資源簡介

第01講 二次根式
知識點一.二次根式的定義
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號；
判斷一個式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為非負數(shù).
知識點二.二次根式有無意義的條件：
（1）如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．
（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．
考點一：二次根式的基本概念
例1．下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次根式．熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．形如的式子是二次根式．
根據(jù)二次根式的定義判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，，，不是二次根式，是二次根式，
∴A、B、D不符合要求；C符合要求；
故選：C．
【變式1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，熟練掌握二次根式成立的條件是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)定義分析即可．
【詳解】解：①當時，不是二次根式；
②當時，不是二次根式；
③是二次根式；
④當時，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故選B．
【變式1-2】下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序號）
【答案】②④/④②
【分析】本題考查二次根式的定義，根據(jù)二次根式的定義逐一判斷即可．
【詳解】①，故不是二次根式；
②，故是二次根式；
③的根指數(shù)是3，故不是二次根式；
④由于，因此，故是二次根式；
故答案為：②④．
【變式1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．是二次根式的為 ．
【答案】①②⑥
【分析】根據(jù)二次根式的定義逐一判斷即可
【詳解】解：①是二次根式，符合題意；
②是二次根式，符合題意；
③當時，不是二次根式，不符合題意；
④不是二次根式，不符合題意；
⑤不是二次根式，不符合題意；
⑥二次根式，符合題意；
故答案為：①②⑥．
【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，熟知二次根式的定義是解題的關(guān)鍵：一般地，形如的式子叫做二次根式．
【變式1-4】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
，，，，，，，，（）．
【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式．
【分析】根據(jù)二次根式的概念即可逐一判定.
【詳解】解：根據(jù)二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指數(shù)分別為3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式．
【點睛】此題主要考查二次根式的概念，解題的關(guān)鍵是被開方數(shù)為非負數(shù).
考點二：求二次根式的值
例2.已知二次根式，當時，此二次根式的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】把代入進行計算即可．
【詳解】解：當時，，
故選A．
【點睛】本題考查的是二次根式的值，熟練代入并求值是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-1】當時，二次根式的值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】將代入計算即可得．
【詳解】解：當時，，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的值，熟練掌握二次根式的運算是解題關(guān)鍵．
【變式2-2】當時，二次根式的值是 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查二次根式求值，準確計算是解題的關(guān)鍵．將代入二次根式求值即可．
【詳解】解：當時，二次根式．
故答案為：3．
【變式2-3】當時，二次根式的值為 ．
【答案】1
【分析】直接把代入中進行求解即可．
【詳解】解：把代入中得：，
故答案為：1．
【點睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，求算術(shù)平方根，正確計算是解題的關(guān)鍵．
【變式2-4】已知二次根式.
（1）求x的取值范圍；
（2）求當x=-2時，二次根式的值；
（3）若二次根式的值為零，求x的值.
【答案】（1）x≤6 （2）2 （3）x=6
【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)，即可求解；
（2）直接把x= -2代入，進而求出答案；
（3）由0的算術(shù)平方根是0可得，=0，解方程即可求x的值.
【詳解】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件可得
，
解得x ，
∴x的取值范圍是：x；
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（2）當x= -2時，二次根式===2；
（3）由題意可得
=0，
解得x=6 .
故答案為（1）x≤6 （2）2 （3）x=6 .
【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)與化簡.
考點三：求二次根式中的參數(shù)
例3.已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為 （ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【答案】B
【分析】是整數(shù)則一定是一個完全平方數(shù)，把3分解因數(shù)即可確定．
【詳解】解：，而是整數(shù)，
的最小值是3．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式．
【變式3-1】已知是正整數(shù)，是整數(shù)，則的值可以是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【分析】將選項代入逐一驗證即可．
【詳解】A. 當時，，不是整數(shù)，故該選項錯誤；
B. 當時，，不是整數(shù)，故該選項錯誤；
C. 當時，，不是整數(shù)，故該選項錯誤；
D. 當時，，是整數(shù)，故該選項正確；
故選：D．
【點睛】本題主要考查二次根式的運算，掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】若是一個整數(shù)，則最小正整數(shù)的值是 ．
【答案】6
【分析】先將化簡為最簡二次根式，再取的最小正整數(shù)值，使被開方數(shù)開得盡．
【詳解】解：，
當，6，時，都可以開方，
是最小正整數(shù)，
時，被開方數(shù)開得盡，結(jié)果為整數(shù)，故．
故答案為：6．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡運算，比較基礎(chǔ)，需要熟練掌握．
【變式3-3】如果是一個整數(shù)，那么最小正整數(shù) ．
【答案】2
【分析】根據(jù)二次根式的定義，可得答案．
【詳解】解：由二次根式是一個整數(shù)，那么正整數(shù)a最小值是2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了二次根式的定義，利用二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式3-4】（1）已知是整數(shù)，求自然數(shù)所有可能的值；
（2）已知是整數(shù)，求正整數(shù)的最小值．
【答案】（1）自然數(shù)的值為，，，，；（2）正整數(shù)的最小值為．
【分析】（1）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出自然數(shù)n的值即可；
（2）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出正整數(shù)n的最小值即可．
【詳解】（1）∵是整數(shù)，
∴，，，，，
解得：，，，，，
則自然數(shù)的值為2，9，14，17，18；
（2）∵是整數(shù)，為正整數(shù)，
∴正整數(shù)的最小值為．
【點睛】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．
考點四：二次根式有意義的條件（直接問題）
例4.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，得到，解不等式即可得到答案，熟記二次根式有意義的條件是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
，解得，
故選：B．
【變式4-1】若代數(shù)式有意義．則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．
根據(jù)二次根式和分式有意義的條件可得，再求解即可．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故選：B．
【變式4-2】有意義，則x的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式與分式有意義的條件，根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)且分母不等于零列式求解即可．
【詳解】解：∵有意義，
∴且，
解得．
故答案為：．
【變式4-3】在函數(shù)中，自變量的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式有意義的條件、零指數(shù)冪的概念是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次根式有意義的條件、分母不為、零指數(shù)冪的概念列出不等式，解不等式，得到答案．
【詳解】解：由題意得，，
解得，且，
故答案為：且．
【變式4-4】求下列函數(shù)中自變量的取值范圍：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)，且．
【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：①當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；②當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；③當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)是非負數(shù)．
（1）當函數(shù)表達式的二次根式時，根據(jù)二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)列不等式，即可求解；
（2）當函數(shù)表達式分母是分式，分子是二次根式時，根據(jù)分式的分母不能為0，二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)列不等式，即可求解，
【詳解】（1）解：，
，
解得：
自變量的取值范圍為；
（2）解：，
，，
解得：，，
自變量的取值范圍為，且．
考點五：二次根式有意義的條件（間接問題）
例5.若有意義，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
【答案】C
【分析】本題考查二次根式有意義的條件：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0，列式進行計算即可求出的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得，且，
解得且，
所以，．
故選：C．
【變式5-1】成立的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件， 根據(jù)二次根式有意義的條件可得出， 解一元一
次不等式即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可知：，
解得∶，
故選：B.
【變式5-2】如果，那么 ．
【答案】1
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．根據(jù)二次根式有意義的條件可得、的值，再代入計算即可．
【詳解】解：∵，
，
解得，
，
故答案為：．
【變式5-3】若，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的概念，理解二次根式被開方數(shù)大于或等于零是解決問題的關(guān)鍵．和被開方數(shù)互為相反數(shù)，且必須大于或等于零，所以，由此可以求得，的值．
【詳解】解： 和有意義，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【變式5-4】已知：，求的值．
【答案】19
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，求代數(shù)式的值，根據(jù)得到，求得y值，代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
解得，，
∴．
考點六：二次根式的其他問題
例6.已知實數(shù)滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，算術(shù)平方根的定義，根據(jù)算術(shù)平方根的定義得到，則，進而得到，即可求得．
【詳解】解：∵要有意義，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故選：B．
【變式6-1】若、、是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式：，則的值是（　?。?br/>A． B．
C． D．條件不足，無法計算
【答案】A
【分析】本題考查二次根式有意義的應用，關(guān)鍵是掌握二次根式有意義時，被開方數(shù)是非負數(shù)．由二次根式有意義時，被開方數(shù)是非負數(shù)，即可得到，在代入等式得，從而可以解決問題．
【詳解】解：由題意得：，
，
等式變形為：，
，
，
．
故選：A．
【變式6-2】已知，則值等于 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，絕對值性質(zhì)的應用以及實數(shù)混合運算，由二次根式定義可知，，所以，故方程為，可得，代入即可求解．
【詳解】解：∵有意義，
∴，
∴，
∴
∴，即
∴
∴
∴
故答案為：．
【變式6-3】已知，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、一元一次不等式組的解法，求解代數(shù)式的值，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件得，從而求得，進而解決此題．
【詳解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式6-4】“欲窮千里目，更上一層樓”，說的是登得高看得遠．如圖，若觀測點的高度為，觀測者視線能達到的最遠距離為，則，其中是地球半徑，約為．
(1)小麗站在海邊的一幢高樓頂上，眼睛離海平面的高度為，她觀測到遠處一艘船剛露出海平面，求此時的值；
(2)已知一座山的海拔為，這座山到海邊的最短距離為，天氣晴朗時站在山巔能否看到大海？請說明理由．
【答案】(1)；
(2)她站在山巔能看到大海，理由見解析．
【分析】本題考查了代數(shù)式的求值計算，理解代數(shù)式中相應字母的值是解題的關(guān)鍵．
（1）將，代入即可求解；
（2）先將，代入，得到此時的值，與最短距離比較即可求解．
【詳解】（1）解：，，
，
所以此時的值為．
（2）解：能看到，理由如下
，，
，
所以她站在山巔能看到大海．第01講 二次根式
知識點一.二次根式的定義
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號；
判斷一個式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為非負數(shù).
知識點二.二次根式有無意義的條件：
（1）如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．
（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．
考點一：二次根式的基本概念
例1．下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【變式1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式1-2】下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序號）
【變式1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．是二次根式的為 ．
【變式1-4】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
，，，，，，，，（）．
考點二：求二次根式的值
例2.已知二次根式，當時，此二次根式的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【變式2-1】當時，二次根式的值為（ ）
A．2 B． C． D．
【變式2-2】當時，二次根式的值是 ．
【變式2-3】當時，二次根式的值為 ．
【變式2-4】已知二次根式.
（1）求x的取值范圍；
（2）求當x=-2時，二次根式的值；
（3）若二次根式的值為零，求x的值.
考點三：求二次根式中的參數(shù)
例3.已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為 （ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【變式3-1】已知是正整數(shù)，是整數(shù)，則的值可以是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【變式3-2】若是一個整數(shù)，則最小正整數(shù)的值是 ．
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【變式3-3】如果是一個整數(shù)，那么最小正整數(shù) ．
【變式3-4】（1）已知是整數(shù)，求自然數(shù)所有可能的值；
（2）已知是整數(shù)，求正整數(shù)的最小值．
考點四：二次根式有意義的條件（直接問題）
例4.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】若代數(shù)式有意義．則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】有意義，則x的取值范圍為 ．
【變式4-3】在函數(shù)中，自變量的取值范圍是 ．
【變式4-4】求下列函數(shù)中自變量的取值范圍：
(1)
(2)
考點五：二次根式有意義的條件（間接問題）
例5.若有意義，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
【變式5-1】成立的條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】如果，那么 ．
【變式5-3】若，則的值是 ．
【變式5-4】已知：，求的值．
考點六：二次根式的其他問題
例6.已知實數(shù)滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】若、、是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式：，則的值是（　?。?br/>A． B．
C． D．條件不足，無法計算
【變式6-2】已知，則值等于 ．
【變式6-3】已知，則的值是 ．
【變式6-4】“欲窮千里目，更上一層樓”，說的是登得高看得遠．如圖，若觀測點的高度為，觀測者視線能達到的最遠距離為，則，其中是地球半徑，約為．
(1)小麗站在海邊的一幢高樓頂上，眼睛離海平面的高度為，她觀測到遠處一艘船剛露出海平面，求此時的值；
(2)已知一座山的海拔為，這座山到海邊的最短距離為，天氣晴朗時站在山巔能否看到大海？請說明理由．

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