資源簡介

(共87張PPT)
第六章
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3.2　刻畫空間點、線、面
位置關系的公理(二)
1.掌握基本事實4及等角定理.
2.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角.
學習目標
立體交叉橋，簡稱立交橋.隨著世界各國經濟的發展和高速公路的出現，現代化的城市道路交通開始朝立體化發展.1952年，我國于北京濱河路興建了首座立交橋.全國第二座立交橋是于1962年在廣州修建的.現在的立交橋已由
導 語
最初的上、下兩層分開式，向多層次、多方向的復雜立體交叉方式發展，目的是大力提高交叉路口的車流速度，并確保交通安全.若把立交橋抽象成直線，它們在不同的平面內，一條南北走向和一條東西走向(不同層)的立交橋所在直線的夾角如何刻畫？
這節課我們共同學習異面直線所成的角.
一、基本事實4
二、空間兩直線的位置關系
課時對點練
三、等角定理
隨堂演練
內容索引
四、異面直線的夾角
基本事實4
一
提示　平行.
如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，那么BB'與DD'平行嗎？
問題1
提示　平行.
將一張紙如圖進行折疊，則各折痕及邊a，b，
c，d，e，…之間有何關系？
問題2
1.文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
2.符號表示： a∥c.
3.空間平行線的傳遞性：空間中平行于一條已知直線的所有直線都互相
.
平行
　如圖所示，E，F分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點.求證：四邊形B1EDF是平行四邊形.
例 1
設Q是DD1的中點，連接EQ，QC1，
如圖.
∵E，Q分別是AA1，DD1的中點，∴EQ綊A1D1.
又∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1.
∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，
∴B1E綊C1Q.
又Q，F分別是DD1，CC1的中點，
∴QD綊C1F.
∴四邊形C1QDF為平行四邊形.
∴C1Q綊DF.
∴B1E綊DF.
∴四邊形B1EDF為平行四邊形.
(1)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理等)來證明.
(2)找到一條直線c，使得a∥c，同時b∥c，由基本事實4得a∥b.
證明空間中兩條直線平行的方法
反
思
感
悟
　已知棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別為CD，AD的中點.求證：四邊形MNA'C'是梯形.
跟蹤訓練 1
如圖所示，連接AC，
由正方體的性質可知AA'=CC'，AA'∥CC'，
∴四邊形AA'C'C為平行四邊形，
∴A'C'=AC，A'C'∥AC，
又∵M，N分別是CD，AD的中點，
∴MN∥AC，且MN=AC，
∴MN∥A'C'且MN=A'C'.
∴四邊形MNA'C'是梯形.
二
空間兩直線的位置關系
1.異面直線的概念
(1)定義：不同在 平面內(不共面)的兩條直線.
(2)異面直線的畫法(襯托平面法)
如圖①②所示，為了表示異面直線a，b不共
面的特點，畫圖時，通常用一個或兩個平面
來襯托.
(3)判斷兩直線為異面直線的方法
①定義法；
②兩直線既不平行也不相交.
任何一個
2.空間兩條直線的位置關系
　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是　　?。?
例 2
平行
在長方體ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC，
∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，
∴A1B∥D1C.
(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是　　??；
異面
直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內.
(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是　　　；
相交
直線D1D與直線D1C相交于點D1.
(4)直線AB與直線B1C的位置關系是　　　.
異面
直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內.
(1)判定兩條直線平行或相交的方法
判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的
方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基
本事實4判斷.
(2)判定兩條直線是異面直線的方法
①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內.
②重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為A α，B∈α，l α，B l AB與l是異面直線(如圖).
反
思
感
悟
　(1)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行、相交或異面
跟蹤訓練 2
√
可借助長方體來判斷.
如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，設A'D'所在
直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直
線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'.故a和c可以平行、相交或異面.
(2)如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對數為
A.1 B.2
C.3 D.4
√
還原的正方體如圖所示.
是異面直線的共三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.
等角定理
三
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角 或 .
如圖所示，AC∥A'C'，AB∥A'B'，可知∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'
=180°.
相等
互補
　如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F，E'，F'分別是AB，BC，A'B'，B'C'的中點，求證：EE'∥FF'.
例 3
因為E，E'分別是AB，A'B'的中點，
所以BE∥B'E'，且BE=B'E'.
所以四邊形EBB'E'是平行四邊形，
所以EE'∥BB'，同理可證FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
若將本例變為已知E，E'分別是正方體ABCD-A'B'C'D'的棱AD，A'D'的中點.求證：∠BEC=∠B'E'C'.
延伸探究
如圖所示，連接EE'.
因為E，E'分別是AD，A'D'的中點，
所以AE∥A'E'，
且AE=A'E'.
所以四邊形AEE'A'是平行四邊形.
所以AA'∥EE'，且AA'=EE'.
又因為AA'∥BB'，且AA'=BB'，
所以EE'∥BB'，且EE'=BB'，
所以四邊形BEE'B'是平行四邊形，
所以BE∥B'E'.
同理可證CE∥C'E'.
又∠BEC與∠B'E'C'的兩邊方向相同，
所以∠BEC=∠B'E'C'.
反
思
感
悟
(1)空間兩條直線平行的證明：①定義法：即證明兩條直線在同一個平面內沒有公共點；②利用基本事實4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.
(2)等角定理的結論是相等或互補，在實際應用時，一般是借助于圖形判斷是相等，還是互補，還是兩種情況都有可能.
異面直線的夾角
四
定義 前提 兩條異面直線a，b
作法 過空間任一點O作直線a'∥a，b'∥b，這時a'，b'共面
結論 我們把a'與b'所成的 的角稱為異面直線a，b的夾角
范圍 記異面直線a與b的夾角為θ，則_____________
特殊情況 當θ= 時，a與b互相垂直，記作：______
不大于90°
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
　已知正方體ABCD-A1B1C1D1.
(1)求A1B與B1D1夾角的大?。?br/>例 4
如圖，連接BD，A1D.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，DD1∥BB1，且DD1=BB1，
∴四邊形DBB1D1為平行四邊形，∴BD∥B1D1.
∵A1B，BD，A1D是全等的正方形的對角線，
∴A1B=BD=A1D，
即△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD=60°.
∵∠A1BD是銳角，
∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1的夾角，
即A1B與B1D1的夾角為60°.
(2)求AC與BD1夾角的大小.
取DD1的中點E，設AC∩BD=O，連接EO，EA，EC.
∵O為BD的中點，
∴OE∥BD1.
∵∠EDA=∠EDC=90°，AD=DC，DE=DE，
∴△EDA≌△EDC，∴EA=EC.
在等腰三角形EAC中，
∵O是AC的中點，∴EO⊥AC，
∴∠EOA=90°.
∵∠EOA是異面直線AC與BD1的夾角，
∴AC與BD1的夾角為90°.
反
思
感
悟
(1)作(或找)：根據異面直線夾角的定義，用平移法作(或找)出異面直線的夾角.
(2)證：證明作(或找)出的角就是要求的角.
(3)計算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作(或找)二證三計算”來概括.同時注意異面直線夾角的范圍是0°<θ≤90°.
求兩異面直線夾角的三個步驟
　在空間四邊形ABCD中，AB=CD，且AB與CD的夾角為30°，E，F分別為BC，AD的中點，求EF與AB的夾角的大小.
跟蹤訓練 3
如圖所示，取AC的中點G，連接EG，FG，
則EG∥AB且EG=AB，
GF∥CD且GF=CD.
由AB=CD知EG=FG，從而可知∠GEF為EF與AB的夾角，∠EGF或其補角為AB與CD的夾角.
∵AB與CD的夾角為30°，
∴∠EGF=30°或150°，
由EG=FG知△EFG為等腰三角形，
當∠EGF=30°時，∠GEF=75°；
當∠EGF=150°時，∠GEF=15°，
故EF與AB夾角的大小為15°或75°.
1.知識清單：
(1)基本事實4.
(2)空間兩直線的位置關系.
(3)等角定理.
(4)異面直線的夾角.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：
(1)容易忽視異面直線夾角θ的范圍是0°<θ≤90°.
(2)等角定理應用時往往忽視兩角互補的情況.
隨堂演練
五
1.若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關系是
A.共面 B.平行
C.異面 D.平行或異面
若直線a和b共面，則由題意可知a∥b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線.
√
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2
3
4
2.若OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB=130°，則∠A'O'B'為
A.130° B.50°
C.130°或50° D.不能確定
根據等角定理可知，∠A'O'B'與∠AOB相等或互補，即∠A'O'B'=130°或∠A'O'B'=50°.
√
1
2
3
4
3.如圖所示，在長方體木塊AC1中，A1C1與B1D1相交于點O，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有
A.3條 B.4條
C.5條 D.6條
EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
√
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3
4
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點，則直線EF與PQ夾角的大小是
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
如圖，連接A1C1，BC1，
則F是A1C1的中點.
又E為A1B的中點，
所以EF∥BC1.
連接DC1，則Q是DC1的中點，
又P為A1D的中點，
所以PQ∥A1C1，
則∠A1C1B(或其補角)是直線EF與PQ的夾角.
易知△A1C1B是正三角形，
所以直線EF與PQ的夾角為∠A1C1B=.
課時對點練
六
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D BD A ABD 矩形 5
題號 11 12　 13 14 15
答案 BD AC C 平行 60°
答案
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9.
(1)因為AA'與BB'相交于點O，所以AA'與BB'共面，
在△ABO和△A'B'O中，
可得∠AOB=∠A'OB'，
又因為=，
所以△ABO∽△A'B'O，
所以=，∠BAO=∠B'A'O，
所以AB∥A'B'，
同理AC∥A'C'，BC∥B'C'.
答案
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9.
(2)因為AB∥A'B'，AC∥A'C'，且AB和A'B'，AC和A'C'的方向相反，
所以∠BAC=∠B'A'C'.
同理∠ABC=∠A'B'C'，
因此△ABC∽△A'B'C'，
又==，
所以==.
答案
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10.
如圖，取AC的中點F，連接EF，BF.在△ACD中，E，F分別是AD，AC的中點，
∴EF∥CD，
∴∠BEF(或其補角)即為所求的異面直線BE與CD的夾角.
在Rt△ABC中，BC=，AB=AC，
∴AB=AC=1.
在Rt△EAB中，AB=1，
AE=AD=，∴BE=.
在Rt△AEF中，AF=AC=，AE=，
答案
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10.
∴EF=.
在Rt△ABF中，AB=1，
AF=，∴BF=.
在等腰△EBF中，
cos∠FEB===，
∴異面直線BE與CD夾角的余弦值為.
答案
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16.
如圖所示，連接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC=2，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其補角)為異面直線A1B和AD1的夾角，
∵A1B⊥AD1，即異面直線A1B和AD1的夾角為90°，
∴∠AD1C=90°.
答案
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16.
又易知AD1=D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1=AC.
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴AC=2×sin 60°×2=6，
∴AD1=AC=3，
∴AA1==.
答案
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16
1.空間兩條互相平行的直線指的是
A.在空間沒有公共點的兩條直線
B.分別在兩個平面內的兩條直線
C.在兩個不同的平面內且沒有公共點的兩條直線
D.在同一平面內且沒有公共點的兩條直線
√
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基礎鞏固
答案
2.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是
A.一定平行 B.一定相交
C.一定異面 D.相交或異面
可能相交也可能異面，但一定不平行(否則與條件矛盾).
√
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16
答案
3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為BC，BB1的中點，則下列直線中與直線EF相交的是
A.直線AA1
B.直線A1B1
C.直線A1D1
D.直線B1C1
√
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答案
根據異面直線的概念可看出直線AA1，A1B1，A1D1都和直線EF為異面直線；B1C1和EF在同一平面內，且這兩直線不平行.
∴直線B1C1和直線EF相交，即選項D正確.
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答案
4.(多選)下列命題中正確的為
A.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等
B.如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線的夾角相等
C.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補
D.如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行
√
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√
答案
對于A，這兩個角也可能互補，故A錯誤；
B正確；
C不正確，舉反例：如圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，
∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個角既不一定相等，也不一定互補；
對于D，由公理4可知正確.
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答案
5.在空間四邊形ABCD中，AB，BC，CD的中點分別是P，Q，R，且PQ=2，QR=，PR=3，那么異面直線AC和BD的夾角是
A.90° B.60°
C.45° D.30°
∠PQR(或其補角)即為所求角，由勾股定理的逆定理可知∠PQR=90°.
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答案
6.(多選)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述錯誤的是
A.CC1與B1E是異面直線
B.C1C與AE共面
C.AE與B1C1是異面直線
D.AE與B1C1的夾角為60°
√
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√
√
答案
由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；
由于C1C在平面C1B1BC內，而AE與平面C1B1BC相交于點E，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；
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同理AE與B1C1是異面直線，C正確；
而AE與B1C1的夾角就是AE與BC的夾角，E為BC的中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，所以AE與B1C1的夾角為90°，D錯誤.
答案
7.對角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點分別為M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是　　　　.
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矩形
答案
如圖所示.
∵點M，N，P，Q分別是四條邊的中點，
∴MN∥AC，且MN=AC，PQ∥AC且PQ=AC，
即MN∥PQ且MN=PQ，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形.
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，
∴MN⊥MQ，
∴平行四邊形MNPQ是矩形.
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答案
8.如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=8，BD=6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD的夾角為90°，則MN=　　　.
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答案
如圖，取AD的中點P，連接PM，PN，
則BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN或其補角即為異面直線AC與BD的夾角，
∴∠MPN=90°，
PN=BD=3，
∴MN=5.
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答案
9.如圖所示，△ABC和△A'B'C'的對應頂點的連線AA'，BB'，CC'交于同一點O，且.
(1)證明：AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'；
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因為AA'與BB'相交于點O，所以AA'與BB'共面，
在△ABO和△A'B'O中，可得∠AOB=∠A'OB'，
又因為，所以△ABO∽△A'B'O，
所以，∠BAO=∠B'A'O，
所以AB∥A'B'，
同理AC∥A'C'，BC∥B'C'.
答案
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(2)求的值.
因為AB∥A'B'，AC∥A'C'，且AB和A'B'，AC和A'C'的方向相反，
所以∠BAC=∠B'A'C'.
同理∠ABC=∠A'B'C'，因此△ABC∽△A'B'C'，
又，
所以.
答案
10.如圖所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E為DA的中點，求異面直線BE與CD夾角的余弦值.
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答案
如圖，取AC的中點F，連接EF，BF.
在△ACD中，E，F分別是AD，AC的中點，
∴EF∥CD，
∴∠BEF(或其補角)即為所求的異面直線BE與CD
的夾角.
在Rt△ABC中，BC=，AB=AC，∴AB=AC=1.
在Rt△EAB中，AB=1，AE=，
∴BE=.
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答案
在Rt△AEF中，AF=，
∴EF=.
在Rt△ABF中，AB=1，AF=.
在等腰△EBF中，
cos∠FEB=，
∴異面直線BE與CD夾角的余弦值為.
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答案
11.(多選)如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是
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綜合運用
√
√
答案
A中，∵G，M是所在棱的中點，
∴AG綊BM，∴四邊形GMBA是平行四邊形，
∴GM綊AB綊HN，
∴四邊形GMNH是平行四邊形，
∴GH∥MN，即G，H，M，N四點共面；
C中，∵G，M是所在棱的中點，∴GM綊CD，
∴GM綊HN，∴G，H，M，N四點共面；
B，D中GH與MN是異面直線.
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答案
12.(多選)一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論，正確的是
A.AB⊥EF
B.AB與CM的夾角為60°
C.EF與MN是異面直線
D.MN∥CD
把正方體的平面展開圖還原為原來的正方體可知，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正確.
√
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√
答案
13.當動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DC上運動時，異面直線D1P與BC1夾角的取值范圍是
A. B. C. D.
√
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答案
設正方體棱長為1，DP=x，則x∈，連接AD1，AP(圖略)，
由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其補角)即為異面直線D1P與BC1的夾角，
在△AD1P中，AD1=，
故cos∠AD1P=，
又∵x∈，∴ cos∠AD1P=，
又異面直線夾角的范圍為，∴∠AD1P的取值范圍為.
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答案
14.若P是△ABC所在平面外一點，D，E分別是△PAB，△PBC的重心，則DE與AC的位置關系為　　　.
∵D，E分別為△PAB，△PBC的重心，連接PD，PE并延長，分別交AB，BC于M，N兩點，如圖所示，則M，N分別為AB，BC的中點，
∴DE∥MN，MN∥AC，
∴DE∥AC.
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平行
答案
拓廣探究
15.如圖所示，圓錐的底面直徑AB=4，高OC=2，D為底面圓周上的一點，且∠AOD=120°，則直線AD與BC的夾角為　　　　.
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60°
答案
如圖，延長DO交底面圓于點E，連接BE，CE，由AB，DE均為圓的直徑知AD∥BE，
且AD=BE，
所以∠CBE(或其補角)即為異面直線AD與BC的夾角.
在△AOD中，
AD=2OAsin 60°=2，
在△CBE中，CB=CE=BE=2，
所以△CBE為正三角形，
所以∠CBE=60°.
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答案
16.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是菱形，且AB=2，∠ABC=120°，若A1B⊥AD1，求AA1的長.
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答案
如圖所示，連接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC=2，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其補角)為異面直線A1B和AD1的夾角，
∵A1B⊥AD1，即異面直線A1B和AD1的夾角為90°，
∴∠AD1C=90°.
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答案
又易知AD1=D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1=AC.
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴AC=2×sin 60°×2=6，
∴AD1=，
∴AA1=.
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答案3.2　刻畫空間點、線、面位置關系的公理(二)
[學習目標]　1.掌握基本事實4及等角定理.2.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角.
一、基本事實4
問題1　如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，那么BB'與DD'平行嗎？
問題2　將一張紙如圖進行折疊，則各折痕及邊a，b，c，d，e，…之間有何關系？
知識梳理
1.文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
2.符號表示： a∥c.
3.空間平行線的傳遞性：空間中平行于一條已知直線的所有直線都互相______.
例1　如圖所示，E，F分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點.求證：四邊形B1EDF是平行四邊形.
反思感悟　證明空間中兩條直線平行的方法
(1)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理等)來證明.
(2)找到一條直線c，使得a∥c，同時b∥c，由基本事實4得a∥b.
跟蹤訓練1　已知棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別為CD，AD的中點.求證：四邊形MNA'C'是梯形.
二、空間兩直線的位置關系
知識梳理
1.異面直線的概念
(1)定義：不同在____________平面內(不共面)的兩條直線.
(2)異面直線的畫法(襯托平面法)
如圖①②所示，為了表示異面直線a，b不共面的特點，畫圖時，通常用一個或兩個平面來襯托.
(3)判斷兩直線為異面直線的方法
①定義法；
②兩直線既不平行也不相交.
2.空間兩條直線的位置關系
例2　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是　　　　；
(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是　　　　　　；
(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是　　　　　　；
(4)直線AB與直線B1C的位置關系是　　　　　　　.
反思感悟　(1)判定兩條直線平行或相交的方法
判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實4判斷.
(2)判定兩條直線是異面直線的方法
①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內.
②重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為A α，B∈α，l α，B l AB與l是異面直線(如圖).
跟蹤訓練2　(1)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是(　　)
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行、相交或異面
(2)如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對數為(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
三、等角定理
知識梳理
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角_______或____________.
如圖所示，AC∥A'C'，AB∥A'B'，可知∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°.
例3　如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F，E'，F'分別是AB，BC，A'B'，B'C'的中點，求證：EE'∥FF'.
延伸探究
若將本例變為已知E，E'分別是正方體ABCD-A'B'C'D'的棱AD，A'D'的中點.求證：∠BEC=∠B'E'C'.
反思感悟　(1)空間兩條直線平行的證明：①定義法：即證明兩條直線在同一個平面內沒有公共點；②利用基本事實4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.
(2)等角定理的結論是相等或互補，在實際應用時，一般是借助于圖形判斷是相等，還是互補，還是兩種情況都有可能.
四、異面直線的夾角
知識梳理
定義 前提 兩條異面直線a，b
作法 過空間任一點O作直線a'∥a，b'∥b，這時a'，b'共面
結論 我們把a'與b'所成的___________的角稱為異面直線a，b的夾角
范圍 記異面直線a與b的夾角為θ，則____________
特殊情況 當θ=____________時，a與b互相垂直，記作：_______
例4　已知正方體ABCD-A1B1C1D1.
(1)求A1B與B1D1夾角的大?。?br/>(2)求AC與BD1夾角的大小.
反思感悟　求兩異面直線夾角的三個步驟
(1)作(或找)：根據異面直線夾角的定義，用平移法作(或找)出異面直線的夾角.
(2)證：證明作(或找)出的角就是要求的角.
(3)計算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作(或找)二證三計算”來概括.同時注意異面直線夾角的范圍是0°<θ≤90°.
跟蹤訓練3　在空間四邊形ABCD中，AB=CD，且AB與CD的夾角為30°，E，F分別為BC，AD的中點，求EF與AB的夾角的大小.
1.知識清單：
(1)基本事實4.
(2)空間兩直線的位置關系.
(3)等角定理.
(4)異面直線的夾角.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：
(1)容易忽視異面直線夾角θ的范圍是0°<θ≤90°.
(2)等角定理應用時往往忽視兩角互補的情況.
1.若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關系是(　　)
A.共面 B.平行
C.異面 D.平行或異面
2.若OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB=130°，則∠A'O'B'為(　　)
A.130° B.50°
C.130°或50° D.不能確定
3.如圖所示，在長方體木塊AC1中，A1C1與B1D1相交于點O，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有(　　)
A.3條 B.4條
C.5條 D.6條
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點，則直線EF與PQ夾角的大小是(　　)
A. B.
C. D.
答案精析
問題1　平行.
問題2　平行.
知識梳理
3.平行
例1　證明　設Q是DD1的中點，連接EQ，QC1，如圖.
∵E，Q分別是AA1，DD1的中點，∴EQ綊A1D1.
又∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1.
∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，
∴B1E綊C1Q.
又Q，F分別是DD1，CC1的中點，
∴QD綊C1F.
∴四邊形C1QDF為平行四邊形.
∴C1Q綊DF.
∴B1E綊DF.
∴四邊形B1EDF為平行四邊形.
跟蹤訓練1　證明　如圖所示，
連接AC，
由正方體的性質可知AA'=CC'，
AA'∥CC'，
∴四邊形AA'C'C為平行四邊形，
∴A'C'=AC，
A'C'∥AC，
又∵M，N分別是CD，AD的中點，
∴MN∥AC，且MN=AC，
∴MN∥A'C'且MN=A'C'.
∴四邊形MNA'C'是梯形.
知識梳理
1.(1)任何一個
例2　(1)平行　(2)異面　(3)相交　(4)異面
解析　(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC，
∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，
∴A1B∥D1C.
(2)直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內.
(3)直線D1D與直線D1C相交于點D1.
(4)直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內.
跟蹤訓練2　(1)D　[可借助長方體來判斷.
如圖，
在長方體ABCD-A'B'C'D'中，設A'D'所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'.故a和c可以平行、相交或異面.]
(2)C　[還原的正方體如圖所示.
是異面直線的共三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.]
知識梳理
相等　互補
例3　證明　因為E，E'分別是AB，
A'B'的中點，
所以BE∥B'E'，且BE=B'E'.
所以四邊形EBB'E'是平行四邊形，
所以EE'∥BB'，同理可證FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
延伸探究　證明　如圖所示，
連接EE'.
因為E，E'分別是AD，A'D'的中點，
所以AE∥A'E'，
且AE=A'E'.
所以四邊形AEE'A'是平行四邊形.
所以AA'∥EE'，
且AA'=EE'.
又因為AA'∥BB'，且AA'=BB'，
所以EE'∥BB'，且EE'=BB'，
所以四邊形BEE'B'是平行四邊形，
所以BE∥B'E'.
同理可證CE∥C'E'.
又∠BEC與∠B'E'C'的兩邊方向相同，
所以∠BEC=∠B'E'C'.
知識梳理
不大于90°　0°<θ≤90°　90°　a⊥b
例4　解　(1)如圖，連接BD，A1D.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
DD1∥BB1，
且DD1=BB1，
∴四邊形DBB1D1為平行四邊形，
∴BD∥B1D1.
∵A1B，BD，A1D是全等的正方形的對角線，
∴A1B=BD=A1D，
即△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD=60°.
∵∠A1BD是銳角，
∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1的夾角，
即A1B與B1D1的夾角為60°.
(2)取DD1的中點E，
設AC∩BD=O，
連接EO，EA，EC.
∵O為BD的中點，
∴OE∥BD1.
∵∠EDA=∠EDC=90°，AD=DC，DE=DE，
∴△EDA≌△EDC，
∴EA=EC.
在等腰三角形EAC中，
∵O是AC的中點，∴EO⊥AC，
∴∠EOA=90°.
∵∠EOA是異面直線AC與BD1的夾角，
∴AC與BD1的夾角為90°.
跟蹤訓練3　解　如圖所示，取AC的中點G，連接EG，FG，
則EG∥AB且EG=AB，
GF∥CD且GF=CD.
由AB=CD知EG=FG，從而可知∠GEF為EF與AB的夾角，∠EGF或其補角為AB與CD的夾角.
∵AB與CD的夾角為30°，
∴∠EGF=30°或150°，
由EG=FG知△EFG為等腰三角形，
當∠EGF=30°時，∠GEF=75°；
當∠EGF=150°時，∠GEF=15°，
故EF與AB夾角的大小為15°或75°.
隨堂演練
1.D　2.C　3.B　4.C作業47　刻畫空間點、線、面位置關系的公理(二)
(分值：100分)
單選題每小題5分，共25分；多選題每小題6分，共24分
1.空間兩條互相平行的直線指的是(　　)
A.在空間沒有公共點的兩條直線
B.分別在兩個平面內的兩條直線
C.在兩個不同的平面內且沒有公共點的兩條直線
D.在同一平面內且沒有公共點的兩條直線
2.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是(　　)
A.一定平行 B.一定相交
C.一定異面 D.相交或異面
3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為BC，BB1的中點，則下列直線中與直線EF相交的是(　　)
A.直線AA1
B.直線A1B1
C.直線A1D1
D.直線B1C1
4.(多選)下列命題中正確的為(　　)
A.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等
B.如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線的夾角相等
C.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補
D.如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行
5.在空間四邊形ABCD中，AB，BC，CD的中點分別是P，Q，R，且PQ=2，QR=，PR=3，那么異面直線AC和BD的夾角是(　　)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
6.(多選)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述錯誤的是(　　)
A.CC1與B1E是異面直線
B.C1C與AE共面
C.AE與B1C1是異面直線
D.AE與B1C1的夾角為60°
7.對角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點分別為M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是　　　　.
8.如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=8，BD=6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD的夾角為90°，則MN=　　　　.
9.(10分如圖所示，△ABC和△A'B'C'的對應頂點的連線AA'，BB'，CC'交于同一點O，且.
(1)證明：AB∥A'B'，AC∥A'C'，
BC∥B'C'；(5分)
(2)求的值.(5分)
10.(10分)如圖所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E為DA的中點，求異面直線BE與CD夾角的余弦值.
11.(多選)如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是(　　)
12.(多選)一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論，正確的是(　　)
A.AB⊥EF
B.AB與CM的夾角為60°
C.EF與MN是異面直線
D.MN∥CD
13.當動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DC上運動時，異面直線D1P與BC1夾角的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
14.若P是△ABC所在平面外一點，D，E分別是△PAB，△PBC的重心，則DE與AC的位置關系為　　　　　.
15.如圖所示，圓錐的底面直徑AB=4，高OC=2，D為底面圓周上的一點，且∠AOD=120°，則直線AD與BC的夾角為　　　　.
16.(11分)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是菱形，且AB=2，∠ABC=120°，若A1B⊥AD1，求AA1的長.
答案精析
1.D　2.D　3.D　4.BD　5.A
6.ABD　[由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內，而AE與平面C1B1BC相交于點E，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1的夾角就是AE與BC的夾角，E為BC的中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，所以AE與B1C1的夾角為90°，D錯誤.]
7.矩形
8.5
解析　如圖，取AD的中點P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN或其補角即為異面直線AC與BD的夾角，
∴∠MPN=90°，
PN=AC=4，PM=BD=3，
∴MN=5.
9.(1)證明　因為AA'與BB'相交于點O，所以AA'與BB'共面，
在△ABO和△A'B'O中，
可得∠AOB=∠A'OB'，
又因為=，
所以△ABO∽△A'B'O，
所以=，∠BAO=∠B'A'O，
所以AB∥A'B'，
同理AC∥A'C'，BC∥B'C'.
(2)解　因為AB∥A'B'，AC∥A'C'，且AB和A'B'，AC和A'C'的方向相反，
所以∠BAC=∠B'A'C'.
同理∠ABC=∠A'B'C'，
因此△ABC∽△A'B'C'，
又==，
所以==.
10.解　如圖，取AC的中點F，連接EF，BF.在△ACD中，E，F分別是AD，AC的中點，
∴EF∥CD，
∴∠BEF(或其補角)即為所求的異面直線BE與CD的夾角.
在Rt△ABC中，BC=，AB=AC，
∴AB=AC=1.
在Rt△EAB中，AB=1，
AE=AD=，∴BE=.
在Rt△AEF中，
AF=AC=，AE=，
∴EF=.
在Rt△ABF中，AB=1，
AF=，∴BF=.
在等腰△EBF中，
cos∠FEB===，
∴異面直線BE與CD夾角的余弦值為.
11.BD　[A中，∵G，M是所在棱的中點，
∴AG綊BM，∴四邊形GMBA是平行四邊形，
∴GM綊AB綊HN，
∴四邊形GMNH是平行四邊形，
∴GH∥MN，即G，H，M，N四點共面；
C中，∵G，M是所在棱的中點，∴GM綊CD，
∴GM綊HN，∴G，H，M，N四點共面；
B，D中GH與MN是異面直線.]
12.AC　[把正方體的平面展開圖還原為原來的正方體可知，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正確.]
13.C　[設正方體棱長為1，DP=x，則x∈，連接AD1，AP(圖略)，
由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其補角)即為異面直線D1P與BC1的夾角，
在△AD1P中，AD1=，AP=D1P=，
故cos∠AD1P=，
又∵x∈，∴ cos∠AD1P
=，
又異面直線夾角的范圍為，
∴∠AD1P的取值范圍為.]
14.平行
解析　∵D，E分別為△PAB，△PBC的重心，連接PD，PE并延長，分別交AB，BC于M，N兩點，如圖所示，則M，N分別為AB，BC的中點，
∴DE∥MN，MN∥AC，
∴DE∥AC.
15.60°
解析　如圖，延長DO交底面圓于點E，連接BE，CE，由AB，DE均為圓的直徑知AD∥BE，
且AD=BE，
所以∠CBE(或其補角)即為異面直線AD與BC的夾角.
在△AOD中，
AD=2OAsin 60°=2，
在△CBE中，CB=CE=BE=2，
所以△CBE為正三角形，
所以∠CBE=60°.
16.解　如圖所示，連接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC=2，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其補角)為異面直線A1B和AD1的夾角，
∵A1B⊥AD1，即異面直線A1B和AD1的夾角為90°，
∴∠AD1C=90°.
又易知AD1=D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1=AC.
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴AC=2×sin 60°×2=6，
∴AD1=AC=3，
∴AA1==.

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