資源簡介

9.2.2　用坐標表示平移
第1課時　用坐標的變化表示平移
教學目標
課題 第1課時　用坐標的變化表示平移 授課人
素養目標 1.掌握圖形平移與坐標變化的關系，能利用點的平移規律將平面圖形進行平移． 2．能根據圖形平移方式，寫出平移后(前)對應點的坐標.
教學重點 掌握圖形平移與坐標變化的關系．
教學難點 根據圖形平移探究坐標變化規律的過程.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創設情境，新知引入 【設計意圖】 將平移變換融入情境中，啟發學生思考. 【情境導入】 如圖，三架飛機P，Q，R保持編隊飛行，它們的坐標分別是(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1).30 s后，飛機P飛到P′位置，則飛機Q，R飛到了什么位置？你能寫出這三架飛機新位置的坐標嗎？ 同學們，想知道如何解答上述問題嗎？讓我們帶著疑問趕快進入本節課的學習吧！ 【教學建議】 以多媒體呈現動態視頻為最佳，讓學生感悟平移，調動積極性，為后續的探究學習打下基礎．
活動二：問題引入，探究新知 【設計意圖】 自主探究，交流總結出點的平移坐標變化規律． 【設計意圖】 由點的平移規律進而探索圖形的平移規律，由淺入深，由易到難. 探究點1　平面直角坐標系中點的平移規律 如圖，在平面直角坐標系中有A，B，C三點，請你分別將這三點向左、向右、向上、向下平移，觀察它們的坐標是否按一定的規律變化呢？ (1)如圖①，將圖中各點向左平移2個單位長度，觀察它們的坐標的變化．　　 A(－2，－1)―→A1(－4，－1) B(－4，2)―→B1(－6，2) C(2，1)―→C1(0，1) 歸納 (x，y)(x－a，y) (2)如圖②，將圖中各點向右平移5個單位長度，觀察它們的坐標的變化． 　　 A(－2，－1)―→A1(3，－1) B(－4，2)―→B1(1，2) C(2，1)―→C1(7，1) 歸納 (x，y)(x＋a，y) (3)如圖③，將圖中各點向上平移4個單位長度，觀察它們的坐標的變化． 　　　 A(－2，－1)―→A1(－2，3) B(－4，2)―→B1(－4，6) C(2，1)―→C1(2，5) 歸納 (x，y)(x，y＋b) (4)如圖④，將圖中各點向下平移2個單位長度，觀察它們的坐標的變化． 　　 A(－2，－1)―→A1(－2，－3) B(－4，2)―→B1(－4，0) C(2，1)―→C1(2，－1) 歸納 (x，y)(x，y－b) 歸納總結：一般地，在平面直角坐標系中，將點(x，y)向右(或左)平移a個單位長度，可以得到對應點(x＋a，y)(或(x－a，y))；將點(x，y)向上(或下)平移b個單位長度，可以得到對應點(x，y＋b)(或(x，y－b))． 【對應訓練】 在平面直角坐標系中，把點P(－3，2)向右平移2個單位長度后，得到的對應點的坐標是（D） A.(－5，2) B．(－1，4) C．(－3，4) D．(－1，2) 2.在平面直角坐標系中，把點P(2，1)向下平移3個單位長度，所得的點位于(D) A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐標系中，已知點M(3a－9，1－a)，若把點M向上平移6個單位長度后落在了x軸上，則a＝7； 4．若點A向下平移3個單位長度得到點A′(－4，－2)，則點A的坐標為(－4，1). 【教學建議】 學生動手實踐，獨立思考，相互交流，通過自主探索獲得知識和技能，掌握數形結合的數學思想方法．關鍵指出：①看清平移的方向，它決定是改變橫坐標還是縱坐標，并決定是加還是減；②看清平移的距離，它決定坐標改變的數量． 【教學建議】 對應的練習使學生掌握點的平移坐標變化規律，并培養一定的逆向思維.
探究點2　平面直角坐標系中圖形的平移規律 (教材P75探究)如圖，正方形ABCD四個頂點的坐標分別是A(－2，4)，B(－2，3)，C(－1，3)，D(－1，4)，將正方形ABCD先向下平移7個單位長度，再向右平移8個單位長度，兩次平移后四個頂點相應地變為點E，F，G，H，它們的坐標分別是什么？如果直接平移正方形ABCD，使點A移到點E，它和前面得到的正方形位置相同嗎？ 點E，F，G，H的坐標分別是(6，－3)，(6，－4)，(7，－4)，(7，－3)．如果直接平移正方形ABCD，使點A移到點E，它和前面得到的正方形位置相同． 歸納總結：一般地，將一個圖形依次沿兩個坐標軸方向平移所得到的圖形，可以通過將原來的圖形作一次平移得到． 例1　(教材P76例2)(1)如圖，長方形A′B′C′D′可以由長方形ABCD經過怎樣的平移得到？對應點的坐標有什么變化？ (2)點P(－3，1)是長方形ABCD上一點，寫出點P的對應點P′的坐標． 解：(1)將長方形ABCD先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，可以得到長方形A′B′C′D′.把長方形ABCD各個點的橫坐標都加3，縱坐標都加2，就得到了它們在長方形A′B′C′D′上對應點的坐標． (2)由于點P是長方形ABCD上一點，將點P的橫坐標加3，縱坐標加2，就得到對應點P′的坐標(0，3)． 【對應訓練】 教材P76練習第1，2題．, 【教學建議】 學生自主探究圖形的平移，可以兩次平移，也可以一次平移，理解平移結果的一致性．教師著重強調：圖形的平移實質上就是圖形上所有點的平移；根據平移的方向和距離確定數的符號時不要出錯．
活動三：綜合演練，鞏固提升 【設計意圖】 綜合考查圖形的平移規律，要求根據平移畫出圖形并寫出對應點的坐標，以及計算圖形面積，鞏固本課時所學. 例2　如圖，在平面直角坐標系中，已知三角形ABC的三個頂點坐標分別是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3)． (1)將三角形ABC先向上平移4個單位長度，再向左平移5個單位長度得到三角形A1B1C1，請畫出三角形A1B1C1； (2)寫出點A1，B1，C1的坐標； (3)求出三角形A1B1C1的面積． 解：(1)如圖所示． (2)A1(－3，3)，B1(－4，2)，C1(－2，1)． (3)S三角形A1B1C1＝2×2－×1×1－2××1×2＝1.5. 【對應訓練】 如圖，三角形A′B′C′的頂點坐標分別是A′(3，1)，B′(0，－4)，C′(5，－2)，已知三角形A′B′C′是由三角形ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度得到的． (1)畫出三角形ABC，并直接寫出點C的坐標； (2)若三角形ABC內有一點P(a，b)經過以上平移后的對應點為P′，直接寫出點P′的坐標； (3)求三角形ABC的面積． 解：(1)如圖所示，C(1，1)． (2)P′(a＋4，b－3)． (3)S三角形ABC＝5×5－×3×5－×2×3－×5×2＝9.5. 【教學建議】 三角形是較為基礎的幾何圖形，也是初中階段研究最多的，在解決關于三角形的平移問題時，往往借助于網格，這樣可以根據平移的距離，通過數方格的形式快速得到對應點的坐標，從而直觀作出圖形．同時也可能涉及一些面積計算，大多時候需要利用前面學到的“割補法”來求解．
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練． 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1．點沿坐標軸方向平移后坐標的變化規律是什么？ 2．將一個圖形依次沿兩個坐標軸方向平移后所得到的圖形，可以通過將原來的圖形作一次平移得到嗎？ 【知識結構】 【作業布置】 1．教材P79習題9.2第1，4，5，9，11題． 2．相應課時訓練．
板書設計 第1課時　用坐標的變化表示平移 1．點的平移的坐標變化規律： 2．將一個圖形依次沿兩個坐標軸方向平移所得到的圖形，可以通過將原來的圖形作一次平移得到． 3．圖形的平移實質上就是圖形內所有點的平移． 4．已知點的坐標和平移形式，可以得到平移后(前)對應點的坐標.
教學反思 　　通過本節課的學習，學生經歷圖形平移與圖形坐標變化之間的關系的探索過程．結合第七章所學的平移知識，認清圖形平移的實質是點的平移，由平移前后點的坐標變化即可確定平移前后圖形中任意一組對應點的坐標變化.
解題大招一　用坐標表示平移變換的歸納
已知一個點的坐標，如果知道它的平移方向和平移距離，就能得到它平移后的坐標；因為圖形上各點平移方式一致，所以只要知道平移前后一個點的坐標，其對應點的坐標就迎刃而解了．
例1　把三角形ABC放在平面直角坐標系中如圖所示，現將三角形ABC向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度就得到三角形A1B1C1.
(1)在圖中畫出三角形A1B1C1，并寫出點A1，B1，C1的坐標；
(2)點P在x軸上，且三角形PAC與三角形ABC的面積相等，請直接寫出點P的坐標．
解：(1)如圖所示，A1(4，4)，B1(1，2)，C1(4，－2)．
(2)點P的坐標為(－2，0)或(4，0)．
解題大招二　平移平面直角坐標系后點的坐標變化
平面直角坐標系的平移可轉化為點的平移，點的平移方向與平面直角坐標系的平移方向相反，平移距離相等．
如圖，在平面直角坐標系xO1y中，點A的坐標為(1，1)．如果將x軸向上平移3個單位長度，將y軸向左平移2個單位長度，兩坐標軸交于點O2，點A的位置不變，那么在平面直角坐標系xO2y中，點A的坐標是（B）
A．(－3，2)
B．(3，－2)
C．(－2，－3)
D．(3，4)
分析：
解析：由題意，可將點A看作先向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，故在平面直角坐標系xO2y中，點A的坐標是(3，－2)．故選B.
培優點　線段平移中的角度數量關系探究
例　綜合與實踐．
【問題背景】
如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(－3，5)，點B的坐標為(0，1)，點C的坐標為(4，5)，將線段AB沿AC方向平移，得到線段CD，平移距離為線段AC的長度．
【動手操作】
(1)畫出線段CD，直接寫出點B的對應點D的坐標；
【探究證明】
(2)連接BD，試探究∠BAC與∠BDC的數量關系，并證明你的結論；
【拓展延伸】
(3)若點E在線段BD上，連接AD，AE，且滿足∠EAD＝∠CAD，請求出∠ADB∶∠AEB的值．
分析：(1)利用點A，C的坐標確定平移的方向與距離，從而得到點D的坐標；
(2)利用平移的性質得到AB∥CD，AC∥BD，再根據平行線的性質得∠ABD＋∠BDC＝180°，∠BAC＋∠ABD＝180°，所以∠BAC＝∠BDC；
(3)先由AC∥BD得到∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，再由∠EAD＝∠CAD，利用等量代換可確定∠AEB＝2∠ADB.
解：(1)如圖，線段CD即為所求．
點D的坐標為(7，1)．
(2)如圖．∠BAC＝∠BDC.證明如下：
由平移知AB∥CD，AC∥BD，
所以∠ABD＋∠BDC＝180°，∠BAC＋∠ABD＝180°，
所以∠BAC＝∠BDC.
(3)如圖．
因為AC∥BD，
所以∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE.
因為∠EAD＝∠CAD，
所以∠CAE＝2∠CAD，
所以∠AEB＝2∠ADB，即∠ADB∶∠AEB＝.

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