資源簡介

第八章 實數
8.1平方根
第1課時平方根
教學目標
課題 第1課時 平方根 授課人
素養目標 1.掌握平方根的概念.2.能用符號正確地表示一個數的平方根，理解開平方運算和平方運算之間的互逆關系.3.培養學生的探究能力和歸納問題的能力.
教學重點 平方根的概念和求數的平方根.
教學難點 求數的平方根.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：復習回顧，提出問題 【回顧導入】我們知道，已知一個數，通過平方運算可以求這個數的平方.如：22=4，52=25，72=49……反過來，如果已知一個數的平方，那么怎樣求這個數呢？比如：如果一個數的平方等于9，那么這個數是多少呢？帶著這個問題，讓我們走入今天的學習吧. 【教學建議】帶領學生回顧常見整數的平方運算，12，22，32，…，為后面的開方運算作準備.
設計意圖
通過回顧平方運算，引入本節課學習.
活動二：問題引入，探究新知 探究點1 平方根的概念和計算（1）在前面，我們提到：“如果一個數的平方等于9，那么這個數是多少呢？”請你回答這個問題.因為32=9，所以這個數可以是3；又因為(-3)2=9，所以這個數也可以是-3.（2）還可能是其他數嗎？不可能是其他數.因為除3，-3以外，任何一個數的平方都不等于9.（3）填表：x21163649x±1±4±6±7 【教學建議】教師引導學生作答，使學生經歷觀察、思考、交流、總結歸納出平方根的概念的過程，利用平方與開平方互逆揭示開平方運算的本質，培養學生用逆向思維
設計意圖
通過閱讀課本、填表，引出平方根的概念，并讓學生體會根據平方的意義
教學步驟 師生活動
求出平方根. 概念引入：一般地，如果一個數x的平方等于α，即x2=α，那么這個數x叫作α的平方根或二次方根.例如3和-3是9的平方根.通常把3和-3合在一起簡記為“±3”，則±3是9的平方根.（4）求一個數的平方根的運算，叫作開平方.觀察下圖，你發現了什么？平方與開平方互為逆運算.（5）教材P40例1.【對應訓練】教材P42練習第2題. 解決問題的習慣.求一個正數的平方根的過程一般分為兩步：（1）找出平方等于這個正數的數，這樣的數有兩個；（2）根據平方根的概念寫出這個正數的平方根.
設計意圖 探究點2 平方根的特征與表示方法讓我們一起觀察探究點1中的圖，想一想：（1）1,4,9的平方根分別是多少？正數的平方根有什么特點？1，4，9的平方根分別是±1，±2，±3.正數有兩個平方根，它們互為相反數.（2）0有幾個平方根？各是多少？為什么？0只有一個平方根，是0.因為02=0，并且任何一個不為0的數的平方都不等于0，所以0的平方根是0.（3）-1,-4，-9有平方根嗎？為什么？沒有.正數的平方是正數，0的平方是0，負數的平方也是正數，即在我們所認識的數中，任何一個數的平方都不是負數，所以負數沒有平方根.歸納：正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.概念引入：正數α的正的平方根記為“”，讀作“根號α”，α叫作被開方數；正數α的負的平方根可以用“”表示，故正數α的平方根可以用“”表示，讀作“正、負根號α”.例如，表示9的平方根，=±3.特別地，0的平方根記為.（4）只有當α大于或等于0時，α有意義；而當α小于0時，α沒有意義.為什么？因為只有正數和0有平方根，負數沒有平方根.（5）教材P41例2. 【教學建議】教師提問，學生作答，由學生歸納出平方根的特征，教師總結、訂正.解題時注意：已知一個數的兩個平方根，根據兩個平方根互為相反數列方程求解；如果題目只是敘述兩個數均為一個數的平方根，則需要分相等和互為相反數兩種情況進行討論.
用“由特殊到一般”的數學思想歸納出平方根的特征.
教學步驟 師生活動
【對應訓練】1.教材P41練習第1題.2.已知一個正數的兩個平方根分別是2α-1和α-5，則α= 2 .3.如果3x-2和5x+6都是一個非負數的平方根，求這個非負數.解：①若3x-2和5x+6相同，則3x-2=5x+6，解得x=-4，此時3x-2=-14，（-14）2=196；②若3x-2和5x+6不同，則它們互為相反數，即3x-2+5x+6=0，解得x=-0.5，此時3x-2=-3.5，（-3.5）2=12.25.綜上可知，這個非負數是196或12.25.
活動三：重點突破，提升探究 例 求下列各式中x的值：(1)3x2=48；(2)(x+1)2=4；(3)2(x-1)2-18=0.解:(1)原式可變形為x2=16.因為(±4)2=16，所以x=4或x=-4.(2)因為(±2)2=4，所以x+1=2或x+1=-2，所以x=1或x=-3.(3)原式可變形為(x-1)2=9.因為(±3)2=9，所以x-1=3或x-1=-3，所以x=4或x=-2. 【對應訓練】教材P42練習第3課 【教學建議】求類似于a（mx+b）2-c=0中x的值時，一般將其變形，利用整體思想將mx+b作為一個整體，再利用平方根的意義轉化為一元一次方程，從而求出x的值.
設計意圖
拓展提升，進一步鞏固學生對平方根概念的理解，并靈活應用于解方程中.
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么叫作一個數的平方根？2.平方根具有哪些性質？3.平方根怎樣表示？【知識結構】【作業布置】1.教材P46習題8.1第1,3（1）（3）,6題.2.相應課時訓練.
板書設計 8.1 平方根第1課時 平方根1.平方根的概念.2.求一個非負數的平方根的運算——開平方.3.平方根的特征及其應用：正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.
教學反思 本節課通過一些實例讓學生體會平方根的概念及其特征，滲透“具體—抽象—具體”的研究思路.結合學過的運算理解“開平方”的新運算，使學生的學習形成遷移.借助例題和課堂練習鞏固新知，提高學生的學習能力.
解題大招 已知一個數的平方根求原數
已知一個數的平方根，求原數的方法：需要根據題目的敘述進行判斷，當題目中有類似“A和B是一個正數的兩個平方根”或“一個正數的平方根分別是A和B”這樣的描述時，則根據平方根的性質知A+B=0，直接列出方程求未知數，再進一步求得原數；當題目中有類似“A和B是一個正數的平方根”這樣的描述時，則除了A+B=0，還需考慮A=B的情況，需分別列方程求出未知數.
例1 若2m-4與3m-1是一個正數的兩個平方根，則這個正數為（ B ）
A．1 B．4 C．±1 D．±4
解析：由題意可知2m-4+3m-1=0，所以m=1，所以2m-4=-2，所以這個正數為4.故選B.
例2 已知a-1和5-2a都是m的平方根，求a與m的值.
解：根據題意，分以下兩種情況：
①當a-1與5-2a是同一個平方根時，a-1=5-2a，解得a=2.此時m=（2-1）2=1；
②當a-1與5-2a是兩個平方根時，a-1+5-2a=0，解得a=4.此時m=(4-1)2=9.
綜上所述，a=2，m=1或a=4，m=9.
培優點 利用平方根的相關性質解題
例 已知a，b，c滿足，c的平方根等于它本身,求的平方根.
解：因為-(a-3)2≥0，所以a=3.
把a=3代入，得b=4.因為c的平方根等于它本身，所以c=0.
所以，所以的平方根為.

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