資源簡介

*10.4　三元一次方程組的解法
第1課時　三元一次方程組的解法
教學目標
課題 第1課時　三元一次方程組的解法 授課人
素養目標 1.了解三元一次方程組的概念． 2．會運用“代入法”或“加減法”對三元一次方程組逐步消元，進而求解． 3．能根據三元一次方程組的具體形式選擇適當的解法.
教學重點 三元一次方程組的解法及“消元”思想．
教學難點 根據方程組的特點，選擇合適的未知數和方法消元.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創設情境，新課導入 【設計意圖】 列舉實際問題，為引入三元一次方程(組)做準備. 【情境導入】 (教材P107問題)請大家看下面這一問題：在一次足球聯賽中，一支球隊共參加了22場比賽，積47分，且勝的場數比負的場數的4倍多2.按照足球聯賽的積分規則，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，那么這支球隊勝、平、負各多少場？ 我們可以通過設元解一元一次方程或二元一次方程組，得到上面問題的答案為勝14場，平5場，負3場． 觀察上述問題，我們發現：這道題中一共有三個未知量和三個相等關系．參考二元一次方程組，我們能否把這三個未知量都設出來，然后通過方程求出它們的值呢？ 今天我們將學習如何通過列三元一次方程組來解決此類問題． 【教學建議】 教師引導學生思考兩種解法應如何設元和列方程(組)，不必寫出解方程(組)的過程．
活動二：問題引入，自主探究 【設計意圖】 結合解二元一次方程組的“消元”方法，探索三元一次方程組的解法． 探究點　三元一次方程組的有關概念及解法 問題1　對于“活動一”中的問題，請結合已知條件寫出相等關系： ①勝的場數＋平的場數＋負的場數＝22； ②勝場積分＋平場積分＋負場積分＝47； ③勝的場數＝負的場數×4＋2. 問題2　設這個球隊勝、平、負的場數分別為x，y，z.根據題意，可以得到哪三個方程？ x＋y＋z＝22，①　3x＋y＝47，②　x＝4z＋2.③ 問題3　大家知道，方程②③是二元一次方程，觀察方程①，結合二元一次方程的定義，方程①有什么特點？ 方程①中含有三個未知數，并且含未知數的項的次數都是1. 概念引入： 一個方程中含有三個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫作三元一次方程． 這個問題的解必須同時滿足上面三個條件，因此，我們把這三個方程合在一起，寫成 概念引入： 一個方程組含有三個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組． 　問題4　這個方程組能用代入法解嗎？如果能，請寫出解題過程．(請學生上臺板演) 解：把③分別代入①②，得到關于y，z的二元一次方程組 解這個方程組，得 把z＝3代入③，得x＝14. 因此，這個三元一次方程組的解為 問題5　你還能用其他方法解這個三元一次方程組嗎？ 解：可以用加減法解這個三元一次方程組．因為方程③中不含未知數y，故考慮通過方程①②消去y. ②－①，得2x－z＝25.④ ③與④組成方程組解這個方程組，得 把x＝14，z＝3代入①，得y＝5. 因此，原方程組的解為(方法不唯一) 歸納總結：解三元一次方程組的基本思路與解二元一次方程組的基本思路一樣． 例　(教材P108例1)解三元一次方程組 問題1　觀察方程組中的各個方程的未知數，你有什么發現？ 方程①中，不含未知數y；方程②和方程③中，三個未知數均含有． 問題2　根據上面的發現，你認為選擇哪種方法解方程組較簡便，請寫出解答過程． 用加減法較簡便． 解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④ ①與④組成方程組解這個方程組，得 把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝. 因此，這個三元一次方程組的解為 問題3　你還有其他解法嗎？試一試，并與上面的解法進行比較． 解：由①，得x＝.④ 把④分別代入②③，得到關于y，z的二元一次方程組 【對應訓練】 1．下列是三元一次方程組的是（D） 2．解方程組 (1)若先消去x，得到關于y，z的方程組是 (2)若先消去y，得到關于x，z的方程組是 (3)若先消去z，得到關于x，y的方程組是(答案均不唯一) 3．教材P109練習． 【教學建議】 學生分組討論合作完成問題，得出三元一次方程(組)的概念，類比二元一次方程組的解法，將三元一次方程組消元后求解，體會方程組解法的多樣性．當三元一次方程組中有二元一次方程時，可將二元一次方程變形后代入(或直接代入)另兩個方程，運用代入法消元；也可對另外兩個方程運用加減法消去二元一次方程中不含的未知數．
活動三：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練． 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1．什么是三元一次方程組？解三元一次方程組的基本思想是什么？方法有哪些？ 2．解三元一次方程組時有哪些需要注意的問題？如何消元可以使過程更簡便？ 【知識結構】 【作業布置】 1．教材P111習題10.4第1，2題． 2．相應課時訓練．
板書設計 第1課時　三元一次方程組的解法 1．三元一次方程(組)的概念． 2．三元一次方程組的解法.
教學反思 　　本節課通過類比二元一次方程組的學習過程探究三元一次方程組，讓學生感受把新知轉化為已知，把不會的問題轉化為學過的問題，把難度大的問題轉化為難度較小的問題這一化歸思想．感受數學知識之間的密切聯系，增強學生的數學應用意識，初步培養學生建立數學模型解決問題的良好思維習慣.
解題大招　解三元一次方程組
1．對三元一次方程組概念的理解要點：
①三個方程中不一定每一個方程中都含有三個未知數，只要三個方程共含有三個未知數即可；②在實際問題中含有三個未知數，當這三個未知數同時滿足三個相等關系時，可以建立三元一次方程組求解．
2．解三元一次方程組的要點：其解題基本思想是消元，即通過“代入”或“加減”進行消元，把“三元”化為“二元”，進而再化為“一元”．消元是有技巧的，通常是缺某元就消某元．
如解方程組通過觀察發現每個方程未知項的系數和相等，每一個未知數的系數之和也相等，即系數和相等．具備這種特征的方程組，我們給它定義為“輪換方程組”，可先求和得到x＋y＋z＝12，再分別作差得出x＝3，y＝4，z＝5.該方法能較簡潔地求出此類方程組的解．
再如解方程組通過觀察發現此方程組的特點是未知項間存在著比例關系，根據以往的經驗，學生看見比例式就會想把比例式化成關系式求解，即由x∶y＝1∶2得y＝2x; 由x∶z＝1∶7得z＝7x.
例　解下列方程組：
解：(1)由①，得x＝z，y＝z.把x＝z，y＝z代入②，得2z＋z＋z＝36，z＝8.所以x＝4，y＝6.
因此，這個三元一次方程組的解為
(2)①＋②，得8x－z＝11.④
②＋③，得6x＋z＝3.⑤
④與⑤組成方程組解這個方程組，得
把x＝1，z＝－3代入③，得1＋y－2×(－3)＝5，y＝－2.因此，這個三元一次方程組的解為
培優點　不解方程組，求代數式的值
例　閱讀下列材料，然后解答后面的問題．　
已知方程組求x＋y＋z的值．
解：將原方程組整理得得x＋3y＝7.③把③代入①，得x＋y＋z＝6.
仿照上述解法，已知方程組試求x＋2y－z的值．
解：由題意，將原方程組整理得
②×2，得－6(x＋2y－z)＋2(2x＋z)＝－2.③①－③，得8(x＋2y－z)＝24.所以x＋2y－z＝3.

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