資源簡介

(共77張PPT)
第六章
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1.3　簡單旋轉體——球、
圓柱、圓錐和圓臺
1.了解球、圓柱、圓錐、圓臺的定義.
2.掌握球、圓柱、圓錐、圓臺的結構特征.
學習目標
素描是藝術類考生必須掌握的基本功之一，素描如果按表現內容可分為靜物、動物、風景、人像等，其中幾何體的素描就屬于靜物素描的范疇.要畫好靜物素描，必須打好石膏幾何體這個基礎，其中空間想象能力是必不可少的.
導 語
如圖是一位考生的素描作品，它是圓柱和圓錐構成的組合體，那么，圓柱和圓錐是怎樣旋轉而成的？這兩個旋轉體互相交叉的部分形狀是怎樣的？這節課我們就來共同學習簡單旋轉體.
一、旋轉體
二、球
課時對點練
三、圓柱、圓錐、圓臺
隨堂演練
內容索引
四、旋轉體的有關計算
旋轉體
一
提示　它們不是由平面多邊形圍成的.
觀察下列實物圖.
問題1
(1)上述三個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？
提示　可以由某些平面圖形旋轉而成.
問題1
(2)圖述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉而成？
提示　上述幾何體可分別由半圓、直角梯形、直角三角形以適當的一邊所在直線為軸旋轉而成.
問題1
(3)如何形成圖述幾何體的曲面？
一條平面曲線繞著它所在的平面內的一條定直線旋轉一周所形成的曲面稱為 ，封閉的旋轉面圍成的幾何體稱為旋轉體.
旋轉面
二
球
提示　球面是由半圓繞直徑所在的直線旋轉而成的.
從旋轉的角度分析，球面是由什么圖形繞哪條直線旋轉而成的？
問題2
球 圖形及表示
定義：以 所在的直線為旋轉軸，將半圓旋轉一周所形成的曲面稱為球面.球面所圍成的幾何體稱為球體，簡稱球
圖中球表示為球O
相關概念： 球心：半圓的 ； 半徑：連接 和球面上任意一點的 ； 直徑：連接球面上 并且過球心的______
半圓的直徑
圓心
球心
線段
兩點
線段
性質：
(1)球面上所有的點到球心的距離都等于球的半徑；
(2)用任何一個平面去截球面，得到的截面都是圓，其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大，等于球的半徑
　(多選)在下列說法中，正確的有
A.空間中到定點的距離等于定長的點的集合構成球
B.空間中到定點的距離等于定長的點的集合構成球面
C.一個圓繞其直徑旋轉半周形成的幾何體是球
D.用平面截球，隨著平面的傾斜角不同，截面可能不是圓面
例 1
√
√
A錯誤，空間中到定點的距離小于或等于定長的點的集合構成球；
B正確；
C正確；
D錯誤，用平面截球，不管平面的傾斜角多大，截面都是圓面.
反
思
感
悟
球是球體的簡稱，是一個幾何體，是“實心”的.而球面只是球的表面(“外殼”)，球面可定義為“半圓弧繞其直徑所在直線旋轉一周所形成的曲面”.從集合觀點來看，球可看作是空間中與一個定點的距離小于或等于定長的點的集合，這個定點就是球心，定長就是球的半徑.而球面可看作是空間中與一個定點的距離等于定長的點的集合.
球與球面的區別
　(多選)下列說法中正確的是
A.用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面
B.以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做
球體，半圓的直徑叫做球的直徑
C.球面上任意三點可能在一條直線上
D.球的半徑是連接球面上任意一點和球心的線段
跟蹤訓練 1
√
√
√
由球的形成過程可知B項正確；
C項，球面上任意三點不可能在一條直線上，故C錯誤；
由球的結構特征知，A，D正確.
圓柱、圓錐、圓臺
三
如圖，矩形ABCD繞其邊AB所在直線旋轉一周，其余三邊BC，CD，DA旋轉各形成什么圖形？它們共同圍成什么空間幾何體？
提示　邊BC，DA旋轉一周各形成一個圓面，邊CD旋轉一周形成一個曲面，它們共同圍成一個圓柱.
問題3
如圖，Rt△ABC繞其直角邊AC所在的直線旋轉一周，其余兩邊BC，AB旋轉各形成什么圖形？它們共同圍成什么空間幾何體？
提示　邊BC旋轉一周形成一個圓面，邊AB旋轉一周形成一個曲面，它們共同圍成一個圓錐.
問題4
如圖，用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分是什么空間幾何體？
提示　圓臺.
問題5
幾何體名稱 定義 圖形及表示
圓柱 以 所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓柱
圖中圓柱表示為圓柱O1O
矩形的一邊
幾何體名稱 定義 圖形及表示
圓錐 以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓錐
圖中圓錐表示為
圓錐SO
幾何體名稱 定義 圖形及表示
圓臺 以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓臺
圖中圓臺表示為
圓臺O1O
相關概念：
高：在旋轉軸上的這條邊的長度；
底面：垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的 ；
側面：不垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的曲面；
側面的母線：無論轉到什么位置，不垂直于旋轉軸的邊
性質：
(1)平行于圓柱、圓錐、圓臺的底面的截面都是圓面；
(2)過圓柱、圓錐、圓臺旋轉軸的截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形
圓面
(1)
注 意 點
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(2)處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想.
　(多選)下列說法正確的是
A.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺
B.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓
C.以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一
周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐
D.用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
例 2
√
√
對于A，以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉一周可得到圓臺；
對于B，它們的底面為圓面；
C，D正確.
反
思
感
悟
圓柱、圓錐、圓臺和球都是一個平面圖形繞其特定邊旋轉而成的幾何體，必須弄清各旋轉體對旋轉軸的具體要求.
　(多選)下列說法中，正確的是
A.圓柱的母線與它的軸可以不平行
B.圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都
可以構成直角三角形
C.在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線
D.圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的
跟蹤訓練 2
√
√
由圓柱、圓錐、圓臺的定義及母線的性質可知BD正確，AC錯誤.
旋轉體的有關計算
四
　一個圓錐的底面半徑為2，高為6，且有一個高為x的內接圓柱.
(1)用x表示出圓柱的軸截面面積S；
例 3
作出圓錐和內接圓柱的軸截面，如圖.
設圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似可得，
解得r=2-，x∈(0，6).
圓柱的軸截面面積S=2r·x=2x·x2+4x，x∈(0，6).
(2)當x為何值時，S取得最大值？
∵S=-(x-3)2+6，
∴當x=3時，S取得最大值，最大值為6.
反
思
感
悟
旋轉體中有關底面半徑、母線、高的計算，可利用軸截面求解，即將立體問題平面化.
　用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺的母線長.
跟蹤訓練 3
設圓臺的母線長為l cm，截得圓臺的上底面的半徑為r cm.
根據題意，得圓臺的下底面的半徑為4r cm.
根據相似三角形的性質得，解得l=9，
所以圓臺的母線長為9 cm.
　如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為5 cm，10 cm，母線長AB=20 cm，從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面轉到點A，求：
(1)繩子的最短長度；
例 4
如圖所示，將側面展開，繩子的最短長度為側面展開圖中AM的長度，
設OB=l，則θ·l=2π×5，
θ·(l+20)=2π×10，
解得θ=，l=20 cm.
∴OA=40 cm，OM=30 cm.
∴AM==50(cm).
即繩子的最短長度為50 cm.
(2)在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離.
如圖，作OQ⊥AM于點Q，交弧BB'于點P，
則PQ為所求的最短距離.
∵OA·OM=AM·OQ，
∴OQ=24 cm.
故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm)，
即上底圓周上的點到繩子的最短距離為4 cm.
反
思
感
悟
求旋轉體側面上兩點間最短距離問題，常利用側面展開圖轉化為平面上兩點間的距離問題.
　如圖所示，已知圓錐的母線長為6，底面半徑為1，現有一只螞蟻從底面圓的A點出發，繞圓錐側面一圈后回到點A，則這只螞蟻爬過的最短距離為　　　.
跟蹤訓練 4
6
將圓錐側面展開后得到如圖所示的扇形，弦AA'的長度即為螞蟻爬過的最短距離，弧AA'的長為2π，因為PA=6，可得∠APA'=，所以△PAA'為等邊三角形，因此AA'=6，即螞蟻爬過的最短距離為6.
1.知識清單：
(1)旋轉體的概念.
(2)球的結構特征.
(3)圓柱、圓錐、圓臺的結構特征.
2.方法歸納：分類討論、轉化與化歸.
3.常見誤區：易忽視同一平面圖形以不同的軸旋轉形成的旋轉體一般是不同的.
隨堂演練
五
1.關于下列幾何體，說法正確的是
A.圖①是圓柱 B.圖②和圖③是圓錐
C.圖④和圖⑤是圓臺 D.圖⑤是圓臺
√
1
2
3
4
由旋轉體的結構特征知，D正確.
2.(多選)下列說法中不正確的是
A.將正方形旋轉一周不可能形成圓柱
B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體
C.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺
D.通過圓臺側面上一點，有無數條母線
√
1
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4
√
√
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2
3
4
將正方形繞其一邊所在直線旋轉一周可以形成圓柱，所以A錯誤；
B中沒有說明這兩個平行截面的位置關系，當這兩個平行截面與底面平行時正確，其他情況下結論不一定正確，所以B錯誤；
通過圓臺側面上一點，只有一條母線，所以D錯誤.
3.下面幾何體的截面一定是圓面的是
A.圓臺 B.球
C.圓柱 D.圓錐
截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球.
√
1
2
3
4
4.兩相鄰邊長分別為3 cm和4 cm的矩形，以一邊所在的直線為軸旋轉所成的圓柱的底面積為　　　　　cm2.
當以3 cm長的一邊所在直線為軸旋轉時，得到的圓柱的底面半徑為4 cm，底面積為16π cm2；
當以4 cm長的一邊所在直線為軸旋轉時，得到的圓柱的底面半徑為3 cm，底面積為9π cm2.
1
2
3
4
16π或9π
課時對點練
六
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D ACD B D B AD r2 63
題號 11 12　 13 14 　15
答案 D A AD 2 　12
答案
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9.
設圓臺上、下底面半徑分別為r，R，母線長為l，高為h.
由題意，得2πr=×2πR，
即R=3r. ①
(2r+2R)·h=392，
即(R+r)h=392. ②
又母線與底面的夾角為45°，則h=R-r=l. ③
聯立①②③，得R=21，r=7，h=14，l=14.
答案
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10.
過內接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，如圖所示.設圓錐內接正方體的棱長為x，則在軸截面中，正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的長分別為x和x.
因為△VA1C1∽△VMN，
所以=，
即=，所以hx=2rh-2rx，
即x=.
故這個正方體的棱長為.
答案
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16.
如圖，將容器側面展開，
作A關于EF的對稱點A'，連接A'B，
則A'B即為最短距離.
由題意知，A'D=0.5 m，BD=1.2-0.3+AE=1.2(m)，
∴A'B===1.3(m).
故壁虎吃到蚊子的最短距離為1.3 m.
答案
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1.下列幾何體中不是旋轉體的是
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16
基礎鞏固
√
答案
2.(多選)下列命題中正確的是
A.過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑
B.母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等
C.圓臺中所有平行于底面的截面都是圓面
D.圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形
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√
答案
A.圓錐、棱柱 B.圓錐、棱錐
C.球、棱錐 D.圓錐、圓柱
3.圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是
易知①為圓錐，②為四棱錐.
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√
答案
4.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括
A.一個圓臺、兩個圓錐 B.兩個圓柱、一個圓錐
C.兩個圓臺、一個圓柱 D.一個圓柱、兩個圓錐
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答案
圖①是一個等腰梯形，CD為較長的底邊，以CD邊所在直線為旋轉軸旋轉一周所得幾何體為一個組合體，如圖②，包括一個圓柱、兩個圓錐.
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答案
5.用長為4，寬為2的矩形作側面圍成一個圓柱，此圓柱軸截面的面積為
A. B.
C. D.
√
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答案
當圍成的圓柱底面周長為4，高為2時，設圓柱底面圓的半徑為r，則2πr=4，所以r=
.
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答案
6.(多選)如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的，現用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是
√
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√
一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截，當平面過圓柱上、下底面的中心時，截面圖形為A項圖形；
當平面不過上、下底面的中心時，截面圖形為D項圖形.
答案
7.軸截面是直角三角形的圓錐的底面半徑為r，則其軸截面面積為　　 .
由圓錐的結構特征可知，軸截面為等腰直角三角形，其高為r，所以S=×2r2=r2.
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r2
答案
8.圓臺兩底面的半徑分別是2 cm和5 cm，母線長是3 cm，則它的軸截面的面積是　　　cm2.
如圖所示，作出軸截面，過點A作AM⊥BC于點M，則BM=5-2=3(cm)，
AM==9(cm)，
∴S梯形ABCD=×(4+10)×9=63(cm2).
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63
答案
9.圓臺的上底周長是下底周長的，軸截面面積等于392，母線與底面的夾角為45°，求此圓臺的高、母線長及兩底面的半徑.
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答案
設圓臺上、下底面半徑分別為r，R，母線長為l，高為h.
由題意，得2πr=×2πR，即R=3r ①
(2r+2R)·h=392，即(R+r)h=392. ②
又母線與底面的夾角為45°，則h=R-r=l. ③
聯立①②③，得R=21，r=7，h=14，l=14.
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10.已知圓錐的底面半徑為r，高為h，正方體ABCD-A1B1C1D1內接于圓錐，求這個正方體的棱長.(用字母表示)
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答案
過內接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，如圖所示.設圓錐內接正方體的棱長為x，則在軸截面中，正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的長分別為x和x.
因為△VA1C1∽△VMN，所以，
即hx=2rh-2rx，
即x=.
故這個正方體的棱長為.
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答案
11.上、下底面面積分別為36π和49π，母線長為5的圓臺，其兩底面之間的距離為
A.4 B.3
C. D.
圓臺的母線長l、高h和上、下兩底面圓的半徑r，R滿足關系式l2=h2+(R-r)2，由題意知l=5，R=7，r=6，求得h=2
.
√
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綜合運用
答案
12.如果圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是
A.等邊三角形
B.等腰直角三角形
C.頂角為30°的等腰三角形
D.其他等腰三角形
因為圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，所以圓錐的底面圓的直徑為，所以此圓錐的軸截面是等邊三角形.
√
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答案
13.(多選)兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9π和16π，則這兩個平面間的距離是
A.1 B.3
C.4 D.7
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答案
因為截面面積分別為9π和16π，所以兩截面圓的半徑分別為3和4.如圖①所示，若兩個平行平面在球心同側，則這兩個平行平面間的距離CD=OC-OD
==4-3=1.
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如圖②所示，若兩個平行平面在球心兩側，則這兩個平行平面間的距離CD=OC+OD==4+3=7.
答案
14.已知一個圓錐的母線長為2，底面圓的周長為2π，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為　　　.
因為底面圓的周長為2
×2
×2×sin α(α為圓錐兩母線的夾角，0°<α≤120°)，所以當截面中的兩母線的夾角為90°時，截面面積取最大值，最大值為2.
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答案
拓廣探究
15.在半徑為13的球面上有A，B，C三點，其中AC=6，BC=8，AB=10，則球心到經過這三個點的截面的距離為　　　.
由線段的長度知△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的半徑r==12.
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答案
16.如圖，圓柱形容器中，高為1.2 m，底面周長為1 m，在容器內壁離容器底部0.3 m的點B處有一只蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3 m與蚊子相對的點A處，求壁虎吃到蚊子的最短距離.(假設蚊子沒有發現壁虎，并且保持不動，容器厚度忽略不計)
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答案
如圖，將容器側面展開，
作A關于EF的對稱點A'，連接A'B，
則A'B即為最短距離.
由題意知，A'D=0.5 m，BD=1.2-0.3+AE=1.2(m)，
∴A'B==1.3(m).
故壁虎吃到蚊子的最短距離為1.3 m.
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答案1.3　簡單旋轉體——球、圓柱、圓錐和圓臺
[學習目標]　1.了解球、圓柱、圓錐、圓臺的定義.2.掌握球、圓柱、圓錐、圓臺的結構特征.
一、旋轉體
問題1　觀察下列實物圖.
(1)上述三個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？
(2)上述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉而成？
(3)如何形成上述幾何體的曲面？
知識梳理
一條平面曲線繞著它所在的平面內的一條定直線旋轉一周所形成的曲面稱為_________，封閉的旋轉面圍成的幾何體稱為旋轉體.
二、球
問題2　從旋轉的角度分析，球面是由什么圖形繞哪條直線旋轉而成的？
知識梳理
球 圖形及表示
定義：以_________所在的直線為旋轉軸，將半圓旋轉一周所形成的曲面稱為球面.球面所圍成的幾何體稱為球體，簡稱球 圖中球表示為球O
相關概念： 球心：半圓的_________； 半徑：連接_________和球面上任意一點的_________； 直徑：連接球面上_________并且過球心的_________
性質： (1)球面上所有的點到球心的距離都等于球的半徑； (2)用任何一個平面去截球面，得到的截面都是圓，其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大，等于球的半徑
例1　(多選)在下列說法中，正確的有(　　)
A.空間中到定點的距離等于定長的點的集合構成球
B.空間中到定點的距離等于定長的點的集合構成球面
C.一個圓繞其直徑旋轉半周形成的幾何體是球
D.用平面截球，隨著平面的傾斜角不同，截面可能不是圓面
反思感悟　球與球面的區別
球是球體的簡稱，是一個幾何體，是“實心”的.而球面只是球的表面(“外殼”)，球面可定義為“半圓弧繞其直徑所在直線旋轉一周所形成的曲面”.從集合觀點來看，球可看作是空間中與一個定點的距離小于或等于定長的點的集合，這個定點就是球心，定長就是球的半徑.而球面可看作是空間中與一個定點的距離等于定長的點的集合.
跟蹤訓練1　(多選)下列說法中正確的是(　　)
A.用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面
B.以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑
C.球面上任意三點可能在一條直線上
D.球的半徑是連接球面上任意一點和球心的線段
三、圓柱、圓錐、圓臺
問題3　如圖，矩形ABCD繞其邊AB所在直線旋轉一周，其余三邊BC，CD，DA旋轉各形成什么圖形？它們共同圍成什么空間幾何體？
問題4　如圖，Rt△ABC繞其直角邊AC所在的直線旋轉一周，其余兩邊BC，AB旋轉各形成什么圖形？它們共同圍成什么空間幾何體？
問題5　如圖，用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分是什么空間幾何體？
知識梳理
幾何體名稱 定義 圖形及表示
圓柱 以_________所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓柱 圖中圓柱表示為圓柱O1O
圓錐 以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓錐 圖中圓錐表示為圓錐SO
圓臺 以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓臺 圖中圓臺表示為圓臺O1O
相關概念： 高：在旋轉軸上的這條邊的長度； 底面：垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的_________； 側面：不垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的曲面； 側面的母線：無論轉到什么位置，不垂直于旋轉軸的邊
性質： (1)平行于圓柱、圓錐、圓臺的底面的截面都是圓面； (2)過圓柱、圓錐、圓臺旋轉軸的截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形
例2　(多選)下列說法正確的是(　　)
A.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺
B.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓
C.以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐
D.用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
反思感悟　圓柱、圓錐、圓臺和球都是一個平面圖形繞其特定邊旋轉而成的幾何體，必須弄清各旋轉體對旋轉軸的具體要求.
跟蹤訓練2　(多選)下列說法中，正確的是(　　)
A.圓柱的母線與它的軸可以不平行
B.圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形
C.在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線
D.圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的
四、旋轉體的有關計算
例3　一個圓錐的底面半徑為2，高為6，且有一個高為x的內接圓柱.
(1)用x表示出圓柱的軸截面面積S；
(2)當x為何值時，S取得最大值？
反思感悟　旋轉體中有關底面半徑、母線、高的計算，可利用軸截面求解，即將立體問題平面化.
跟蹤訓練3　用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺的母線長.
例4　如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為5 cm，10 cm，母線長AB=20 cm，從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面轉到點A，求：
(1)繩子的最短長度；
(2)在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離.
反思感悟　求旋轉體側面上兩點間最短距離問題，常利用側面展開圖轉化為平面上兩點間的距離問題.
跟蹤訓練4　如圖所示，已知圓錐的母線長為6，底面半徑為1，現有一只螞蟻從底面圓的A點出發，繞圓錐側面一圈后回到點A，則這只螞蟻爬過的最短距離為　　　.
1.知識清單：
(1)旋轉體的概念.
(2)球的結構特征.
(3)圓柱、圓錐、圓臺的結構特征.
2.方法歸納：分類討論、轉化與化歸.
3.常見誤區：易忽視同一平面圖形以不同的軸旋轉形成的旋轉體一般是不同的.
1.關于下列幾何體，說法正確的是(　　)
A.圖①是圓柱 B.圖②和圖③是圓錐
C.圖④和圖⑤是圓臺 D.圖⑤是圓臺
2.(多選)下列說法中不正確的是(　　)
A.將正方形旋轉一周不可能形成圓柱
B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體
C.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺
D.通過圓臺側面上一點，有無數條母線
3.下面幾何體的截面一定是圓面的是(　　)
A.圓臺 B.球
C.圓柱 D.圓錐
4.兩相鄰邊長分別為3 cm和4 cm的矩形，以一邊所在的直線為軸旋轉所成的圓柱的底面積為　　　　　　cm2.
答案精析
問題1　(1)它們不是由平面多邊形圍成的.
(2)可以由某些平面圖形旋轉而成.
(3)上述幾何體可分別由半圓、直角梯形、直角三角形以適當的一邊所在直線為軸旋轉而成.
知識梳理
旋轉面
問題2　球面是由半圓繞直徑所在的直線旋轉而成的.
知識梳理
半圓的直徑　圓心　球心　線段　兩點　線段
例1　BC　[A錯誤，空間中到定點的距離小于或等于定長的點的集合構成球；B正確；C正確；D錯誤，用平面截球，不管平面的傾斜角多大，截面都是圓面.]
跟蹤訓練1　ABD　[由球的形成過程可知B項正確；C項，球面上任意三點不可能在一條直線上，故C錯誤；由球的結構特征知，A，D正確.]
問題3　邊BC，DA旋轉一周各形成一個圓面，邊CD旋轉一周形成一個曲面，它們共同圍成一個圓柱.
問題4　邊BC旋轉一周形成一個圓面，邊AB旋轉一周形成一個曲面，它們共同圍成一個圓錐.
問題5　圓臺
知識梳理
矩形的一邊　圓面
例2　CD　[對于A，以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉一周可得到圓臺；對于B，它們的底面為圓面；C，D正確.]
跟蹤訓練2　BD　[由圓柱、圓錐、圓臺的定義及母線的性質可知BD正確，AC錯誤.]
例3　解　作出圓錐和內接圓柱的軸截面，如圖.
設圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似可得=，
解得r=2-，x∈(0，6).
(1)圓柱的軸截面面積S=2r·x=2x·=-x2+4x，
x∈(0，6).
(2)∵S=-x2+4x
=-(x-3)2+6，
∴當x=3時，S取得最大值，最大值為6.
跟蹤訓練3　解　設圓臺的母線長為l cm，截得圓臺的上底面的半徑為r cm.
根據題意，得圓臺的下底面的半徑為4r cm.
根據相似三角形的性質得=，解得l=9，
所以圓臺的母線長為9 cm.
例4　解　(1)如圖所示，將側面展開，繩子的最短長度為側面展開圖中AM的長度，
設OB=l，
則θ·l=2π×5，
θ·(l+20)=2π×10，
解得θ=，l=20 cm.
∴OA=40 cm，OM=30 cm.
∴AM==50(cm).
即繩子的最短長度為50 cm.
(2)如圖，作OQ⊥AM于點Q，
交弧BB'于點P，
則PQ為所求的最短距離.
∵OA·OM=AM·OQ，
∴OQ=24 cm.
故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm)，
即上底圓周上的點到繩子的最短距離為4 cm.
跟蹤訓練4　6
解析　將圓錐側面展開后得到如圖所示的扇形，弦AA'的長度即為螞蟻爬過的最短距離，弧AA'的長為2π，因為PA=6，可得∠APA'==，所以△PAA'為等邊三角形，因此AA'=6，即螞蟻爬過的最短距離為6.
隨堂演練
1.D　2.ABD　3.B　4.16π或9π作業44　簡單旋轉體——球、圓柱、圓錐和圓臺
(分值：100分)
單選題每小題5分，共30分；多選題每小題6分，共18分
1.下列幾何體中不是旋轉體的是(　　)
2.(多選)下列命題中正確的是(　　)
A.過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑
B.母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等
C.圓臺中所有平行于底面的截面都是圓面
D.圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形
3.圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是(　　)
A.圓錐、棱柱 B.圓錐、棱錐
C.球、棱錐 D.圓錐、圓柱
4.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括(　　)
A.一個圓臺、兩個圓錐 B.兩個圓柱、一個圓錐
C.兩個圓臺、一個圓柱 D.一個圓柱、兩個圓錐
5.用長為4，寬為2的矩形作側面圍成一個圓柱，此圓柱軸截面的面積為(　　)
A. B.
C. D.
6.(多選)如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的，現用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是(　　)
7.軸截面是直角三角形的圓錐的底面半徑為r，則其軸截面面積為　　　　.
8.圓臺兩底面的半徑分別是2 cm和5 cm，母線長是3 cm，則它的軸截面的面積是　　　　cm2.
9.(10分)圓臺的上底周長是下底周長的，軸截面面積等于392，母線與底面的夾角為45°，求此圓臺的高、母線長及兩底面的半徑.
10.(10分)已知圓錐的底面半徑為r，高為h，正方體ABCD-A1B1C1D1內接于圓錐，求這個正方體的棱長.(用字母表示)
11.上、下底面面積分別為36π和49π，母線長為5的圓臺，其兩底面之間的距離為(　　)
A.4 B.3
C. D.
12.如果圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是(　　)
A.等邊三角形
B.等腰直角三角形
C.頂角為30°的等腰三角形
D.其他等腰三角形
13.(多選)兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9π和16π，則這兩個平面間的距離是(　　)
A.1 B.3
C.4 D.7
14.已知一個圓錐的母線長為2，底面圓的周長為2π，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為　　　.
15.在半徑為13的球面上有A，B，C三點，其中AC=6，BC=8，AB=10，則球心到經過這三個點的截面的距離為　　　　.
16.(12分)如圖，圓柱形容器中，高為1.2 m，底面周長為1 m，在容器內壁離容器底部0.3 m的點B處有一只蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3 m與蚊子相對的點A處，求壁虎吃到蚊子的最短距離.(假設蚊子沒有發現壁虎，并且保持不動，容器厚度忽略不計)
答案精析
1.D　2.ACD　3.B　4.D
5.B　[當圍成的圓柱底面周長為4，高為2時，設圓柱底面圓的半徑為r，則2πr=4，所以r=，所以軸截面是長為2，寬為的矩形，所以軸截面的面積為2×=.同理，當圍成的圓柱底面周長為2，高為4時，軸截面的面積也為.]
6.AD　[一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截，當平面過圓柱上、下底面的中心時，截面圖形為A項圖形；當平面不過上、下底面的中心時，截面圖形為D項圖形.]
7.r2　8.63
9.解　設圓臺上、下底面半徑分別為r，R，母線長為l，高為h.
由題意，得2πr=×2πR，
即R=3r. ①
(2r+2R)·h=392，
即(R+r)h=392. ②
又母線與底面的夾角為45°，
則h=R-r=l. ③
聯立①②③，得R=21，r=7，h=14，l=14.
10.解　過內接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，如圖所示.設圓錐內接正方體的棱長為x，則在軸截面中，正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的長分別為x和x.
因為△VA1C1∽△VMN，
所以=，
即=，所以hx=2rh-2rx，
即x=.
故這個正方體的棱長為.
11.D　[圓臺的母線長l、高h和上、下兩底面圓的半徑r，R滿足關系式l2=h2+(R-r)2，由題意知l=5，R=7，r=6，求得h=2，即兩底面之間的距離為2.]
12.A　[因為圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，所以圓錐的底面圓的直徑為，母線長也為，所以此圓錐的軸截面是等邊三角形.]
13.AD　[因為截面面積分別為9π和16π，所以兩截面圓的半徑分別為3和4.如圖①所示，若兩個平行平面在球心同側，則這兩個平行平面間的距離CD=OC-OD=-=4-3=1.
如圖②所示，若兩個平行平面在球心兩側，則這兩個平行平面間的距離CD=OC+OD=+=4+3=7.]
14.2
解析　因為底面圓的周長為2π，所以底面圓的半徑為，兩母線夾角的最大值為120°，圓錐的母線長為2，過圓錐頂點的截面面積S=×2×2×sin α(α為圓錐兩母線的夾角，0°<α≤120°)，所以當截面中的兩母線的夾角為90°時，截面面積取最大值，最大值為2.
15.12
解析　由線段的長度知△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的半徑r==5，所以d==12.
16.解　如圖，將容器側面展開，
作A關于EF的對稱點A'，連接A'B，
則A'B即為最短距離.
由題意知，A'D=0.5 m，BD=1.2-0.3+AE=1.2(m)，
∴A'B===1.3(m).
故壁虎吃到蚊子的最短距離為1.3 m.

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