資源簡介

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4.11
第六章
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直線與平面平行
1.掌握直線與平面平行的性質定理，明確由線面平行可推出線線平行.
2.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題.
學習目標
安裝矩形鏡子時，為了使鏡子上邊框與天花板平行，只需要鏡子的上邊框與天花板和墻面的交線平行.你知道其中的數學思想么？今天我們就一起來學習一下吧！
導 語
一、直線與平面平行的性質定理
二、直線與平面平行的判定定理
課時對點練
三、線面平行有關的計算
隨堂演練
內容索引
直線與平面平行的性質定理
一
提示　這條直線與平面沒有公共點，所以這條直線與平面內的直線平行或異面.
如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線和平面內的直線有怎樣的位置關系？
問題1
提示　在同一平面內.
若a∥α，在什么條件下，平面α內的直線與直線a平行呢？
問題2
文字語言 一條直線與一個平面 ，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與 平行
符號語言 l∥α， l∥a
圖形語言
平行
交線
l β，α∩β=a
　如圖所示，在四面體ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形.
例 1
因為AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ=MN，
且AB 平面ABC，
所以由線面平行的性質定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四邊形.
直接應用線面平行的性質定理，關鍵是擺全定理中的三個條件：①直線a和平面α平行，即a∥α；②直線a在平面β內，即a β；③平面α，β相交，即α∩β=b.三個條件缺一不可.
反
思
感
悟
　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于
點G，H，則GH與AB的位置關系是
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或異面
跟蹤訓練 1
√
由長方體性質知，EF∥平面ABCD，
∵EF 平面EFGH，
平面EFGH∩平面ABCD=GH，
∴EF∥GH.
又EF∥AB，∴GH∥AB.
二
直線與平面平行的判定定理
提示　直線與平面沒有公共點.
直線與平面平行的定義是什么？
問題3
提示　由于直線是無限延伸的，平面也是無限延展的，實際操作很難.
直接利用定義來判定直線與平面平行是否簡單可行？
問題4
文字語言 如果平面外一條直線與 ，那么該直線與此平面平行
符號語言 l α，a α，且l∥a l∥α
圖形語言
此平面內的一條直線平行
　(1)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC的中點，連接AD，DC1，A1B，AC1.求證：A1B∥平面ADC1.
例 2
如圖所示，連接A1C，設A1C∩AC1=O，連接OD.
由題意知四邊形A1ACC1是平行四邊形，
所以O是A1C的中點.
又D是BC的中點，
所以OD是△A1CB的中位線，即OD∥A1B.
又A1B 平面ADC1，OD 平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.
(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF∥平面AD1G.
連接BC1(圖略)，
在△BCC1中，
∵E，F分別為BC，CC1的中點，
∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB=A1B1=D1C1，
∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF 平面AD1G，
AD1 平面AD1G，
∴EF∥平面AD1G.
反
思
感
悟
利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的關鍵是在平面內找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實4等.
　如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點，M，N分別是AB，PC的中點.求證：MN∥平面PAD.
跟蹤訓練 2
如圖，取PD的中點G，連接GA，GN.
∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點，
∴GN∥DC，GN=DC.
∵M為平行四邊形ABCD的邊AB的中點，
∴AM=DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM=GN，
∴四邊形AMNG為平行四邊形，
∴MN∥AG.
又MN 平面PAD，AG 平面PAD，∴MN∥平面PAD.
線面平行有關的計算
三
　如圖，直線a∥平面α，點A在α另一側，點B，C，D∈a.線段AB，AC，AD分別交α于點E，F，G.若BD=4，CF=4，AF=5，則EG=　　　.
例 3
因為A a，所以點A與直線a確定一個平面，即平面ABD.
因為a∥α，且α∩平面ABD=EG，a 平面ABD，
所以a∥EG，即BD∥EG，所以.
又，
于是EG=.
反
思
感
悟
利用線面平行的性質定理找線線平行，利用線線平行得對應線段成比例即可求線段長度.
　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，求線段EF的長度.
跟蹤訓練 3
∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C=AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，又E是AD的中點，
∴F為DC的中點，
∴EF=.
1.知識清單：
(1)直線與平面平行的性質定理.
(2)直線與平面平行的判定定理.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：證明線面平行時，漏寫線在平面外(內).
隨堂演練
四
1.兩條直線a，b滿足a∥b，b 平面α，則a與平面α的位置關系是
A.a∥α B.a與α相交
C.a∥α或a α D.a α
√
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2.下列命題正確的是
A.如果一條直線不在平面內，則這條直線就與這個平面平行
B.過直線外一點，可以作無數個平面與這條直線平行
C.如果一條直線與平面平行，則它與平面內的任何直線平行
D.如果一條直線平行于平面內的無數條直線，則該直線與平面平行
√
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不在平面內的直線還可與平面相交，故A錯誤；
一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內的直線平行或異面，故C錯誤；
如果一條直線平行于平面內的無數條直線，那么這條直線平行于平面或在平面內，故D錯誤.
3.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(不與端點重合)，EH∥FG，則EH與BD的位置
關系是
A.平行 B.相交
C.異面 D.不確定
√
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∵EH∥FG，EH 平面BDC，
FG 平面BDC，
∴EH∥平面BDC，
又EH 平面ABD且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴EH∥BD.
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4.如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC與平面α分別交于點M，N且點M是AD的中點，AB=4，CD=6，則MN=　　　.
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因為AB∥平面α，AB 平面ABCD，
平面ABCD∩平面α=MN，
所以AB∥MN，
又點M是AD的中點，AB∥CD，
所以MN是梯形ABCD的中位線，故MN=5.
課時對點練
五
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D B AB 平行 a
題號 11 12　 13 14 15
答案 C B 平行四邊形 1
答案
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9.
取D1B1的中點O，連接OF，OB(圖略).
∵F為C1D1的中點，
∴OF∥B1C1且OF=B1C1，
又BE∥B1C1，BE=B1C1，
∴OF∥BE且OF=BE，
∴四邊形OFEB是平行四邊形，
∴EF∥BO.
∵EF 平面BDD1B1，BO 平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.
答案
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10.
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC∥AD.
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD=EF，BC 平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四邊形BCFE是梯形.
答案
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16.
(1)如圖，過M作MP∥AD，交DD1于點P，過N作NQ∥BC，交DC于點Q，連接PQ.
易得MP∥NQ，且MP=NQ，則四邊形MNQP為平行四邊形，
∴MN∥PQ.
又PQ 平面DCC1D1，
MN 平面DCC1D1，
∴MN∥平面DCC1D1.
答案
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16.
(2)∵四邊形MNQP為平行四邊形，∴MN=PQ.
∵DD1=AD=DC=BC=1，
∴AD1=BD=.
∵D1M=DN=a，
∴=，=，
即D1P=DQ=，
答案
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16.
∴MN=PQ==
=(0故當a=時，MN的長度最小，最小為.
答案
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1.下列條件中能得出直線m與平面α平行的是
A.直線m與平面α內所有直線平行
B.直線m與平面α內無數條直線平行
C.直線m與平面α沒有公共點
D.直線m與平面α內一條直線平行
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基礎鞏固
答案
A，本身說法錯誤；
B，當直線m在平面α內時，m與α內無數條直線平行，但m與α不平行；
C，能推出m與α平行；
D，當直線m在平面α內時，m與α內一條直線平行，但m與α不平行.
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答案
2.直線a，b為異面直線，過直線a與直線b平行的平面
A.有且只有一個
B.有無數多個
C.有且只有一個或不存在
D.不存在
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答案
在a上任取一點A，則過A與b平行的直線有且只有一條，設為b'，
又a∩b'=A，
∴a與b'確定一個平面α，
即為過a與b平行的平面，可知它是唯一的.
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答案
3.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系只能是
A.平行 B.平行或異面
C.平行或相交 D.異面或相交
由AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，得CD∥α，所以直線CD與平面α內的直線的位置關系是平行或異面.
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答案
4.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與平面AB1C平行的直線是
A.DD1 B.A1D1
C.C1D1 D.A1D
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答案
∵A1B1綊AB，AB綊CD，
∴A1B1綊CD，
∴四邊形A1B1CD為平行四邊形，
∴A1D∥B1C，
又B1C 平面AB1C，A1D 平面AB1C，
∴A1D∥平面AB1C.
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答案
5.如圖所示，已知S為四邊形ABCD所在平面外一點，
G，H分別為SB，BD上的點，若GH∥平面SCD，則
A.GH∥SA B.GH∥SD
C.GH∥SC D.以上均有可能
∵GH∥平面SCD，GH 平面SBD，
平面SBD∩平面SCD=SD，
∴GH∥SD.
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答案
6.(多選)如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線交點為O，M為PB的中點.則下列結論成立的是
A.OM∥平面PCD B.OM∥平面PDA
C.OM∥平面PBA D.OM∥平面PBC
矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，所以點O為BD的中點，在△PBD中，因為點M是PB的中點，所以OM是△PBD的中位線，OM∥PD，由線面平行的判定定理得，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因為M∈PB，所以OM與平面PBA，平面PBC相交.
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答案
7.在三棱錐S-ABC中，G為△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，則EG與平面SBC的位置關系為　　　.
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平行
答案
如圖，延長AG交BC于F，連接SF，則由G為△ABC的重心知AG∶GF=2∶1，
又AE∶ES=2∶1，
∴EG∥SF，
又SF 平面SBC，EG 平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
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答案
8.如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP=，過P，M，N
的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ=　　　.
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a
答案
∵MN∥平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD=PQ，
MN 平面PQNM，
∴MN∥PQ，易知DP=DQ=，
故PQ=a.
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答案
9.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱BC，C1D1的中點.求證：EF∥平面BDD1B1.
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取D1B1的中點O，連接OF，OB(圖略).
∵F為C1D1的中點，
∴OF∥B1C1且OF=B1C1，
又BE∥B1C1，BE=B1C1，
∴OF∥BE且OF=BE，
∴四邊形OFEB是平行四邊形，
∴EF∥BO.
∵EF 平面BDD1B1，BO 平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
答案
10.如圖，四邊形ABCD是矩形，P 平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F，求證：四邊形BCFE是梯形.
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∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC∥AD.
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD=EF，BC 平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四邊形BCFE是梯形.
答案
11.如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若，則四面體ABCD中與平面EFGH平行的棱有
A.0條 B.1條
C.2條 D.3條
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綜合運用
答案
∵，∴EF∥AB.
又EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
同理，由，
可得CD∥平面EFGH.
∴四面體ABCD中與平面EFGH平行的棱有2條.
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12.在三棱錐D-ABC中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則下列與直線MN平行的是
A.直線CD B.平面ABD
C.平面ACD D.平面BCD
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答案
如圖所示，取CD的中點為E，連接AE，BE，
由M，N分別是△ACD和△BCD的重心，
可得，
則，所以MN∥AB，
又由CD不平行于AB，所以A錯誤；
由MN∥AB，且MN 平面ABD，AB 平面ABD，所以MN∥平面ABD，所以B正確；
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答案
因為M∈平面ACD，N 平面ACD，所以MN與平面ACD不平行，所以C錯誤；
因為N∈平面BCD，M 平面BCD，所以MN與平面BCD不平行，所以D錯誤.
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答案
13.如圖，E是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點，且BD1∥平面B1CE，則線段CE的長度為　　　.
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答案
如圖，連接BC1，交B1C于O，則O為BC1的中點，
連接EO，
因為BD1∥平面B1CE，BD1 平面D1BC1，
平面D1BC1∩平面B1CE=OE，
所以OE∥BD1，故E為D1C1的中點，
所以EC1=在Rt△EC1C中，.
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答案
14.如圖，已知A，B，C，D四點不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩平面α=E，AD∩平面α=F，BD∩平面α=H，BC∩平面α=G，則四邊形EFHG的形狀是　　 　.
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平行四邊形
答案
∵AB∥平面α，平面ABC∩平面α=EG，
AB 平面ABC，
∴EG∥AB.
同理FH∥AB，
∴EG∥FH.
又CD∥平面α，平面BCD∩平面α=GH，CD 平面BCD，
∴GH∥CD.同理EF∥CD，
∴GH∥EF，
∴四邊形EFHG是平行四邊形.
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答案
拓廣探究
15.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其側面展開圖是邊長為4的正方形，E，F分別是側棱AA1，CC1上的動點，AE+CF=4，點P在棱AA1上，且AP=1.若EF∥平面PBD，則CF=　　　.
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答案
由題意可知，長方體ABCD-A1B1C1D1的高為4，
底面ABCD是邊長為1的正方形.
如圖，連接AC交BD于O，連接PO.
因為EF∥平面PBD，
EF 平面EACF，
平面EACF∩平面PBD=PO，
所以EF∥PO.
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答案
在PA1上截取PQ，
使得PQ=PA=1，
連接QC，易知O為AC的中點，
所以QC∥PO，所以EF∥QC.
又EQ∥CF，
所以四邊形EQCF是平行四邊形，所以QE=CF.
又AE+CF=4，AE+A1E=4，
所以A1E=CF=EQ=A1Q=1，所以CF=1.
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16.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M在AD1上移動，點N在BD上移動，D1M=DN=a(0<)，連接MN.
(1)證明：對任意a∈(0，)，總有MN∥平面DCC1D1；
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如圖，過M作MP∥AD，交DD1于點P，過N作NQ∥BC，交DC于點Q，連接PQ.
易得MP∥NQ，且MP=NQ，
則四邊形MNQP為平行四邊形，
∴MN∥PQ.
又PQ 平面DCC1D1，
MN 平面DCC1D1，
∴MN∥平面DCC1D1.
答案
(2)當a為何值時，MN的長度最小？
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∵四邊形MNQP為平行四邊形，
∴MN=PQ.
∵DD1=AD=DC=BC=1，
∴AD1=BD=.
∵D1M=DN=a，
∴，
即D1P=DQ=，
答案
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∴MN=PQ==
=)，
故當a=.
答案4.1.1直線與平面平行
[學習目標]　1.掌握直線與平面平行的性質定理，明確由線面平行可推出線線平行.2.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題.
一、直線與平面平行的性質定理
問題1　如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線和平面內的直線有怎樣的位置關系？
問題2　若a∥α，在什么條件下，平面α內的直線與直線a平行呢？
知識梳理
文字語言 一條直線與一個平面________，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與________平行
符號語言 l∥α，________________ l∥a
圖形語言
例1　如圖所示，在四面體ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形.
反思感悟　直接應用線面平行的性質定理，關鍵是擺全定理中的三個條件：①直線a和平面α平行，即a∥α；②直線a在平面β內，即a β；③平面α，β相交，即α∩β=b.三個條件缺一不可.
跟蹤訓練1　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G，H，則GH與AB的位置關系是(　　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或異面
二、直線與平面平行的判定定理
問題3　直線與平面平行的定義是什么？
問題4　直接利用定義來判定直線與平面平行是否簡單可行？
知識梳理
文字語言 如果平面外一條直線與________________，那么該直線與此平面平行
符號語言 l α，a α，且l∥a l∥α
圖形語言
例2　(1)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC的中點，連接AD，DC1，A1B，AC1.求證：A1B∥平面ADC1.
(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF∥平面AD1G.
反思感悟　利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的關鍵是在平面內找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實4等.
跟蹤訓練2　如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點，M，N分別是AB，PC的中點.求證：MN∥平面PAD.
三、線面平行有關的計算
例3　如圖，直線a∥平面α，點A在α另一側，點B，C，D∈a.線段AB，AC，AD分別交α于點E，F，G.若BD=4，CF=4，AF=5，則EG=　　　　.
反思感悟　利用線面平行的性質定理找線線平行，利用線線平行得對應線段成比例即可求線段長度.
跟蹤訓練3　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，求線段EF的長度.
1.知識清單：
(1)直線與平面平行的性質定理.
(2)直線與平面平行的判定定理.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：證明線面平行時，漏寫線在平面外(內).
1.兩條直線a，b滿足a∥b，b 平面α，則a與平面α的位置關系是(　　)
A.a∥α B.a與α相交
C.a∥α或a α D.a α
2.下列命題正確的是(　　)
A.如果一條直線不在平面內，則這條直線就與這個平面平行
B.過直線外一點，可以作無數個平面與這條直線平行
C.如果一條直線與平面平行，則它與平面內的任何直線平行
D.如果一條直線平行于平面內的無數條直線，則該直線與平面平行
3.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(不與端點重合)，EH∥FG，則EH與BD的位置關系是(　　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.不確定
4.如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC與平面α分別交于點M，N且點M是AD的中點，AB=4，CD=6，則MN=　　　　.
答案精析
問題1　這條直線與平面沒有公共點，所以這條直線與平面內的直線平行或異面.
問題2　在同一平面內.
知識梳理
平行　交線　l β，α∩β=a
例1　證明　因為AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ=MN，
且AB 平面ABC，
所以由線面平行的性質定理，
知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四邊形.
跟蹤訓練1　A　[由長方體性質知，EF∥平面ABCD，
∵EF 平面EFGH，
平面EFGH∩平面ABCD=GH，
∴EF∥GH.
又EF∥AB，∴GH∥AB.]
問題3　直線與平面沒有公共點.
問題4　由于直線是無限延伸的，平面也是無限延展的，實際操作很難.
知識梳理
此平面內的一條直線平行
例2　(1)證明　如圖所示，連接A1C，設A1C∩AC1=O，連接OD.
由題意知四邊形A1ACC1是平行四邊形，
所以O是A1C的中點.
又D是BC的中點，
所以OD是△A1CB的中位線，即OD∥A1B.
又A1B 平面ADC1，
OD 平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.
(2)證明　連接BC1(圖略)，
在△BCC1中，
∵E，F分別為BC，CC1的中點，
∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB=A1B1=D1C1，
∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，
又EF 平面AD1G，
AD1 平面AD1G，
∴EF∥平面AD1G.
跟蹤訓練2　證明　如圖，取PD的中點G，連接GA，GN.
∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點，
∴GN∥DC，
GN=DC.
∵M為平行四邊形ABCD的邊AB的中點，
∴AM=DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM=GN，
∴四邊形AMNG為平行四邊形，
∴MN∥AG.
又MN 平面PAD，AG 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
例3　
解析　因為A a，所以點A與直線a確定一個平面，即平面ABD.
因為a∥α，且α∩平面ABD=EG，
a 平面ABD，
所以a∥EG，即BD∥EG，
所以=.
又=，所以=，
于是EG===.
跟蹤訓練3　解　∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C=AC，
EF 平面ADC，
∴EF∥AC，又E是AD的中點，
∴F為DC的中點，
∴EF=AC=×2=.
隨堂演練
1.C　2.B　3.A　4.5作業48　直線與平面平行
(分值：100分)
單選題每小題5分，共35分；多選題每小題6分，共6分
1.下列條件中能得出直線m與平面α平行的是(　　)
A.直線m與平面α內所有直線平行
B.直線m與平面α內無數條直線平行
C.直線m與平面α沒有公共點
D.直線m與平面α內一條直線平行
2.直線a，b為異面直線，過直線a與直線b平行的平面(　　)
A.有且只有一個
B.有無數多個
C.有且只有一個或不存在
D.不存在
3.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系只能是(　　)
A.平行 B.平行或異面
C.平行或相交 D.異面或相交
4.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與平面AB1C平行的直線是(　　)
A.DD1 B.A1D1
C.C1D1 D.A1D
5.如圖所示，已知S為四邊形ABCD所在平面外一點，G，H分別為SB，BD上的點，若GH∥平面SCD，則(　　)
A.GH∥SA B.GH∥SD
C.GH∥SC D.以上均有可能
6.(多選)如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線交點為O，M為PB的中點.則下列結論成立的是(　　)
A.OM∥平面PCD B.OM∥平面PDA
C.OM∥平面PBA D.OM∥平面PBC
7.在三棱錐S-ABC中，G為△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，則EG與平面SBC的位置關系為　　　　.
8.如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP=，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ=　　　　.
9.(10分)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱BC，C1D1的中點.求證：EF∥平面BDD1B1.
10.(12分)如圖，四邊形ABCD是矩形，P 平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F，求證：四邊形BCFE是梯形.
11.如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若，則四面體ABCD中與平面EFGH平行的棱有(　　)
A.0條 B.1條
C.2條 D.3條
12.在三棱錐D-ABC中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則下列與直線MN平行的是(　　)
A.直線CD B.平面ABD
C.平面ACD D.平面BCD
13.如圖，E是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點，且BD1∥平面B1CE，則線段CE的長度為　　　　.
14.如圖，已知A，B，C，D四點不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩平面α=E，AD∩平面α=F，BD∩平面α=H，BC∩平面α=G，則四邊形EFHG的形狀是　　　　.
15.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其側面展開圖是邊長為4的正方形，E，F分別是側棱AA1，CC1上的動點，AE+CF=4，點P在棱AA1上，且AP=1.若EF∥平面PBD，則CF=　　　　.
16.(12分)如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M在AD1上移動，點N在BD上移動，D1M=DN=a(0(1)證明：對任意a∈(0，)，總有MN∥平面DCC1D1；(5分)
(2)當a為何值時，MN的長度最小？(7分)
答案精析
1.C　2.A　3.B　4.D　5.B
6.AB　[矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，所以點O為BD的中點，在△PBD中，因為點M是PB的中點，所以OM是△PBD的中位線，OM∥PD，由線面平行的判定定理得，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因為M∈PB，所以OM與平面PBA，平面PBC相交.]
7.平行
8.a
解析　∵MN∥平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD=PQ，MN 平面PQNM，
∴MN∥PQ，易知DP=DQ=，
故PQ==DP=a.
9.證明　取D1B1的中點O，連接OF，OB(圖略).
∵F為C1D1的中點，
∴OF∥B1C1且OF=B1C1，
又BE∥B1C1，BE=B1C1，
∴OF∥BE且OF=BE，
∴四邊形OFEB是平行四邊形，
∴EF∥BO.
∵EF 平面BDD1B1，BO 平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.
10.證明　∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC∥AD.
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD=EF，BC 平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四邊形BCFE是梯形.
11.C
12.B　[如圖所示，取CD的中點為E，連接AE，BE，
由M，N分別是△ACD 和△BCD的重心，可得=，=，
則==，所以MN∥AB，
又由CD不平行于AB，所以A錯誤；
由MN∥AB，且MN 平面ABD，AB 平面ABD，所以MN∥平面ABD，所以B正確；
因為M∈平面ACD，N 平面ACD，所以MN與平面ACD不平行，所以C錯誤；
因為N∈平面BCD，M 平面BCD，所以MN與平面BCD不平行，所以D錯誤.]
13.
解析　如圖，連接BC1，交B1C于O，則O為BC1的中點，連接EO，
因為BD1∥平面B1CE，BD1 平面D1BC1，
平面D1BC1∩平面B1CE=OE，
所以OE∥BD1，故E為D1C1的中點，
所以EC1=，在Rt△EC1C中，CE===.
14.平行四邊形
15.1
解析　由題意可知，長方體ABCD-A1B1C1D1的高為4，
底面ABCD是邊長為1的正方形.
如圖，連接AC交BD于O，連接PO.
因為EF∥平面PBD，
EF 平面EACF，
平面EACF∩平面PBD=PO，
所以EF∥PO.
在PA1上截取PQ，
使得PQ=PA=1，
連接QC，易知O為AC的中點，
所以QC∥PO，所以EF∥QC.
又EQ∥CF，
所以四邊形EQCF是平行四邊形，
所以QE=CF.
又AE+CF=4，AE+A1E=4，
所以A1E=CF=EQ=A1Q=1，所以CF=1.
16.(1)證明　如圖，過M作MP∥AD，交DD1于點P，過N作NQ∥BC，交DC于點Q，連接PQ.
易得MP∥NQ，且MP=NQ，則四邊形MNQP為平行四邊形，
∴MN∥PQ.
又PQ 平面DCC1D1，
MN 平面DCC1D1，
∴MN∥平面DCC1D1.
(2)解　∵四邊形MNQP為平行四邊形，∴MN=PQ.
∵DD1=AD=DC=BC=1，
∴AD1=BD=.
∵D1M=DN=a，
∴=，=，
即D1P=DQ=，
∴MN=PQ=
=
=(0故當a=時，MN的長度最小，最小為.

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