資源簡介

8.3 實數及其簡單運算
第1課時 實數的概念及意義
教學目標
課題 第1課時 實數的概念 授課人
素養目標 1.理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數.2.理解有理數和無理數的區別，會把實數進行分類.3.理解實數與數軸的關系，并進行相關運用.4.了解實數的大小比較的方法.
教學重點 1.理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數.2.理解有理數和無理數的區別，會把實數進行分類.
教學難點 理解實數與數軸的關系，并進行相關運用.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：復習回顧，問題引入 【回顧導入】請同學們回顧下面這兩個問題：什么是有理數？有理數怎樣分類？什么是無限不循環小數？無限不循環小數都有哪些形式？小數位數無限，且小數部分不循環的小數叫作無限不循環小數.很多數的平方根和立方根都是無限不循環小數. 【教學建議】教師指定學生代表作答.
設計意圖
學生回憶有理數及無限不循環小數的概念，為學習實數做鋪墊.
活動二：問題引入，探究新知 探究點1 實數的概念及分類（教材P52探究）把下列有理數寫成小數的形式，你發現了什么？4，，，，，.可以發現，上面的有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式，即4=4.0，=2.5，=-0.6，=6.75，=，=. 【教學建議】學生先自主探究，然后交流討論，教師再訂正、歸納.先通過復習有理數的概念，再經過類比學習的方法引入無理數的概念，體會兩者
設計意圖
通過探究有理數的形式引入無理數的概念，將數系擴充
教學步驟 師生活動
至實數，達到整體認識，形成知識遷移. 問題1（1）任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式嗎？（2）任何有限小數或無限循環小數都是有理數嗎？（1）是的.（2）是的.問題2 我們學過的所有數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式嗎？如果不是，你能舉例說明嗎？不是.很多數的平方根、立方根是無限不循環小數，例如，，，，等，π=3.14159265…也是無限不循環小數.概念引入：無限不循環小數都不是有理數.無限不循環小數又叫作無理數.像有理數一樣，無理數也有正負之分.例如,,π是正無理數，,,-π是負無理數.拓展：常見的無理數的形式有：①開方開不盡的數，如，等；②π及含π的式子，如π，2+π等；③結構特殊且不循環的小數，如1.01001000100001…（相鄰的兩個1之間依次多一個0）等.概念引入：有理數和無理數統稱實數.問題3 仿照有理數的分類，你能對實數進行分類嗎？實數分類的原則是：按照同一標準，不重不漏.【對應訓練】1.教材P54練習第1（1）（2）（3），2題.2.下列說法正確的是（ D ）A．正實數和負實數統稱實數B．正數、0和負數統稱有理數C．帶根號的數和分數統稱實數D．無理數和有理數統稱實數3.把下列各數填在相應的集合內：-3.1415，，，，，，0，，,0.2020020002…(相鄰的兩個2之間依次多一個0). 之間的區別，最后給出實數的概念，層層設問，發展學生的探究意識.注意強調：無限小數既可能是有理數，也可能是無理數，因為無限小數有無限循環小數和無限不循環小數兩種形式.【教學建議】對實數分類時，可讓學生類比有理數的分類，并進一步體會無理數的特征.在自主探究的過程中，發展學生的類比思想和分類思想.分類原則是不重不漏，注意有時分類的數會同時屬于多個集合，要特別注意不要漏寫.
教學步驟 師生活動
設計意圖 探究點2 實數與數軸上的點的對應關系我們知道，每個有理數都可以用數軸上的點來表示.無理數是否也可以用數軸上的點表示出來呢？（1）（教材P53思考）以單位長度為直徑畫一個圓，它的周長等于π.如圖，從原點開始，將這個圓沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點O到達點O′，點O′對應的數是多少？從圖中可以看出，OO′的長是這個圓的周長π，所以點O′對應的數是π.（2）如圖，以單位長度為邊長畫一個正方形，以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點就表示，與負半軸的交點就表示.為什么？在學習算術平方根的估算時，我們知道，用兩個面積為1的小正方形剪拼成一個面積為2的大正方形，這個大正方形的邊長就是小正方形的對角線長，因此圖中正方形的對角線長是2.所以以原點為圓心，以小正方形的對角線長為半徑畫弧，與數軸的兩個交點分別表示數，.事實上，每一個無理數都可以用數軸上的一個點表示出來.總結：當數的范圍從有理數擴充到實數后，每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數.因此，實數與數軸上的點是一一對應的.【對應訓練】1.教材P54練習第1（4）（5）題.2.如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點A在數軸上，且點A表示的數為1.若點E在數軸上（點E在點A左側），且AD=AE，則點E所表示的數為（ D ）A． B． C． D． 【教學建議】學生在討論合作的基礎上動手操作，教師利用多媒體課件進行動態演示，并對學生討論交流的結果進行總結.注意使學生感受當數的范圍從有理數擴充到實數后，實數與數軸上的點才是一一對應的，而有理數不是.
通過具體實例，讓學生直觀感受無理數可用數軸上的點表示，從而深化擴展到實數與數軸上的點的一一對應關系.
教學步驟 師生活動
設計意圖 探究點3 實數的大小比較（1）回想一下，在數軸上如何比較兩個有理數的大小？左邊的數小于右邊的數.（2）猜想一下，和誰比較大？為什么？大.因為在數軸上對應的點在原點的右邊，而在數軸上對應的點在原點的左邊.（3）你能總結出兩個實數比較大小的方法嗎？與規定有理數的大小一樣，對于數軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大.用數軸比較實數的方法只是其中一種（更直觀），實際上，有理數的大小比較的法則對于實數同樣適用：(1)正數大于0，負數小于0，正數大于負數；(2)兩個正數，絕對值大的較大；(3)兩個負數，絕對值大的反而小.（4）請結合教材P54練習第3題，將這4個實數用“<”連接起來.-π＜＜＜.【對應訓練】1.比較大小：（填“>”“<”或“=”）（1） > ；（2） < -3.1.2.將-2,,0,,-π與圖中數軸上標有字母的各點對應起來，并用“<”連接這些數.解：-2對應點B,對應點D,0對應點C,對應點E,-π對應點A.由圖可知-π<-2<0<<. 【教學建議】教師引導學生自主學習，通過實數的大小比較，學生會自然類比聯想到有理數的運算法則及運算性質在實數范圍內是否適用，從而為后面的學習做好鋪墊.在比較實數的大小時，除了利用數軸和法則，還可以利用估算法、平（立）方法、作差法等.
通過有理數的大小比較，類比學習實數的大小比較.
活動三：重點突破，綜合探究 例 如圖，數軸上A,B兩點表示的數分別為和5.1，則A，B兩點之間表示整數的點共有（ C ）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【對應訓練】如圖，在數軸上點A表示數a，點B表示數b，且a，b滿足|a+3|+(b-6)2=0.（1）點A表示的數為 -3 ，點B表示的數為 6 ；（2）若點C到原點的距離為，求點C到點B的距離. 【教學建議】學生分組交流，討論作答.鼓勵學生動手操作，畫圖描點，有助于厘清思路.此類題目較好地將知識進行了綜合，并有一定的拓展，能培養學生大膽
設計意圖
強化鞏固對于實數與數軸上的點的一一對應關系的理
教學步驟 師生活動
解，并能在實踐中靈活運用，解決綜合類型題目. 解：當點C在原點的右邊時，點C表示的數為，此時點C到點B的距離為；當點C在原點的左邊時，點C表示的數為，此時點C到點B的距離為. 嘗試、勇于探索的精神，提高學生的思維能力.
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是無理數？什么是實數？實數怎么分類？2.數軸上的點與實數有怎樣的對應關系？【知識結構】【作業布置】1.教材P57習題8.3第1,2,6,9題.2.相應課時訓練.
板書設計 第1課時實數的概念及意義1.無理數的概念：無限不循環小數又叫作無理數.2.實數的概念：有理數和無理數統稱實數.3.實數的分類：4.實數與數軸上的點是一一對應的.5.實數的大小比較：數軸上右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大.
教學反思 本節課學習了實數的有關概念和實數的分類，把我們所學過的數在有理數的基礎上擴充到實數，在此基礎上，明確了實數與數軸上的點的一一對應的關系.學習中要求學生結合有理數理解實數的有關概念，同時要注意兩個地方：一是所有的分數都是有理數，如；二是形如，等之類的含有π的數不是分數，而是無理數.
解題大招一 實數的分類及判斷
（1）有的數應先將其化簡，然后根據最后的結果進行分類.例如，對于，由于，所以它不是無理數而是有理數，如果進一步細分，它還是整數，也是自然數.
（2）分數都可以化為有限小數或無限不循環小數，有的數雖然形式上含有分數線，但不是分數，如, 等，它們都不是分數，而是無理數.
例1 下列說法錯誤的是（ C ）
A．是無理數 B．是整數 C．是分數 D．π+1是實數
解析：是無理數；，所以是整數；是無理數；π+1是無理數，所以是實數.故選C.
解題大招二 實數的大小比較
（1）任意兩個實數都可以進行大小比較，正實數大于0，0大于負實數.兩個負實數進行比較時，絕對值大的反而小.
（2）數軸上右邊的點表示的實數恒大于數軸上左邊的點表示的實數.
（3）兩個正無理數進行比較時，若根指數相同，被開方數越大則無理數越大；若根指數不同，則可利用無理數的估算比較大小.
例2 a，b是實數，它們在數軸上的對應點的位置如圖所示，把a，-a，b，-b按照從小到大的順序排列，正確的是（ A ）
A．a＜-b＜b＜-a B．a＜b＜-b＜-a
C．a＜-b＜-a＜b D．-b＜a＜b＜-a
分析：根據a，b在數軸上對應點的位置描出-a，-b的對應點的大致位置，進而可得出結論.
解析：如圖，描出-a,-b在數軸上對應點的位置，觀察各點的位置可知，a＜-b＜b＜-a.故選A.
培優點 數形結合思想在實數求值中的運用
例 如圖①是由8個同樣大小的小正方體組成的魔方，體積為8.
（1）求出這個魔方的棱長；
（2）圖①中陰影部分是一個正方形ABCD，求出正方形ABCD的面積及邊長；
（3）把正方形ABCD放到數軸上，如圖②，使得點A與表示-1的點重合，那么點D在數軸上表示的數為.
分析：（1）根據正方體的體積公式，直接求棱長即可；
（2）根據棱長，求出每個小正方體的棱長，進而可得小正方形的邊長及面積，可進一步得到陰影部分圖形的邊長；
（3）用點A表示的數減去邊長即可得解.
解：（1）設這個魔方的棱長為x，則x3=8，所以x=2.
（2）因為魔方的棱長為2，所以魔方的每個面的面積為22=4.
易知正方形ABCD的面積為=2.
所以正方形ABCD的邊長為2.

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