資源簡介

第九章　平面直角坐標系
9．1　用坐標描述平面內點的位置
9．1.1　平面直角坐標系的概念
教學目標
課題 9.1.1　平面直角坐標系的概念 授課人
素養目標 認識平面直角坐標系、原點、橫軸、縱軸和象限. 能正確畫出平面直角坐標系，經歷由點寫出坐標、由坐標描點，體會數形結合思想.
教學重點 正確認識平面直角坐標系，會準確地由點寫出坐標、由坐標描點．
教學難點 平面內點的坐標的有序性.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創設情境，新課導入 【設計意圖】 提出問題引導學生回顧舊知，為引入平面直角坐標系做鋪墊. 【問題引入】 (1)生活中如何確定一個具體位置？如圖是一個小組進行表演訓練的模擬情形，有一個人的動作不規范，你能表示出他的位置嗎？ 可用小學學過的有序數對確定．這個人位于第2行第3列，若把行數、列數編號，可用有序數對記為(2，3)． (2)什么是數軸？ 規定了原點、正方向、單位長度的直線就構成了數軸． (3)如圖，數軸上的點A表示數1.反過來，數1就是點A的位置．我們說數1是點A在數軸上的坐標．同理可知，點B在數軸上的坐標是－3；點C在數軸上的坐標是2.5；點D在數軸上的坐標是0. (4)數軸上的點與實數之間存在著一一對應的關系． 【教學建議】 學生回憶并作答，為本課的學習提供遷移或類比方法．
活動二：交流合作，探究新知 【設計意圖】 通過與數軸類比的實例進行引入，在此基礎上抽象出平面直角坐標系的概念． 探究點1　平面直角坐標系 問題1　(教材P64思考)類似于上面利用數軸確定直線上點的位置，能不能找到一種辦法來確定平面內的點的位置呢(請以圖①中的點A為例說明) 如圖①，我們可以在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系．水平的數軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸，習慣上取向上為正方向；兩坐標軸的交點O稱為平面直角坐標系的原點． 　 有了平面直角坐標系，平面內的點就可以用一個有序數對來表示了．如圖②，由點A分別向x軸和y軸作垂線，垂足M在x軸上的坐標是3，垂足N在y軸上, 的坐標是4，我們說點A的橫坐標是3，縱坐標是4，有序數對(3，4)就叫作點A的坐標，記作A(3，4). 問題2　結合圖②和上面的知識，請你寫出B，C，D，E的坐標. B(－3，－4)，C(0，2)，D(0，－3)，E(－2，0). 【對應訓練】 1.下列選項中，平面直角坐標系的畫法正確的是（D） 2.教材P66練習第1題. 【教學建議】 教師引導學生自主思考，可以進行討論交流，教師最后進行總結并引入平面直角坐標系的概念．注意引導學生學會利用有序數對表示出點的坐標．通過與數軸類比可以更好地理解點與坐標的對應關系，從而實現一維到二維的過渡．注意強調平面直角坐標系的畫法規則．
【設計意圖】 使學生進一步了解平面直角坐標系，加深理解. 探究點2　平面直角坐標系中的點的坐標特征 問題1　(教材P65思考)原點O的坐標是什么？x軸和y軸上的點的坐標有什么特點？ 原點O的坐標為(0，0)；x軸上的點的縱坐標為0，例如(1，0)，(－1，0)，…；y軸上的點的橫坐標為0，例如(0，1)，(0，－1)，….如圖①，A(3，0)，B(－2，0)，C(0，2)，D(0，－3)． 　　　 概念引入： 建立平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個部分(如圖②)，每個部分稱為象限，它們分別叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限． 問題2　各部分及坐標軸上的點的坐標有什么特點？ 注意：坐標軸上的點不屬于任何象限． 例1　(教材P65例1)在平面直角坐標系中描出下列各點： A(4，5)，B(－2，3)，C(－2.5，－2)，D(4，－2)，E(0，－4)． 【教學建議】 教師引導學生思考，對于回答不完善的地方予以補充，注意引導學生學會畫出用坐標表示的點的位置，對于各象限的點的坐標特點有清晰的了解．注意強調表示坐標時橫、縱坐標順序不可顛倒，及位于坐標軸上的點不屬于任何象限．
解：如圖①，先在x軸上找出表示4的點，再在y軸上找出表示5的點，過這兩個點分別作x軸和y軸的垂線，垂線的交點就是點A. 類似地，可在圖中描出點B，C，D，E. 歸納總結：如圖②，類比數軸上的點與實數是一一對應的，對于坐標平面內任意一點M，都有唯一的一個有序實數對(x，y)(即點M的坐標)和它對應；反過來，對于任意一個有序實數對(x，y)，在坐標平面內都有唯一的一點M(即坐標為(x，y)的點)和它對應．也就是說，坐標平面內的點與有序實數對是一一對應的．這樣，利用坐標平面內點的坐標，可以確定平面內點的位置. 拓展：平面直角坐標系中的點到坐標軸的距離：點到x軸的距離是該點縱坐標的絕對值；點到y軸的距離是該點橫坐標的絕對值. 【對應訓練】 教材P66練習第2，3題.
活動三：重點突破，鞏固提升 【設計意圖】 針對平面直角坐標系中的點的坐標特征出題，加深學生對于概念的理解和相應的運用能力. 例2　已知點P到x軸的距離為2，到y軸的距離為1.如果過點P作兩坐標軸的垂線，垂足分別在x軸的正半軸上和y軸的負半軸上，那么點P的坐標是（B） A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(1，2) 例3　(1)如果點M(－5，2＋b)在x軸上，那么b＝－2. (2)如果點N(a－3，2a)在y軸上，那么點N的坐標是(0，6)． (3)平面直角坐標系中有點M(a，b)． ①當a＞0，b＜0時，點M位于第幾象限？ ②當ab＞0時，點M位于第幾象限？ ③當a為任意有理數，且b＜0時，點M位于第幾象限？ 解：①點M位于第四象限；②點M位于第一象限(a＞0，b＞0)或者第三象限(a＜0，b＜0)；③點M位于第三象限(a＜0，b＜0)或者第四象限(a＞0，b＜0)或者y軸負半軸上． 【對應訓練】 若點P(m，m－4)到x軸的距離為a，到y軸的距離為b. (1)當m＝3時，a＋b＝4； (2)若a＋b＝10，求出點P的坐標； (3)若點P在第三象限，且3a＋kb＝12(k為常數)，求出k的值． 解：(2)因為a＋b＝10，所以|m|＋|m－4|＝10. ①當m＜0時，－m－m＋4＝10，解得m＝－3，所以P(－3，－7)； ②當0≤m≤4時，m－m＋4＝10，無解 ，舍去； ③當m>4時，m＋m－4＝10，解得m＝7，所以P(7，3)． 綜上所述，點P的坐標為(－3，－7)或(7，3)． (3)因為點P在第三象限，所以m＜0，m－4＜0， 所以a＝|m－4|＝4－m，b＝|m|＝－m. 因為3a＋kb＝12，所以3(4－m)－km＝12，所以－3m－km＝0，所以k＝－3. 【教學建議】 當題目涉及平面直角坐標系的各個象限內的點的符號特征時，注意不要混淆正負號，如例3中ab>0可得同正或同負，注意不要漏掉后一種情況．而根據點到坐標軸的距離解題時，若不確定點所在的象限，則絕對值符號不可省略，于是不可忽視分類討論．
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練. 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1.什么是平面直角坐標系？平面直角坐標系中的點具有哪些坐標特征？ 2.在坐標平面內如何求一個點的坐標？已知點的坐標，如何在坐標平面內描出這個點？ 【知識結構】 【作業布置】 1.教材P69習題9.1第1，3，4，5，8題. 2.相應課時訓練．、
板書設計 9.1.1　平面直角坐標系的概念 1.構成：在平面內由兩條互相垂直、原點重合的數軸構成，通常橫軸向右為正方向，縱軸向上為正方向. 2.平面直角坐標系中點的坐標特征 3.由點寫出坐標 由坐標描點．
教學反思 　　本節課通過類比數軸表示點的方法，讓學生認識平面直角坐標系，在概念及由點確定坐標的基礎上，進一步探究了點的坐標特點．本節課主要以問題為載體，概念方面不要死記硬背，要留給學生充足的探索思考時間，自己描點尋找規律，讓學生大膽發言，總結規律，從而提高學生的“數感”，充分體現新課標提出的“以學生為主體”的教學理念.
解題大招　對平面直角坐標系中點的坐標的概念的理解
平面直角坐標系內任意一點P，過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對應的數a，b分別叫作點P的橫坐標、縱坐標，有序數對(a，b)叫作點P的坐標，記作P(a，b)，如圖．
我們可以這么理解：
(1)表示點的坐標時，約定橫坐標寫在前，縱坐標寫在后，中間用“，”隔開．
(2)點P(a，b)中，|a|表示點到y軸的距離；|b|表示點到x軸的距離．
(3)對于坐標平面內任意一點都有唯一的一個有序數對(x，y)和它對應；反過來，對于任意一個有序數對(x，y)，在坐標平面內都有唯一的一點和它對應．也就是說，坐標平面內的點與有序實數對是一一對應的．
例　(1)若點(5－a，a－3)在第一、第三象限的角平分線上，求a的值；
(2)點P到x軸和y軸的距離分別是3和4，求點P的坐標．
分析：(1)第一、第三象限的角平分線上的點的橫坐標與縱坐標相等；
(2)這樣的點P有多個．
　　解：(1)因為點(5－a，a－3)在第一、第三象限的角平分線上，所以5－a＝a－3，所以a＝4.
(2)設點P的坐標為(x，y)，由已知條件得|y|＝3，|x|＝4，所以y＝±3，x＝±4，
所以點P的坐標為(4，3)或(－4，3)或(4，－3)或(－4，－3)．
培優點一　平面直角坐標系中點的坐標運動規律
例1　如圖，動點P按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點(1，1)，第2次運動到點(2，0)，第3次運動到點(3，2)，…，按這樣的運動規律，則第2 025次運動到點B
A．(2 025，0)　　B．(2 025，1)　　C．(2 025，2)　　D．(2 024，0)
解析：由題意可知，第1次從原點運動到點(1，1)，第2次運動到點(2，0)，第3次運動到點(3，2)，第4次運動到點(4，0)，第5次運動到點(5，1)，第6次運動到點(6，0)……第4n次運動到點(4n，0)，第(4n＋1)次運動到點(4n＋1，1)，第(4n＋2)次運動到點(4n＋2，0)，第(4n＋3)次運動到點(4n＋3，2)．因為2 025÷4＝506……1，所以第2 025次運動到點(2 025，1)．故選B.
培優點二　平面直角坐標系中的動點問題
例2　如圖，在長方形OABC中，O為平面直角坐標系的原點，點A的坐標為(a，0)，點C的坐標為(0，b)，且a，b滿足＋|b－6|＝0，點B在第一象限內，點P從原點出發，以每秒2個單位長度的速度沿著O→A→B→C→O的線路移動(回到點O時停止移動)．
(1)求點B的坐標；
(2)當點P移動4 s時，請求出點P的坐標；
(3)當點P移動到距離x軸5個單位長度時，求點P移動的時間．
分析：(1)利用非負數的性質可以求得a，b的值，根據長方形的性質，可以求得點B的坐標；
(2)由點P從原點出發，以每秒2個單位長度的速度沿著O→A→B→C→O的線路移動，可以得到當點P移動4 s時點P的大概位置，從而得到點P的坐標；
(3)由題意可以得到符合要求的有兩種情況，分別求出兩種情況下點P移動的時間即可．
解：(1)因為a，b滿足＋|b－6|＝0，所以a－4＝0，b－6＝0，所以a＝4，b＝6，所以點B的坐標是(4，6)．
(2)因為點P從原點出發，以每秒2個單位長度的速度沿著O→A→B→C→O的線路移動4 s，
所以點P移動的路程為2×4＝8.
因為OA＝4，AB＝OC＝6，
所以當點P移動4 s時，在線段AB上，AP＝8－4＝4.
所以當點P移動4 s時，此時點P的坐標是(4，4)．
(3)由題意可得，在移動過程中，當點P到x軸的距離為5個單位長度時，存在兩種情況：
①當點P在AB上時，
點P移動的時間是(4＋5)÷2＝4.5(s)；
②當點P在OC上時，
點P移動的時間是[2×(4＋6)－5]÷2＝7.5(s)．
綜上所述，當點P移動到距離 x軸5個單位長度時，點P移動的時間是4.5 s或7.5 s.

展開更多......

收起↑