資源簡介

(共71張PPT)
第六章
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§2　直觀圖
1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.
2.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖.
學習目標
物體在日光或燈光的照射下，會在地面、墻壁等處形成影子，影子就是物體在平面上的投射形象.那么立體圖形在平面內如何表示呢？這就是我們本節課要研究的課題——直觀圖.
導 語
一、水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法
二、空間幾何體的直觀圖的畫法
課時對點練
三、直觀圖的還原與計算
隨堂演練
內容索引
水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法
一
提示　平行四邊形.
如圖，矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么形狀？望遠處成塊的農田，矩形的農田在我們眼里又是什么形狀？
問題
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟及規則
45°(或135°)
水平面
x′軸或y′軸
線段
保持原長度不變
一半
(1)不變的量：平行關系，與x軸平行或重合的線段長度；
變化的量：垂直關系，角的大小，其他線段的長度.
(2)圓的直觀圖一般畫成橢圓.
(3)斜二測畫法的位置特征與度量特征簡記為：橫不變、縱折半，平行位置不改變.
注 意 點
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　畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.
例 1
(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，
另選一平面畫直觀圖，先畫對應的
坐標系x'O'y'，
使∠x'O'y'=45°.
(2)以O'為中點在x'軸上取A'B'=AB，
在y'軸上取O'E'=OE，以E'為中點畫C'D'∥x'軸，并使C'D'=CD.
(3)連接B'C'，D'A'，擦去輔助線x'軸和y'軸，
所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.
在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當的直角坐標系是關鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段.關鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可.
反
思
感
悟
　用斜二測畫法畫邊長為2 cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖.
跟蹤訓練 1
(1)如圖①所示，以BC邊所在的直
線為x軸，以BC邊上的高線AO所
在的直線為y軸建立直角坐標系.
(2)畫對應的x'軸，y'軸，使∠x'O'y'=45°.
在x'軸上截取O'B'=O'C'=1 cm，在y'軸上截取O'A'=OA.
連接A'B'，A'C'，擦去輔助線x'軸和y'軸，
則△A'B'C'即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示.
二
空間幾何體的直觀圖的畫法
空間幾何體的直觀圖的畫法步驟及規則
(1)在已知的空間圖形中取水平平面和互相垂直的軸Ox，Oy；再取Oz軸，使∠xOz=90°，且∠yOz= .
(2)畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz畫成對應的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'
= ，∠x'O'z'= .x'O'y'所確定的平面表示水平平面.
(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.
90°
45°(或135°)
90°
(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段長度為原來的一半.
(5)擦去輔助線，并將被遮線畫成虛線.
　用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4 cm，3 cm，2 cm的長方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.
例 2
(1)畫軸.如圖(1)，畫x軸、y軸、
z軸，三軸相交于點O，使∠xOy
=45°，∠xOz=90°.
(2)畫底面.以點O為中點，在x軸
上取線段MN，使MN=4 cm；在y軸上取線段PQ，使PQ= cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.
(3)畫側棱.過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA'，BB'，CC'，DD'.
(4)成圖.順次連接A'，B'，C'，D'(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖，如圖(2).
反
思
感
悟
(1)對于一些常見幾何體(柱、錐、臺、球)的直觀圖，應該記住它們的大致形狀，以便可以較快較準確地畫出.
(2)畫空間幾何體的直觀圖時，比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z軸，表示豎直方向.
(3)z軸方向上的線段，方向與長度都與原來保持一致.
空間幾何體的直觀圖的畫法
　用斜二測畫法畫出六棱錐P-ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點P在底面上的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)
跟蹤訓練 2
(1)畫出六棱錐P-ABCDEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸相交于點O，如圖(1)；畫出相應的x'軸、y'軸、z'軸，三軸相交于O'，使∠x'O'y'=45°，∠x'O'z'=90°，如
圖(2)；②在圖(2)中，以O'為中點，在x'軸上取A'D'=AD，在y'軸上取M'N'=MN，以點N'為中點，畫出B'C'平行于x'軸，并且長度等于BC，再以M'為中點，畫出E'F'平行于x'軸，并且長度等于EF；③連接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'得到水平放置的正六邊形ABCDEF的直觀圖A'B'C'D'E'F'.
(2)畫出正六棱錐P-ABCDEF的頂點，在z'軸正半軸上截取點P'，點P'異于點O'.
(3)成圖.連接P'A'，P'B'，P'C'，P'D'，P'E'，P'F'，并擦去x'軸、y'軸和z'軸，將被遮擋的部分畫成虛線，便可得到六棱錐P-ABCDEF的直觀圖P'-A'B'C'D'E'F'，如圖(3).
直觀圖的還原與計算
三
　如圖，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6 cm，O'C'=2 cm，C'D'=2 cm，則原圖形是　 　，其面積為
　　 cm2.
例 3
菱形
24
如圖，在原圖形OABC中，
應有OD=2O'D'=2×2=4(cm)，
CD=C'D'=2(cm)，
所以OC==6(cm)，
所以OA=OC=BC=AB，
故四邊形OABC是菱形.
S四邊形OABC=OA×OD=6×4(cm2).
反
思
感
悟
由直觀圖還原為平面圖形的關鍵是找與x'軸、y'軸平行的直線或線段，且平行于x'軸的線段還原時長度不變，平行于y'軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可.由此可得，直觀圖面積是原圖形面積的倍.
　(1)如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖，其中A'B'，A'C'所在直線分別與x'軸，y'軸平行，且A'B'=A'C'，
那么△ABC是
A.等腰三角形 B.鈍角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
跟蹤訓練 3
√
因為水平放置的△ABC的直觀圖中，∠x'O'y'=45°，A'B'=A'C'，且A'B'∥x'軸，A'C'∥y'軸，
所以AB⊥AC，AB≠AC，
所以△ABC是直角三角形.
(2)已知等邊△ABC的邊長為a，那么用斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的平面直觀圖△A'B'C'的面積為
A. B.
C. D.a2
√
方法一　建立如圖①所示的平面直角坐標系xOy.
如圖②所示，建立坐標系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°，由直觀圖畫法，
知A'B'=AB=a，O'C'=a.
過點C'作C'D'⊥O'x'于點D'，
則C'D'=a.
所以△A'B'C'的面積是S=a2.
方法二　S△ABC=a2，
又S△A'B'C'=S△ABC，
∴S△A'B'C'=a2.
1.知識清單：
(1)水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法.
(2)空間幾何體的直觀圖的畫法.
(3)直觀圖的還原與計算.
2.方法歸納：轉化法.
3.常見誤區：易忽視同一圖形選取坐標系的角度不同，得到的直觀圖可能不同.
隨堂演練
四
1.(多選)關于斜二測畫法所得到的直觀圖，下列說法正確的是
A.三角形的直觀圖是三角形
B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
C.正方形的直觀圖是正方形
D.菱形的直觀圖是菱形
斜二測畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關系不會改變，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形.
√
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4
√
2.若把一個高為10 cm的圓柱的底面畫在x'O'y'平面上，則圓柱的高應畫成
A.平行于z'軸且大小為10 cm
B.平行于z'軸且大小為5 cm
C.與z'軸成45°且大小為10 cm
D.與z'軸成45°且大小為5 cm
平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致.
√
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2
3
4
3.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A'C'=3，B'C'=2，則AB邊上的中線的實際長度為　　　.
由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且AC=A'C'=3，BC=2B'C'=4，計算得AB=5，所求中線長為2.5.
1
2
3
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2.5
4.如圖是用斜二測畫法畫出的△AOB的直觀圖，則△AOB的面積是　　 .
由圖可知O'B'=4，則對應△AOB中，OB=4.
又和y'軸平行的線段的長度為4，則對應△AOB的高為8.所以△AOB的面積為×4×8=16.
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課時對點練
五
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 ACD A AB A D A 矩形　8
題號 11 12　 13 14 　15
答案 A CD D 4　0.5　3.6 D
答案
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9.
(1)①以D為原點，AC所在直線為x軸，DB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖①，
②畫出對應的x'，y'軸，
使∠x'D'y'=45°，
在x'軸上取點A'，C'，
使D'A'=DA，D'C'=DC，
在y'軸上取點B'，使D'B'=DB，
連接A'B'，C'B'，
則△A'B'C'即為△ABC的直觀圖，如圖②.
答案
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9.
(2)在圖②中，作B'E⊥A'C'，E為垂足，
∵D'B'=DB=6 cm，∠B'D'E=45°，
∴B'E=6×=3(cm)，
∴S△A'B'C'=×A'C'×B'E
=×12×3=18(cm2).
答案
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10.
(1)畫軸.畫x'軸、y'軸和z'軸，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，如圖①所示.
(2)畫底面.按x'軸、y'軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.
(3)畫側棱.過點A，B，C，D，E分別作z'軸的
平行線，并在這些平行線上分別截取AA'，BB'，
CC'，DD'，EE'都相等.
(4)成圖.順次連接A'，B'，C'，D'，E'，去掉輔助
線，將被擋部分畫為虛線，如圖②所示.
答案
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16.
(1)先按照斜二測畫法畫出直四棱柱的直觀圖A'B'C'D'-ABCD，如圖1；
(2)以直四棱柱的上底面ABCD為三棱柱的側面畫出三棱柱的直觀圖ADE-BCF.直觀圖如圖2所示.
答案
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圖1　　　 圖2
1.(多選)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法正確的是
A.原來相交的仍相交 B.原來垂直的仍垂直
C.原來平行的仍平行 D.原來共點的仍共點
√
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基礎鞏固
√
√
答案
2.已知用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的形狀是
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√
根據斜二測畫法知，在y軸上的線段長度為直觀圖中相應線段長度的2倍，可知A正確.
答案
3.(多選)已知一條邊在x軸上的正方形的斜二測直觀圖是一個平行四邊形，其中有一個邊長為4，則此正方形的面積為
A.16 B.64
C.32 D.無法確定
等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.
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答案
4.由斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么△ABC是一個
A.等邊三角形
B.直角三角形
C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形
D.三邊互不相等的三角形
√
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答案
由△ABC的直觀圖知，
在△ABC中，AO⊥BC.∴A'O'=.
∴B'O'=C'O'=1，
∴BC=2，AB=AC=2，
∴△ABC為等邊三角形.
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答案
5.如圖所示，△A'B'C'是用斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖，則在原△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是
A.AB B.AD
C.BC D.AC
還原△ABC，即可看出△ABC為直角三角形，故其斜邊AC最長.
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答案
6.如圖所示，四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為45°的等腰梯形，由斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖O'A'B'C'，則梯形O'A'B'C'的高為
A. B.
C. D.
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答案
因為四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高為1，面積S=
，故選A.
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答案
7.在如圖所示的直觀圖中，四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長為2 cm，則在平面直角坐標系中四邊形OABC為　 　(填具體形狀)，其面積為　　cm2.
由斜二測畫法規則可知，在四邊形OABC中，OA⊥OC，OA=O'A'=
2(cm)，OC=2O'C'=4(cm)，所以四邊形OABC是矩形，其面積為2×4=8 cm2.
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矩形
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答案
8.如圖所示，一個水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2，2)，則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B'到x'軸的
距離為　　　.
畫出直觀圖(圖略)，
則B'到x'軸的距離為.
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答案
9.如圖所示，在△ABC中，AC=12 cm，AC邊上的高
BD=12 cm.
(1)畫出水平放置的△ABC的直觀圖；
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答案
①以D為原點，AC所在直線為x軸，DB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖①，
②畫出對應的x'，y'軸，
使∠x'D'y'=45°，
在x'軸上取點A'，C'，
使D'A'=DA，D'C'=DC，
在y'軸上取點B'，使D'B'=DB，連接A'B'，C'B'，
則△A'B'C'即為△ABC的直觀圖，如圖②.
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答案
(2)求直觀圖的面積.
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在圖②中，作B'E⊥A'C'，E為垂足，
∴D'B'=DB=6 cm，∠B'D'E=45°，
∴B'E=6×(cm)，
∴S△A'B'C'=×A'C'×B'E
==18(cm2).
答案
10.用斜二測畫法畫出正五棱柱的直觀圖.
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答案
(1)畫軸.畫x'軸、y'軸和z'軸，使
∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'
=90°，如圖①所示.
(2)畫底面.按x'軸、y'軸畫正五邊
形的直觀圖ABCDE.
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(3)畫側棱.過點A，B，C，D，E分別作z'軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA'，BB'，CC'，DD'，EE'都相等.
(4)成圖.順次連接A'，B'，C'，D'，E'，去掉輔助線，將被擋部分畫為虛線，如圖②所示.
答案
11.如圖是利用斜二測畫法畫出的Rt△ABO的直觀圖，已知O'B'=4，且△ABO的面積為16，過點A'作A'C'⊥x'軸于點C'，
則A'C'的長為
A.2 B.
C.16 D.1
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綜合運用
答案
由直觀圖可知△ABO為直角三角形且
AB⊥BO，OB=4，
S△ABO=×4×AB=16，
∴AB=8，∴A'B'=4，∴A'C'=4×.
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答案
12.(多選)如圖所示，用斜二測畫法作水平放置的△ABC的直觀圖，得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，則由圖形可知下列結論中正確的是
A.AB=BC=AC
B.AD⊥BC
C.AB⊥BC
D.AC>AD>AB>BC
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答案
由直觀圖知△ABC為直角三角形，
AB⊥BC，AB=2A1B1，BC=B1C1，D為BC的中點，
如圖所示，
又A1B1=B1C1，
故AB錯誤，CD正確.
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答案
13.如圖，四邊形ABCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'=4，C'D'=2，則下列說法正確的是
A.AB=2
B.A'D'=2
C.四邊形ABCD的周長為4+2
D.四邊形ABCD的面積為6
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答案
如圖，過點D'作D'E⊥O'B'于點E，
由等腰梯形A'B'C'D'可得，△A'D'E是等腰直角三
角形，
即A'D'=，B錯誤；
還原平面圖如圖，即AB=4=2CD，AD=2，A錯誤；
過點C作CF⊥AB于點F，由勾股定理得CB=2，
故四邊形ABCD的周長為4+2+2，C錯誤；
四邊形ABCD的面積為，D正確.
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答案
14.一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面大小一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20 m，5 m，10 m，四棱錐的高為8 m，若按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中長方體的長為　　　cm，寬為　　　cm，建筑物的高為　　　cm.
由比例可知長方體的長、寬、高分別為4 cm，1 cm，2 cm，四棱錐的高為1.6 cm，
所以長方體的直觀圖的尺寸應為4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱錐的直觀圖的高為1.6 cm.
所以直觀圖中建筑物的高為2+1.6=3.6(cm).
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答案
拓廣探究
15.如圖所示，△A'O'B'表示用斜二測畫法得到的水平放置的△AOB的直觀圖，B'在x'軸上，A'O'與x'軸垂直，且A'O'=2，則
△AOB的邊OB上的高為
A.2 B.4
C.2 D.
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答案
設△AOB的邊OB上的高為h，因為S原圖形
=2
×2×O'B'.
又OB=O'B'，所以h=4.
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答案
16.泉州是一個歷史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重閩南式大屋頂與西式建筑的巧妙結合，具有獨特的建筑風格與空間特征.為延續該市的建筑風格，在舊城改造中，計劃對部分建筑物屋頂進行“平改坡”，并體現“紅磚青石”的閩南傳統建筑風格.現欲設計一個閩南式大屋，該大屋可近似地看作一個直四棱柱和一個三棱柱的組合體，請畫出其直觀圖.(尺寸自定)
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答案
(1)先按照斜二測畫法畫出直四棱柱的直觀圖A'B'C'D'-ABCD，如圖1；
(2)以直四棱柱的上底面ABCD為三棱柱的側面畫出三棱柱的直觀圖ADE-BCF.直觀圖如圖2所示.
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圖1　　　 圖2
答案[學習目標]　1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.2.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖.
導語
物體在日光或燈光的照射下，會在地面、墻壁等處形成影子，影子就是物體在平面上的投射形象.那么立體圖形在平面內如何表示呢？這就是我們本節課要研究的課題——直觀圖.
一、水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法
問題　如圖，矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么形狀？望遠處成塊的農田，矩形的農田在我們眼里又是什么形狀？
知識梳理
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟及規則
例1　畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.
反思感悟　在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當的直角坐標系是關鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段.關鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可.
跟蹤訓練1　用斜二測畫法畫邊長為2 cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖.
二、空間幾何體的直觀圖的畫法
知識梳理
空間幾何體的直觀圖的畫法步驟及規則
(1)在已知的空間圖形中取水平平面和互相垂直的軸Ox，Oy；再取Oz軸，使∠xOz=90°，且∠yOz=______.
(2)畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz畫成對應的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'=______，∠x'O'z'=______.x'O'y'所確定的平面表示水平平面.
(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.
(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段長度為原來的一半.
(5)擦去輔助線，并將被遮線畫成虛線.
例2　用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4 cm，3 cm，2 cm的長方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.
反思感悟　空間幾何體的直觀圖的畫法
(1)對于一些常見幾何體(柱、錐、臺、球)的直觀圖，應該記住它們的大致形狀，以便可以較快較準確地畫出.
(2)畫空間幾何體的直觀圖時，比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z軸，表示豎直方向.
(3)z軸方向上的線段，方向與長度都與原來保持一致.
跟蹤訓練2　用斜二測畫法畫出六棱錐P-ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點P在底面上的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)
三、直觀圖的還原與計算
例3　如圖，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6 cm，O'C'=2 cm，C'D'=2 cm，則原圖形是　　　，其面積為　　　　cm2.
反思感悟　由直觀圖還原為平面圖形的關鍵是找與x'軸、y'軸平行的直線或線段，且平行于x'軸的線段還原時長度不變，平行于y'軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可.由此可得，直觀圖面積是原圖形面積的倍.
跟蹤訓練3　(1)如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖，其中A'B'，A'C'所在直線分別與x'軸，y'軸平行，且A'B'=A'C'，那么△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.鈍角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
(2)已知等邊△ABC的邊長為a，那么用斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的平面直觀圖△A'B'C'的面積為(　　)
A. B.
C. D.a2
1.知識清單：
(1)水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法.
(2)空間幾何體的直觀圖的畫法.
(3)直觀圖的還原與計算.
2.方法歸納：轉化法.
3.常見誤區：易忽視同一圖形選取坐標系的角度不同，得到的直觀圖可能不同.
1.(多選)關于斜二測畫法所得到的直觀圖，下列說法正確的是(　　)
A.三角形的直觀圖是三角形
B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
C.正方形的直觀圖是正方形
D.菱形的直觀圖是菱形
2.若把一個高為10 cm的圓柱的底面畫在x'O'y'平面上，則圓柱的高應畫成(　　)
A.平行于z'軸且大小為10 cm
B.平行于z'軸且大小為5 cm
C.與z'軸成45°且大小為10 cm
D.與z'軸成45°且大小為5 cm
3.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A'C'=3，B'C'=2，則AB邊上的中線的實際長度為　　　　.
4.如圖是用斜二測畫法畫出的△AOB的直觀圖，則△AOB的面積是　　　　.
答案精析
問題　平行四邊形
知識梳理
45°(或135°)　水平面　x'軸或y'軸
線段　保持原長度不變　一半
例1　解　(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，
另選一平面畫直觀圖，先畫對應的坐標系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°.
(2)以O'為中點在x'軸上取A'B'=AB，
在y'軸上取O'E'=OE，以E'為中點畫C'D'∥x'軸，并使C'D'=CD.
(3)連接B'C'，D'A'，擦去輔助線x'軸和y'軸，
所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.
跟蹤訓練1　解　(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立直角坐標系.
(2)畫對應的x'軸，y'軸，
使∠x'O'y'=45°.
在x'軸上截取O'B'=O'C'=1 cm，在y'軸上截取O'A'=OA.
連接A'B'，A'C'，擦去輔助線x'軸和y'軸，
則△A'B'C'即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示.
知識梳理
(1)90°　(2)45°(或135°)　90°
例2　解　(1)畫軸.如圖(1)，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，
使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
(2)畫底面.以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN=4 cm；在y軸上取線段PQ，使PQ= cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.
(3)畫側棱.過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA'，BB'，CC'，DD'.
(4)成圖.順次連接A'，B'，C'，D'(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖，如圖(2).
跟蹤訓練2　解　(1)畫出六棱錐P-ABCDEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸相交于點O，如圖(1)；畫出相應的x'軸、y'軸、z'軸，三軸相交于O'，使∠x'O'y'=45°，∠x'O'z'=90°，如圖(2)；②在圖(2)中，以O'為中點，在x'軸上取A'D'=AD，在y'軸上取M'N'=MN，以點N'為中點，畫出B'C'平行于x'軸，并且長度等于BC，再以M'為中點，畫出E'F'平行于x'軸，并且長度等于EF；③連接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'得到水平放置的正六邊形ABCDEF的直觀圖A'B'C'D'E'F'.
(2)畫出正六棱錐P-ABCDEF的頂點，在z'軸正半軸上截取點P'，
點P'異于點O'.
(3)成圖.連接P'A'，P'B'，P'C'，P'D'，P'E'，P'F'，并擦去x'軸、y'軸和z'軸，將被遮擋的部分畫成虛線，便可得到六棱錐P-ABCDEF的直觀圖P'-A'B'C'D'E'F'，如圖(3).
例3　菱形　24
解析　如圖，在原圖形OABC中，
應有OD=2O'D'
=2×2
=4(cm)，
CD=C'D'=2(cm)，
所以OC===6(cm)，
所以OA=OC=BC=AB，
故四邊形OABC是菱形.
S四邊形OABC=OA×OD
=6×4=24(cm2).
跟蹤訓練3　(1)D　[因為水平放置的△ABC的直觀圖中，∠x'O'y'=45°，A'B'=A'C'，且A'B'∥x'軸，
A'C'∥y'軸，
所以AB⊥AC，AB≠AC，
所以△ABC是直角三角形.]
(2)D　[方法一　建立如圖①所示的平面直角坐標系xOy.
如圖②所示，建立坐標系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°，由直觀圖畫法，
知A'B'=AB=a，O'C'=OC=a.
過點C'作C'D'⊥O'x'于點D'，
則C'D'=O'C'=a.
所以△A'B'C'的面積是
S=·A'B'·C'D'=·a·a=a2.
方法二　S△ABC=a2，
又S△A'B'C'=S△ABC，
∴S△A'B'C'=×a2=a2.]
隨堂演練
1.AB　2.A　3.2.5　4.16作業45　直觀圖
(分值：100分)
單選題每小題5分，共35分；多選題每小題6分，共18分
1.(多選)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法正確的是(　　)
A.原來相交的仍相交 B.原來垂直的仍垂直
C.原來平行的仍平行 D.原來共點的仍共點
2.已知用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的形狀是(　　)
3.(多選)已知一條邊在x軸上的正方形的斜二測直觀圖是一個平行四邊形，其中有一個邊長為4，則此正方形的面積為(　　)
A.16 B.64
C.32 D.無法確定
4.由斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么△ABC是一個(　　)
A.等邊三角形
B.直角三角形
C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形
D.三邊互不相等的三角形
5.如圖所示，△A'B'C'是用斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖，則在原△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是(　　)
A.AB B.AD
C.BC D.AC
6.如圖所示，四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為45°的等腰梯形，由斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖O'A'B'C'，則梯形O'A'B'C'的高為(　　)
A. B.
C. D.
7.在如圖所示的直觀圖中，四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長為2 cm，則在平面直角坐標系中四邊形OABC為　　　(填具體形狀)，其面積為　　　　cm2.
8.如圖所示，一個水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2，2)，則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B'到x'軸的距離為　　　.
9.(10分)如圖所示，在△ABC中，AC=12 cm，AC邊上的高BD=12 cm.
(1)畫出水平放置的△ABC的直觀圖；(5分)
(2)求直觀圖的面積.(5分)
10.(10分)用斜二測畫法畫出正五棱柱的直觀圖.
11.如圖是利用斜二測畫法畫出的Rt△ABO的直觀圖，已知O'B'=4，且△ABO的面積為16，過點A'作A'C'⊥x'軸于點C'，則A'C'的長為(　　)
A.2 B.
C.16 D.1
12.(多選)如圖所示，用斜二測畫法作水平放置的△ABC的直觀圖，得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，則由圖形可知下列結論中正確的是(　　)
A.AB=BC=AC
B.AD⊥BC
C.AB⊥BC
D.AC>AD>AB>BC
13.如圖，四邊形ABCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'=4，C'D'=2，則下列說法正確的是(　　)
A.AB=2
B.A'D'=2
C.四邊形ABCD的周長為4+2
D.四邊形ABCD的面積為6
14.一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面大小一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20 m，5 m，10 m，四棱錐的高為8 m，若按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中長方體的長為　　　cm，寬為　　　cm，建筑物的高為　　　cm.
15.如圖所示，△A'O'B'表示用斜二測畫法得到的水平放置的△AOB的直觀圖，B'在x'軸上，A'O'與x'軸垂直，且A'O'=2，則△AOB的邊OB上的高為(　　)
A.2 B.4
C.2 D.
16.(12分)泉州是一個歷史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重閩南式大屋頂與西式建筑的巧妙結合，具有獨特的建筑風格與空間特征.為延續該市的建筑風格，在舊城改造中，計劃對部分建筑物屋頂進行“平改坡”，并體現“紅磚青石”的閩南傳統建筑風格.現欲設計一個閩南式大屋，該大屋可近似地看作一個直四棱柱和一個三棱柱的組合體，請畫出其直觀圖.(尺寸自定)
答案精析
1.ACD　2.A　3.AB　4.A　5.D
6.A　[因為四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高為1，面積S=×(1+3)×1=2，所以等腰梯形OABC的直觀圖的面積S'=2×=.設梯形O'A'B'C'的高為h，則×(1+3)·h=，解得h=，故選A.]
7.矩形　8
解析　由斜二測畫法規則可知，在四邊形OABC中，OA⊥OC，OA=O'A'=2(cm)，OC=2O'C'=4(cm)，所以四邊形OABC是矩形，其面積為2×4=8 cm2.
8.
9.解　(1)①以D為原點，AC所在直線為x軸，DB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖①，
②畫出對應的x'，y'軸，
使∠x'D'y'=45°，
在x'軸上取點A'，C'，
使D'A'=DA，D'C'=DC，
在y'軸上取點B'，使D'B'=DB，
連接A'B'，C'B'，
則△A'B'C'即為△ABC的直觀圖，如圖②.
(2)在圖②中，作B'E⊥A'C'，E為垂足，
∵D'B'=DB=6 cm，∠B'D'E=45°，
∴B'E=6×=3(cm)，
∴S△A'B'C'=×A'C'×B'E
=×12×3=18(cm2).
10.解　(1)畫軸.畫x'軸、y'軸和z'軸，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，如圖①所示.
(2)畫底面.按x'軸、y'軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.
(3)畫側棱.過點A，B，C，D，E分別作z'軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA'，BB'，CC'，DD'，EE'都相等.
(4)成圖.順次連接A'，B'，C'，D'，E'，去掉輔助線，將被擋部分畫為虛線，如圖②所示.
11.A
12.CD　[由直觀圖知△ABC為直角三角形，
AB⊥BC，AB=2A1B1，BC=B1C1，D為BC的中點，
如圖所示，
又A1B1=B1C1，
故AB錯誤，CD正確.]
13.D　[如圖，過點D'作D'E⊥O'B'于點E，由等腰梯形A'B'C'D'可得，△A'D'E是等腰直角三角形，
即A'D'=A'E=×(4-2)×=，B錯誤；
還原平面圖如圖，
即AB=4=2CD，AD=2，A錯誤；
過點C作CF⊥AB于點F，
由勾股定理得CB=2，
故四邊形ABCD的周長為4+2+2+2=6+2+2，C錯誤；
四邊形ABCD的面積為×(4+2)×2=6，D正確.]
14.4　0.5　3.6
解析　由比例可知長方體的長、寬、高分別為4 cm，1 cm，2 cm，四棱錐的高為1.6 cm，
所以長方體的直觀圖的尺寸應為4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱錐的直觀圖的高為1.6 cm.
所以直觀圖中建筑物的高為2+1.6=3.6(cm).
15.D　[設△AOB的邊OB上的高為h，因為S原圖形=2S直觀圖，所以×OB×h=2××2×O'B'.
又OB=O'B'，所以h=4.]
16.解　(1)先按照斜二測畫法畫出直四棱柱的直觀圖A'B'C'D'-ABCD，如圖1；
(2)以直四棱柱的上底面ABCD為三棱柱的側面畫出三棱柱的直觀圖ADE-BCF.直觀圖如圖2所示.
圖1　　　　　圖2

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