資源簡(jiǎn)介

10.3　實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組
第1課時(shí)　和差倍分問(wèn)題
教學(xué)目標(biāo)
課題 第1課時(shí)　和差倍分問(wèn)題 授課人
素養(yǎng)目標(biāo) 1.能夠找出實(shí)際問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程組． 2．學(xué)會(huì)比較估算與精確計(jì)算以及檢驗(yàn)方程組的解是否符合題意并正確作答． 3．在用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
教學(xué)重點(diǎn) 以方程組為工具，分析、解決含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題．
教學(xué)難點(diǎn) 確定解題策略，比較估算與精確計(jì)算.
教學(xué)活動(dòng)
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
活動(dòng)一：舊知回顧，新課導(dǎo)入 【設(shè)計(jì)意圖】 復(fù)習(xí)二元一次方程組的解法及列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟，引入本節(jié)課內(nèi)容. 【回顧導(dǎo)入】 結(jié)合之前所學(xué)的知識(shí)，回答下面的問(wèn)題． (1)解二元一次方程組的基本思想是什么？常見(jiàn)方法有哪些？ 解二元一次方程組的基本思想是消元，常見(jiàn)方法有代入消元法和加減消元法． (2)列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？ 一般步驟是審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．即(1)審清題意，找出已知量和未知量；(2)設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)的量；(3)根據(jù)題中的相等關(guān)系列出方程；(4)解方程；(5)檢驗(yàn)所得結(jié)果是否滿足所設(shè)方程且具有實(shí)際意義；(6)根據(jù)提問(wèn)作答． 前面我們結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，討論了用方程組表示問(wèn)題中的條件以及如何解方程組．本節(jié)課我們繼續(xù)探究如何用方程組解決實(shí)際問(wèn)題． 【教學(xué)建議】 教師可讓學(xué)生結(jié)合教材P94例4和P97例7，初步探究列二元一次方程組解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的共性問(wèn)題．
活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，自主探究 【設(shè)計(jì)意圖】 以教材探究題為例，探討用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟和方法，引入和差倍分問(wèn)題． 探究點(diǎn)　和差倍分問(wèn)題 例1　(教材P101探究1)養(yǎng)牛場(chǎng)原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675 kg；一周后又購(gòu)進(jìn)12頭大牛和5頭小牛，這時(shí)1天約用飼料940 kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每頭大牛1天需飼料18～20 kg，每頭小牛1天需飼料7～8 kg.你能通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)嗎？ 我們分步來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題1　怎樣判斷李大叔的估計(jì)是否正確？ 根據(jù)題中給出的數(shù)量關(guān)系求出每頭大牛和每頭小牛1天各約需飼料用量，再來(lái)判斷李大叔的估計(jì)是否正確． 問(wèn)題2　寫出題中的已知量和未知量． 已知量：購(gòu)進(jìn)前后大牛和小牛的數(shù)量，購(gòu)進(jìn)前后每天飼料的用量． 未知量：大牛1天飼料的消耗量和小牛1天飼料的消耗量． 問(wèn)題3　設(shè)每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料x(chóng) kg和y kg.寫出題中的相等關(guān)系并用含未知數(shù)的等式表示． 問(wèn)題4　請(qǐng)將下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整． 設(shè)每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料x(chóng) kg和y kg. 根據(jù)兩種情況的飼料用量，找出相等關(guān)系，列得方程組 解這個(gè)方程組，得 這就是說(shuō)，每頭大牛1天約需飼料20 kg，每頭小牛1天約需飼料5 kg. 問(wèn)題5　飼養(yǎng)員李大叔的估計(jì)正確嗎？ 根據(jù)問(wèn)題4的結(jié)果可知，飼養(yǎng)員李大叔對(duì)大牛的食量估計(jì)較準(zhǔn)確，對(duì)小牛的食量估計(jì)偏高． 歸納總結(jié)：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟： 審審題，分析題中已知什么、求什么，明確各數(shù)量之間的關(guān)系設(shè)設(shè)未知數(shù)(分直接設(shè)元和間接設(shè)元)，用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)量列根據(jù)相等關(guān)系列出兩個(gè)方程，組成方程組解解方程組，求出未知數(shù)的值驗(yàn)檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是否滿足題意和實(shí)際意義答根據(jù)問(wèn)題作答(包括單位名稱)
和差倍分問(wèn)題中常見(jiàn)的相等關(guān)系： 較大量＝較小量＋多余量；總量＝一份的量×倍數(shù)；各分量相加＝總量. 【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】 教材P101練習(xí)第1，2，3題. 【教學(xué)建議】 學(xué)生可以先獨(dú)立分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程組，得出問(wèn)題的解答，再與同學(xué)交流，教師注意規(guī)范解題過(guò)程．對(duì)于學(xué)生列出的其他正確方程，如12x＋5y＝265，教師可讓學(xué)生介紹自己的想法并予以肯定，指出列方程組時(shí)應(yīng)盡量使用原題中的數(shù)據(jù)，如265應(yīng)寫成940－675；對(duì)于同一問(wèn)題的不同解法，結(jié)果應(yīng)一致，若不一致，則需仔細(xì)檢查過(guò)程是否有紕漏．
活動(dòng)三：知識(shí)延伸，舉一反三 【設(shè)計(jì)意圖】 引導(dǎo)學(xué)生用二元一次方程組解決配套問(wèn)題. 例2　某瓷器廠共有120名工人，每名工人一天能生產(chǎn)200只茶杯或50只茶壺，8只茶杯和1只茶壺為一套．要使每天生產(chǎn)的茶杯和茶壺配套，應(yīng)如何安排生產(chǎn)？ 問(wèn)題1　寫出題中的已知量和未知量． 已知量：工人總數(shù)，每名工人一天能生產(chǎn)茶杯或茶壺的數(shù)量，組成一套茶具所需茶杯和茶壺的數(shù)量． 未知量：生產(chǎn)茶杯的工人數(shù)量，生產(chǎn)茶壺的工人數(shù)量．(1)審 問(wèn)題2　應(yīng)如何設(shè)元？ 設(shè)安排x名工人生產(chǎn)茶杯，y名工人生產(chǎn)茶壺．(2)設(shè) 問(wèn)題3　找出題中的相等關(guān)系并用含未知數(shù)的等式表示． (可變形為200x＝8×50y)(3)列 問(wèn)題4　寫出完整的解題過(guò)程． 解：設(shè)安排x名工人生產(chǎn)茶杯，y名工人生產(chǎn)茶壺． 根據(jù)工人總數(shù)，茶杯、茶壺的生產(chǎn)量與配比的數(shù)量關(guān)系，列方程組解這個(gè)方程組，得(4)解(5)驗(yàn) 答：要使每天生產(chǎn)的茶杯和茶壺配套，應(yīng)安排80名工人生產(chǎn)茶杯，40名工人生產(chǎn)茶壺．(6)答 歸納總結(jié)：配套問(wèn)題中常見(jiàn)的相等關(guān)系： 數(shù)量較少量×相應(yīng)倍數(shù)＝數(shù)量較多量； 總量各部分之間的比例＝每一套各部分之間的比例． 【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】 某家具廠接到了一筆定制方桌的訂單，下面是兩位木匠師傅的對(duì)話. 如何分配木料才能完成這筆訂單？這筆訂單需要方桌多少?gòu)垼?解：設(shè)用x m3木料做桌面，y m3木料做桌腿. 根據(jù)題意，得解這個(gè)方程組，得 所以50×3.5＝175(張). 答：用3.5 m3木料做桌面、2 m3木料做桌腿即可完成這筆訂單，這筆訂單需要方桌175張. 【教學(xué)建議】 學(xué)生獨(dú)立思考作答，解決配套問(wèn)題的關(guān)鍵就是找出各部件之間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)比例的性質(zhì)將比例式轉(zhuǎn)化為等積式．在用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，審、驗(yàn)這兩個(gè)步驟通常是在草稿紙上進(jìn)行．
活動(dòng)四：強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)以致用 【設(shè)計(jì)意圖】 進(jìn)一步鞏固用二元一次方程組解應(yīng)用題的思想，強(qiáng)化對(duì)列二元一次方程組解應(yīng)用題的方法和步驟的掌握. 例3　為支援抗洪救災(zāi)工作，甲、乙兩運(yùn)輸隊(duì)接受了運(yùn)輸20 000箱救災(zāi)物資的任務(wù)，任務(wù)要求在15天內(nèi)(包含15天)完成．已知兩隊(duì)共有18輛汽車，甲隊(duì)每輛車每天能夠運(yùn)輸120箱救災(zāi)物資，乙隊(duì)每輛車每天能夠運(yùn)輸100箱救災(zāi)物資，前4天兩隊(duì)一共運(yùn)輸了8 000箱.4天后，乙隊(duì)臨時(shí)被調(diào)派去執(zhí)行更為緊急的任務(wù)，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)甲隊(duì)能否單獨(dú)完成剩下的運(yùn)輸任務(wù)？ 解：設(shè)甲隊(duì)有x輛汽車，乙隊(duì)有y輛汽車． 結(jié)合汽車輛數(shù)與所運(yùn)物資的數(shù)量關(guān)系，列方程組 解這個(gè)方程組，得 則甲隊(duì)完成剩余運(yùn)輸任務(wù)所需時(shí)間為(20 000－8 000)÷(120×10)＝10(天)． 因?yàn)?0＋4<15， 所以在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)甲隊(duì)能單獨(dú)完成剩下的運(yùn)輸任務(wù)． 【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】 各級(jí)教育部門高度重視中小學(xué)生安全教育，各學(xué)校也時(shí)常開(kāi)展應(yīng)急安全防護(hù)和撤離的演練．某校有一棟教學(xué)大樓，進(jìn)出這棟大樓共有五道門，有大小相同的兩道正門，大小相同的三道側(cè)門，經(jīng)安全檢測(cè)得知：開(kāi)啟兩道正門和一道側(cè)門，每分鐘可以通過(guò)600人；開(kāi)啟一道正門和兩道側(cè)門，每分鐘可以通過(guò)540人．若緊急情況下，通過(guò)正門、側(cè)門的效率均降低為原來(lái)的80%，該校要求大樓內(nèi)1 656名全體師生必須通過(guò)這五道門緊急撤離．那么全體師生全部撤離該棟教學(xué)大樓需要多少分鐘？ 解：設(shè)正常情況下，平均每分鐘一道正門、一道側(cè)門分別可以通過(guò)x人，y人． 由題意列方程組 解這個(gè)方程組，得 1 656÷[(2×220＋3×160)×80%]＝2.25(min)． 答：全體師生全部撤離該棟教學(xué)大樓需要2.25 min. 【教學(xué)建議】 學(xué)生獨(dú)立思考作答，教師統(tǒng)一答案．例題需要先根據(jù)已知條件求出甲、乙兩隊(duì)所擁有的汽車數(shù)，再計(jì)算出甲隊(duì)完成剩余任務(wù)所需的時(shí)間，最后確定是否超出規(guī)定時(shí)間．
活動(dòng)五：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié) 【隨堂訓(xùn)練】相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練. 【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題： 1.在結(jié)合實(shí)際問(wèn)題列方程組之前我們需要先做哪些工作？ 2.列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是什么？ 【知識(shí)結(jié)構(gòu)】 【作業(yè)布置】 1.教材P105習(xí)題10.3第1，3，4，9題. 2.相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．
板書(shū)設(shè)計(jì) 第1課時(shí)　和差倍分問(wèn)題 1.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：(1)審，(2)設(shè)，(3)列，(4)解，(5)驗(yàn)，(6)答. 2.和差倍分問(wèn)題.
教學(xué)反思 　　本節(jié)課內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法及列方程組解較簡(jiǎn)單的應(yīng)用題的基礎(chǔ)上安排的，教學(xué)中可讓學(xué)生經(jīng)過(guò)充分思考和小組討論之后總結(jié)出列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想在日常生活中的應(yīng)用.
解題大招　和差倍分
1．列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一．
2．常見(jiàn)的一些相等關(guān)系：
(1)和差倍分問(wèn)題
舉個(gè)例子，我們來(lái)看其中的數(shù)字問(wèn)題，這里找相等關(guān)系的關(guān)鍵是注意要正確的表示兩位數(shù)：若當(dāng)十位上的數(shù)為a，個(gè)位上的數(shù)為b時(shí)，這個(gè)兩位數(shù)就可表示為10a＋b.
例1　一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．
解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為x, 個(gè)位上的數(shù)為y, 則原數(shù)為10x＋y.交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)后，所得新數(shù)為10y＋x.
根據(jù)題意，可列方程組解這個(gè)方程組，得
答：這個(gè)兩位數(shù)是14.
(2)配套問(wèn)題中的基本相等關(guān)系：總量各部分之間的比例＝每一套各部分之間的比例．
注意：解決這類問(wèn)題一般根據(jù)下列兩個(gè)相等關(guān)系列方程組：
①(工人數(shù)、生產(chǎn)原料等)各分量之和＝總量；
②若m件A產(chǎn)品與n件B產(chǎn)品配成一套，則A產(chǎn)品的數(shù)量∶B產(chǎn)品的數(shù)量＝m∶n，即n×A產(chǎn)品的數(shù)量＝m×B產(chǎn)品的數(shù)量．
例2 某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝,已知每2 m的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只,現(xiàn)計(jì)劃用132 m這種布料生產(chǎn)這批秋裝(布料全部用完,不考慮布料的損耗),應(yīng)分別用多少米的布料做衣身和衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套
注意:不要把倍的關(guān)系理解顛倒了.可以分以下步驟進(jìn)行:
判斷配套對(duì)象所需數(shù)量的多少,如需衣袖的數(shù)量多,衣身的數(shù)量少;
(2)確定剛好配套的比例﹐如:衣袖數(shù)量︰衣身數(shù)量=2∶1 ;
(3)數(shù)量多的乘“小比”=數(shù)量少的乘"大比",如1×衣袖的數(shù)量=2×衣身的數(shù)量.(或根據(jù)比例的性質(zhì):內(nèi)項(xiàng)的積等于外項(xiàng)的積)
培優(yōu)點(diǎn) 稍復(fù)雜的配套問(wèn)題
例工作人員從倉(cāng)庫(kù)領(lǐng)取如圖①中的長(zhǎng)方形和正方形紙板作為側(cè)面或底面,做成如圖②的豎式和橫式的兩種無(wú)蓋紙盒若干個(gè),恰好使領(lǐng)取的紙板用完.
(1)下表是工作人員兩次領(lǐng)取紙板數(shù)的記錄:
①倉(cāng)庫(kù)管理員在核查時(shí)，發(fā)現(xiàn)一次記錄有誤．請(qǐng)你判斷第幾次的記錄有誤，并說(shuō)明理由；
②記錄正確的那一次，利用領(lǐng)取的紙板做了豎式與橫式紙盒各多少個(gè)？
(2)若工作人員某次領(lǐng)取的正方形紙板數(shù)與長(zhǎng)方形紙板數(shù)之比為1∶3，請(qǐng)你求出利用這些紙板做出的豎式紙盒與橫式紙盒個(gè)數(shù)的比值．
分析：
解：(1)①第二次記錄有誤，(420＋1 002)÷5＝284.4(個(gè))，紙板個(gè)數(shù)不是整數(shù)．
②設(shè)領(lǐng)取的紙板做了豎式紙盒x個(gè)，橫式紙盒y個(gè).
由題意，得解得
答：領(lǐng)取的紙板做了豎式紙盒40個(gè)，橫式紙盒260個(gè)．
(2)設(shè)領(lǐng)取的紙板做了豎式紙盒m個(gè)，橫式紙盒n個(gè)，
由題意，得(m＋2n)∶(4m＋3n)＝1∶3，整理，得m＝3n.所以m∶n＝3∶1.
答：利用這些紙板做出的豎式紙盒與橫式紙盒個(gè)數(shù)的比值為3∶1.

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