是PC的中點，
∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，
OM 平面BDM，∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM=GH，∴AP∥GH.
答案
2.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC=AD，E是PD的中點.求證：
(1)AD∥平面PBC；
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3
4
5
因為BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AD∥BC，
又BC 平面PBC，AD 平面PBC，
則AD∥平面PBC.
答案
(2)CE∥平面PAB.
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答案
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5
如圖，取PA的中點F，連接EF，BF，易得EF∥AD，
且EF=AD，
由(1)知AD∥BC且BC=AD，
則EF∥BC且EF=BC，則四邊形BCEF為平行四邊形，則CE∥BF，
又BF 平面PAB，CE 平面PAB，
則CE∥平面PAB.
答案
3.如圖，在四面體A-BCD中，點M為AD的中點，點P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC，求證：PQ∥平面BCD.
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答案
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如圖，取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3FC，連接OP，OF，FQ.
因為AQ=3QC，
所以QF∥AD，且QF=AD.
因為點O，P分別為BD，BM的中點，
所以OP為△BDM的中位線，
所以OP∥DM且OP=DM.
答案
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5
又點M為AD的中點，
所以OP∥AD且OP=AD.
從而OP∥QF且OP=QF，
所以四邊形OPQF為平行四邊形，故PQ∥OF.
又PQ 平面BCD，OF 平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
答案
4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點E，F分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2，若MB∥平面AEF，試判斷點M的位置.
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答案
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5
M是AC的中點.
若MB∥平面AEF，過F，B，M作平面FBMN交AE于N，連接MN，NF，如圖所示.
因為BF∥平面AA1C1C，BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C=MN，
所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，
平面FBMN∩平面AEF=FN，所以MB∥FN，
答案
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5
所以BFNM是平行四邊形，
所以MN∥BF，MN=BF=1.
而EC∥FB，EC=2FB=2，
所以MN∥EC，MN=EC=1，
故MN是△ACE的中位線.
所以M是AC的中點時，MB∥平面AEF.
答案
5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是PD上的點.
(1)若E，F分別是PD和BC的中點，求證：EF∥平面PAB；
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答案
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取PA中點G，連接BG，EG，如圖，
在△PAD中，因為E，G分別為所在邊的中點，
所以EG∥AD，且EG=AD，
又因為底面ABCD為平行四邊形，
F為BC的中點，
所以BF∥AD，且BF=AD，
所以EG∥BF，且EG=BF，
答案
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所以四邊形BFEG為平行四邊形，
所以EF∥BG，因為EF 平面PAB，
BG 平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
答案
(2)若PB∥平面AEC，求證：E是PD中點.
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答案
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連接BD，交AC于H，連接EH，如圖，
因為PB∥平面ACE，PB 平面PBD，
平面PBD∩平面ACE=EH，
所以PB∥EH，
在△PBD中，H為BD中點，
所以E為PD中點.
答案4.1.2　直線與平面平行的綜合應用
[學習目標]　1.線面平行性質與判定定理的綜合應用.2.掌握線面平行中的探索性問題.
一、線面平行性質與判定定理的綜合應用
例1　已知α∩β=l，a∥α，a∥β，求證：a∥l.
延伸探究　若本例中條件改為“α∩β=l，γ∩β=m，γ∩α=n，且l∥m”，試判斷直線m，n的位置關系，并說明你的理由.
反思感悟　線線、線面的轉化
判定定理與性質定理常常交替使用，即先通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出線線平行，復雜的題目還可以繼續推下去，我們可稱它為平行鏈，如下：
線線平行線面平行線線平行.
跟蹤訓練1　如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面ABC外一點，E，F分別是PA，PC的中點.記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明.
二、線面平行中的探索性問題
例2　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論.
反思感悟　對線面平行探索可先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明.證明線面平行的關鍵是找線線平行，注意利用所給幾何體中隱含的線線位置關系，當題目中有中點時，一般考慮先探索中點，再用中位線定理找平行關系.
跟蹤訓練2　如圖是一個以△A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為△ABC.已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在邊AB上是否存在一點O，使得OC∥平面A1B1C1？
1.知識清單：
(1)線面平行性質與判定定理的綜合應用.
(2)線面平行中的探索性問題.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：在探索性問題中易漏結論.
1.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.
求證：(1)EH∥平面BCD；
(2)BD∥平面EFGH.
2.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是SA上一點，試求點E的位置，使SC∥平面EBD，并證明.
答案精析
例1　證明　如圖，過a作平面γ交平面α于b.
因為a∥α，所以a∥b，
過a作平面ε交平面β于c.
因為a∥β，所以a∥c，所以b∥c.
又b β且c β，所以b∥β.
因為b α且α∩β=l，所以b∥l.
又a∥b，所以a∥l.
延伸探究　解　m∥n，證明如下：
如圖，因為l∥m，
m γ，l γ，
所以l∥γ.
又l α，α∩γ=n，所以l∥n.
所以m∥n.
跟蹤訓練1　解　直線l∥平面PAC，證明如下：
因為E，F分別是PA，PC的中點，
所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，所以EF∥平面ABC.
而EF 平面BEF，
且平面BEF∩平面ABC=l，
所以EF∥l.
因為l 平面PAC，EF 平面PAC，
所以l∥平面PAC.
例2　解　存在.證明如下：
如圖，取線段AB的中點為M，
連接A1M，MC，A1C，AC1，
設O為A1C，AC1的交點.
由已知得，O為AC1的中點，
連接MD，OE，OM，
則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，
所以MD∥AC且MD=AC，
OE∥AC且OE=AC，
因此MD∥OE且MD=OE.
從而四邊形MDEO為平行四邊形，
則DE∥MO.
因為直線DE 平面A1MC，
MO 平面A1MC，
所以直線DE∥平面A1MC.
即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，
使直線DE∥平面A1MC.
跟蹤訓練2　解　存在.如圖，取AB的中點O，連接OC.
作OD∥AA1交A1B1于點D，連接C1D，則OD∥BB1∥CC1.
因為O是AB的中點，
所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1，
則四邊形ODC1C是平行四邊形，所以OC∥C1D.
又C1D 平面A1B1C1，且OC 平面A1B1C1，
所以OC∥平面A1B1C1，
即在邊AB上存在一點O(AB的中點)，使得OC∥平面A1B1C1.
隨堂演練
1.證明　(1)∵EH為△ABD的中位線，
∴EH∥BD.
∵EH 平面BCD，BD 平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
(2)∵BD∥EH，BD 平面EFGH，
EH 平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
2.解　點E的位置是棱SA的中點.
證明：取SA的中點E，連接EB，ED，AC，
設AC與BD的交點為O，
連接EO(圖略).
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點O是AC的中點.
又E是SA的中點，
∴OE是△SAC的中位線.
∴OE∥SC.
∵SC 平面EBD，OE 平面EBD，
∴SC∥平面EBD.
故E的位置為棱SA的中點.作業49　直線與平面平行的綜合應用
(分值：100分)
1.(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.
2.(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC=AD，E是PD的中點.求證：
(1)AD∥平面PBC；(5分)
(2)CE∥平面PAB.(7分)
3.(12分)如圖，在四面體A-BCD中，點M為AD的中點，點P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC，求證：PQ∥平面BCD.
4.(12分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點E，F分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2，若MB∥平面AEF，試判斷點M的位置.
5.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是PD上的點.
(1)若E，F分別是PD和BC的中點，求證：EF∥平面PAB；(7分)
(2)若PB∥平面AEC，求證：E是PD中點.(5分)
答案精析
1.證明　連接MO(圖略).
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點.又∵M是PC的中點，
∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，
OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM=GH，∴AP∥GH.
2.證明　(1)因為BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AD∥BC，
又BC 平面PBC，AD 平面PBC，
則AD∥平面PBC.
(2)如圖，取PA的中點F，連接EF，BF，易得EF∥AD，
且EF=AD，
由(1)知AD∥BC且BC=AD，
則EF∥BC且EF=BC，則四邊形BCEF為平行四邊形，則CE∥BF，
又BF 平面PAB，CE 平面PAB，
則CE∥平面PAB.
3.證明　如圖，取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3FC，連接OP，OF，FQ.
因為AQ=3QC，
所以QF∥AD，且QF=AD.
因為點O，P分別為BD，BM的中點，
所以OP為△BDM的中位線，
所以OP∥DM且OP=DM.
又點M為AD的中點，
所以OP∥AD且OP=AD.
從而OP∥QF且OP=QF，
所以四邊形OPQF為平行四邊形，故PQ∥OF.
又PQ 平面BCD，OF 平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
4.解　M是AC的中點.
若MB∥平面AEF，過F，B，M作平面FBMN交AE于N，連接MN，NF，如圖所示.因為BF∥平面AA1C1C，BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C=MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，
平面FBMN∩平面AEF=FN，
所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四邊形，
所以MN∥BF，MN=BF=1.
而EC∥FB，EC=2FB=2，
所以MN∥EC，MN=EC=1，
故MN是△ACE的中位線.所以M是AC的中點時，MB∥平面AEF.
5.證明　(1)取PA中點G，連接BG，EG，如圖，
在△PAD中，因為E，G分別為所在邊的中點，
所以EG∥AD，且EG=AD，
又因為底面ABCD為平行四邊形，F為BC的中點，
所以BF∥AD，且BF=AD，
所以EG∥BF，且EG=BF，
所以四邊形BFEG為平行四邊形，
所以EF∥BG，因為EF 平面PAB，
BG 平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
(2)連接BD，交AC于H，連接EH，如圖，
因為PB∥平面ACE，PB 平面PBD，
平面PBD∩平面ACE=EH，
所以PB∥EH，
在△PBD中，H為BD中點，
所以E為PD中點.

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